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几类风险模型中的破产概率研究 摘要 破产概率的讨论是精算学的一个经典问题。本文在几种不同的风险模 型假设下，研究了保险公司的破产概率问题，具体内容如下： 首先，研究了带干扰的双复合泊松风险模型的破产问题，在双复合泊松风 险模型的基础上考虑了干扰项，运用鞅方法得出了破产概率满足的l u n a b e r g 不 等式和一般公式，并给出了不破产概率满足的积分表示。 其次，考虑含有正、负风险和风险过程的破产概率问题，并且将保费收入 推广为一个随机过程，给出该风险过程的破产概率所满足的积分方程和指数不 等式，研究正风险和类与负风险和类之间的相关性对破产概率的影响，并对具 体实例给出数值比较结果。 第三，在利息力为常数，索赔额分布服从帕雷托分布，索赔次数为更新过 程的风险模型及索赔来到为e r l a n g 过程的风险模型的基础上，将利息力推广为 随时间而连续变化的情况，分别获得了该模型下保险公司的有限时间破产概率 的近似表达式。 最后，在索赔次数为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的风险模型的基础上考虑 干扰项，研究其罚金函数，针对此模型给出了罚金函数满足的积分微分方程， 得到了罚金函数的拉普拉斯变换的精确表达式。 关键词：破产概率，泊松过程，积分微分方程，罚金函数 拉普拉斯变换 t h es t u d yo fr u i np r o b a b i l i t yi ns o m er i s km o d e b a b s t r a c t t h ee a l c u l a t i o no fr u i np r o b a b i l i t yi sr e g a r d e da st h ec l a s s i c a lp r o b l e mo ft h e a c t u a r ys c i e n c e p r o b l e m so fr u i np r o b a b i l i t yo ft h eo r i g i n a li n s u r a n c ec o m p a n y a r ed e a l tw i t hf o rs o m er i s kp r o c e s sm o d e l si nt h i sp a p e r , t h ec o n c r e t ec o n t e n t sa l ea s f o i l o w s ： f i r s to fa l l ，b a s e do ft h er i s km o d e lw i t ht w oc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e s ，w e c o n s i d e ra ni n t e r f e r e n c ei t e m ；t h el u n d b e r gi n e q u a l i t y 痂t h eo o m n l o nf o r m u l ao f t h er u i np r o b a b i l i t ya r eg o t t e ni nt e r m so fs o m et e c h n i q u e sf r o mm a r t i n g a l et h e o r y t h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n so ft h en o n r u i np r o b a b i l i t ya n dt h ei n t e g r a l - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no f t h en o n r u i np r o b a b i l i t yi nf i n i t et i m ea r eg o t t e n t h en e x t ，w ec o n s i d e rar i s kp r o c e s s 埘mp o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s ks u m s ，w e d e d v et h e i n t e g r a le q u a t i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t y w eo b t a i nt h ee x p o n e n t i a l i n e q u a l i t yf o rt h er u i np r o b a b i l i t y t w oe x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h en u m e r i c a l r e s u l t s t h e “r d ，ar e n e w a lp r o c e s sr i s km o d e li sb u i l tu p i nt h i sm o d e l ，t h ei n t e r e s t r a t ea ta n y ! i m ec o n t i n u o u sv a r i e t y , t h ed i s t r i b u t i o no ft h ec l a i ms i z eo b e yt op a r e t o d i s t r i b u t i o n , t h en u m b e ro ft h ec l a i mt i m e so b e yt or e n e wp r o c e s sa n dt h e c l a i m - a r r i v a lo b e yt oe r l a n gp r o c e s s t h ea p p r o x i m a t ee x p r e s s i o no ft h ef i n i t et i m e r u i np r o b a b i l i t yo f t h ei n s u r a n c ec o m p a n yi sa c q u i r e d t h el a s t t h er i s km o d e lw i t l lc o m p o u n dp o i s s o n - g e o m e t r i cp r o c e s sa n d i n t e r f e r e n c ei t e ma n di t sp e n a l t yf u n c t i o na r es t u d i e d b a s e do nt h i sm o d e lw e d i s c u s st h ep e n a l t yf u n c t i o n ，a n dg i v et h ei n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o ri t f i n a l l y , t h ee x p l i c i te x p r e s s i o no f l a p l a c et r a n s f o r mo f t h ep e n a l t yf u n c t i o ni so b t a i n e d k e y w o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ；p o s s i o np r o c e s s ；p e n a l t yf u n c t i o n ；i n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；l a p l a c et r a n s f o r m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金蟹工业太堂 或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名乡乏索仄 签字日期：纱妒p 君 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金起王、业盘生。一再关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人授权金筵王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王角仄 签字日期：z 力0 7 t 2 - 铲 位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名 签字日期 电话： 邮编： 日 ，9 0 饧? 钥 硬严 矽 致谢 本文是申请合肥工业大学理学院理学硕士学位的学位论文，于2 0 0 7 年1 月 至2 0 0 7 年l o 月完成，值此毕业论文完成之际，谨向所有指导过我的老师、帮 助过我的同学、鼓励过我的朋友表示深深的感谢! 感谢我的导师惠军副教授，该论文是在惠老师的亲切指导和关怀下完成的， 尽管惠老师平时工作很忙，但却始终没有放松过对我们的激励和严格要求，在 三年来的学习和生活中，惠老师治学严谨，务实求真和积极探索的精神令我深 有体会，作为学生的我惟有以勤补拙，加倍努力，才不辜负惠老师的谆谆教诲 和殷切期望。 此外，还要感谢我身边所有的领导，老师和同学，特别是朱士信教授，周 永务教授，杜雪樵教授，凌能祥教授以及我的朋友和同学温华洋，武志辉，汪 春华，许昌满，彭小智，何伟，李珥，李雯，王献东，彭勃，李美蓉，王莉， 于春华，宛金龙，张道福，许和乾，姜光峰，陈安顺，孙琳，左妍妍，孙茂， 余国锋，张成堂等等，在这几年的求学生涯中，是他们给我提供了良好的学习 和生活环境，使我学业不断成长。 作者：王育庆 2 0 0 7 年l o 月1 5 日 第一章绪论 1 1 破产理论概述 在金融数学和保险数学韵范畴内，破产理论是风险理论的核心内容。它运 用随机过程，鞅等数学工具，在一系列合乎现实情况假设的基础上，通过建立 模型，进行分析和推导，最终得到保险公司的收益过程，并由此计算保险公司 的破产概率，破产前盈余等等。1 9 0 3 年，瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 发表了他 的博士论文a p p r o x i m e r a df r a m s t a l l n i n ga vs a n n o l i k h e t s f u n k t i o n e n ) 开创了破产 理论的研究。 h c r a m e r 在完善el u n d b e r g 的数学工作中起了重要作用，同时也对概率论 和数理统计的发展做出了重要贡献。h c r o m e r 也发展了严格的随机过程理论。 fl u n d b e r g 与h c r a m e r 的工作为经典破产理论的基本定理打下了坚实的理论 基础。 继h c r a m e r 之后，w i l l i a mf e l l e r 1 和h o r n su g e r b e r 2 是当代研究破产 理论的领先学者。h o r n su g e r b e r 不仅将鞅方法引入到破产理论的研究中，而 且深化了经典破产理论的研究内容。他在3 0 年前写的数学风险论导引一书， 已成为当今研究这一领域的经典著作。j g r a n d e l l 3 在为他的专著a s p e e t so f r i s kt h e o r y 所写的序言中指出：“任一掌握了g e r b e r 的著作数学风险论导 引中所述风险理论知识的人皆可视为一精算师。” e d u f r e s n e 4 等研究了g a m m a 过程和逆高斯过程两类广义复合泊松过程。 研究的主要内容仍为破产概率，可利用经典破产理论的结果直接导出。 当代风险理论还有若干其他的有代表性的研究方向。 一种是完全离散的经典风险模型。经典风险模型大部分的研究是关于连续 时间的，但也有一些学者对完全离散的经典风险模型进行了研究。 另一种是重尾分布的风险理论。经典风险模型大部分的研究是关于“小索 赔”情形的破产理论，要求调节系数存在。对于“大索赔”情形的破产理论， 确切地说，对于重尾分布的破产理论研究就必须启用新的数学工具，如次指数 分布。这样的研究是用于火险，风暴险与洪水险等灾难性保险。e e m b r e c h t s 与 c k l u p p e l b e r g 5 等在这方面开展了较系统的研究。 再一种是具有复合资产的风险理论。迄今为止，绝大部分风险理论的研究 都不计利率保费收入一成不变，即不随瞬时盈余的多寡而有所调整，同时也不 涉及投资收益。直至最近，对具投资收益的风险理论的兴趣才猛增。 还有一种是保险数学与金融数学的交叉研究。h u g e r b e r 及其合作者几乎 已经把经典破产理论的研究做到了极致，而要从事现代破产理论的研究，需要 较艰深的概率论方面的知识( 如随机分析，点过程等) 这已经远远超出了精算 从业人员，乃至大多数从事精算理论研究人员的数学背景。这样，从1 9 9 4 年起， h u g e r b e r 的兴趣开始转向精算数学和金融数学的交叉研究。他和s h i u 6 合 作，利用传统精算学的工具，讨论了未定权益和永久性期权的定价，发表了一 系列引起广泛反响的重要文章，从而为经典破产理论的研究注入了新的活力， 他们的研究成果也引起了从事金融数学研究人员的关注，金融数学和保险数学 的交叉研究已成为精算学理论研究的新热点，其研究前景被普遍看好。 1 2 预备知识 先给出本文常用的随机过程的一般定义： 定义2 1 设( q ，f ，p ) 是概率空间，r 是给定的参数集，若对于每个t t ，有一 个随机变量z ( f ，) 与之对应，则称随机变量族( x ( t ，o j ) ，t t ) 是( q ，f ，尸) 上的随 机过程，简记为随机过程 x ( ，) ，t t ) 。t 称为参数集。 定义2 2 称随机过程 ( f ) ，t 0 ) 为计数过程，若n ( t ) 表示到时刻t 为止发生的 事件的总数，且u q ) 满足下列条件： ( 1 ) ( r ) 0 ； ( 2 ) ( f ) 取正整数值； ( 3 ) 若s t ，则n ( s ) ( f ) ； ( 4 ) 当s t 时，n ( t ) 一n ( s ) 等于区间( s , t 】中事件发生的次数。 洎松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下： 定义2 3 称计数过程 ( r ) ，t 0 ) 为具有参数兄的泊松过程，若它满足下列条 件： 2 ( 1 ) n ( o ) = o ； ( 2 ) n ( t ) 是独立增量过程； ( 3 ) n ( t ) 满足下列两式： p ( n ( t + h ) 一o ) = i ) = a h + o ( h ) p ( n ( t + 彬一( f ) 2 ) = o ( ) 定义中的条件( 3 ) 说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能 有两个或两个以上事件同时发生。因此泊松过程常被用来描述稀有事件的发生 过程。 泊松过程的来到时间间隔是独立同分布的指数随机变量，一种自然的推广 是考虑来到时间间隔独立同分布，但分布函数是任意的计数过程。这样的计数 过程称为更新过程。 设 以，n = 1 , 2 ，3 ) 是一列非负的随机变量，具有共同的分布f ，假设 ，( o ) = p ( 以= 0 ) l 则以表示第n - 1 个与第1 1 个事件之间的时间，记 2 e x 2ix d f ( x ) 表示相继发生的两事件的间隔的均值，并且注意到从假设以0 与，( o ) 1 可得 0 0 为一常数，表示保险公司在单位 时间收取的保险费率，s o ) 表示到时刻，为止的索赔总额。记s ( r ) = 以，r 0 t ， l 其中五表示第k 次索赔额，n ( t ) 则表示至时刻t 为止发生的索赔次数。 ( f ) ，t 0 ) 是以五为参数的泊松过程，由于未来时刻的盈余是未知的，u ( t ) 便 是一个连续时间的随机变量。此模型即为经典l u n d b e r g c r a m e r 风险模型。 考虑保险公司的资本金盈余过程 u ( t ) ：t 0 ) 随时间的积累问题：由于挣得 的保费，随机过程u ( t ) 随着时间连续增加，但是又由于对索赔的赔付，该随机 过程会逐段有下跳。当盈余过程首次出现负值，我们就说发生了破产。而相应 的概率就称为破产概率，即 、王， ) = p ( t o o i u ( o ) = “) ，v u 0 其中t = i n f t ：u ( t ) 0 ，称为相对安全附加因子。 我们的目的是获得对破产概率的具体表达式。要想直接得到这个函数表达式 非常困难，但l u n d b e r g ( 1 9 1 9 ) 发现一个间接的表达方法，即引入一个能起到中 介作用的参数，称为l u n d b e r g 系数或调节系数，先把破产概率表达为调节系数 的函数，再寻求对调节系数的计算。 i ：h ( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 两式知，调节系数r 满足下述等式： 。 兰f e “【1 一f ( x ) d x = 1 ( 1 2 3 ) 注意到 昙r 卜m 肋= 争= 南 o ，p 0 ，即 e m ( t ) e c , 一e n ( t ) e y , = ( g 口一筇) ， 0 。 2 3 预备引理 引理3 1 l i i i l u ( t ) = ，a s 证明：由，l i r a e m ( t ) = l ，i m w t = 0 0 ，l l m e n ( t ) = l ，一i m , a t = 0 0 ，显然f 寸时， f f 瑚 ，瑚 m ( t ) 寸0 0 ，口j ，( f ) 一，伽，所以据强大数定律知： l i m u ( t ) “l t l 翌一翌+ p w ( t ) 】：l i r t l f 芷一鱼二+1 t - h ”tt tt ：燃朵缉t 菇嘶t 熙业tf 一m ( ，)。，- 。( f ) 。，一，。 = a e c f j 纪f + p e ( f ) = q c t p p q ，n s 故l i r a u ( t ) = ，a s 定义3 2 根据模型( 2 2 1 ) 的假定，定义c ，的l a p l a c e 变换 妒( r ) = f e - 7 d g ( 石) ， 0 定义y 的矩母函数 r e ( r ) 2je r x d f ( x ) 引理3 3 对于过程 r ( t ) ，t o ) ，存在函数g ( r ) ，使得： e e “。】：c t g ( r ) 且方程g ( r ) _ 0 的解有唯一正解r 称之为调节系数。 m f t )n 0 1 证明：e e 一“r ) 】= e e x p 一“e c , 一r + 户( f ) ) 】 9 ；e x p 彬 妒( ，) 一1 】) e x p 肛【研( ，) 一1 】) e x p ( 字) = e ) 【p 时h m - l 】+ 竿 t 2 e i s ( ) 令g ( 垆咖- 1 】埘m _ 1 】+ 等 又：蔓氅尘：c t e e - c ( c ) 】+ f i e c r y + p ：r a r d _ = z g 。( 广r ) ：葩 e - r c c 2 】+ 肛”】，2 】+ p 2 d r 。 所以_ r i g ( r ) i ，i o = 一a v + p p o 毋2 故函数g ( ，) 在r o 内是一个凸函数，进而，只要理赔量y 以正概率取足够大的 值，! 里掣将一直保持为正，a n g ( r ) 在r 0 内有唯一的极小值点，3 l g ( o ) = 0 ， a r 于是g ( ，) = 0 方程有唯一的正根，我们记之为r 。在后文中出现的r 皆指该处的 调节系数，不再说明。 引理3 4 对于盈余过程( u ( f ) ，r 0 ) ，定义事件流纪= 盯( u ( f ) ，0 ，则： e - r u ( t ) ；舻，t 0 ) 是鞅。 证明：对v s t ，得： e 【e 一8 “p 5 ， = e e “”肿p l s f 】2 e e “”8 咖肌卜8 5 ”i p ，s f 】 钮【e 州”m k s t e e “舯阢j f 】 = c 肌”e x p 科则) - l 】州础) _ 1 】+ 竿) ( f 叫) ( ) = e r ( “+ r ( 瑚 ：p r u ( s ) 得订f j o ( ) 式成立是因为 r ( t ) r ( s ) ) ，。是一个平稳独立增量过程，设 村( - 1( ，) s ( f ) = c ，s ( f ) = r i - - ii - - 1 则r o ) 一矗0 ) = 【s ( f ) 一s 0 ) 】+ 【s ( t ) - s o ) 】+ p w ( t ) - 矿0 ) 】- 喜e 中s ( ，) 一s ( j ) ， s o ) 一s o ) ，( r ) 一矿o ) 是相互独立的，且s ( ，) 一s ( j ) 服从参数为口( r s ) 的复 合泊松分布，s ( f ) 一s 。( s ) 服从参数为p ( t s ) 的复合泊松分布，矽( f ) - w ( s ) 服 从n ( 0 ，t j ) 分布。又由引理3 3 ，所以有( ) 式成立。 2 4 主要结果 定理4 1 破产概率的表达式为：甲( 甜) 。面7 顽e 韧丽 一鼬 证明：显然，t 是盯 u ( f ) ，t 0 的停时，选取 t o ) 】e e 一。u i ( u ( t o ) 0 ) 】寸o ( t o 0 0 ，u ( t o ) 一叫 所以在上式中令t o j 。得：p 一= e e 一。“7 i r o o p ( t o 表示保险公司支付给投保 人的固定年金率， s ：( f ) ，t o ) 是参数为五，分布为最且最( o ) = i 的复合泊松过 程，2 0 ) 表示负风险和类中在区间( 0 ，f 】中“理赔”发生的次数，而k 2 表示 负风险和类中第k 次的“理赔”量( 对保险公司而言，这里“理赔”实为收入， 因当投保人死亡( 即“理赔”发生) 时，保险公司将从投保人那里收到一笔与 “期望抚恤金”相当的资金) ，m ( t ) 同上。 考虑一个含有这两类保险的保险公司的盈余过程u ( t ) ，则 u ( t ) = u 1 ( t ) + u 2 0 ) = “+ c m ( t ) 一s ( t )( 3 1 3 ) 其中“= u l + ”2 ，c = c 1 + c 2 ，s ( r ) = s ( f ) + s 2 ( f ) ，u ( r ) 是含两个正、负风险和类模 型的和的风险过程。 风险过程( 3 1 3 ) 有其实际背景。典型的负风险和过程( 3 1 2 ) 是寿险年金保 1 4 险。一个较大的寿险保险公司除了寿险年金保险外，常常还有像人生意外伤害 保险等这样的险种，而后者的风险模型可由正风险和过程( 3 1 1 ) 描述。 记巧的均值为h ，e 均值为2 ，为避免平凡的情形，本文始终假设 掣一( j l + 2 五) 0 。 。 3 2 积分方程 为讨论简单起见且不失一般性，本节及下一节假设两个复合泊松过程 墨( r ) ，t 0 和( 是( f ) ，f 0 ) 独立，且都与 m ( f ) ，t o 独立。这意味着 s ( f ) ，t o ) 是参数为五： + 如，分布为f ( x ) ： n e ( 曲+ & f a z ) ，。 0 ，即在( o ，f 。) 内破产不会发生，仿 1 6 q h ( 2 6 ) 式的 证明可得 巾( “) = 研中( u ( f ) ) 】( 3 2 2 ) 1 t ( 3 2 2 ) 式得 中( “) = m 妻- - o r 加“等e 1d t f = “。 + 删一x ) d f ( 工) = 薹泛万 乞i 鬲e 。中 + 硎一工，a ，c x ， = 薹西知【 r 一 + 册一x ) d e ( 工) + 五丘。 + 硎一功d e ( 圳 ( 2 ) c 0 ，即破产不会发生， 又t t o 为有界停时，与上类似有： 中( ) = 研巾( u ( r ) ) 】( 3 2 3 ) 由( 3 2 3 ) 式得： 嘶印砜删蓬肛m 譬。t c “蚴+ 删叫州x ， 玎卟i 薹_ - u | t c 赤”e 哪训兮等善等蔫吖“。”册哪 + 如m + c m x ) d e o ) 1 从上面的讨论可看出，c 的正负性不同，则o ( u ) 所满足的积分方程也不同。 3 3 l u n d b e r g 不等式 假设存在，0 ，使得r 个r o 时，m l ( ，) = e e x p r x j f l 】斗o d ，当， t o 时， m p ) ，允许r o = 。令 r ( f ) = c m ( t ) 一s ( f ) ，t 0( 3 3 1 ) 对r o - 0 综上知g ( ，) 在零点右侧附近小于0 且在( ，t o ) 上为凸函数，在左侧附近值大 t - o ，故g ( r ) 在( 0 ，r o ) 内有唯一正根。 利用鞅方法，仿 3 】第一章中( 2 0 ) 式的证明可得 甲( “) e x p ( 一r u ) s u p e x p ( 留( r ) )( 3 3 3 ) ，2 田 与经典风险理论情形类似，为使不等式尽可能精确，在保证s u p e x p 眙( ，) ) - 0 ，i - 1 ，2 ，= 以“，r ，= 1 ， u 耐( f ) = , 。+ c ，m ( ，) 一s “( f ) ，r o ，f = 1 , 2 u d ( f ) = u 1 d ( f ) + u 2 d o ) = + c m ( t ) 一s a ( f ) ，t 2 0 s d ( r ) = s d ( r ) + s 2 j ( f ) ，f 0 ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) 由于l 。和2 j 中有共同的分量n 1 2 ，故【，。, n u 2 。相关，即u 。( f ) 是含两个 相关的正、负风险和风险过程。模型( 3 4 3 ) 有其实际背景，例如投保人可能同时 持有寿险年金保险和意外伤害险，若一次汽车事故导致该投保人受伤死亡，则 可能在u 。与u 2 。中同时有理赔发生。 本节研究( 3 4 3 ) 中类之间的相关性对过程( f ) 的破产概率的影响，主要比 较u a ( f ) 与( 3 1 3 ) 中u ( t ) 的l u n d b e r g 指数的大小关系。 仿1 2 0 的证明方法可验证影( f ) 的矩母函数为 m 岛( 厂) = e x p 乃( l m l ( ，) + 五2 m 2 ( ，) + 2 m l ( ，) m 2 ( ，) ) 以一1 】 = e x p j t a t m 厅( r ) 一1 】) ( 3 4 5 ) 其中乃= 。+ 如2 + 2 ，而m 厅( ，) 是分布函数 乃o ) = ( l e ( 石) + 如2 最( x ) + 2 f l + 忍( z ) ) 乃，- 0 0 x o ，则r 0 故g ( ，) 在g j ( r ) 之前与石轴相遇，故r 0 ，不妨取c = 1 ，此 时方程( 3 4 9 ) 化为 三+ 上一9 6 + 6 ：0 966 e0 一十一一+ 。= 0 5 一rl + r 其唯一正根r = o 1 0 7 8 ，方程( 3 4 8 ) 化为 1 _ + 土+ 1 _ 上一7 6 + 6 e ：0 0 ，一，l + r0 5 一rl + ， 其唯一正根奶= 0 1 2 5 4 ，显然有r 0 ，不妨取 c = - 0 5 ，此时方程( 3 4 9 ) 化为 生+ 上一9 6 + 6 尹：0 l 一，0 5 + 厂 其唯一正根r = o 1 4 2 5 ，方程( 3 4 8 ) 化为 三+ l + 上1 一7 6 + 6 ”r ：0 0o e0 + 一+ 一一+ = l 一，0 5 + rl 一，0 5 + ， l q 其唯一正根心= o 1 7 7 5 ，同样有月 r d 设b = e x p ( - r u ) ，易= e x p ( 一r 。l f ) ，则b 和易分别是独立和相关时相应风险 模型的破产概率上界，代入例1 中的数据，得相应模型的破产概率上界的数值 如下表所示： “ 丑 b db d | b 10 8 9 7 80 8 8 2 10 9 8 2 5 30 7 2 3 7 0 6 8 6 50 9 4 8 6 50 5 8 3 30 5 3 4 20 9 1 5 8 l o0 3 4 0 30 2 8 5 40 8 3 8 7 1 5o 1 9 8 5o 1 5 2 40 7 6 7 8 2 00 1 1 5 8o 0 8 1 40 7 0 2 9 3 00 0 3 9 40 0 2 3 20 5 8 8 8 4 00 0 1 3 40 0 0 6 60 4 9 2 5 从上表最后一列可看出，随着初始盈余的增大，相关时风险过程的破产概率上 界与独立时风险过程的破产概率上界的比值呈递减趋势，这在一定程度上表明 随着初始盈余的增大，类之间的相关性对破产概率的影响会降低。 第四章一类更新模型的有限时间内的破产概率 4 1 引言 设非负随机变量序列j 0 ，n 2 1 表示独立同分布( i i d ) 的索赔额序列，其共 同的分布记为f = 1 - f ，索赔到来的时间间隔眈，行l 为独立同分布的非负随机 变量序列，且与索赔额序列相独立，记f 。= 吼，那么如下的随机过程通常称 为盈余过程： 呻) d a + 砂岫c ( 蚺一羔以e “，舢 ( 4 1 1 ) 这里“0 为初始资本金，( f ) ，t 0 为时间t 时的利息力， c ( f ) ，t 芝0 ) 是一 个非负非减随机过程，表示到时间t 时的总保费收入，n ( t ) 为时刻r 之前来到的 索赔个数，显然，这里的盈余过程为考虑了利率因素之后，在时间t 的总资产额。 若索赔来到的过程为泊松过程，即以服从参数为旯的指数分布，则( f ) 为强度 为五的泊松过程，若索赔来到的过程为更新过程，即索赔来到的问隔为i i d 的 一般随机变量，则( d 又称为更新过程。 为了考虑货币的时间因素，许多学者将模型推广到具有常数利息力度的场 合。该场合是对经典c r a m e r - l u n d b e r g 模型直接而有意义的推广( 参见 2 3 - 2 6 】) 。 本章考虑了索赔来到过程服从e r a n g 过程，即时间间隔分布服从e r l ( n ，a ) ， 周知，e r a n g 过程是一个在理论研究和工程实践中都非常重要的随机过程，因 此，将有关的结果推广到该过程是十分有意义的。事实上，关于西a n g 过程的 研究至今仍然十分活跃。 4 2 预备知识 如下的引理2 1 可参见【2 7 ，该引理在主要结论的证明中起了重要的作用。 引理2 1 对于如下的随机加权级数 w = 最以 ( 4 2 1 ) 其中，以，疗2 1 为非负的帕雷托随机变量，且为独立同分布的，幺，门1 是另外 一个非负的随机变量序列，且两个序列是相互独立的。若下面的两个条件之一 成立： 则有： ( 1 ) 0 口 0 ，有( 以“+ 以”) o 这里，。表示事件爿的示性函数，很明显有限时间的破产概率可以表示为： 甲( “，f ) = p ( u ( t ) 0 ，f o r s o m e t 0 i u ( o ) = “) ( 4 3 1 ) 对于每个t ( o ，t 】，我们有 方( f ) “+ r e p 岫c o ) a s 一羔以。一f 吖肿 ( 4 3 2 ) 因此，有限时间的破产概率甲( “，丁) 满足 甲( 地r ) 尸 + r p 巾“c ( j ) 西 “) = p ( 喜以e r “p ) “。鲫 甜) ( 4 3 6 ) 对( 4 3 6 ) 式的右端使用引理2 1 ，有 由于 而 尸( 喜以e f “哪k 。， “) j p ( 五 “) 艺n = le p l r 巾冲k 一 ( 4 3 7 ) 毒研e 1 p 吖订“卅】：r e l p “p 冲d ( 妻c ( 呦 ( 4 3 8 ) 一1n = l r e ( s ) = 巴( s ) 于是有 甲( “，r ) j 。r e - o p p 冲咖( s ) 定理3 2 若索赔额服从帕雷托分布，对于西肠增( 五) 风险模型，则渐近等价公 式为： 甲( “，r ) z j ( “) f 。r r ( v ) d v + , l s ) g ( 乃) 西 这里g 0 ) 为满足如下条件的函数： g ”( x ) = g ( 石) ，g ( 0 ) = g ( o ) = _ g ( “( o ) ，g ( “( 0 ) = 1 证明：首先对于具体的d k 愕过程来证明。当时间间隔服从d 忉愕( 2 ，五) 分布时， 由e r l a n g 分布的定义可知，此时f i 即为e r l a n g ( 2 ，旯) 分布，而此时f ：与 e r l a n g ( 4 ，五) 同分布，类似地q 与e r l a n g ( 2 k ，兄) 同分布，从而我们得到相应的 m ( s 1 满足： 掣= 丢善讹纠训h 等+ 等咄“ ：五! 竺二! ：竺p 一：五1 - e - 2 “ 从而有： m ，砂而r e 。“嘶) ：害f j ) r e l p ( p 胁( 1 - e - ：x ) 凼 对于一般的n 有： 掣5 劫归m 锚+ 器+ 器+ 加“ 则： 甲( ，r ) 五讯) p 小舢1 g ( a s ) a s 不难验证g ( 神满足下述条件： g 叶工) = g ( 工) ，g ( o ) = g ( o ) = = g ( “( o ) ，g ( “( o ) ：1 这是一个肝阶常系数线性微分方程，且已经给出了定解条件。从理论上说， 满足上述条件的函数是唯一的。 第五章带干扰的索赔次数为复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程的风 险模型下的罚金函数 5 1 复合p o i s o n g e o m e t r i c 分布及过程 【3 3 ，【3 4 首先提出了复合p o i s s o n - g e o m e t r i e 分布及过程的概念，下面再加 以简单介绍。 泊松分布的一个重要性质是方差等于均值，但是实际上索赔次数并不完全 遵循泊松分布规律，方差往往大于均值，这种现象相对于泊松分布来说称为散 度偏大 3 0 1 。刻画散度偏大的模型很多，如：广义泊松模型【3 l 】，混合泊松模型 【3 2 。在保险事务中，引起散度偏大现象有多方面的原因，一时受自然环境及各 种客观条件的影响，使得个体保单实际出事故的次数偏离泊松分布，其次是保 险公司及投保人增强了风险意识使得出事故的次数在0 处有更大的概率，另外 一个重要的原因是保险公司采用了回避风险机制，使得投保人在发生事故时会 权衡其利益得失而决定是否进行索赔，这样索赔次数小于事故发生次数。 设随机变量j 为个体保单在单位时间内发生事故次数，且 p ( x = 0 ) = 1 一口，e ( x 2 1 ) = 口，又设随机变量】，为保单在单位时间内实际索赔次 数，一般来说，p ( r = o ) 要比p ( x = o ) 来得大，当然p ( r 2 1 ) 比p ( x 1 ) 要小。 设p ( y = 0 ) = 1 一贷+ 印，则有p ( r 1 ) = a ( 1 一力，p ( 0 ，1 ) ，称，为偏离参数。 由于 p ( r _ 0 = a o - p ) = 口( 1 一力2 广， 设p ( r = k ) = a ( 1 一p ) 2 p k - 1 石= a ( 1 一力，则】，的分布为 e ( y = o ) = 1 7 t , p ( y = 七) = 万( 1 一p ) p - l , 七= 1 , 2 ， ( 5 1 1 ) 易计算y 的母函数为：g ，( f ) = 妻k = o 广尹( y = 亳) = l 一寻 孚设随机变量 j 一 月 x i ( 七= 1 ，2 ，拧) 独立，i l l i g , ( 5 1 1 ) 式给定的分布，则鼠= x k 的母函数为 k - l g 咒o ) = 【1 一气竺孚r ，由于万= p ( j ，1 ) 反映个体风险的大小，根据保险原则， 保单越多集体风险越小，即 增大时石下降。所以，当保单足够多且具有相对同 质性时，可取斤斗o o ，万一o ，行万哼五，得到 叫) 寸一“等) ( 5 1 2 ) 定义i i 称母函数g ( t ) 所对应的分布为复合p o i s s o n g e o m e t r i c 分布，记为 p g ( 2 ，p ) ，其中a 0 , 0 p 1 在 3 3 1 q 6 己证明了下面