（应用数学专业论文）carnot群上测地线的研究.pdf

硕士论文 摘要 本文主要研究一类常见的次黎曼流形c a r n o t 群上的测地线首先，我们总结从不同 角度给出的次黎曼测地线的定义，并比较不同定义之间的相互联系其次讨论了黎曼流 形上测地线的定义，证明了不同角度给出的黎曼测地线定义的等价性，从而重新证明黎 曼流形上最短测地线与最直测地线是等价的接着，我们讨论一类最简单的c a r n o t 群一 h e i s e n b e r g 群，证明其上最短测地线与最直测地线的不等价性最后，研究e n g e l 流形 上的测地线，给出该流形上最短测地线所满足的联络形式的方程，并在此基础上证明 e n g e l 流形上最短测地线与最直测地线的不等价性 关键词：次黎曼流形，水平分布，水平联络，正规测地线，奇异测地线，最直测地线， 最短测地线 硕士论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e gt h eg e o d e s i c si nac l a s so fs u b - - r i e m a n n i a nm a n i f o l d s - c f i r n o tg r o u p sf i r e s t u d i e d f i r s t l y , w es u m m a r i z et h ed e f i n i t i o n so fs u b - r i e m a n n i a ng e o d e s i c sw h i c hf i r eg i v e n f r o md i f f e r e n tv i e w s ，a n dc o m p a r ew i t ht h ed i f f e r e n td e f i n i t i o n s s e c o n d l y ，w ed i s c u s st h e d e f i n i t i o n so fg e o d e s i c si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n d p r o v et h ee q u i v a l e n c eo ft h e m i l l i i i l i z i n gg e o d e s i c sa n dt h es t r a i g h t e s tg e o d e s i c si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d t h e nw ed i s c u s s ac l a s so ft h es i m p l e s tc a m o tg r o u p s - t h eh e i s e n b e r gg r o u p ，i nw h i c ht h en o n - e q u i v a l e n c eo f t h em i n i m i z i n gg e o d e s i c sa n dt h es t r a i g h t e s tg e o d e s i c si se s t a b l i s h e d f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t e t h eg e o d e s i c si nt h ee n g e lm a n i f o l d ，a n dg i v ee q u a t i o n so ft h em i n i m i z i n gg e o d e s i c si ns u c h m a n i f o l d b a s e do nt h ee q u a t i o n s ，t h en o n - e q u i v a l e n c eo ft h em i n i m i z i n gg e o d e s i c sa n dt h e s t r a i g h t e s tg e o d e s i c si ne n g e lm a n i f o l di sp r o v e d k e y w o r d s ：s u b r i e m a n n i a nm a n i f o l d ，h o r i z o n t a ld i s t r i b u t i o n ，h o r i z o n t a lc o n n e c t i o n , n o r m a lg e o d e s i c ，a b n o r m a lg e o d e s i c ，s t r a i g h t e s tg e o d e s i c ，m i n i m i z i n gg e o d e s i c h 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：j 啡 。c 7 年衫月必日 硕士论文c a m o t 群上测地线的研究 1 引言 设m 是m 维光滑流形，m 上的次黎曼结构由( d ，g ) 给出，其中 d = l jd q ，d qc 丁，d i m q = k ，d 是切丛的一个线性子切丛，称之为水平分布g g 删 是定义在d 上的正定度量把具有次黎曼结构( d ，g ) 的光滑流形m 称为次黎曼流形，记 为( m ，d ，g ) 由次黎曼结构所诱导的度量称为c a m o t c a r a t h e o d o r y 度量，即c c 度量次 黎曼几何就是研究次黎曼流形的几何如果k = m ，则水平分布d 就是整个切丛t m ， 即d = t m ，此时次黎曼流形( m ，d ，g ) 就是黎曼流形( m ，g ) ，因而黎曼流形可视为次黎 曼流形的一个特例 对于次黎曼几何的研究，主要背景之一是控制论，次黎曼几何是对控制论中有约束 的控制系统进行研究的理想框架，同时也被用来研究力学中的非完整系统另外，平面 上古典的等周问题确切地说是其对偶问题( 找围绕一固定面积的最短线问题) 也可看作 是次黎曼几何上的问题在所有连接次黎曼流形上两点的水平曲线中，寻找局部长度极 小的水平曲线问题习惯上称为次黎曼测地线问题，它是变分学中有约束的l a g r a n g e 问 题，同时也是一个最优控制问题 次黎曼几何和黎曼几何有类似之处，但也有着本质的区别主要体现在如下三个方 面：第一，对于黎曼流形，其h a u s d o r f f 维数与流形维数相等，而对于次黎曼流形，其 关于c c 度量的h a u s d o r f f 维数大于流形维数；第二，在黎曼流形上，指数映射是局部 微分同胚的，而在次黎曼流形上，指数映射则不是局部微分同胚；第三，在黎曼几何中， 所有的黎曼测地线都是正规的而对于次黎曼几何，可以出现奇异测地线本论文主要 对以上三点中的第三点不同进行讨论正规测地线可由余切丛r m 上的次黎曼 1 h a m i l t o n 形式h = 寺g - 1 ( p l d ，p l d ) 所对应的h a m i l t o n 方程的解即正规极值曲线在m 上 上 、 的投影得到，且正规测地线都是局部极小的奇异测地线是次黎曼几何所特有的曲线， 但有的次黎曼几何可能没有奇异测地线，例如切触流形，以及更一般的分布满足强括号 生成假设的次黎曼流形，其上所有的非平凡测地线都是h a m i l t o n 方程解的投影，因而都 是正规的然而并非所有的次黎曼测地线都是正规的，即还存在不同于正规测地线的一 类水平曲线即奇异测地线，它是极小测地线，但不是次黎曼测地线方程解的投影 l 引言硕士论文 在1 9 6 7 1 9 9 0 这段很长的时间里人们一直认为与黎曼几何一样所有的次黎曼测地 线是正规测地线( 3 2 ) ，直到1 9 9 1 年m o n t g o m e r y 第一次证明了奇异测地线的存在性， r、 在次黎曼流形( r 3 , d ，g ) 上，其中d = ( x ，y ，z ) r 3 ：出一吉j ，2 d x = 0 ，d i m d = 2 ， l - j m o n t g o m e r y 发现超曲面 y = 0 上的水平曲线不能由次黎曼测地线方程解的投影得到， 同时证明了这些水平曲线的极小性即它们是不同于正规测地线的一类水平曲线即奇异 测地线，从而第一个证明了奇异测地线的存在性 次黎曼测地线问题是次黎曼几何所要研究的一个主要问题，因而求测地线的方程是 次黎曼几何中的一个基本而又重要的问题要解决这个问题很自然的会联系到测地线的 存在性问题自然产生的一个问题是对于流形上任意给定的两点是否存在测地线连接它 们，更一般的，任意给定两点是否存在水平曲线连接它们对于第二个问题是我们在次 黎曼流形上寻找测地线的一个必不可少的前提条件，在2 0 世纪3 0 年代最终由c h o w 解 决对于次黎曼流形( m ，d ，g ) ，如果m 是连通的，水平分布d 满足括号生成条件，即 对于d 的任何局部水平标架 x ，) 毛，彳f f s p a n x 。，【工，x 小【x 。，【x j ，以】， = t m ，则m 上任意两点都可由一条水平曲线连接，此时m 中任意充分靠近的两点都可由一条极小 测地线连接( 2 8 ) 进一步的，如果次黎曼流形m 关于次黎曼度量是完备的，则肘上 任意两点都可由一条极小测地线连接( 2 8 ) 这便是测地线的局部存在性与整体存在 性定理 在测地线存在的前提下，进一步可以讨论测地线方程文献【1 1 】，【2 3 】，【2 4 】等对次黎 曼测地线的结构做了较为系统地讨论，从是否满足次黎曼h a m i l t o n 形式 日( g ，p ) = 寺g 。1 ( p dr p l d ) 所对应的凰聊f 加刀方程分为正规测地线和奇异测地线，从端点 映射的微分是否为满射，我们把极小测地线分为正则极小测地线和奇异极小测地线 很多文章都对正规测地线和奇异测地线的特征做了讨论，n i k i t i n 在1 9 9 6 年从最优 控制论的角度出发，利用变分法得到次黎曼流形只存在正规测地线的充分条件，见参考 文献【3 5 】 为了清楚地刻划次黎曼测地线的特征，p i e c i o n e 与t a u s k 在1 9 9 9 年给出了两端点 固定时正规测地线的特征，同时得到了一端点给定另一端点在一个光滑子流形上自由移 动时正规测地线的特征一般情况下，容许空间线1 胁( a ，6 】，d ，肘) 不具有光滑流形的结 2 硕士论文 c a r n o t 群上测地线的研究 构，但在正则曲线的邻域内，具有无限维h i l b e r t 流形结构，因而正则曲线y 是次黎曼 能量泛函e 在容许空间硪吼( a ，6 】，d ，m ) 内的临界点，当且仅当它是连接吼，q l 两点的正 规测地线( 1 2 ) 如果端点流形尸或q 横切于分布d ，即乃p + q = 乙肘，对所有的 p ep ，则容许空间砩口( 【口，6 】，d ，m ) 不含有奇点，它是无穷维的光滑h i l b e r t 流形，此 时所有的次黎曼测地线都是正规的，且次黎曼能量泛函e 在此容许空间内的临界点恰好 是p ，q 之间的正规测地线，并且满足边界条件：r ( 口) ( 孩。) 尸) 。，r ( 6 ) ( 弓( 。) q ) 。，其中r 为厂的提升，( i ( 。) p ) o 及( 乙( 6 ) q ) o 分别表示切空间( 。) 尸，弓( 6 ) q 的零化子( 2 4 3 ) 文献【2 】给出奇异测地线存在的一个必要条件即如果水平曲线y ：【口，b 】j m 是奇异 测地线，则它一定是奇异曲线，且为奇异极小同时给出奇异曲线存在的充要条件即水 平曲线7 ：【口，6 卜争m 是奇异曲线当且仅当存在非正规极值曲线：r ：【口，6 】寸丁m ，使得7 是r 在m 上的投影 对于h e i s e n b e r g 群，它作为最简单的非平凡的次黎曼流形，由于其水平分布满足强 括号生成假设，因此其上的测地线都是正规的文献( 【1 5 ，【1 7 ，【2 5 】) 给出了连接 h e i s e n b e r g 群上两点( o ，0 ，o ) 和( 而，而，f ) 的测地线的条数以及相应测地线的长度，进一步 通过h e i s e n b e r g 群上左平移的概念我们可以得到群上任意两点间测地线的条数以及相 应测地线的长度 正规测地线是相应的h a m i l t o n 方程的解在底空间中的投影，对于只存在正规测地线 的次黎曼流形，通过l e g e n d r e 变换，可以由h a m i l t o n i a n 构造l a g r a n g i a n 文献【2 1 】对于 有线性和二次约束的l a g r a n g i a n 相应的e u l e r l a g r a n g e 方程的解即测地线给出了一个 定性的描述，其中由h e & e n b e r g 流形诱导的自然度量起了重要的作用，同时在 h e & e n b e r g 群上得到一个和g a u s s 公式类似的一个公式 次黎曼测地线问题的核心问题是研究测地线的存在性和光滑性对于一般的次黎曼 流形，根据测地线存在性定理我们可以知道任意给定两点一定存在极小测地线，但它是 否正规我们并不知道对奇异测地线的研究，到目前为止还没有取得突破性的进展，奇 异测地线作为次黎曼几何所特有的曲线，能否刻划成某种h a m i l t o n i a n 形式的h a m i l t o n 方程的解? 到现在还不清楚对于奇异测地线的存在性和光滑性等问题还远没有解决， 这些都是目前次黎曼测地线的研究与发展趋势可以说，对次黎曼测地线的研究还有很 3 l 引言硕士论文 大的空间去探索 对于黎曼流形上的测地线，根据其是否为长度泛函的极小可以定义最短测地线的概 念；也可以根据平行移动的概念定义最直测地线在黎曼流形上本文重新证明了最短测 地线与最直测地线是完全等价的而对于次黎曼流形，其上的最短测地线与最直测地线 不一定等价本文首先系统地研究了次黎曼流形( m ，d ，g ) 上的测地线，总结了从不同角 度给出的次黎曼测地线的定义并找出不同定义之间的相互联系文章主要研究了一类常 见的次黎曼流形c a r n o t 群上的测地线先是讨论一类最简单的c a r n o t 群一一 h e i s e n b e r g 群，证明其上最短测地线与最直测地线的不等价性，其次研究了e n g e l 流形 上的测地线，给出了该流形上最短测地线所满足的联络形式的方程( 见式( 4 3 1 7 ) ) ，并 在此基础上证明了最短测地线与最直测地线的不等价性 论文结构安排如下： 第一部分：介绍次黎曼测地线的理论背景，发展历史及研究现状； 第二部分：介绍次黎曼流形上相关概念和定义，总结了从不同角度给出的次黎曼测 地线的定义并找出不同定义之间的相互联系； 第三部分：重新给出了黎曼测地线不同定义之间等价性的证明； 第四部分：研究了一类常见的次黎曼流形c a r n o t 群上的测地线，首先讨论了一类最 简单的c a r n o t 群胁括p 刀6 p ，g 群，证明了其上最短测地线与最直测地线的不等价性， 其次研究了e n g e l 流形上的测地线，文章中给出了该流形上最短测地线所满足的联络形 式的方程，并在此基础上证明了e n g e l 流形上最短测地线与最直测地线的不等价性 4 硕士论文c a m o t 群上测地线的研究 2 预备知识 本章介绍次黎曼流形上相关的基本概念和性质，总结了从不同角度所给出的次黎曼 测地线的定义，并讨论它们之间的相互联系 2 1 次黎曼流形上的基本概念 定义2 1 1 ( 【2 9 】) 设( m ，d ，g ) 为次黎曼流形，称绝对连续曲线7 ：【a , b 】一m 为水平曲线 ( d 一曲线) ，如果厂几乎处处切于水平分布d ，亦即尹( f ) d 巾) ，a e f 口，b 】 定义2 1 2 ( 【2 9 】) 定义水平曲线7 的长度z ( 7 ) = e 正而巧：勋及能量 e ( y ) = 告r g ( 夕，户) 出任给m 上两点g 。，9 1 ，定义 d ( g o ，q 1 ) = i n f e ( r ) ，7 取遍q o , 9 1 之间的所有水平曲线) 为次黎曼距离如果g o ，9 1 之间不存 在水平曲线，则定义次黎曼距离d ( g o ，9 1 ) = o o 命题2 1 3 ( 3 7 】) ( c h o w s 定理) 如果流形m 是连通的，且分布d 满足括号生成条件，即 对于d 的任何局部水平标架 置) ：。， s p a n x , ，【五，x ，】， x ，【x ，k 】，) = t m ，则m 上的任意两点q o , 9 1 可由水平曲线连接，此时d ( g o ，9 1 ) ，赋予 d 一个度量使得 p 。，p ：，e ， 是一组正交基设 9 1 ，秒2 ，0 ”) 是 p 。，e 2 ，e 。 的对偶余 标架，即为李代数g 的对偶空间g 的一组基七j j j xt m 上的向量场可以表示为厂q ， f = l 其中厂1 ，厂2 ，厂“是上坐标函数同样的，余切向量场可以表示为丑口，其中 五，如，以是丁m 上的坐标函数；d 上的向量场可以表示为7 岛；d 上( d 的零化子) 中的余切向量场可以表示为丑秒 设口独是李群g 在基底 p 。，p 2 ，e 。) 下的结构常数，即有 打 【q ，p 】- 口咖吼 k = l 其中【，】表示p o i s s o n 括号积 注意到口壮= - a 肚又由于向量场p ，的余切提升是坐标函数名h a m i l t o n i a n 向量场，所 以有： ，) = 一口驰岔 k = l 其中 ，) 表示g 上函数的p o i s s o n 括号积 定义4 1 1 ( 【2 8 】) 设d 1 = d ，d “1 = d 。“d ，d 】( 如果加法是直和，则称李代数g 是分 层的) ，如果存在正整数，使得d = g ，则称d 是括号生成的设v 1 = d 1 ，v 。= d d 卜1 ， 如果g = v 1o v 2o o 矿7 ，则称g 是分层的幂零李代数，相应的g 称为分层的幂零李 群分层的幂零李群g 称为c a r n o t 群，d 上的度量赋予g 具有次黎曼结构 定义4 1 2 ( 【6 】) 水平曲线7 称为非正规曲线( 奇异曲线 如果存在d 上的非零特征 f ：【a , b 】专t g ，使得厂是r 在g 上的投影 1 8 硕士论文c a r n o t 群上测地线的研究 下面推导非正规曲线满足的方程组，我们称之为非正规方程组 设零是丁g 上规范的1 一形式，定义( 力= 口( 及1 ，) ，其中口t * g ， ，乏( 丁g ) 设叩口= 喜4 位) 9 。，其中p 。是丁g 上的l 一形式设v = y t + 办岳丁( 丁g ) ，由，7 的定义， ，7 口( ，) = 口( 7 r v ) = 口( 7 巳) = ( 口) 口( z r q ) = ( 口) 厂 特别的刁i 伊= z , ( a ) o ，由于国= d ，7 ， i - r + l 国i 矿= ( 以 口+ d 口) ， 设( x ( ，) ，2 ( 0 ) t g ，x ( t ) 为非正规曲线，由定义4 1 2 得 0 = c o ( “) “宕，磅) = ( 和- y 戤) + a , d o ( ( 曼，n ) ( 4 1 1 ) i = r + lk = r + l 由m a u r e r c a r t a n 方程组： 因此 d o , + 寺口秘只人够= 0 i - j 。t l d 以( ( 童，互) ，) = 一去a 班( ，。0 - y 7 0 。) = 口秽7 0 ( 4 1 2 ) i j = l，i = z 将式( 4 1 2 ) 代x ( 4 1 1 ) ，又由于对任意的f ，有厂= 0 ，故得： 一，疗，力 o = ( 五，+ a # k r 7 以矽。+ ( 口独7 五炒 ( 4 1 3 ) - r + l j = lk = r + i= i 户lk = r + l e h = j = 0 1 , 口2 ，0 ”) 作为g 的一组基，故目i ，口2 ，0 “是线性无关的，由此我们得到非正 规方程组： 1 9 ， a 一力 印 旦弘 ，蔺。刊 ， 出一西 以一衍 肛 出一西 以一衍 肛 卜 = ，、， m 衲 4 次黎曼流形c a m o t 群上测地线的研究 硕士论文 厂7 以- 0 ， 名+ a 班y 7 丸= o ，i = r + l ，玎， 厂7 州= = ，”= 0 ， ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) = = 五，= 0 ( 4 1 7 ) 此即我们推导的非正规曲线所要满足的方程组，该方程组的解在流形g 上的投影我 们称之为非正规曲线 注：值得注意的是非正规曲线不一定是局部最短的，对于局部最短的非正规曲线我们称 之为非正规极小 对应于非正规曲线，下面定义正规曲线，为区别开正规曲线与非正规曲线的余切提 升，在正规情形下我们将余切向量标架坐标用啊，吃代替 定义4 1 3 ( 6 】) 曲线厂称之为正规曲线如果它是胁坍加以妇玎形式h ( x ， ) = 去砰对应 li = l 的h a m i l t o n i a n 方程的解在g 上的投影 由定义4 1 3 可得正规曲线所满足的方程组，我们称之为正规方程组： 7 。= 绣，i = 1 , 2 ， ( 4 1 8 ) 厂7 = 0 ，j = ，+ 1 ，刀， ( 4 1 9 ) 底+ a 咖乃= o ，i = 1 ，2 ，刀 ( 4 1 l o ) j = lk = l 事实上，设( g ，p ) t g ，则啊可以看作纤维线性函数： 吃( q ，p ) = p ( p 。( g ) ) ，q g ，p 巧g 即得方程( 4 i 8 ) ，( 4 1 9 ) 对于方程( 4 1 1 0 ) ，注意到对任意厂c 。( 丁g ) ：3 乏h a m i l t o n i a n 方程组的解z ( f ) ，有： 丢( 化( ，) ) ) = 坝z ( f ) ) ， 特别地， 鬼= 鬼，h ) ，i = l ，2 ，r ， 所以 硕士论文c a m o t 群上测地线的研究 反= i 1 厶 勺2 = h j h i = - z h h k ( 4 1 1 1 ) 3 = 1j = lj = lk - i 考虑分层的幂零李群g ，如果其分布满足d o g ，g 】= g ，则有 a 眦= 0 ，k = 1 , 2 ，( 4 1 1 2 ) 式( 4 1 1 2 ) 代入( 4 1 1 1 ) 即得( 4 1 1 0 ) 注：这里定义的正规曲线是局部最短线( 3 2 】) ，也就是我们前面定义的正规测地线的概 念 定义4 1 4 ( 6 】) 李群g 上以弧长为参数的曲线y ( f ) 称为正则非正规曲线，如果它存在一 个余切提升r ( f ) = ( x ( f ) ，a ( ，) ) ，使得它是非正规方程的解，并且有五( f ) ( d 2 ) 上一( d 3 ) 上 其中d 的定义见定义4 1 1 ，( d 。) 上表示d 的零化子 注：( 1 ) 正则非正规曲线一定是局部最短的，但是对于这类曲线它可能存在一个余切提升 i 使得它满足正规方程 ( 2 ) 如果曲线7 只存在满足非正规方程的余切提升r ，则称其为严格非正规曲线 ( 3 ) 对于严格非正规曲线，如果它也是局部最短的，则称之为奇异测地线 下面一节对两类较为简单 c a r n o t 群：h e i s e n b e r g 群及e n g e l 流形上最短测地线及 最直测地线的关系进行了研究，需要说明的是h e i s e n b e r g 群及e n g e l 流形均不存在严格 非正规吐线( 【6 】) 4 2 h e i s e n b e r g 群上测地线的不等价性研究 我们考虑二维括号生成分布日cr 3 = r 2 而而) x r t ，设左不变向量场 工l = a + 彳l ( x ) a 。，石2 = a ，：一4 2 ( x ) a ， ( 4 2 1 ) 张成分布日，h = k e r c o ，其中国是定义在r 3 上的l 一形式 彩= 一a l ( 力d x l + a 2 ( x ) d x 2 + 靡( 4 2 2 ) 则有 国( x 1 ) = c o ( x 2 ) = 0 假设2 一形式 f - d r o ：( 挈+ 绉d x l d x 2 ( 4 2 3 ) 、叙2锄l 1 、7 4 次黎曼流形c a r n o t 群上测地线的研究硕士论文 是非零，则有 i x l ，x 2 】一( - 飙z - - 0 4 2 ， a ，仨h ， l ， ，o 从而由f r o b e n i u s 定理可得，日是不可积的设g 是日上的正定度量，x i ，x ：) 在这个 度量下是标准正交的 定义4 2 1 曲线c ( s ) = ( 而( s ) ，x 2 ( j ) ，f ( s ) ) 称为水平曲线，如果对任意的j ，有亡( s ) h 。( ，) 因6 ( j ) = y c l ( j ) a 而+ 莺2 ( s ) a 而+ f ( s ) a ，= 毫( s ) x i + 童2 ( s ) x 2 + 国( 亡( j ) ) a ，所以c ( s ) 是水平曲线 当且仅当 c u ( 亡) = i - a l ( c ) j l + a 2 ( c ) 孟2 = 0 ( 4 2 4 ) 定义4 2 2 曲线c ( s ) = ( x 。( j ) ，x ：( j ) ，( s ) ) 的长度定义为 z ( c ) = r 瓜苫而o 一( s ) ) a s = f 再矿百万d s ， z ( c ) = 【g ( 亡( s ) ，= 【毫( j ) 2 + j 2 ( j ) 2 ， 设p ，q 是r 3 上任意给定两点，则两点间的c a r n o t c a r a t h e o d o r y 距离定义为 d ( p ，q ) = 砒p p ) ，c ( o ) = p ，c ( 1 ) = q ，亡h 吣) j ， 这里c ( s ) 是r 3 上连接尸，q 两点的所有水平曲线若存在水平曲线c o ( j ) ，使得 d ( p ，q ) = e ( c 。) ，则称c 。为连接p ，q 两点的次黎曼测地线 通过以上次黎曼测地线定义，若要求两点间的测地线，我们可以将问题转化为带 有条件极值的能量泛函的极小利用l a g r a n g e 乘子法，定义l a g r a n g i a n ： 讹，垆三觯，卅锄( 沪j 1l 工。2 + 量；) + o ( i - ( 班。+ 姒蛳：) ， ( 4 2 5 ) 其中0 为l a g r a n g e 乘子则对应的e u l e r l a g r a n g e 方程为： 要( 罢) o l ， c ：( 砩圳 ( 4 2 6 ) 五瓦) 2i 弘m x 2 j 。竹z 。 对上面定义的l a g r a n g i a nl ( c ，亡) 作l e g e n d r e 变换得至l jh a m i l t o n i a n ： h ( x ，孝，p ) = 去 ( 卣+ 彳。( x ) 力2 + ( 色一a 2 ( x ) 口) 2 】 ( 4 2 7 ) 相应的h a m i l t o n 方程为： i = h ：， _ h 8 她2 8 、) 善= 一h ，矽= 一只( 4 2 9 ) 硕士论文 c a m o t 群上测地线的研究 定义4 2 3h a m i l t o n 方程的解在空间 ，f ) 上的投影，叫做正规测地线 注：( 1 ) 由方程，= 峨我们能够得到，= 彳。童l - a ：戈2 ，所以正规测地线一定是水平曲线 ( 2 ) 由方程乡= 一只= 0 ，所以l a g r a n g i a nl ( c ，o ) 中汐是常数 下面在胁括阴6 p 广g 上定义水平联络及曲率张量，我们可以得到e u l e r l a g r a n g e 方程 的另一形式 定义4 2 4 ( 【2 l 】) 水平联络v ：日h 专h 定义为： 2 v ( v ，形) = v r 矽= 瞻( 形，x i i ( 4 2 1 0 ) k = l 性质4 2 5 ( 【2 l 】) 水平联络v 是一个线性度量联络 证明：我们只需证明以下两点： ( 1 ) v y ( ) = v ( f ) w + 夕矿形； ( 2 ) 眙( y ，w ) = g ( v 【，v ，形) 4 - g ( v ，v 【，矿) 22 其中c 。( r 3 ) ，y = y z ，形= 形置 i = ll = 1 22 事实上，v v ( ) = 瞻( ，以) 五= y ( g ( ，x 。) ) x 。 k - i i - l 2 2 = y u ) g ( ，以+ 厂y ( g ( 矿，以) ) 也 k = l t ；l = v ( f ) w + f v 矿矿 2 2 g ( v u 矿，矿) + g ( 矿，v 【，形) = g ( 坛( y ，置) 置，形) + g ( y ，u g ( w ，置) 置) l t li = l i = g ( e v ( v 。) 置，矿) + g ( y ，e m w 。) z ) j - - i= l 22 = e m v 。) + ( ) y 2 = ( u ( 矿。) 矿+ u ( 矿。) 矿) i x ”七 y ，幢 矿 ：柚 ， + 七七 x矿 lg力，- y ：揣 = 4 次黎曼流形c a m o t 群上测地线的研究硕士论文 = v ( y v i v 。) = 坛( y ，形) i = 1 定义4 2 6 ( 2 1 1 ) 曲率张量k ：hjh 定义为 2 k ( u ) = e n ( v ，以i ( 4 2 1 1 ) k = i 其中q 是式( 4 2 3 ) 定义的2 一形式 从定义4 2 6 可知如此定义的曲率张量是c 。( 欠3 ) 一线性的，且是( 1 ，1 ) 一型张量 性质4 2 7 ( 2 1 1 ) 曲率张量k 是反自共轭，即对任意的u ，形h ，有 g ( k ( u ) ，形) + g ( u ，k ( 形) ) = 0 ( 4 2 1 2 ) 证明：首先证明 g ( k ( u ) ，r v ) = n ( u ，i v ) ，( 4 2 1 3 ) 事实上， 22 g ( k ( ，形) = g ( n ( u ，丘比，形) = g ( 以，i v ) n ( u ，也) 由式( 4 2 1 3 ) 及2 一形式q 的反称性，我们得到式( 4 2 1 2 ) 推论4 2 8 ( 2 1 1 ) 对任意的u h ，有 g ( k ( u ) ，u ) = 0 定义4 2 9 ( 【2 1 】) 水平分布日上的旋转：h - - ) h 定义为： - ，( x i ) = x 2 ，d ( x 2 ) = 一x 1 性质4 2 1 0 ( 2 1 ) k ( x i ) = n ( x l ，x 2 ) x 2 = n ( x l ，x 2 ) ，( x 1 ) ， k ( x 2 ) = n ( x 2 ，x i ) x 1 = n ( x l ，x 2 ) ，( x 2 ) ， 由旋转j 的c 。( r 3 ) 一线性性进一步得到： k ( u ) = n ( x l ，x 2 ) j ( u ) ，v u h ； 因q 盯：n ( x 。，x 2 ) ：彗+ 丝0 ，所以对任意u 0 ，有k ( u ) 0 ；曲率张量即为定 。 o x ，o x i 义在分布日上的成比例旋转，旋转角度为要 注释：如果v 不是水平向量场，则其曲率同样可以定义为 、j 矿u l c ： = 、，以 i 形 ：埘 u l q = 、j 七 y 七 形u ，l c ： ：心 = 、， 七 yu ，i c ： 七 形 ：蹦 = 硕士论文 c a r n o t 群上测地线的研究 k ( 矿) = q ( y ，托溉， k = l 这是因为定义的表达式只依赖于向量场y 的水平部分 所以 事实上，设 从而有 y = y l a 而+ y 2 a 屯+ y 3 a r = 匕：兰! ：! ：兰+ c o ( v ) o r ， q ( y ，以) = q ( ，以) + 彩( y ) 坠叠型 k ( 矿) = k ( ) 通过上面给出的诸多定义，下面给出e u l e r 一坳僻方程与水平联络及曲率有关 的表达形式 设 亡( j ) = 童l ( s ) x l + x 2 ( s ) x 2 ， 2 v 。亡= 话 ，x i = 亡( 南) x l + 亡( 戈2 ) x 2 = 膏l x l + 5 2 x 2 ( 4 2 1 4 ) 通过计算得到如下形式： 了d 【i o l ) ：罢， c ：( x i , x 2 , t ) 一( - 一jo 一， c = 出、甜7 耻嗳+ 铷 o ，c 铲叫挈+ 娑) j 。 o 2 优l ( 4 2 1 5 ) ( 4 2 1 6 ) 泓l + j f ：x ：叫豢+ 警) ! 兰兰! ：型- - - 0 q ( 五以) 州) = 一解( 4 2 1 7 ) 、兰：，= 一，( 亡) 结合式( 4 2 1 4 ) 及( 4 2 1 7 ) ，我们得到c ( j ) 的一个整体表达式： v e 亡= 一承( 亡) ( 4 2 1 8 ) 2 5 4 次黎曼流形c a m o t 群上测地线的研究硕士论文 定义4 2 1 1 设c ( s ) 为水平曲线，v 为水平联络，称c ( s ) 为最直测地线，如果有 v 。( ，) 亡( j ) = 0 定理4 2 1 2h e i s e n b e r g 群上非平凡的最直测地线与最短测地线( 满足_ e u l e r l a g r a n g e 方程的次黎曼测地线) 是不等价的 证明： 首先我们证明在h e i s e n b e r g 群q 上最直测地线一定是最短测地线 由式( 4 2 1 4 ) - 我们有最直测地线即满足： v e 亡= 薯x i + 叠2 五= 0 ， 由向量场五，五的线性无关性得到： 解得： 由 得 f 舅l ( s ) = 0 t 戈2 ( j ) ：o i ( s ) = a l ( x ) 量l - a 2 ( x ) 蠢2 = q a l ( 砂一c 3 a 2 ( x ) ， ( 4 2 1 9 ) ( 4 2 2 0 ) ( 4 2 2 1 ) f o ) = r c 。彳( x 。( ，) ，x ：( ，) ) - - c 3 彳：( x 。( f ) ，x ：( r ) ) 】者+ 岛， ( 4 2 2 2 ) 其中c l ，c 2 ，c 3 ，f 4 ，c 5 为常数，且c l ，c 3 不全为零 设c ( s ) = ( x l ( s ) ，x ：( s ) ，f ( j ) ) 是由式( 4 2 2 1 ) f i t ( 4 2 2 2 ) 确定的一条曲线，则它一定满足式 ( 4 2 1 9 ) ，所以它是h e i s e n b e r g 群上一条最直测地线，下面验证这条测地线同样满足 e u l e r l a g r a n g e 方程，也即说明该曲线是h e i s e n b e r g 群上的最短测地线 事实上，由式( 4 2 1 5 ) 、( 4 2 1 6 ) 及( 4 2 2 0 ) 可得： o - 0 r 0 a i + 娑bo 一0 r o a f + 娑h o x 2o o x 2c 因为挈+ 娑o ，且c l ，c 3 不全为零，可得p ：0 ，那么此时相应的勘，盯一l a g r a n g e 7 亨 c 贸1c yx+rx = 2 x 、， x ，l c+x 、，而l c = 七七 x p喀 ：糊 = c 亡 v 岛q + + j j l 3 c c = = 、，、， s s l，l砭 ，i【 硕士论文c a m o t 群上测地线的研究 程亦成立，即为v 砸) 亡( s ) = 一e k ( d ) = 0 ，这便说明了这条最直测地线一定是最短测地线 接着我们证明在甄上最短测地线却不一定是最直测地线 由前面推导我们知道最短的测地线一定满足式( 4 2 ：1 8 ) ：1 v e 亡= - o g ( d ) ( 1 ) 当矽= o 时，则有v 吣) 亡( 占) = 0 ，此时相应的最短测地线一定是最直测地线 ( 2 ) 当护0 时，假设它是最直测地线，则必有： v 6 亡= - o k ( d ) = 0 ， 从而有 k ( 亡) = 0 2 x p ) = q ( 亡，以= q ( 亡，置) x i + q p ，x 2 ) x 2 = 0 ， k = l 因为向量场五，五的线性无关，所以有： q ( 亡，x i ) = q ( 文l ( s ) + x 2 ( s ) x 2 ，x 1 ) = 一童2 ( s ) = 0 ； ( 4 2 2 3 ) q ( 亡，k ) = q ( j i ( s ) x l + 戈2 ( j ) x 2 ，x 2 ) = j l ( j ) = 0 ； ( 4 2 2 4 ) 又因为c ( s ) = ( z 。( s ) ，x 2 ( s ) ，( s ) ) 是水平曲线，所以 i ( s ) = a l ( x ) e ，( s ) 一鸣( 曲岛0 ) = 0 ( 4 2 2 5 ) 由式( 4 2 2 3 ) 、( 4 2 2 4 ) 及( 4 2 2 5 ) 得： c ( s ) = ( x 1 ( s ) ，x 2 ) ，f ( s ) ) = ( c 6c 7 ，c 8 ) ，其中c 6 ，c 7 ，c 8 均为常数， 这即说明了满足条件的最短测地线必为一个点，故矛盾 因此在h e 捃e n b e r g 群且上最短测地线却不一定是最直的 对于高维的h e i s e n h e r g 群以上的最短测地线与最直测地线，我们可证得同3 维 h e i s e n h e r g 群皿类似地不等价性结论 设尺2 肿1 上2 刀个切向量场定义为： 且满足= 一a 业 以上的分布由1 一形式 k = 1 , 2 ，2 力， 8x 移 口2 加m + k a = 暑z 4 次黎曼流形c a m o t 群上测地线的研究 硕士论文 确定 从而相应的2 一形式为 故 所以水平向量场u 的曲率为 2 2 打 国= d t - ( 2 x 皿。_ 、_ qj i 2 n f 2 = d c o = 一2 口 d x 也 i 一_ 一 ， i - i i = ( u 4 a 切x p ) p = lk = l 2 n 2 n = 4 u 七x ， 通过计算可得相应的e u l e r - l a g r a n g e 方程具有如下形式： v e 亡= - 4 0 x ( 亡) 在此基础上我们可以同3 维h e i s e n h e r g 群日。做类似的讨论，可证得在2 n + l 维 h e i s e n h e r g 群以上最短测地线与最直测地线是不等价的定理证毕 4 3e n g e l 流形上测地线的不等价性研究 e n g e l 分布d 是一个秩为2 的分布，其增长向量是( 2 ，3 ，4 ) ，予 e n g e l 分布的流形 称为e n g e l 流形，其维数是4 e n g e l 正则形式定理告诉我f 1 e n g e l 流形上任意一点的邻 2 8 血 矗q h 纠 h 2 = 肫 口 4 = 材 口2 一 雎 口2 = 、， 七 x x 、 出人出 ， 口 加一 h 汹 2 = 、j 七 xx ，l c ： 0 尹 z 以 ，k c ； 七 u 抽m 加一 = p y 七 u 城 口4 抽纠 抽州 一 = 硕士论文 c a r n o t 群上测地线的研究 域，存在