（机械设计及理论专业论文）基于metaball约束的曲面几何变形研究及应用.pdf

摘要 摘要 基丁：m e t a b a l l 的技术是新发展起来的计算机辅助几何设计和计算机图形学的一项重要 技术，它在许多领域具有广阔的应用前景。本文针对目前该项技术存在的一些问题展开研究， 探讨了基fm e m b a l l 约束变形模型的形状控制因素，比如：骨架元素，距离计算、核心特性、 作用瞥径等，扩展了模型色几何变形及隐式曲面造型方面的灵活性。对现有的势函数作了分 析比较，提出了改进的势函数。提出了m e t a b a l l 作用重叠区域效果混合方法，以及硬度控制 方法，获得更平滑的表面。提出在参数曲线和参数曲面的参数域的基f m e t a b a l l 约束变形技 术，并用此技术构造形状更丰富、自然的过渡曲线和过渡曲面。 酋先在绪论中阐述基于m e t a b a l l 约束的曲面几何变形的研究意义以及应用前景，对曲面 变形和隐式曲面就研究发展历史，技术特点、代表性l ：作、戍用等方面进行文献综述。分忻 曲面变形的主要控制因素和目前存在的问题，引出本文的研究内容。 针对现有变形方法的局限性，第2 章庄基于m e t a b a l l 约束的变形模型中引入多种骨架， 在距离计算、核心特性、作用范围、各向异性等方面扩展变形模氆，并研究变形模犁的性质。 借鉴c s g 构造实体几何法表示势能场的连接，表现复杂形体的隐式曲面，实现隐式曲面的 多边彤化显示。 势函数在曲面变形和隐式曲面中起着至关重要的作用，为了帮助选择适用的势函数种 类，第3 章研究b l i n n 指数函数，n i s h i m u m 分段二项式、m u r a k a m i 四次多项式，w y v i l l 六 次多项式等势函数的有关性质。研究势函数及其导数的形式与含义、最大最小取值情况、连 续性；探讨卷积时它们与点、直线段、平面、圆弧，三角形等骨架的匹配情况；比较它们的 计算代价，并通过实验测试它们的计算时间和速度；在性质研究的基础上，改进现有势函数， 建立基本球形函数、普遍指数函数、椭球形函数与超椭球形函数篙新势函数；建立多个势函 数组合作用时的层次控制方法。以适戍不同的应用背景，拓展基于m e t a b a l l 的曲面变形的适 用范围并丰富其表现力。 在多个m e t a b a l l 作用范围重叠处容易出现不理想的现象，为此，第4 章分别针对点骨架、 直线段、曲线段骨架提出线性加权和、代数混合，指数加权和方法以处理作用效果混合，并 提出硬度控制方法和避免不希望的混合的方法。这些混合方法与曲面的表示方法以及 m e c m b a l l 势函数的形式无关，在边界处的过渡较平滑。在表现隐式曲面或曲面变形时，避免 在多个m e t a b a l l 作用的垂叠区域出现肿胀、褶镀、撕裂等缺陷。 第5 章提出在参数域的基于m e t a b a l l 约束变形技术，扩展原来势函数计算中空间点到约 束中心直线距离，的定义，将直线距离r 映射到参数曲线和参数曲面的参数域，提出根据被 连接曲线构造过渡曲线的方法。以及根据被连接的边界曲线和骨架曲线构造过渡曲面的方 法。该方法对坡连接边界曲线的种类没有限制，得到的过渡曲线形状光滑地连接彼连接曲线、 形状更自然，并且可从被连接曲线的中间点开始过渡，能获得达到c 连续、形状更丰富、 自然的过渡曲面。 第6 章举例说明基于m e t a b a i l 约束的曲面几何变形在工稃问题和自然形态模拟方面的戍 摘要 用，以实例验证方法的效果与效率。 最后对全文所作的研究内容与研究意义进行回顾与总结，对该领域未来可继续开展的研 究工作和发展方向进行展望a 关键词： 曲面约束变形；隐式曲面；m e t a b a u ；势函数；骨架；广义距离；作用效果混合； 硬度控制；参数域：过渡曲线 过渡曲面：连续性 n 摘要 a b s t r a c t t h em e t a b a l lb a s e dt e c h n i q u ei san e w l yd e v e l o p i n gi m p o r t a n t t e c h n i q u ei nc o m p u t e ra i d e d g e o m e t r yd e s i g na n dc o m p u t e rg r a p h i c sf i e l d t h es t u d yo ft h i st h e s i sc o n c e r n st h ep r o b l e m so f t h et e c h n i q u e 1 1 s h a p ec e n t r e lf a c t o r si nm e t a b a l lb a s e dd e f o r m a t i o nm o d e ia g ei n v e s t i g a t e d n f l e x i b i l i t yo f t h em o d e l i ng e o m e t r yd e f u r m a t i o na n di m p l i c i ts u r f a c ei se x t e n d e d w es t u d y a n dc o m p a r et h ea t t r i b u t e so fe x i s t i n gf i e l df u n c t i o n s a n de s t a b l i s hn e wf i e i df u n c t i o n s 1 1 豫 b l e n d i n gm e t h o d sa n dt e n s i o nc e n t r e lm e t h o df u rm e t a b a l li n f l u e n c eo v e r l a pa r e aa l ep r o p o s e dt o o b t a i nm o r es m o o t hs u r f a c e s am e t a b a l lb a s e dd e f o r m a t i o nt e c h n i q u ei np a r a m e t e rs p a c ei s p r e s e n t e dt oc r e a t es u r f a c e sa n dc u r v ew i t hm o r ea b u n d a n ts h a p e sa n dn a m r a lm e d a l i t y t oo v e r c o m et h ed e 佬c 协i ne x i s t i n gc u r v es u r f a c ed e f o r m 撕o nm o d e l s m u l t i p l es k e l e t o n sa ” i n t r o d u e ei n t ot 1 1 em c t a b a l lb a s e dd e f o r m a t i o nm o d e l a n d , t h em o d e li se x t e n d e di ns e v e r a l a s p e c t s 。s u c ha sd i s t a n c ec a l c u l a 把，k e r n e la t t r i b u t e , i n f l u e n c es c o p e ，a n i s n t r o p y e s t a b l i s h e da j o i n t m e t h o db e t w e e np o t e n t i a lf i e l d st or e p r e s e n tt h ei m p l i c i ts u r f a c eo fac o m p l e xs h a p e t h e nt h e i m p l i c i ts u r f a c ei sd i s p l a y e da f t e rp o l y g o n i z a t i o o t h ej o i n t m e t h o di ss i m i l a rt oc s g ( c o n s t r u c t i v es o l i dg e o m c t r y ) w h e nac u r v es u r f a c ei sd e f o r m e db ym e t a b a l lb a s e dm e t h o d ，t h ef i e l df u n c t i o ne m b o d i e st h e d e f o r m a t i o nc o n s t r a i n ta n dp l a y sac r u c i a lr o l e 1 1 mp r i m i t i v es h a p eo f t h ec o n s t r a i n ti sd e f i n e db y t h ef i e l df u n c t i o n s o , w es t u d i e dt h ef o r m s , c h a r a c t e r sa n ds i g n i f i c a t i o no fs e v e r a le x i s t i n gf i e l d f u n c t i o nf o r m u l a sw e l la st h ef e a t u r e s , t h em a x i m a la n dm i n i m u mv a l u e s 。c o n t i n u i t yo ft l l e i r d i f f e r e n t i a lc o e f f i c i e n t b yc o m p a r i s o na n da n a l y s i so f t h e s ep r o p e r t i e s , w ea m e l i o r a t e dt h e s ef i e l d f u n c t i o n s ，a n de s t a b l i s h e ds e v e r a ln e wf i e i df u n c t i o n s ，s u c ha sb a s i cs p h e r i c a l 如n c t i o l l ，g e n e m l e x p o n e mf u n c t i o n , e l l i p s o i da n ds u p e re l l i p s o i df u n c t i o n t h en e wf i e l df u n c t i o n sp r o v e dt ob ea c l e v e rg e n e r a l i z a t i o no v e rt h eo l do n e s t h e yc a na d a p tt ov a r i o u sa p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d c o n s e q u e n t l y , t h ea p p l i c a b l es c o p eo fm e t a b a l lb a s e dc u r v es u r f a c ed e f o r m a t i o ni se x t e n d e d , a n d t h ee x p r e s s i v ef o r c ei se n r i c h e d i no r d e rt ou s e v e f a lk i n d so ff i e l df u n c t i o ns i m u l t a n e o u s l y , a h i e r a r c h i c a lc o n t r o lm e t h o di sm v 锄c e db y 私s i g nt h ef u n c t i o nt y p e , g r o u p ，a n dq u a l i t ya t t r i b u t et o t h ek e y s w h i l ei m p l i c i ts u r f a c eo rs u r f a c ed e f o r m a t i o ni sr e p r e s e n t e db ym u l t i p l em c t a b a l i s b u l g e , c r e a s ea n dt e a r i n gf r e q u e n t l ya p p e a li no v e r l a pa 糟乱1 1 l ef o r m e rr e s e a r c h e r s 埘e dt ot a c k l et h e d e f e c tb ym e a n so fa 埘u s t i n gp a r a m e t e r so fm e t a b a l l ，s i m p l es u p e r p o s i t i o na n dd i r e c tu n i o n b u t t h es a t i s f i e dr e s u l tw i t he x p e c t a n te l f e c ta n de f f i c i e n c yw 勰n o tf u u n d o nt h ef u u n d a t i o no fs i n g l e m e t a b a l l n f i u e n c e , a n dm u l t i p l em c t a b a l li n f i u e n c eo v e r l a pa r e as t u d y , s e v 盯a lb l e n d i n gm e t h o d s a r ep r e s e n m df u rp o i n t , l i n es e g m e n ta n dc u r v es e g m e n ts k e l e t o nr e s p e c t i v e l y 1 1 1 em u l t i p l e m e t a b a l li n f l u e n c eo v e r l a pb l e n d i n gm e t h o d si n c l u d el i n e a rw e i g h tb l e n d , a l g e b r a i cb l e n d ，a n d e x p o n e n ta v e r a g eb l e n d t h e s eb l e n d i n gm e t h o d sa f ei n d e p e n d e n to f e x p r e s s i o no f c u r v es u r f a c e a n dt h ef i e l df u n c t i o nf o r m u l a t h er i g s u l tv a l u ei ss m o o t ho nb e u n c h r y m e t a b a l l b a s e dc o n s t r a i n td e f o r m a t i o nt e c h n i q u ei su s e da l 危e rc h a n g i n gt h ed e f i n i t i o no fr t h es t r a i g h t - l i n ed i s t a n c ef r o mas p a c ep o i n tt oac o n s t r a i n tc e n t e ri nt h eo r i g i n a lc a l c u l a t i o no f t h e p o t e n t i a lf u n c t i o n b yr e p l a c i n gt h ep a r a m e t e ro ft h ep a r a m e t e r i z e dc u r v etw i t ht h es t r a i g h t l i n e i l l 摘要 d i s 锄c e ，am e t h o do f b u i l d i n gt r a n s i t i o nc u r v e sa c c o r d i n gt oc o n n e c t e dc u l n e si sp r o p o s e d a n d b vr e p l a c i n gt h ep a r a m e t e ro ft h ep a r a m e t e r i z e ds u r f a c eww i mt h er am e t h o d0 fb u i l d i n g t r a n s i t i o ns u r f a c e sa r g o r d i n gt oc o n n e c t e db e u n d a r yg u r v e sa n ds k e l e t o nc u r v e si sp r o p o s e d i t 峙 m e t h o d sh a v en or e s t r i c t i o no nc o n n e c t e dc u i n 9 3t h a tc o n 仃o it h es p a c es h a p e so ft r a n s i t i o nc u r v e , o nb o u n d a r yc u r v e st l l a tc e n t r e it h es p a $ h a p o ft r a n s i t i o ns u r f a c e s 。o ro nt y p e so fs k e l e t o n c u r v e s t h u st r a n s i t i o nc u r v e sw i t hc o n t i n u i t yc a nb eo b t a i n e d , a n dt h e ya r em o r ea b u n d a n ti n s h a p e sa n dn a t u r a l n et r a n s i t i o nc u i n 9 3w h i c h c o n n e c tf r o mt h em i d d l eo ft h ec o n n e c t e d c u r v e s a n dt h et r a n s i t i o ns u r f a c e sw h i c hr e a c hc 1c o n t i n u i t ya n da r em o r ea b u n d a n ti ns h a p e sa n d n a m r a l c h a p t e r6i l l u s 仃a t e st h ea p p l i c a t i o no fm e t a b a l ! c o n s t r a i mb a s e dc u l n es u r f a c ed e f o r m a t i o n i ne n g i n e e r i n gp r o b l e ma n dn a t u r a lc o n f o r m a t i o ns i m u l a t i o n t h ee f f e c ta n de f f i c i e n c yo ft h e s e m e t h o d sa r cv a l i d a t e db ye x a m p l e s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dg e o m e t r i cd e f o r m a t i o n ，c o n s t r a i n e dc u r v es u i 蕾a c e d e f o r m a t i o n , i m p l i c i ts u r f a c e , m e t a b a l l ，p o t e n t i a lf i e l df u n c t i o n ，s k e l e t o n g e n e r a l i z e dd i s t a n c e ，i n f l u e n c es c o p e , h i e r a r c h yc o n t r o lo v e r l a pa r e a , i n f l u e n c eb l e n d i n g i v 目录 第1 章 图表目录 图i - l 等值变化1 4 图i - 2 原始体的形状 图i - 3 两个点骨架m e ：m b a l l 势函数值叠加 图l - 4 空间坡撕裂 图i - 5 两条线段骨架m e t a b a l l 的势函数叠加 图1 6 凹入骨架出现铍折 图1 7 本文的结构 第2 章 图2 - i 二维表示单个点的势值 图2 - 2 点骨架 图2 - 3 由点骨架生成的隐式曲面。 图2 - 41 9 个点骨架生成的“s 竹 图2 - 5 元球作用后得到的空间变形曲面 图2 6 商线段骨架 1 6 1 6 1 7 1 7 2 0 图2 7 直线段骨架及点骨架组合 图2 - g 圆弧骨架 图2 - 9 圆弧与圆骨架生成的形体 图2 1 0 以一段曲线为骨架生成的形体 图2 - ii 两条直线段骨架连接 图2 1 2 直线段与曲线段骨架连接 图2 1 3 圆锥的- 三角关系 圈2 1 4 欧氏距离一 图2 1 5 曼哈顿距离 2 4 2 4 图2 1 6 城市距离3 2 图2 1 7b e z i e r 函数 图2 1 8 离散点骨架例子 3 5 3 6 图2 1 9 变形曲面3 6 图2 2 0 单位圆，= i 隐式曲线 图2 2 l 车轮的c s g 绀以及可视化结果 图2 2 2 将多个骨架光滑拼接 第3 章 图3 - i 四种常用势函数的图形 图3 - 2 四种常用势函数一阶导数的图形 4 0 4 l 4 2 4 6 4 8 v i i i 拍拍嚣勰凹驼勉 - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - 。_ - _ _ _ _ _ _ 。_ _ 。_ 。- _ 。_ _ 。- 。一 图3 3 商线段骨架 图3 - 4 积分边界- - 5 1 图3 - 5 二：维显示的椭球体系列 图3 - 6n - - 2 。2 5 ，3 ，4 的四个原始体 图3 - 7n - - 2 。3 二个键融合 5 5 图3 - 8 二个m e t a b a l l 同时作用一5 6 第4 章 图4 1 直线段与点骨架融合 图4 2 一组完全分离的元球 圈4 - 3 完全分离的m e t a b a l l 对平面的作用 图4 - 4 点骨架元球对 图4 5 两球形日j 的并交差操作 图4 - 6 两相交直线段骨架 图4 7 求空问点到任意直线段的距离r 图4 - 8 取不同参数对过渡形状的影响 图4 - 9 两点骨架元球作用合成小意图 图4 1 0 两个点骨架元球合成效果比较 图4 - 1 1 代数混合 图4 1 2 两相交直线段骨架元球的代数混合 图4 - 1 3b l i n n 指数函数的混合 。6 6 图4 - 1 4 多项式势函数的混合i 6 7 6 7 6 9 7 0 图4 - 1 5 通过调整控制参数获得的不同形状7 0 图4 - 1 6 不希望的混合口j 题 第5 章 图5 i 过渡曲线 图5 - 2 参数曲线的截断 图5 3 一般曲线之间的过渡曲线 图5 4 基fm e t a b a l l 过渡曲线的调和函数 图5 - 5 基于m e t a b a l l 的过渡曲线与h e r m i t e 过渡曲线的比较。 图5 - 6 两边界曲线日j 的直纹面 图5 7 骨架曲线 7 4 7 5 7 6 7 9 图5 - 8 带骨架的线性过渡曲面 图5 - 9 基于m e t a b a l l 的过渡曲面 图5 1 0 不同边界和骨架曲线构造的过渡曲面 图5 - i i 基于m e t a b a l l 过渡曲面的调和函数 图5 1 2 两条曲线的连续性 8 l 8 2 s 3 8 5 s 6 9 0 i x 站鼹矾记矾：合 目录 第6 章 图6 - l 四种势函数对点骨架的卷积 图6 - 2 胃和肠的形状 9 l 9 2 图6 - 3 二曲线段分支9 2 图6 - 4 五直线段分支 图6 - 5 四曲线段分支 图6 - 6 海洋生物 图6 - 7 点、直线段，圆弧段骨架合成的卷积曲面 图6 - 8c 6 0 分子结构空问形状模拟 图6 - 9c 6 0 分子结构平面图形 图6 - 1 0 三个圆环组合 图6 - l l 四个圆环组合 图6 - 1 2 六个圆环组合 9 3 9 3 9 3 9 4 9 6 9 8 图6 1 3 九个圆环组合“9 9 图6 - 1 4 车轮 9 9 图6 - 1 5 凸轮的过渡曲线1 0 0 图6 - 1 6 注坦机螺杆螺棱端面形状和槽深 图6 1 7 注塑机螺杆螺旋牙璎 图6 - 1 8 注龌机螺杆螺旋牙根圆柱 图6 - 1 9 注肇机螺杆压缩段曲面 图6 2 0 金属表面压字c a d 图6 - 2 1 金属表面压字c a d & c g 图6 - 2 2 金属表面压字h u r l ) l o o 1 0 l l o l 图6 - 2 3 金属表面压字z e n o 1 0 3 1 0 3 1 0 4 1 0 4 x 第1 章绪论 1 绪论 【本章摘要】本章阐述了基于m e m b a l l 约束的曲面几何变形的研究惠叉以及应用 前景，对曲面变形和隐式曲面就研究发展历史，技术特点代表性工作，应用等 作了文献综述。分析了曲面变形的主要控制因素和目前存在的问题 。1 引言 曲面造型( s u r f a c em o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n , c a g d ) 和计算机图形学( c o m p u t e r g r a p h i c s ) 的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的 环境f 对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、弋机、船舶、叶轮等的外形放样 工艺，由c o o n s 、b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过四十多年的发展， 现在，曲面表示和造哩已经形成了以非均匀有理b 样条( 喂b s ：n o n - u n i f o r mr a t i o n a l b s p l i n e ) 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n d c h a r a c t e r i s t i c d e s i g n ) 和隐式代数曲面( i m p l i c i t a l g e b r a i cs u r f a c e ) 表示这几类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 拟合( f i i n g ) ，逼近 ( a p p r o x i m a t i o n ) 这二种手段为支撑的几何理论体系【雉8 “”1 。 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象 向着多样性，特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显，计算机辅助几何设计在近 几年来得到了长足的发展。这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。从研 究领域来看，计算机辅助几何设计技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩 充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差1 1 4 4 。”。 在曲面造慢系统中建造模型最常用的基本元素是样条表面( 比如b 样条面片) 、多边形 网格，扫描、旋转表面等基本操作帮助建立这些网格i t c 4 z - 1 9 9 4 1 。但这种技术没有提供创建可 变形物体的能力。可变形物体育液体衷面、生物体衷面、塑性态聚合体表面、受冲压的金属 板材等【n “1 9 9 4 1 j a m e sf b l i n n 于1 9 8 2 年最早开发了一种适合于表现可变形表面的基于 m e t a b a l l ( 元球) 的技术建模定量能量表面，利用标量域的等势面建立3 d 模氆以表现软体 或隐式曲面【”m 1 例，其特点是只需少数几个原始体就能混合形成一个复杂表面。后来，用 空间的势函数计算可变形隐式曲面的新算法分别由日本的n i s h i m u r a 等人和加拿大的w y v i l l 等人开发出来【4 + “”s l | l “r - 1 9 9 4 1 。 酶式曲面造型技术是一种与参数曲面造犁技术并行发展的技术。早在2 0 世纪4 0 年代， 航空【业界就已成功地运用二次代数曲面来表达笆机机身的完整外形，只是由于代数方程包 含了很多系数、几何含义不明确、曲面形状不易控制和不易作局部修改。才使参数曲面造型 技术取而代之地成了曲面造型的主流。但随着对隐式曲面造型研究的不断深入以及计算机硬 件技术的发展，隐式曲面造犁技术在各个领域特别是c a g d 和计算机图形学领域已经得到 了越来越多的应用。所谓隐式曲面，系指用形如毗弘办= o 的隐式方程来表示曲面。其中 最典掣、最重要的是隐式代数曲面( 也称为代数曲面。其中，取为多项式) 【”4 p 1 州m 1 9 9 3 1 。 传统的n u r b s 曲面模璎仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状，至多利用 层次细化模犁在曲面特定点进行直接操作；一些简单的基于参数曲线的曲面设计方法，如扫 掠法( s w e e p i n g ) 、蒙皮法( s k i n n i n g ) 、旋转法和拉伸法也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状 i ”“”。计算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状 调配方法。 第1 章绪论 曲面变形的一个作用是通过曲面所在空间的自身映射，改变曲面的光顺稃度，并产生更 复杂或更简单的曲面形状，以满足特定目的。这类曲面变形方法守两种：( 1 ) 整体变形法， 如最d , - 乘法或能量法，将曲面参数化描述的几何信息与能鼍极小化算法相结合，在一定约 束条件l - 使内在变形能达到极小，从而将曲面变形问题转化为目标函数的极小化问题，变形 时要用到全部犁值点来进行修改，要求数据点是有序的。( 2 ) 局部变形法，如基样条法等， 是选点修改，在假设大多数犁值点都是理想的基础上，把少数不符合要求的点挑出来逐个予 以修改，当连续修改多个点时，往往不容易处理好。当曲面使用不同的模型时，曲面式中的 各项具有不同的数学表达，在用能量法求解时具有不同的解的表示虽然t c r z o p l o u | o s 和 q i n 提出的动态n u r b s 方法可以做到与n u r b s 表达兼容1 1 “1 9 9 4 1 ，但求解采用有限差分的 方法，结果导致连续的形状被一些离敬的点集来取代，这不利于后续过稃的处理，并且整个 计算过程十分漫长、复杂，不利交互。 曲面交互设计与编辑是曲面造犁的核心问题之一。如今，造氆系统设计的曲面越来越复 杂，如果用传统的曲面编辑方法去逐点地修改既繁琐又费时，而且往往很难得到想象中的效 果。为了更方便，直观地构造和编辑三维形体，b a n 率先在1 9 8 4 年的s i g g r a p h 会议上将 变形思想引入几何造犁领域 “r r - 1 9 8 4 1 ，给出了力学中常见的诸如拉 申( t a p e r i n g ) 、均匀张缩 ( s e a l i n g ) 、扭转( t w i s t i n g ) 和弯曲t b e n d i n g ) 等各种变形方法。井给出了这些变形的数学表示。 戍用b a r r 的方法，可生成许多类犁的二维几何形状。由于该方法仅能用于特定的几何形体， 一股称其为非自由变形。 以后，许多学者继续探索如何将变形造型方法融合刘传统的c a d c a m 系统以及如何 进行自由变形。1 9 8 6 年，s e d e r b e r g 和p a r r y 提出了崭新的变形算法l ”1 ”i ，称为自由变形 ( f r e e - f o r md e f o r m a t i o n ) ，简称f f d 。该算法假定物体有很好的弹性，在外力的作用下易于 发生变形。应用该方法进行造型，需要先构造一个长方体的框架，将物体置于框架中。当框 架受外力作用而变形时，物体的形状亦随之改变。由于这种方法具有效率高，使用方便直观 等优点。后来成了曲面造型和动画系统的标准方法之一。 为了使f f d 方法的效果更好、效率更高，界面更友好，人们进行了更深入的研究。 c o q u i l l a n i o p l ”提出了扩展的自由变形技术( e x t e n d e df r e e f o r md e f o r m a t i o n , 简称 e f f d ) ，h s u 等i ”1 9 9 2 1 给出了直接控制自由变形技术( d i r e c tm a n i p u l a t i o no ff r e e f o r m d e f o r m a t i o n , 简称d f f d ) 。此外，z h u 研究了基1 二b 样条表示的变形造型，k a l r a 等 k a l r - 1 9 9 2 | 则探讨了有理自由犁变形( r a t i o n a lf r e e f o r md e f o r m a t i o n , 简称r f f d ) 及其应用，l a m o u s i n 和w a g g e n s p a c k t t - = ” 1 ”1 研究了基于n u r b s 的自由变形技术。 形状混合技术( s h a p eb l e n d i n g ) 又称形状插值( s h a p ei n t e r p o l a t i o n ) ，形状平均( s h a p e a v e r a g i n g ) 、形状过渡 s h a p et r a n s i t i o n ) 、形状演化( s h a p ee v o l v i n g ) ，渐变( m o r p h i n g m e t a m o r p h o s i s ) 等t ”“2 0 0 0 ，是指由给定的两个物体( 这里物体可以是平面曲线定义的形状， 平面数字图象、三维曲面、二维形体等) 产生一系列逐渐改变形状的中间状态的物体来完 成已知的两个物体之间的形状过渡：这里新产生的中间状态的物体同时具有原来两个物体的 形状特征。 形状混合技术在曲面设计和造掣中的典犁应用包括：( 1 ) 由已有的两个不同时期或者同 时期不同厂商生产的同种类型的 业产品，通过形状混合技术产生中间状态的产品外形为 产品外形设计师据此推想可能的新产品外形提供参考方案。( 2 ) 由已知的两个不同类犁的产 品外形通过形状混合技术产生中间状态的产品外形，促使产品外形设计师充分发挥想象力以 设计出新颖的产品外形。( 3 ) 传统动画制作方法的基础上发展起来的关键帧动画方法是计算 机动画中的重要方法之一。而形状混合技术是关键帧动画的主要技术，它可以省去传统动画 方法中重要而义繁重的绘制画面工作，并且可以产生一些令人难以想象的画面。 形状混合技术是曲面设计和计算机动画领域研究的新的热门课题之一。形状混合主要需 2 第1 章绪论 要解决两个基本问题：( 1 ) 建立两个关键帧顶点之间的对应关系即要确定初始关键帧的每 个顶点对应到终止关键帧上的哪个顶点。简称顶点对应问题，这一对应关系的确定在一定程 度上决定了中间画面的形状；( 2 ) 建立对应顶点的插值函数，即要确定初始笑键帧上的顶点 如何变化到终止笑涟帧上对应顶点，简称顶点路行问题或顶点插值问题。 为了更好地解决二维曲面的顶点对应问题，g r e g o r y 等i c ”s - 1 9 9 9 i 给t t l 了多面体形状混合的 交互曲面分解方法，s h a p i r a 和g a p p o p o r t 则利用星形表示研究形状混合问题i “ ”j 。 然而，目前用现有势函数进行曲面变形时存在以f 问题：( 1 ) 原始体形状问题。在变形 技术中，原始体作为一个建筑块，目标形体可以通过将多个原始体相互靠近放置得到。当需 要平坦的表面时，球形的原始体显现出严重的缺陷，因为需要数阜巨大的原始体用f 生成给 定的效果。许多物体最好用不同种类的原始体来建造，而不是用固定的一种形状。( 2 ) 不希 望的混合问题。建模曲面的普遍问题是经常要求混合特定的一组形状，但不混合另外一些， 现有的方法往往达不到目的。 1 2 研究意义 本文结合曲面变形技术和m c t a b a l l 原理，提出曲面几何变形模理，它不但能够控制变形 的范围，而且能够通过调整少营参数产生丰富的连续光滑形状。它与曲面的表达形式无关， 数学计算也较简单，具有广阔的应用前景。 当前曲面变形领域需要解决，而且一些专家正在致力研究的一个问题是改善原有势函数 和建立新的势函数，以及对组合形状的控制。本文研究分析现有势函数及其一阶导数的特性， 创建适合各种形状隐式曲面、更具表现力的一个新势函数系列同时，提出使用势函数组合 以获得复杂模型理想效果的层次控制技术。 m e t a b a l l 无论是用于隐式曲面定义还是用于约束变形，如果空间同时有多个m e t a b a l l ， 则可能存在多个m e t a b a l l 影响重叠的区域，如果处理不当极易出现缺陷。因此，在使用 m e t a b a l l 技术时重叠区域的势值计算必须给予足够的重视，并且寻求适当的解决的办法以得 到满意的效果。 曲面造型是计算机辅助设计和图形学的基础，有着重要的意义，关f 它的理论和方法已 经相当完善i 。“。0 0 2 1 ，但曲面间的过渡曲面构造一直是几何造型领域的一个热点研究课题， 在很多情况f 构造过渡曲面比设计所需的产品外形更重要i v “1 9 9 4 1 。人们在理论和实践应用 上都希望曲面的形状变化丰富能够满足要求，而形式尽可能简单i 蠢“。比如弋机、汽车 的顶盖曲面和风窗玻璃曲面之间的光滑连接，圆梓面与圆锥面相贯时的光滑连接等都是过渡 曲面的实际例子；在高性能双作用叶片泵设计中，设计定子的过渡曲线是关键技术p “1 0 , o , 6 1 ， 另外，凸轮曲线的连接1 8 “。2 i ，旋叶式压缩机的气缸，i ! i 线降。- 2 0 0 3 1 等都是过渡曲线的实际例 子。对f 大多数几何造犁问题，总是希望曲面之间能光滑拼接，尽量去掉所出现的多余尖点， 角、棱、沟、峰或者震荡等不光顺的部分，这样设计者常常需要在不同的曲面之间构造过渡 曲面，使它们在给定的曲线处光滑拼接【”- 2 0 0 2 1 。 本文利用曲线曲面造犁的理论基础【4 1 9 9 4 1 ，结合基fm e a b a l l 约束变形技术的特点和 过渡曲线曲面的要求，提出参数域的基丁= m e t a b a l l 约束变形技术，构造过渡曲线曲面，给出 过渡曲线曲面的设计计算方法，这样得到的过渡曲线曲面在边界处连续，内部光滑，而且计 算过程简单。 3 第1 章绪论 1 3 应用前景 基于m e t a b a l l 约束的几何变形模犁提供了对环绕一个骨架对象的空间体积的连续描述。 这种形状可以用于各种建模任务，也包括那些涉及物体外观和控制物体行为的任务。根据定 义，模犁中用到的值事实上是一个总势斤r ) ，它是由一个三维骨架集合在点p 生成的。因此 可以用几何变形模型揭示多种自然现象和【程口j 题。把势函数们看作静电势是很直观的， 那样便可以说生成这个势的物体是。带电的”；或者。月，) 可以与一个由块状物体产生的引力 势场或一些其他的由力生成的势场相关联，通过计算势函数的梯度矢量，就能相应得到每个 物体各点处的力，那样丈大有助f 计算物体的轨迹、碰撞甚至相互变形；另外，机器人的路 径规划可以通过将空间障碍几何体与机器人的形状进行卷积而得到简化 l e a g 1 9 9 0 1 ；c o l b u r n 使 用了一个基于立体模犁带有高斯内核的卷积隐式曲面，作为立体倒圆角的方法【”1 ”l ；使 用这个模型建模在毛机机身、船体、汽车车身以及机械、注塑模等部件的计算机辅助没计与 分析中经常碰到的过渡曲线曲面，以光滑连接两条曲线和连接相邻的两张曲面片1 “9 9 9 1 。 基丁二m e t a b a l l 约束的曲面变形方法可以在以f 领域得