（运筹学与控制论专业论文）振子网络上的同步及其在生物学中的应用.pdf

摘要 在自然界和人类社会中，广泛的存在着各种各样的复杂网络，如电力 网、因特网、基因调控网等近年来，许多研究者从系统学的观点研究了网 络的动力学行为与网络的拓扑结构之间的关系，使得复杂网络动力学成为 复杂性科学的新兴方向，并受到国内外各领域的广泛关注，尤其是物理、数 学、生物、计算机等领域在这方面的研究中，耦合非线性振子网络是一种 典型模型，其中的各个节点的动力学行为主要取决于个体的特征，同时受 到来自其他节点的耦合作用的影响，从而使得整个网络表现出一定的同步 行为研究网络同步行为不仅对揭示各种群体现象的演化机理十分重要， 更有助于人们利用这些机理为实际生产和生活服务 本文结合耦合非线性振子网络的同步研究中的现有方法，提出了一些 研究振子网络同步的新思路，得到了振子网络实现同步的充分条件，指出 了影响振子网络同步的各种因素，在理论上揭示了振子网络实现同步的机 理，并结合物理学、生物学等领域的经典模型进行了理论分析和数值验证 本文的主要内容和创新点主要概括为如下四个方面 一对耦合非线性振子网络的完全同步的研究，本文的工作主要表现 在两个方面a ) 在研究对象上，考虑到现有结果主要针对线性耦合振子 网络，而非线性耦合振子网络的同步现象更为普遍，本文研究了两类非线 性耦合作用下的振子网络的完全同步行为：对一类常见的耦合函数，当它在 孤立节点的吸引域内是增函数时，给出了振子网络实现同步的充分条件； 对一般形式的非线性耦合函数，本文提出了耦合函数的平衡假设，验证了大 多数实际网络的耦合函数均满足该假设，且在该假设下给出了这类耦合振 子网络实现完全同步的充分条件b ) 在研究方法上，考虑到耦合振子网 络中每个振子的动力学行为由振子自身动力学和耦合作用项两部分构成， 而这分别是目前两种常用方法的处理困难所在，本文利用两种现有方法的 优点将它们合理的结合起来，得到的结果体现了这种新的研究思路的优越 性，在一定程度上解决了现有结果在实际应用时可能遇到的困难 二对于耦合非线性振子网络相同步的研究，现有结果基本都是借助 于平均场的思想，定义一个衡量相同步程度的序参数进行数值模拟或实验 观测本文利用相约化方法将振子网络的状态方程转化为相应的相方程， 然后通过对其相方程进行分析，证明了耦合极限环振子网络在很弱的平衡 耦合下就可以实现相同步 三利用l u r e 系统的理论研究了由不同的细胞构成的多细胞系统在 群体感应机制作用下的实用同步，即各细胞的最终动力学行为相似但又有 一定误差，这是一种常见的同步现象本文给出了影响其同步误差的因素， 分析了群体感应机制实现同步的机理，并做了大量的数值验证 四研究了群体感应机制作用下的多细胞系统的频率同步问题考虑 到前人的工作普遍采用了拟稳态近似假设，而该假设只有在一定条件下才 表现出其合理性本文通过微分方程理论，借助于环境中的信号分子的精 确解代替了拟稳态近似假设，给出了该模型实现同步的严格的理论分析 最后，结合目前该领域的研究进展，对本文的工作做了全面的总结， 并指出了今后该领域进一步工作的展望 关键词：复杂网络，完全同步，l y a p u n o v 稳定性分析，相约化方法， 相同步，l u r e 系统，群体感应，实用同步 a b s t r a c t c o m p l e xn e t w o r k sa r eu b i q u i t o u s ，r a n g i n gf r o mn a t u r et os o c i e t y , s u c h a 8t h ei n t e r n e t ，t h ep o w e rg r i d 7g e n e t i cr e g u l a t o r yn e t w o r k s ，e t c i nr e c e n t y e a r s ，m a n yr e s e a r c h e sh a v eb e e nc a r r i e do u tt od i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e - t w e e nt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r ea n dc o l l e c t i v ed y n a m i c a lb e h a v i o r so fo s c i l l a t o rn e t w o r k s t h e r e f o r e ，s t u d y i n gn e t w o r kd y n a m i c sh a sb e e nc o n s i d e r e d a san e wa n dd e v e l o p i n gs u b j e c to fc o m p l e x i t ys c i e n c e i th a sa t t r a c t e d m u c ha t t e n t i o nf r o mm a n yf i e l d ss u c ha sp h y s i c s ，m a t h e t i c s ，b i o l o g ya n d c o m p u t e rs c i e n c e i no r d e rt oe x p l o r ec o l l e c t i v ed y n a m i c a lb e h a v i o r si nc o m p l e xn e t w o r k s ，r e s e a r c h e r sb u i l tt h em o d e lo fc o u p l e do s c i l l a t o rn e t w o r k s t h er e s e a r c h e so fc o l l e c t i v eb e h a v i o r si no s c i l l a t o rn e t w o r k sa r ei m p o r t a n t n o to n l yt oe x p l o r et h em e c h a n i s m so ft h o s en a t u r a lp h e n o m e n ae x i s t i n g w i d e l yb u ta l s ot ou t i l i z et h e s em e c h a n i s m st os e r v ep e o p l e sl i f e t h i sp a p e rc o m b i n e ss e v e r a ln e wm e t h o d st os t u d ys y n c h r o n i z a t i o no f o s c i l l a t o rn e t w o r k sa n do b t a i n sm a n yo r i g i n a lr e s u l t s t h e s er e s u l t so f f e r s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st or e l e a l i z es y n c h r o n i z a t i o na n dp o i n to u tt h em e c h a o n i s m so fs y n c h r o n i z a t i o n f u r t h e ri n v e s t i g a t i o ni sc a r r i e do u tt oc o m b i n e t h e o r yw i t hp r a c t i c eb ys i m u l a t i n gm a n yc l a s s i c a lm o d e l sn u m e r i c a l l y t h e m a i nc o n t e n t sa n di n n o v a t i v ep o i n t so ft h i sp a p e ra r el i s t e da sf o l l o w s ( 1 ) t h es t u d yo fc o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o ni nc o u p l e do s c i l l a t o rn e t - w o r k sc a l lb eg e n e r a l i z e da st h ef o l l o w i n gt w oa s p e c t s a 1 a sf a ra 8t h e s t u d y i n go b j e c t sa r ec o n c e r n e d ，t h ep a p e rs t u d i e sc o u p l e do s c i l l a t o rn e t w o r k sw i t ht w od i f f e r e n tt y p e so fn o n l i n e a rc o u p l i n g m o s to fp r e v i o u s r e s e a c h e sf o c u s e do nn e t w o r k sc o u p l e dl i n e a r l ya n df e wr e s e a r c h e sw e r ec a r f l e do u tt os t u d yo s c i l l a t o rn e t w o r k sw i t hn o n l i n e a rc o u p l i n g m o r e o v e r ，t h e s t u d yo fo s c i l l a t o rn e t w o r k sw i t hn o n l i n e a rc o u p l i n gi si n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n t f o rt h ec a s et h a tt h en o n l i n e a rc o u p l i n gf u n c h t i o n sa r ei n c r e a s i n g f u n c t i o n si nt h ea b s o r b i n gb a s i no fi n d i v i d u a lo s c i l l a t o r ，t h i sp a p e r g i v e st h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs u c ht y p eo fn e t w o r k st or e a l i z es y n c h r o n i z a t i o n f o r a n o t h e rm o r eg e n e r a lt y p eo fc o u p l i n gf u n c t i o n s ，r e s e a c h e sa r ea l s oc a r r i e d o u tu n d e rt h eh y p o t h e s i so fc o u p l i n gb l a n c e b ) a sw ek n o w ，t h ed y n a m i c b e h a v i o ro fe a c ho s c i l l a t o ri sc o m p o s e do ft w op a r t s ：t h ei n h e r e n td y n a m i c b e h a v i o ro ft h eu n c o u p l e do s c i l l a t o ra n dt h ed y n a n f i cb e h a v i o ri n f l u e n c e d b yc o u p l i n g i th a p p e n e dt h a tt w op r e v i o u sm e t h o d sh a v ed i f f i c u l t i e s t o d e a lw i t ht h es t a b i l i t yo ft h e s et w op a r t s ，r e s p e c t i v e l y t h ep a p e rc o m b i n e s t h et w om e t h o d sb yu t i l i z i n gt h e i rm e r i t sa n ds o l v e st h er e s p e c t i v ep r a c t i c a l d i 币c u l t i e so ft h et w om e t h o d st oac e r t a i ne x t e n t ( 2 ) t h ep a p e rs t u d i e sp h a s es y n c h r o n i z a t i o ni no s c i l l a t o rn e t w o r k s m o s to fp r e v i o u sr e s e a r c h e sd e f i n e da no r d e rp a r a m e t e rb a s e do nt h ei d e a o fm e a nf i e l da p p r o a c ha n dc a r r i e do u tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n so re x p e r i m e n t s u r v e y f e wr e s e a r c h e sh a v eb e e nc a r r i e do u tt h e o r e t i c a l l y i nt h i sp a p e r ， t h ed y n a m i c so fn e t w o r k si sr e d u c e dt op h a s ee q u a t i o n sb yp h a s er e d u c e d m e t h o d a n a l y z i n gt h ep h a s ee q u a t i o n st h r o u g h t h em a s t e rs t a b i l i t yf u n c - t i o nm e t h o d ，o n ec a np r o v et h e o r e t i c a l l yt h a tt h eo s c i l l a t o r sw i t hi d e n t i c a l f r e q u e n c yc a nb ei n p h a s es y n c h r o n i z e db yw e a kb a l a n c e dc o u p l i n g ( 3 ) u t i l i z i n gt h et h e o r yo fl u r es y s t e m ，t h ep a p e r s t u d i e st h ep r a c t i c a ls y n c h r o n i z a t i o no ft h es y s t e mc o m p o s e db yn o n i d e n t i c a lc e l l sc o u p l e d t h r o u g hq u o r u ms e n s i n g t h i st y p eo fs y n c h r o n i z a t i o n ，w h i c hi m p l i e st h e d y n a m i c so fe a c hc e l li ss i m i l a rb u tw i t hs m a l ld i f f e r e n c e ，i sac o m m o nk i n d o fp h e n o m e n o n t h ef a c t o r si n f l u e n c i n gt h es y n c h r o n i z a t i o ne r r o r sa r ea l s o p o i n t e do u t ，w h i c hc a nh e l pu su n d e r s t a n dt h em e c h a n i s m so f c o l l e c t i v e d y n a m i c a lb e h a v i o r s c a u s e db yq u o r u ms e n s i n g n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r e c a r r i e do u tt ov e r i f yt h e s et h e o r e t i c a lr e s u l t s ( 4 ) f r e q u e n c ys y n c h r o n i z a t i o no fm u l t i c e l ls y s t e m sc o u p l e db yq u o r u m s e n s i n gi sa l s od i s c u s s e d t w ou n r e a s o n a b l eh y p o t h e s e sa r e o f t e nn e c e s s a r y f o rt h ep r e v i o u ss t u d i e s ，w h i c ha r e n ta d o p t e dh e r e w i t h o u tt h eh y p o t h e s i s o fi d e n t i c a lc e l l s ，t h em u l t i c e l ls y s t e mi sc o m p o s e db ys i m i l a rb u tw i t hs m a l l d i f f e r e n c ec e l l s t h es e c o n dh y p o t h e s i s ，q u a s i s t e a d y - s t a t ea p p r o x i m a t i o n ， i sr e a s o n a b l ei nt h es e n s eo fb i o l o g yb u ti n v a l i di nt h er i g o r o u ss e n s e e x a c t s o l u t i o no ft h es i g n a l i n gm o l e c u l e si nt h ee n v i r o n m e n ti so b t a i n e db yt h e t h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st or e p l a c et h eh y p o t h e s i s a tl a s t ，ac o m p a c ts u m m a r yo ft h i sp a p e ri sg i v e nb yc o m b i n i n gt h e a d v a n c e so ft h ep r e v i o u sr e s e a r c h e si nt h i sf i e l d s t h ep r o s p e c tf o rf u t u r e s t u d ya n dt h ep o s s i b l ed i f f i c u l t i e sa r ea l s og i v e n k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k s ，c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ，l y a p u n o v s t a b i l i t ya n a l y s i s ，p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ，p h a s er e d u c e dm e t h o d ，l u r es y s - t e m ，q u o r u ms e n s i n g ，p r a t i c a ls y n c h r o n i z a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名嘭霆豇 本论文使用授权说明 日期：7 即髻，r 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名l 芳建交导师签名： 日期：即g j ， 第一章预备知识 二十世纪中叶以来，以混沌理论为核心的非线性科学作为- - f l 新兴学科迅速发 展 1 ，2 】，标志着人类对自然的认识实现了从线性时代到非线性时代的飞跃经过几 十年的努力，人类对非线性科学的认识和研究已经取得了丰富的成果，目前被广泛 研究的非线性现象主要有三大普适类：混沌( c h a o s ) 3 】，孤立子( s o l i t o n ) 4 ，5 】及 分形( f r a c t a l ) 6 】，并且发现它们具有广泛的应用前景，几乎可以涉及到自然科学和 社会科学的所有领域更重要的是，由非线性科学所引起的对确定论与随机论、有 序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，深 刻的影响着人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题，因而被誉 为二十世纪中继相对论和量子力学问世后的第三次科学革命 同时，交通、通讯等科学技术的发展也使得人类社会和自然界中的个体与个体 之间、个体和周围环境之间的相互影响日益密切，特别是以因特网为代表的信息技 术的蓬勃发展使人类社会迅速跨入了网络时代 7 孤立的对个体进行分析已经不 合时宜，而应该采用整体的、系统的分析方法于是，许多研究者开始注意研究由 大量子系统构成的大系统，子系统之间的相互作用又构成了复杂的整体运动，个体 和整体之间出现了相互关联的因果联系，现在习惯上称这样的系统为复杂系统 8 】 目前，对复杂系统的研究正是方兴未艾之时，有着十分广阔的应用前景在美国，有 几位物理学和经济学等领域的诺贝尔奖获得者，如盖尔曼( m a r r a yg e l l m a n n ) 、 安德森( p h i l i pa n d e r s o n ) 、阿诺( k e n n e t ha r r o w ) 等也认识到复杂系统的重要意 义，他们聚集了一批物理、经济、生物、计算机等方面的研究人员，成立了著名的 桑塔费研究所( s a n t af ei n s t i t u t e ，简称s f i ) ，并将研究复杂系统的这一学科称为复 杂性科学( c o m p l e x i t ys e i e n c e ) 复杂性科学是揭示许多自然现象如生物进化、社会 进化、宇宙进化和一系列化学、物理进化的强大科学工具，并已取得了许多突破性 进展，使得人们深信复杂性研究必将在新世纪展示出美好的应用前景当代著名科 学家史蒂芬霍金( s t e p h e nh a k i n g ) 就曾在千禧年之际一语中的地指出复杂性科 学的重要地位：“二十一世纪将是复杂性的世纪( it h i n kt h en e x tc e n t u r yw i l lb e t h ec e n t u r yo fc o m p l e x i t y ) ! ” 9 】 从复杂系统的普适结构来看，耦合非线性振子网络是描述复杂系统的有效建模 形式在研究这类振子网络的动力学时，由于考虑了节点间的相互作用对其动力学 】 2振子网络上的同步及其在生物学中的应用 行为的影响，所以非线性科学的思想和方法为研究网络动力学提供了强有力的工 具目前，网络动力学已成为非线性科学研究中的热点，其中，耦合非线性振子网 络的同步成为大家特别关心的问题 1 0 在这类网络模型中，构成网络的各个振子 的动力学行为不仅依赖于个体的特征，而且受到来自其他振子的耦合作用的影响， 从而使得网络中的所有振子最终表现出一定的集体行为这种耦合非线性振子网络 的同步行为能带来各个振子的协同输出，从而使整个网络的总输出能力得到大大增 强，有效的提高了振子网络的宏观运作功能，所以研究耦合非线性振子网络的同步 具有重要的实践意义，不仅可以用来揭示现实世界中广泛存在的同步现象的机理， 更在计算、控制和图像处理等领域有着广泛的应用前景 本章将介绍研究耦合非线性振子网络上的同步行为所需的预备知识及其研究现 状第一节将简单介绍非线性动力学中的混沌理论及l y a p u n o v 稳定性分析理论中 的基本知识；第二节将概述复杂网络研究中的基本概念，探索网络拓扑结构的历程 及几种典型的复杂网络的特点；第三节将介绍复杂网络上常见的几种同步现象，研 究振子网络同步的常用方法及研究现状等 1 1 非线性动力学分析 1 1 1 混沌映射的数学涵义 1 9 6 3 年，美国气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 教授在大气科学杂志上发 表了“决定性的非周期流”一文【1 ，阐述了非周期性与不可预见性之间的关系， 首次发现了混沌( c h a o s ) 现象混沌的发现解释了自然界和人类社会中普遍存在 的复杂性，加深了人们对客观世界的认识，被誉为二十世纪继相对论与量子力学问 世以来的第三次科学革命一些数学家和物理学家深入的研究了一些混沌现象，建 立了一大批有关混沌的数学模型，其中比较经典的混沌系统有l o g i s t i c 映射( 参数 入= 4 ) 1 1 、h d n o n 映射 1 2 】、l o z i 映射 1 3 】、l a u w e r i e r 映射【1 4 】、l o r e n z 方程【1 5 、c h u a 电路 1 6 、c h e n 系统 1 7 、r s s s l e r 系统【1 8 等等到了二十 世纪9 0 年代，有关混沌的研究已是遍地开花，渗透到自然科学和社会科学的几乎 所有领域，尤其在混沌同步、混沌保密通信、混沌控制等领域所取得的成果特别突 出，并在实际生产中得到了广泛应用 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 3 然而，到目前为止，混沌还没有一个统一的确切的数学定义，实际上也不可能 给出混沌的确切的定义，研究者们只能从不同的角度刻画混沌这个新概念，目前被 广泛接受的几种不同意义下的混沌定义如下 ( 1 ) l i y o r k e 意义下的混沌 1 9 】 1 9 7 5 年，华裔数学家李天岩( l i t y ) 和美国数学家约克( y o r k e j a ) 发表 了一篇名为“周期三蕴含着混沌 的文章，从映射的角度给出了混沌的l i y o r k e 【1 9 】 定义，这也是混沌的第一个数学定义 定义1 1 1 设映射f ：jhj 是连续的，其中j 是一维区间称映射f 在j 上是 混沌的，若 门j 任取k = 1 ，2 ，映射f 总存在周期为k 的周期点； 俾) 存在不可数集，cj ，使得，中不合任何周期点，且满足 砂任取p ，口i ，p q ，有 l i ms u pi f n ( p ) 一f n ( 口) i 0 ， 几 o o l i mi n fi f n ( p ) 一j f l n ( g ) i = o ； 别任取p i 和周期点q j ，有 l i ms u p l f n ( p ) 一f n ( 口) i 0 事实上，早在l i y o r k e 定义之前，1 9 6 4 年，乌克兰数学家a n s a r k o v s k i i 已经 提出了一个更广义的s a r k o v s k i i 定理，并且给出了著名的s a r k o v s k i i 序列l i y o r k e 定义是s a r k o v s k i i 定理的一个特例，但由于s a r k o v s k i i 用俄语发表的如下定理，西 方并不知道该定理，直到l i y o r k e 定义发表后，s a r k o v s k i i 定理才被人重新认识 定理1 1 1 ( s a r k o v s k i i 定理j 如果，：rh 只是连续的，且f 具有一个最初的周 期n 的点，并且在s a r k o v s k i i 序列中满足n k 。那么f 也拥有周期k 的点 ( 2 ) m a r o t t o 意义下的混沌【2 0 】 1 9 7 8 年，m a r o t t o 把混沌的l i y o r k e 定义推广到m 维欧氏空间，从如下角度 给出了混沌的另一种定义 定义1 1 2 设映射f ：r mhr m 连续称映射f 是混沌的。若 f ，f ) 存在一个正整数，使得对任意正整数后 n ，f 有周期为k 的点； 4 振子网络上的同步及其在生物学中的应用 俐存在一个不可数的非周期点集s 使得 t ) f ( s 、) cs ； 别任取z ，y s ，z y ，有 l i m s u pi i f n ( z ) 一f n ( 可) i i o ； 几_ i i i ) 任取z s ，f 的任意周期点y ，有 l i m s u pi i f n ( z ) 一f n ( ! ，) l i o ； n + o o i 砂存在s 的一个不可数子集岛，任取z ，y s o ，有 l i mi n f i i f n ( z ) 一f n ( ) = o ( 3 ) d e v a n e y 意义下的混沌 2 l 】 d e v a n e y 意义下的混沌定义是从拓扑角度出发的 定义1 1 3 设x 是一个度量空间称连续映射f ：xhx 在x 上是混沌的，若 p j 映射f 是拓扑传递的，即对任意开集u ，vcx ，总存在常数k 0 ，使得 p ( u ) nv ； 俐映射f 的周期点在x 中稠密； 俐映射f 对初始条件具有敏感依赖性，即存在6 0 使得对任意的z x 和 z 的任一邻域b ( z ) ，总存在y b ( z ) 和礼0 满足i f 几( z ) 一f n ( y ) i 6 ，这里 l f 几( z ) 一f 凡( ! ，) i 表示点f n ( z ) 与f n ( ) 的距离 对这个定义，j b a n k s 等证明了由定义中的( 1 ) 和( 2 ) 可以推出( 3 ) ，也就是 说，若f 有拓扑传递性和稠密的周期轨，则f 具有对初始条件的敏感依赖性【2 2 】 ( 4 ) w i g g i n s 意义下的混沌 2 3 】 考虑r m 空间上的向量场 圣= 厂( z ) ， ( 1 1 1 ) 或映射 zh f ( z ) ( 1 1 2 ) 设垂( ，z ) ，t 0 是向量场( 1 1 1 ) 生成的流，jcr m 是流圣( t ，z ) ( 或映射f ( z ) ) 下 的一个紧不变集称流西( ，z ) ( 或映射f ( z ) ) 对j 上的初始条件具有敏感依赖性， 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 5 若存在e 0 使得对任意的x j 和x 的任意邻域b ( z ) ，总有y b ( x ) 和t o ( 或 n 0 ) 满足i l 西( ，x ) 一圣( ，y ) l i e ( 或i i f n ( z ) 一f n ( 秒) i i e ) 称流圣( ，z ) ( 或映 射f ( z ) ) 在一个闭的不变集，上是拓扑传递的，若对任意开集u 、vci ，存在 t r ( 或n z ) 满足圣( ，u ) nv 咖( 或f n ( u ) nv ) 定义1 1 4 称流圣( ，z ) 绒映射f ( z ) 在紧不变集j 上是混沌的，若 f ，f ) 流垂( ，x ) 限映射f ( z ) ) 对j 上的初始条件具有敏感依赖性； 例流西( ，z ) 催映射f ( z ) ，在j 上是拓扑传递的； 俐流量( ，x ) 绒映射f ( z ) ，的周期轨在j 中稠密 不同的定义从不同的侧面刻画了? 昆沌运动的本质，对混沌运动的判定，可以从 上述定义直接出发，也可以采用由上述定义派生出来的方法，例如s m a l e 马蹄存在 性 2 4 】、横截同宿轨的存在性 3 】以及s n a p - b a c kr e p e l l e r 的存在性等一般说来， 任何一种验证方法都足困难的实际应用中，往往只注重混沌运动的本质特征，主 要是对初值条件的敏感依赖性、有界性( 具有正测度的吸引域) 、遍历性、普适性、 正的l y a p u n o v 指数等 2 5 ，2 6 】 1 1 2 l y a p u n o v 稳定性分析 研究耦合非线性振子网络上的完全同步，主要是考虑其误差系统的零解稳定性 问题，其中常用的方法就是l y a p u n o v 函数方法1 8 9 2 年，伟大的俄国数学力学 家李雅普诺夫( a m l y a p u n o v ) 在其博士论文“运动稳定性的一般问题”中首次提 出该方法 2 7 】在非线性系统的零解稳定性分析中，l y a p u n o v 稳定性分析始终具 有基础性地位，本节介绍一些l y a p u n o v 稳定性分析中的基础知识 考虑自治系统 圣= ，( z ) ，( 1 1 3 ) 其中zer n ，：d _ r n ，dc 舒我们只需考察自治系统( 1 1 3 ) 的零解z = 0 的稳定性，其他非零解的稳定性可以通过作相应的变换转化为零解x = 0 的稳定 性 2 8 ，2 9 】事实上，如果系统( 1 1 3 ) 有非零平衡点x = a ，做变换虿= x a ，将系 统( 1 1 3 ) 转化为 二x = s ( e + n ) ， ( 1 1 4 ) 此时，系统( 1 1 4 ) 的零解稳定性对应着系统( 1 1 3 ) 的平衡点z = a 的稳定性，因 此，下面我们仅介绍自治系统( 1 1 3 ) 的零解稳定性的定义和结论 6振子网络上的同步及其在生物学中的应用 定义1 1 5 如果对任意常数 0 及t o r + ，存在6 ( t o ，) 0 ，使得当l i x o l l 0 绒y ( z ) o ，则称v ( x ) 为正定函 数俄负定函数) 定义1 1 9 设区间i = t o ，) ，b 是系统f ，- f f 圳的相空间中包含原点的一个开区 域若有正定儆负定，函数w ( z ) ，使得v ( t ，x ) w ( z ) 绒v ( t ，z ) ( z ) ，在 ixb 上成立，且v ( t ，0 ) = 0 ，则称v ( t ，z ) 是i b 上的正定做负定j 函数 定义1 1 1 0 若函数w ( x ) 是z 所在的整个欧氏空间上的正定函数，且l i m l l z i i 。o 。( z ) = 。，则称函数w ( x ) 是无穷大正定函数 定义1 1 1 1 若有正定函数m ( z ) ，使得i y ( t ，z ) i m ( z ) ，则称v ( t ，z ) 具有无穷 小上界；若有无穷大正定函数( z ) ，使得y ( t ，z ) m ( z ) ，则称y ( t ，x ) 具有无穷 大下界 下面给出一些l y a p u n o v 稳定性分析理论中判定系统( 1 1 3 ) 的零解稳定性的 常用结论 定理1 1 2f ，自治系统的l y a p u n o v 稳定性理论，设z = 0 是系统门f 圳的一个平 衡点，dcr n 是包含原点的定义域设y ( z ) ：d _ r 是连续可微的正定函数， 如果 y ( t ，z ) 0 ，x d ， 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 7 那么，平衡点z = 0 是稳定的特别的，如果 v ( t ，z ) 0 ，构造行列式 吣球睢l j 3 = x n = n 1a o 0 a 3 a 2a l a 5a 4a 3 口1a o 0 0 3q 2口1 a 2 n 1a 2 n - 2a 2 n 3 = a r i x n 一1 ， 8振子网络上的同步及其在生物学中的应用 其中凸巧= 0 ，j i ，则n 次代数方程以_ f 剀的一切根均有负实部的充要条件是： a 1 0 ，2 0 ，n 一1 0 ，a n 0 考虑非自治系统 圣= f ( t ，z ) ，f ( t ，0 ) = 0 ，( 1 1 6 ) 其中，： 0 ，) d _ r n 是 0 ，) d 上的分段连续函数，设原点是系统( 1 1 6 ) 的平衡点，关于非自治系统( 1 1 6 ) 的零解稳定性有如下结论 定理1 1 6 月 自治系统的l y a p u n o v 函数方法j 设函数v ( t ，z ) 是连续可微函数， 记v ( t ，z ) 沿着系统p _ f 砂的解的全导数 下dv(t,x)t)全y(t,x1(116 ) 矿) 一 j 以，若函数v ( t ，x ) 正定且有无穷小上界，v ( t ，z ) 负定，则系统一f 砂的零解一 致渐近稳定； 例若函数v ( t ，z ) 正定且有无穷小上界和无穷大下界，v ( t ，z ) 负定，则系统f ，j 7 砂 的零解全局一致渐近稳定； 俐若函数v ( t ，z ) 正定且有无穷大下界，不显含t 仰函数v ( t ，z ) 可以记为y ( z ) ，) ， v ( t ，z ) 负定，则系统f ，j f 砂的零解全局一致渐近稳定 有关非线性系统的零解稳定性分析的详细资料可参考其他文献 2 8 ，2 9 ，3 1 】 1 2 复杂网络的概述 现实世界中，许多大型系统都可以用复杂网络来描述，比如中国科教网、科研 合作网、无线通讯网络、科学文献索引系统、电力网络、商业网络、生物神经网络、新 陈代谢网络、社会关系网等等为了方便研究这些网络在结构上的共性，研究者们 把网络抽象成数学上的“图”，即每个个体可视作图中的一个节点，是网络中基本的 功能单元，节点间的相互作用视作图中的边但网络又不仅仅是图，它还承载着一 定的功能，具有一定的状态从这个意义上讲，复杂网络可以看作是具有一定功能的 图，是一些具有独立特征又与其他个体相互连接的节点的集合实际网络的图表示 方法可以追溯到1 8 世纪( 1 7 3 6 年) 伟大的数学家欧拉( e i i l e r ) 对著名的“k o n i g s b e r g 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 9 七桥问题的研究， “t h es e v e nb r i d g e so fk o n i g s b e r g ，然而，在欧拉解决七桥 问题之后的相当长一段时间里，图论