（计算数学专业论文）基于非线性偏微分方程的图像平滑.pdf

摘要 论文题目： 学科专业： 研究生： 指导教师： 基于非线性偏微分方程的图像平滑 计算数学 智佳 赵凤群教授 戴芳副教授 摘要 随着各类数字仪器和数码产品的普及，数字图像处理成为数学方法和计算机技术交叉 领域的一门新学科，其中图像平滑直是这个新学科的研究热点。传统的滤波方法无法解 决去除噪声和保持特征这对矛盾，为了解决这一矛盾，人们尝试了各种方法。基于非线性 偏微分方程的图像平滑较好的解决了这对矛盾。这类技术采用异性扩散方程，对图像进行 选择平滑，是一类很有发展前景的图像平滑方法。 本文详细介绍了五个基于非线性偏微分方程的平滑模型的形式和控制平滑速度的机 理，并给出了实验结果。其中重点叙述了第一个模型- - p e r o n a - m a l i k 模型的推导过程及离 散格式，并从变分问题的角度导出了该模型。p e r o n a - m a l i k 给出的离散格式是一种显式离 散格式，这一格式的连续形式省略了原模型中的一项，且用差商的绝对值代替了梯度模。 本文理论分析了这些简化对处理时间和处理效果的影响。通过对模型直接离散得到了_ 个 半隐式的离散格式，经验证该离散格式是收敛的，且对时间步长没有限制。实验结果表明 本文的离散格式减少了平滑处理的时间，并改善了平滑的效果。 以上所说的五个基于非线性偏微分方程的图像平滑都是针对高斯噪声的，其中c a r t e 、 a l v a r e z 及a l v a r e z 的两个改进方案也可以去除简单图像的椒盐噪声，但对内容复杂的图 像其处理效果不好。本文通过将小波阈值与非线性偏微分方程结合，在双向扩散的过程中 加入判断机制，得到了一种基于小波阈值和双向扩散的混合噪声去除方法。该方法不仅可 以单独处理高斯噪声和椒盐噪声，还可以并行处理包括高斯噪声和椒盐噪声在内的混合噪 声。实验结果表明，该方法对内容复杂的图像处理效果也比较好。 关键词：图像平滑；非线性偏微分方程；各向异性；小波阈值；双向扩散；差分格式 西安理工大学硕士学位论文 t i t l e ：l m a g es m o o t h i n gb a s e d o nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n c l a le q u a t i o n m a j o r ：c o mp u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：j i az h i su p e r v i s e r ：p r o f f e n g q u nz h a o a s s o c i a t ep r o f f a n gd a i a b s t r a c t s i g n a t u r e ：兰纽! ：丝 s i g n a t u r e ： 一 s i g n a t u r e ：2 监型 w i t ht h ep o p u l a r i z a t i o no fv a r i o u sk i n d so fd i g i t a li n s t n t m e n t sa n dp r o d u c t s ，d i g i t a li m a g e p r o c e s s i n gh a sb e c o m ean e wc r o s s i n gf i e l do f m a t h e m a t i c sm e t h o da n dc o m p u t e rt e c h n i q u e ，i n w h i c ht h ei m a g es m o o t h i n gi sas t u d yh o t s p o ta l lt h ew h i l e t h ec o n t r a d i c t i o no fe l i m i n a t i n g n o i s ea n dk e e p i n ge d g e sc a nn o tb es o l v e db yt h et r a d i t i o n a lf i l t e r i n gm e t h o d s i no r d e rt os o l v e t h i sp r o b l e m ，p e o p l eh a v et r i e dk i n d so fw a y s f o r t u n a t e l y , t h i sp r o b l e mh a sb e e ns o l v e db yt h e m o d e l sb a s e do nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ea n i s o t r o p i ce q u a t i o ni sa d o p t e db y t h i sk i n d o ft e c h n i q u e ，a n dt h ei m a g ei ss m o o t h e ds e l e c t i v e l y t h i st e c h n i q u eb a s e do n n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sak i n do fp r o m i s i n gi m a g es m o o t h i n gm e t h o d i nt h i sp a p e r , t h ef o r m sa n dt h em e c h a n i s m so fc o n t r o l l i n gs m o o t h i n gs p e e do ft h ef i v e m o d e l sb a s e do nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ei n t r o d u c e di nd e t a i l t h ed e r i v a t i o n c o u r s ea n dt h ed i s c r e t es c h e m eo ft h ef i r s tm o d e l - - p e r o n a - m a l i km o d e lh a v eb e e ne x p a t i a t e d o ne m p h a s i s o n ei t e r no f 也ep mm o d e li so m i t t e di nt 1 1 ep - m sd i s c r e t es c h e m e ，a n dt h e g r a d i e n tm a g n i t u d ei sr e p l a c e db yt h ea b s o l u t ev a l u eo fd i f f e r e n c eq u o t i e n t t h ei m p a c t so f t h e s es i m p l i f i c a t i o n so nt h ep r o c e s s i n gt i m ea n de f f e c ti sa n a l y z e d an e ws e m i i m p l i c i ts c h e m e i sp r o p o s e db yd i s c r e t i n gt h eo r i g i n a lm o d e ld i r e c t l y t h i ss c h e m ei sd i v e r g e n tb e i n gv a l i d a t e d ， a n di ti sn o tl i m i t e db yt h et i m es t e pl e n g t h t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l td e m o n s t r a t e st h a tt h e p r o c e s s i n gt i m e c o s ti sr e d u c e da n dt h ee f f e c to fp r o c e s s i n gr e s u l ti si m p r o v e db y t h ed i s c r e t e s c h e m eo ft h i sp a p e r t h ef i v em o d e l sb a s e do nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e n t i o n e da b o v ec a no n l y e l i m i n a t eg a u s s i a nn o i s e t h ec a r em o d e l ，a l v a r e zm o d e la n dt h et w oi m p r o v e ds c h e m e so f a l v a r e zm o d e lc a na l s oe l i m i n a t es a l ta n dp e p p e rn o i s eo fi m a g ew i t hs i m p l ec o n t e n t ，b u tt h e i r p r o c e s s i n gr e s u l t so fs a l ta n dp e p p e rn o i s e o fi m a g ew i t hc o m p l i c a t e dc o n t e n ta r en o tv e r yw e l l i nt h i s p a p e r , a m e t h o de l i m i n a t i n gm i x e dn o i s eb a s e do nw a v e l e t s h r i k a g e a n d f o r w a r d a n d b a c k w a r dd i f f u s i o ni sp r o p o s e db yc o m b i n i n gt h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l 摘要 e q u a t i o nw i t hw a v e l e t s h r i k a g ea n da d d i n gaj u d g i n gf u n c t i o nt ot h ef o r w a r d a n d b a c k w a r d d i f f u s i o n t h i sm e t h o dc a nn o to n l ye l i m i n a t eg a u s s i a na n ds a l t a n d p e p p e rn o i s es e p a r a t e l y b u ta l s oe l i m i n a t et h em i x e dn o i s ep a r a l l e l y k e yw o r d s ：i m a g es m o o t h i n g ；n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；a n i s o t r o p i c ；w a v e l e t s h r i n k a g e ；b a c k w a r d - a n d - f o r w a r dd i f f u s i o n ；d i s c r e t es c h e m e i i i 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：绳g 乡司年3 月砭日 学位论文使用授权声明 本人墨5 生在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名：盈5 乏导师签名：z 湃_ ；月z 。日 1 前言 1 前言 1 1 研究背景 近些年来，随着各类数字仪器和数码产品的普及，数字图像处理成为数学技术和计算 机技术交叉领域的一个研究热点。数字图像处理是指利用计算机对科学研究和生产中可视 化信息的数字处理，经过对图像信息的加工以满足人的视觉心理或应用需求的行为。主要 包括：图像预处理、图像分割、形状模型、图像校准、特征选择、目标识别、运动检测与 跟踪以及可视化技术等。太空探索图像，气象云图，地图探测卫星图像，己成为科学探索 领域第一手研究资料：医学检测中的层析图像( c d 、核磁共振( m p d ) 、正电子断层成像( p e t ) 是现代医学的重要的诊断手段；所有这些科学研究和工程技术领域都涉及到大量数字图 像的处理，随着科学的进步，人类对大自然探索的不断深入，高科技手段的日益发达，图 像处理将在其中发挥更为重要作用。 数字图像处理的框架主要由三部分组成：图像理解、图像分析和图像处理0 1 。这三个 部分按以上的顺序，抽象程度越来越低，但处理的数据量却越来越大。抽象程度最低而待 处理数据量最大的图像处理部分包括图像平滑、对比度增加及图像锐化等等。图像信号在 其形成传输，变换以及终端处理中，经常会受到各种噪声的干扰而降质。例如，图像传 输过程中，受到强干扰时会产生脉冲噪声，在激光信道传输引起的图像退化等都将产生不 同种类的噪声。噪声可以理解为妨碍人的视觉感知，或妨碍系统传感器对所接受图像源信 息或分析的各种因素，也可以理解成真实信号与理想信号之间的偏差。噪声会对图像产生 许多破坏效果，主要有以下两方面的影响”： ( 1 ) 影响主观视觉效果。受噪声污染的图像往往会变得视觉效果很差，严重时甚至使 得人眼难以辨别某些细节。人眼对图像噪声，尤其是图像平坦区的嗓声非常敏感。 ( 2 ) 使图像的中层( 信息层) 与高层( 知识层) 处理无法继续进行噪声会降低图像 低层( 数据层) 处理的质量和精度。对有些处理过程来说，噪声往往会产生某种局部二义 性( 1 0 c a la m b i g u i t i e s ) 。比如许多边缘检测算法在有噪声干扰的情况下会出现大量的虚检 和漏检，而使后续的目标提取和识别无法进行。 为了改善被噪声污染的图像的视觉效果，构造好的图像平滑算法显得非常重要。同时 从噪声图像中获取原图像中更准确的信息，从而为图像分析和图像理解等后续处理作准备 也使得图像平滑算法显得尤为重要。图像平滑算法主要有三大类方法分别是：滤波算法、 基于小波的算法和基于偏微分方程( p d e ) 的算法。 滤波算法是通过将某种滤波模板与图像进行卷积来实现的。经典的滤波算法，包括均 值滤波器、高斯滤波器、梯度加权滤波器、顺序统计滤波器、稳健平滑、c f i m m i n 去斑算 法、自适应中值滤波等1 3 1 1 4 1 1 s 1 1 6 1 ；基于小波的算法将图像函数通过小波变换分解到四个不 同频域中( h h ，h l ，l h ，l l ) ，再对这四个频域中的小波系数作某种处理，最后用处理后的 西安理工大学硕士学位论文 小波系数重构原图像。基于小波的算法大体可以分成小波萎缩法、投影方法和相关方法川。 其中使用最为广泛的是小波萎缩法，它又可分为阈值萎缩和比例萎缩。阙值萎缩法被使用 到了各种噪声的去除中，尤其是对高斯噪声，其去除效果比较理想。 图像平滑包含两个方面内容：( 1 ) 消除噪声；( 2 ) 增强图像特征。这两个内容在一定程 度上是一对矛盾，经典的滤波模型对于这对矛盾显得无能为力。如何解决好去噪和保持特 征之间的矛盾是评价图像去噪模型好坏的一个重要标准。近来，基于偏微分方程的图像平 滑越来越成为研究的热点，这是一类自适应的平滑技术，根据图像内容的不同而采取不同 的平滑方式，这类方法在解决去噪和保持特征这对矛盾之间取得了不错的效果。用偏微分 方程进行图像平滑的基本思想是以被处理图像为方程初始值，用偏微分方程模型对初始图 像进行求解，方程的解就是平滑处理的结果。偏微分方程方法与经典的滤波方法相比计算 量比较大的，但却备受青睐，这是因为嘲：首先，p d e 给出分析图像的连续模型，离散的 滤波表现为连续的微分算子，因而使得网格的划分，局部非线性滤波分析易于实现。另一 方面，当图像表示为连续信号，p d e 可视为具有微小子领域局部滤波的迭代。这种特性 允许将已有的滤波方法进行合成和分类，并形成新的滤波方法。最值得注意的优点是p d e 方法能获得较好的图像质量，并具有一定的稳定性。灵活多样的数值方案为图像恢复方程 的数值计算给予极大的帮助，数值技术的研究已成为图像处理的一个重要方面。另一方面， 粘性解理论为基于p d e 的图像平滑提供了一定的框架基础。 1 2 噪声的分类和去噪模型的评价 1 2 - 1 噪声的分类 实际中的噪声是多种多样的，根据不同分类方式可将噪声进行不同的分类嘲。 ( 1 ) 从噪声的概率分布情况来看，可分为短拖尾噪声、中拖尾噪声和长拖尾噪声。 下面给出几种常见的噪声分布形式的概率密度函数厂0 ) 。 典型的短拖尾噪声均匀分布噪声： ，( 挖) ：1 i i i o( i = l ，2 ，) ( 3 5 ) ( 6 ) 不可约分： 不可约分是指任意两点之间存在一条扩散路径。也就是说，对任意的j ，- ，= 1 ，2 ，- ， 都存在，而= f ，= _ ，使得啦o ，p = o ，l ，r i 当离散方程满足了以上的六个准则时，每次离散方程处理的结果图像就构成了一个尺 度空间，并且这个尺度空间具有以下的四个性质： ( 1 ) 灰度均值恒定，即： a = 专童p = 专杰声 对于v 七( 3 6 ) 。i - i。f 。l ( 2 ) 极值定理，即： ，舞3 p p s 盟譬p ( 3 7 ) 这就是前面所说的因果性的数学描述，这个性质保证了结果图像和原始图像的联系。 ( 3 ) 连续l y a p u n o v 序列 1 9 西安理工大学硕士学位论文 处理所得的序列图像称为l y a p u a o v 序列，是因为它们具有以f - 一些性质： a ) 对所有的p 1 ，i 的p 范数递减 即( 凳阿r 厂9 递减。 b ) 所有偶数阶中心矩递减 即鸠。【p 】- 了1 台七, t 、p 一a ) 2 ”递减。 c ) 熵值递减 a p s p 】。一善p 恤p 递减 ( 4 ) 收敛于恒稳状态 錾m 露- a( i 一1 , 2 , - - - , j ) ( 3 8 ) f 由以上的四个性质知道，由离散方程处理后的尺度空间中的图像序列是收敛的，并且 收敛于一个所有像素灰度都等于原图像灰度平均值的图像。要判断热传导方程和各向异性 方程的离散形式是否收敛，只要判断其是否满足上面所说的六个准则。 3 2p - _ 模型的离散格式的收敛性 p e r o n a 和m a l i k 在文献【1 4 】中给出的式( 2 6 ) 的离散格式如下： 吃1 吃+ 讧g v l + g s - v s l + g e v e l + g w v w ，i ， ( 3 9 ) 其中n ，s ，e ，形是n o r t h ，s o u t h ，e a s t 和w e s t 的简写，f 为时间步长，符号v 并不是梯 度算子，而是表示差分，即： n i t 。j i i 。j “一i l 。i v e i l j i i t l 。i l l j ，v d , 。i - i t 。j 一i i 。ir 可i | 。j - h - l 、j i l 。j 3 1 0 ( 3 9 ) 式中的盛。一g ( 1 v ：，f ，朋，盛、或。和或，的定义同盛。 下面利用上一节所给出的六个准则来验证这个离散格式的敛散性。将( 3 1 0 ) 式带入( 3 9 ) 式得到： 彬吨竹嚣9 6 篙g e , 嚣p 。屹 ， 一g n u +。i + 、i + g 峨、 1 0 ；? i 将( 3 1 1 ) 式写成以下形式： 歹“1 。面 f 3 1 2 ) 其中j 是一个由图像的所有像素的灰度值组成的列向量，对于大小为m x n 的图像这个列 向量的长度为j m x n 。 3 n m 模型离散格式的改进 设列向量中的元素盂( s - 1 ，2 , - - - , j ) 所对应的原图像矩阵，中的元素为，( p ，q ) ，用 n ( p ，g ) 表示它的邻域，用吩( p ) 表示这个元素在矩阵爿( p ) 中所对应的系数，则矩阵 4 ( p ) 一【吩( p ) 】中的元素按下列形式取值： 吻( j ) 一 t g x 。，毒郜q n ，s ，e ，w 、 r b n 。+ g s 。+ g ，+ g 畋、 0 ， m ，n e n ( p ，q ) m i p , n g( 3 1 3 ) 其他 ( 3 1 2 ) 式中的b - e + r 彳( p ) ，其中e 为单位矩阵。 对于准则一，由控制扩散速度的函数g 的定义可知系数矩阵彳是连续，从而占也是连 续的； 对于准则二，由领域的对称性m ， ( p ，q ) 一p ，q e n ( m ，疗) 可以得到元素的对称性； 对于准则三，由于占一e + v 彳( p ) ，而矩阵a 的行元素之和为0 ，所以矩阵b 的行元 素之和为1 ； 对于准则四，由b 的定义容易知道当j 一，时，0 ，当f - ，时，要使得对角线上的 元素都大于零，即要使 6 j ，1 1 一f 【g 坼j + 粕+ 如+ g w ，a 卜o ( 3 1 4 ) 要满足( 3 1 4 ) 式需要 ( 3 1 5 ) 因为s u p g ( s 1 i l ，所以可得使得( 3 1 5 ) 式成立的条件是 j 1 f 0 同理，当i _ ，时，有： 岛砷6 f 山- 2 ，巧删1 ，t + i ， 0 所以矩阵口是不可约分的。 由以上的分析过程知道p - m 的离散格式是收敛的。但p m 离散格式并不是式( 2 6 ) 的 直接离散，这对处理速度和处理效果都有影响。为了解决这个问题，下一节将给出一个改 进的离散格式。 2 l 西安理工大学硕士学位论文 3 3p - _ 离散格式的改进 3 3 1h i 离散格式的不足 方程( 2 6 ) 司化为以下的形式： ，f - d i v ( g ( i i v l ) w ) - v g ( m ) w + g ( 1 1 w 1 1 ) a ( 3 1 7 ) 记岛j - g ( i l w 。i i ) ，则g ( w 8 ) a ，可以离散为： g i j 6 d l j - 9 1 j u i 4 j + i | “j 丰l u 4 + i u d 一4 i u l - g t j 0 i 邮一i u l + g 。0 。n j i l a + g u q 。- i , a + g j 0 l j 。一l 。、o 1 8 ) - g l j 。i i 。| + g i 。i 。e l t 。j + g l 。i n i | 。j + g t 。j v s , j 其中v _ 屯，k ，v s ，按( 3 1 0 ) 式定义 不难看出，对于式( 3 9 ) 中的【g v l + g s v s i + g s v l + g w 。v w ，1 ，( 3 1 8 ) 式是用 梯度模代替了四个方向的差商的绝对值。 综上所述，p e r o n a 和m a l i k 给出的离散格式有以下两个不足： ( 1 ) ( 3 9 ) 式的连续形式并不是方程( 2 6 ) ，从( 3 1 7 ) 式可以看出，( 3 9 ) 式并不是方程( 2 6 ) 的 直接离散，( 3 9 ) 式略去t ( 3 1 7 ) 式中的第一项。 ( 2 ) 这种离散方式用四邻域中的v ，- “一，丫南一五一屯，v 。0 一。，- i 一， v ，屯- t u 一的绝对值来逼近n ，s ，e ，w 梯度模j 1 w 0 3 3 2 对平滑结果的影响 p - m 模型中是通过g 函数来控制平滑力度的，而g 函数是单调递减函数，即平滑力度 与g 函数的自变量成反比。如图3 - 1 ，由函数g ( j ) 一1 1 1 + b s y 的图，我们可以把灰度值 s 一2 4 作为一个识别边缘的临界点，即当像素的梯度小于2 5 时需要进行平滑。 对于一幅g a l - f l e r a l r l 1 图( 2 5 6 x 2 5 6 ) ，以l v ，| 代替梯度模，计算在这种情况下i v i i 2 5 的像素数为6 2 7 1 8 ，即施加高斯噪声后大约有6 2 7 1 8 个像素需要得到平滑。但给这个图像 加上均值为0 ，方差为o o l 的高斯噪声时，使得l v i i 、i v f i i 、i v s ，i 和i v i i 小于2 5 的像 素数分别为3 2 4 9 1 ，3 2 1 2 8 ，3 2 4 9 5 和3 2 1 2 4 。而同样的受污染的图像的梯度模l l w l i 警 l 毛一v a r ( r ( 乃) + 1 l ，r ( 厶) c 学d ( 4 8 ) 0 其他 其中v a r ) 返回的是阶为t 的像素的像素值，埋尹是以( f ，_ ，) 像素为中心的滑动窗的中值。 式( 4 6 ) 中的第二种情况即为判断在原双向扩散中进行后向扩散的像素点为椒盐噪声 时，将后向扩散转换为前向扩散。而其它点并不受到影响，这样使得原来只能处理高斯噪 声的基于非线性小波阈值的扩散方程也能处理椒盐噪声，从而得到了基于小波阈值和双向 4 基于小波阈值和双向扩散的混合噪声去除方法 扩散的混合噪声去除方法。 4 4 实验结果及分析 本文的实验中所用l e n a 图像为2 5 6 x 2 5 6 x 8 b i t 的b m p 图。选用d i m 小波软阈值，阈 值由m a t l a b 提供的d d e n c m p 函数所得的默认阈值。图4 5 为加有均值为0 ，方差为0 0 1 的高斯噪声的图像，对这幅带噪图像分别用文献【2 8 】中的方法和本文提出的复合扩散方法 进行处理，可以看出本文方法和文献 2 8 】中的方法均达到了比较好的处理效果，说明本文 方法对高斯噪声有效。图4 - 6 是加有2 的椒盐噪声图像，可以看出文献【2 5 】中的方法对 椒盐噪声没有效果，而本文的处理效果较好。图4 7 为加有均值为0 ，方差为0 0 1 的高斯 噪声和1 的椒盐噪声的混合噪声图像，可以看出，文献 2 8 】中的方法可以去除高斯噪声， 但无法去除椒盐噪声，而本文方法却可以并行的处理这两种噪声。 ( a ) 原图 ( a ) o r i g i n a li n l a g c ( b ) 噪声图 0 a ) n o i s ei m a g o ( c ) 文献 2 8 】中的方法( d ) 本文方法 ( c ) m e t h o do f p a p e r 【2 8 】 ( d ) o u rm e t h o d 图4 5 高斯噪声的图像的处理结果 f i g 4 - 5t h ep r o c e s s i n gr e s u l to f i m a g ew i t ho a u s s i a nn o i s e 西安理工大学硕士学位论文 ( a ) 原图 ( a ) o r i g i n a li m a g e ( ”噪声图 ( b ) n o i s em l a g o ( c ) 文献【2 3 】中的方法( d ) 本文方法 ( c ) m e t l l o do f p a p e r 2 8 1 ( d ) o u rm e t h o d 图4 - 6 椒盐噪声的图像的处理结果 f i g 4 - 6t h ep r o c e s s i n gr e s u l to f i m a g ew i t hs a l ta n dp e p p e rn o i s e ( a ) 原图 ( a ) o r i 删i m a g e ( b ) 噪声图 ( b ) n o i s ei m a g e 4 基于小波阈值和双向扩散的混合噪声去除方法 4 5 小结 ( c ) 文献【2 8 】的方法( d ) 本文方法 ( c ) m e t h o do f p a p e rf281(d)our m e t h o d 图4 - 7 混合噪声的图像的处理结果 f i 晷4 7t h ep r o c e s s i n gr e s u l to f i m a g ew i t hm i x e dn o i s e 本文的扩散方法继承了文献 2 8 1 中的扩散方法中可以保留图像窄边缘的特点( 图中帽 穗保持的很好) ，并利用双向扩散这个工具，在后向扩散是加入了判断机制，使得进入后 向扩散的噪声点也得到了平滑。结合非线性小波阈值和具有判断机制的双向扩散，得到了 一种并行的处理高斯和椒盐混合噪声的新方法。该方法解决了第二章中的基于非线性偏微 分方程的图像平滑模型不能去除复杂图像的椒盐噪声的不足。 3 7 西安理工大学硕士学位论文 5 总结和展望 5 1 总结 在一个图像系统中，从图像的获取，到图像的发送、传输、接收、输出( 显示) 、复 制等等，每一个环节都会产生干扰，都会使图像质量降低。如何对这些“降质”图像进行 处理，满足实际需要，是图像处理的基本要求，因此图像平滑成为图像处理的重要组成部 分。基于偏微分方程的图像平滑是一类有效的平滑方法。近年来已经成为数字图像处理的 研究热点，本文研究了了基于非线性偏微分方程的图像平滑及与小波结合的非线性偏微分 方程图像平滑方法，主要内容有： ( 1 ) 叙述了基于偏微分方程的图像平滑的发展历史，列出了几个重要的非线性图像 平滑模型。重点叙述了p m 模型的方程形式和各向异性的扩散机制，以及p m 的两个改 进模型c a t t e 模型和a l v a r e z 模型及其改进模型的扩散机制及优缺点。 ( 2 ) 利用文献【3 7 】所给的六个准则，验证了p m 在文献【1 4 】中所给出的离散格式的 收敛性。p m 离散格式是一种显式离散格式，且这种离散格式的连续形式并不是模型本 身本文通过将模型直接离散，得到了一种半隐式的离散格式，通过文献 3 7 1 中准则验证 这个离散格式是收敛的，且这种离散格式比p - m 的离散格式节省处理时间。由于p - m 的 离散格式的连续形式省略了原模型的一项，使得处理结果图像的边缘提取图中残留有一些 伪边缘，而本文的离散格式是原模型的直接离散，处理结果图基本没有伪边缘。 ( 3 ) 小波这一工具由于其良好的性质，近几年被广泛的应用于各个领域。1 9 9 2 年， 斯坦福大学的d o n o h o d l 和j o h n s t o n e j m 教授提出一种具有良好的统计优化特性的去噪 方法，称作“w a v e l e ts h r i n k a g e ”即阈值收缩法。在文献 2 8 】中，姜东焕等人将小波阈值与 非线性各向异性方程结合得到了基于非线性小波的各向异性扩散方程。但这些方法都是针 对高斯噪声的，对于椒盐噪声这样的脉冲噪声这些方法都显得无能为力。本文通过双向扩 散这一工具，在后向扩散中加入了判断机制，得到了一种基于小波阈值和双向扩散的混合 噪声去除方法。它不仅保持了原基于非线性扩散方程可以去除高斯噪声的特点，还使褥椒 盐噪声得到了有效的抑制，是一种可以并行处理混合噪声的扩散方程。 5 2 展望 基于非线性偏微分方程的图像平滑方法是一类自适应的图像平滑方法，这类方法通过 使用各向异性这一工具对图像区域和边缘实施不同的平滑策略。影响p - m 模型及其它非 线性扩散方法的一个主要问题是“阶梯”效应，由于这些方法都是以梯度模l w l 作为判断 边缘的标准，这使得它们的一阶非线性偏微分方程处理结果是分段恒定的，使得图像的视 觉效果差。为解决这个问题可以通过以下两个方面来开展今后的工作： 5 总结与展望 ( 1 ) 利用高阶偏微分方程解决p - m 模型及其它非线性扩散方法“阶梯”效应。可以引入 对图像二阶导数的处理使结果图像更加理想，即将用来判断边缘的梯度模l w j 完全换为图 像的二阶导数。 ( 2 ) 通过将小波与高阶方程结合得到更好的处理效果。 总之，虽然基于非线性的偏微分方程在图像平滑方面已经取得了不错的效果，但在今 后的工作中还有许多有待改善的地方。 西安理工大学硕士学位论文 致谢 毕业论文能够顺利完成，要感谢我的导师赵凤群教授和戴芳副教授，从论文的选题到 论文的定稿，都凝结着两位导师的无数心血。两位老师认真负责、细致耐心、严谨求实、 一丝不苟、精益求精的工作态度，对学生的关切和平易近人的人格魅力，是我终生学习的 楷模。本文的一些想法源于两位老师的启发，在研究过程中，通过与两位老师的坦诚交流， 使我能够迸发一些火花和灵感。两位老师对学生亲切关怀的态度，对学术严谨忘我的追求 精神，令我非常钦佩。她们严谨的治学态度和科学，开阔的思维方法深深地影响了我，不 仅对我的论文有很大的帮助，而且对今后做人和步入社会也有巨大的启迪，在此表示由衷 的感谢。 还要感谢我的师姐王小侠，同学王文成，李晓伟，赵彦发的帮助。同学们之间的交流 创造了积极向上，年轻创新的学术氛围。同样感谢我的挚友田小红，寇婷，牛春燕和陈金 云，她们在我状态不好的时候给我鼓励，为我加油，使我能一直保持良好的学习状态。也 要感谢我的师妹张培茹对我的论文作了细致的校对工作。 寒窗十九载，我的父母和亲人都给了我巨大的支持和帮助，使我能够顺利完成学业。 真诚地感谢所有鼓励、关心、帮助、爱护过我的人。 4 0 参考文献 参考文献 【l 】张直，陈剐基于偏微分方程的图像处理【m 】北京：高等教育出版社。2 0 0 4 ：4 1 - 4 2 t 2 1 容观澳计算机图像处理咖北京：清华大学出版社，2 0 0 0 3 1c a s t l e m a n k e n n e t h r 著朱志刚等译数字图像处理嗍北京：电了工业出版社，1 9 9 8 【4 】阮秋琦著数字图像处理学咖北京：电了工业出版社，2 0 0 1 1 5 1 谷口庆治著数字图像处理( 基础篇) 嗍北京：科学学出版社，共立出版，2 0 0 2 6 1 芮杰，吴冰，秦志远，山海涛一种稳健的自适应图像平滑算法田中国图象图形学报2 0 0 5 ， 1 0 ( 1 ) ：5 4 - 5 8 7 1 宋玲珍基于小波变换的自适应图像去噪算法i d 河南：河南大学，2 0 0 6 ：3 8 1v m c * n tc a s e l l e sa n dj e a n - m i c h e a lm o r e l i n t r o d u c t i o nt ot h es p e c i a li s s u eo np a r t i a ld i f f u s i o n e q u a t i o n sa n dg e o m e t z y - d r i v e nd i f l 缸i o ni ni m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y s i s 忉，i e e ew a n i m a g e p r o c 咖，1 9 9 8 3 0 ) ：2 6 9 - 2 7 3 【9 】朱虹等数字图像处理基础嗍北京：科学教育出版社，2 0 0 5 【1 0 1d g a b o r i n f o r m a t i o n t h e o r y i n e l e c t r o n m i c r o s c o p y 阴l a b i n v e s t i g ，1 9 6 5 ，1 4 ：8 0 1 - 8 0 7 ， 【11 】w 诎- 血s c a l es p a c ef i l t e r i n g i n tj o h nc o n f a r t i f i c a li n t e l l i g e n c e 嘲，k a r l s r v h e w e s tg e r m a n y , 1 9 8 3 ： 1 0 1 9 - 1 0 2 1 【1 2 j k o e n d e r i n k t h es m k t o r eo f f , a g e j b i 0 1 c y b e r n ，1 9 8 4 ，5 0 ：3 6 3 3 7 0 【1 3 1 a h u m m e l r e p r e s e n t a t i o n s b a s e d 0 1 1 z e r o - c r o s s i n g i ns c a l e - s p a c e 【c 】i n p r o c i e e e c o m p u t e r v i s i o n a n dp a t t e r nr e c o g n i t i o nc o n f ，1 9 8 6 ，6 ：2 0 4 - 2 0 9 【1 4 p e r o n a e m a l i k j s c a l e - s p a c e a n de d g e d e t e c t i o n u s i n g a n l s o t l o p i cd i f f u s i o n j 瑾e e t r a n s p a t t e r n a n a l m a c h i n ei n t e l ，1 9 9 0 , 1 2 ( 7 ) ：7 2 0 - 7 2 7 【1 5 1c a r ef c o i l l l i o n s pl ，e t a l i m a g es e l e c t i v es m o o t h i n ga n d e d g e d e t e c t i o n b y n o n l i n e a r d i f f u s i o n ( 1 ) 哪s i a m n u m b e r a n a l ，1 9 9 2 , 2 9 ( 3 ) ：1 8 2 1 9 3 【1 6 a l v a r e z l ，l i o n s pl m o r e lj m i m a g es e l e c t i v es m o o t h i n g a n d e d g e d e t e c t i o n b y n o n l i n e a r d i f f u s i o n ( 2 ) j 】s i a mn u m b e r a n a l ，1 9 9 2 , 2 9 ( 3 ) ：8 4 5 8 6 6 【1 7 s c o t tt a c t o n m u l t i g r i da n i s o t r o p i cd i f f u s i o n m i e e et r a i l i m a g ep r o c e s s i n g ，1 9 9 8 ，7 ( 3 ) ：2 8 0 - 2 9 0 【1 8 1r e r e a c a r m o n a , s i r e n z h o n g a d a p t i v e s m o o t h i n g r e s p e c t i n g f e a t u r e d i r e c t i o n s j i e e e w a n i m a g ep r o c e s s i n g ，1 9 9 8 ，7 0 ) ：3 5 3 - 3 5 8 【1 9 林宙辰，石青石一个能去噪和保持真实感的各向异性扩散方程【j 】计算机学报，1 9 9 9 ，2 2 ( 1 1 ) ： 1 1 3 3 - 1 1 3 7 【2 0 】张元林，郑南宁，袁泽剑一种改进的图像自适应非线性滤波方法叨，西安交通大学 报2 0 0 4 ，3 8 ( 2 ) ：1 6 2 - 1 6 6 2 1 】y u - l iy o u ，m k a v e h f o u r t h - o r d e r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o r n o i s er e m o v