（基础数学专业论文）关于一类特殊的（αβ）度量的性质.pdf

关于一类特殊的( q ，p ) 一度量的性质 学科专业： 指导教师： 基础数学 王佳教授 研究方向：微分几何 研究生：段春生( 2 0 0 0 1 9 9 1 摘 要 对于f i n s l e r 几何的研究，现在主要有两种方法，一种是张量的方法，一种是分 析的方法，本文主要采用了后者。 在f i n s l e r 几何中，我们现在已知的f i n s l e r 度量已经很多了，但大多数具体的 例子主要都集中在( o z ，卢) 一度量中，又在f i n s l e r 几何中一个基本的问题就是去发现 和研究具有常曲率的f i n s l e r 度量，基于这些本文主要研究了以下一些问题： ( a ) 一类| 臼关于。是平行的并且r i e m a n n 度量“具有常曲率的( n 疗) 一度量的 特殊性质。解n t 如t n 定理4 j 令f ( o ，卢) 为m ( d i m m 3 ) 上的正定的( o ，卢) 一度量。若，关于n 是 平行的并且r i e m a n n 度量a 具有常曲率卢则 ( i ) f 是具有常曲率k 的射影平坦度量； ( i i ) ( a ) 若k = 0 ，则f 是平坦平行度量； ( i i ) ( b ) 若k 0 ，则f = e c ( z ) n ，即f 与r i e m a n n 度量“是共形相关的，其中 c ( z ) = 扣( 等) l 一 ， ( b ) 与一类特殊的( 。，卢) 一度量共形相关的f i n s l e r 度量的一些性民悔到了如 下的 定理4 5 令f 为m ( d i m m 三3 ) 上与( n ，卢) 一度量f ( o 卢) 共形相关的正定的 f i n s l e r 度量，即有：f = e c ( z ) f 若卢关于。是平行的且r i e n l ：k l l l t 度量n 具：阿常曲 率“，则 ( 0 k = 0 时，f 是共形平坦的； ( i i ) k 0 时，f = e o ( 2 ) o ，即f 与r i e m a n n 度量是共形相关的； 其中e ( x ) = c ( 。) + f n ( 等) ，k 是f 的旗曲率。j 又一 一 ( c ) 射影平坦的r a n d e r s 度量f = o + 卢具有常曲率的等价条f 锡f 得到了如下的 定理5 1 令r a n d e r s 度量f = o + 卢为m ( d i m m 3 ) 上的射影乎坦度量，则f 具有常曲率当且仅当下面两式同时成立： 3 ( 圣2 ) 。d + 6 雪( o p 。+ o 。卢) + 1 6 # a 2 卢( n ，卢一“伊。) = 1 2 ( p ? n i + 4 ( 1 3 ( 垂2 ) ；p + 6 q ( a a ：+ 卢p i ) + 8 p n ( n 24 - 口2 ) ( o ，卢一a f t ，) = 1 2 西2 廖，+ 2 ( ( 1 1 + ，! ) ， 其中p 为r i e m a n n 度量a 的常曲率，圣：= 7 o u = r i j y t g j ：= d f 7 扩夕7 一 ， d ) f l 为闭的s t - e n 度量f = i ! 专譬与r i e n t a n n 度量“射影相关的等价条f 拇 到了如下的 。 定理5 4 令s h e n 度量f = i ! 专譬为m 上的闭的( 卢) 一度量，则p 与rr 是自t 影相关的当且仅当t o o = 0 或a 2 6 。= f i y i ( y i ：= a i j y j ) ) 户“一 一关键词：f i n s l e r 度量；( a ，卢) 一 f 量0 常曲率i 射影相关；共形相关i 2 o nac l a s so - fs p e c i a l ( a ，f 1 ) - m e t r i c m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t u t o r ：p r o f w a n gj i a a u t h o r ：d u a nc h u n s h e n g ( 2 0 0 0 1 9 9 ) a b s t r a c t n o wt h e r ea r et w om e t h o d so nt h er e s a r c ho ff i n s l e rg e o n m t r y ( ) 1 1 ( 、s h i “，l l h o l m e t h o d ，t h eo t h e ri sa n a l y t i cm e t h o d i np r e s e n tp a p a e r ，w em a j o r l yn s et h el a t t l l r i nf i n s l e rg e o m e t r y t h e r ea r em a n yf i n s l e rm e t r i c st h a tw 、1 l a w 、k n o w l tl o t st ) f c o n c r e t ee x a m p l e sa r e ( o t ，p ) 一m e t r i c s a n do n eo ff u n d a m e n t a lp r o b m n si nf i n s mf 【l e t r yi st of i n da n ds t u d yf i n s l e rm e t r i c sw i t hc o n s t a n t ( f l a g ) c u r v a t u r eo nt l m s i , w ( 、 m a j a r l ys t n d yt h ef o l l o w i n gp r o b l e m si np r e s e n tp a p e r ： ( a ) t ot h ep r o p e r t yo fac l a s so f ( o ，f 1 ) - m e t r i c si nw h i c h 卢i s1 ) a r m l e lw i t hr e s p ( ! ( ：tt o r i e m a n nm e t r i co za n dr i e m a m l nm e t r i cai so fc o n s t a n tc u r v a t u r e v c eo b t m nt h ef i f t hj w i n ：； t h e o r e m 4 3l e t f ( a ，卢) b e a p o s i t i v ed e f i n i t e m e t r i co n t h en l & l t i f f ) h i m ( d i m k f 2 ：扎 i f 口i sp a r a l l e lw i t hr e s p e c tt or i e m a n nm e t r i coa n dr i e l n a n nr e e l r i ( + ni so fc o l l , 4 t u l f c u r v a t u r e “，t h e n ( i ) fi sp r o j e c t i v em e t r i cw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r ek ( i i ) ( a ) i fk = 0 ，t h e nf i sf i a t p a r a l l e lm e t r i c ( i i ) ( b ) i fk 0 ，t h e nf = e c ( 。) o ，i e fi sc o n f o r m a l l yr e l a t e dt jr i t ! l l l t l l l l t t i lm w h e r ec ( x ) = ；z n ( 等) ( b ) w ot h ep r o p e r t yo fac l a s so fm e t r i c sw h i c ha r ec o n f o r m a l l yr e l a t e dt oas p e ( i a l ( a ，卢) 一m e t r i c ，w eo b t a i nt h e f o l l o w i n g t h e o r e m 4 5l e tfb ea p o s i t i v ed e f i n i t em e t r i co nt i l em a n i l b l dm ( d i m m 3 ) t h a t i s c o n f o r m a ! l yr e l a t e dt o ( o ，卢) 一m e t r i cf ( n 卢) ，i e f = e c ( 。) f i f ，ji sl i r a ；1 1 1 lu 。i t h r e s p e c tt or i e m a n nm e t r i caa n dr i e m a n nm e t r i cai so fc o n s t ；t l t tc l u v a f l i l 、l i h * ! l l ( i ) w h e nk = 0 ，fi sc o n f o r m a l l yf i a tm e t r i c ( i i ) w h e nk o ，f = e “o ，i e fi sc o n f o r m a l l yr e l a t e dt or i e l l l a l l nl l l e t l i l m w h e r ec 协) = c ( x ) 4 - ；机( 嚣) ，a n dki st h ef l a gc n r v a t u r eo ff 3 ( c ) w ot h en e c e s s a r ya n ds u f f i c e n tc o n d i t i o nt h a tp r o i e c t h 1 1 yf l a t r a n ( h r s e fr i t f=n4 - 序i so fc o n s t a n tc u r v a t u r e ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m 5 1l e t r a n d e r s m e t r i c f = o + 口b e p r o j e c t i v e l y f l a t l u o t l i c o n t l ”m a n i b l , i m ( d i m m 3 ) t h e nf i so fc o n s t a n tc u r v a t u r ei fa n do i l l ) i ft h ef o l h , x 、i n gh o l d 3 ( 垂2 ) 。o4 - 6 中( o p 。+ ( y ：卢) 4 - 1 6 # a 2 声( q ，卢一n p 。) = 1 2 小! t | ，+ 4 a f l , p 3 ( v 2 ) ：卢4 - 6 零( a a 。4 - 卢黟。) 4 - 8 p a ( a 2 4 - 卢2 ) ( “，卢一q p ，) = 1 2 , i , 2 ，+ 2 ( n 2 + 产) 巾 7o ( j27 i ，7 ：。 ( d ) t ot h en e c e s s a r ya n ds u f f i c e n tc o n d i t i o nt h a ts h e ni i l l j t r i ( f = o 坐i sl l l f j 一 t i v e l yr e l a t e dt or i e m a n nm e t r i cow h e n 卢i sc l o s e ，w eo b t a i nt h ( 1t b l l i t l g t h e o r e m 5 4l e ts h e nm e t r i cf = 鱼专竽：b e ( 。，卢) 一l l l ( 、t r i co nt h el n t u i l k ，l i l 、【( r l i l l l 、i 3 ) i nw h i c h 卢i sc l o s e ，t h e nf i sp r o j e c t i v e l yr e l a t e dt or i e l m u m1 l i ( ! t r i c ( pi fa n f lo u l ) i dr 0 0 = 0o r0 2 6 。= f l y i ( y i ：= a i j y 3 ) h o l d s k e yw o r d s ：f i n s l e i m e t r i c ，( o ，卢) - m e t r i c r i e i n a n nm e t r i ( ：r a n d e l s1 1 1 ( 、t r i r s h e nm e t r i c ，c o n s t a n tc u r v a t u r e ，p r o j e c t i v e l yr e l a t e d ，c o n f o r m a l l yr e l a t e d m i n k o w s k in i ( , t r i c ，f i a t p a r a l l e lm e t r i c ，ac l o s e d1 - f o r m 4 西“cremnaner甜舱仡ruca吼0ceh 硌 可p 矿 i ； h bw 峨 一引言 1 8 5 4 年，b r i e m a n n 在他的划时代的“h a b i l i t a t i o n s v o r t r a g ”一文中针对黎 曼空间引入了r i e m a n n 曲率，从而研究这类正则度量空间的几何称之为r i c l l l t t l l l l 几 何r i e m a n n 也试图研究更广泛的正则度量空间，但是他在引入曲率这一概念时遭 遇到了失败此后，过了半个多世纪，在这个方向都没有显著的进步，直到1 9 1 8 年 p f i n s e r 在他的一篇没有公开发表的论文中研究了在一般的正则度量空间中的曲线 和曲面的变分问题时才打破了这个僵局，正因如此，后来把这样的正则度量空间称 之为f i n s l e r 空间，遗憾的是，f i n s l e r 却没有就正则度量空问的曲率的研究走的更 远，事实上，他在毕业后就把他的主要精力放在了集合理论的研究中了。担当起在 f i n s l e r 空间中引入曲率的重任的人是l b e r w a l d 。是他，第一个成功的把r i ( ! l l l a l l l l 曲率的概念推广到了f i n s l e r 空间，同时，他还介绍了一个非r e t n ；t n l l 量一一b e r w a l d 曲率，从这点来说，b e r w a l d 才是f i n s l e r 几何的真正奠基人。 关于f i n s l e r 度量的局部几何结构在p f i n s l e r 于1 9 1 8 年的开针陛工作过后已在 很大程度上被了解了，参见( 【c a 】， f i j r u 等) ，同时，在f i n s l e r 几何中发展起来的 几何方法在对来源于生物学，物理学和其他领域的一些问题的研究中也起到了很大 的作用，参见( a b p a ， a n z a ， m i a n 等) 。并且f i n s l e r 几何在很多领域都取得了可 喜的成绩。比如，最近关于常曲率f i n s l e r 空间的分类就取得了很大的进展。首先， z s h e a 在( s h 2 1 ) 中完成了具有常曲率且射影平坦的r a n d e r s 空间的分类，接着他又 在( s h l ) 中完成了射影平坦的f i n s l e r 空间的分类；其次，x c h e n 和zs h e n 在合作 的( c h s h l ) 中完成了具有常曲率且l a n d s b e r g 曲率与c a f t a n 张量成比例的r a m t c r s 空间的分类；最后，d b a o ，c r o b e l s 和z s h e n 又在他们的( b a r o s h ) 中完成了具 有常曲率的r a n d e r s 空间的分类，这个分类在( s h 2 ) 的结果上前进了一大步，再比 如，关于射影平坦度量和具有常曲率的度量之间的关系的认识。以前我们知道的射 影平坦度量都具有常曲率，因此我们曾一度猜测这是否具有必然性，然而在db a o 和z s h e n 的( b a s h ) 中被证实是错的，因为他们构造了第一个非常曲率的射影平坦 度量。那么反过来，即具有常曲率的度量是否都是射影平坦的呢? 这个猜测也足错 误的，这样的反例在( s h t ) 中有无数多个，至此我们发现这两者之间其实没有必然 的联系。 现在我们已知的f i n s l e r 度量中，( n ，p ) 一度量是我们知道和了解的景多的度 量( o ，p ) 一度量这个概念是日本数学家m m a t s u m o t o 于1 9 7 2 年( m a 6 m a 7 j ) 在已 被物理学家关注的r a n d e r s 度量f = o + 卢( 其中。表示r i e m a n n 度量，表示1 阶 微分形式) ( 【a s 】，【i n 】) 的基础上而提出的，关于( c x ，盈) 一度量，已有许多几何学家进行 了研究，参见( f b a r o s h c h s h l c h s h 5 1 ， h o i i k i l ，瞰a 1 1 m a 2 j o h s j , 2 1 s h 7 】等) 。 测地线在f i n s l e r 几何的研究中无疑扮演了一个重要的角色，因此，我们在第三 节介绍了z s h e n 关于( o ，p ) 一度量的测地系数的计算方法，并用这套方法计算得到 了一些具体，重要的( o ，p ) 一度量的测地系数( 引理3 4 一一引理3 9 ) ，然后在此基础 5 上考虑了( n ，卢) 一度量与r i e m a n n 度量n 射影相关的条件( 命题3 3 和定理5 ”，在 第四节考虑了( o ，p ) 一度量在一定条件下的一些特殊性质( 引理。l1 引理4 2 定理 4 3 ) 以及与一类特殊的( a ，卢) 一度量共形相关的f i n s l e r 度量的一些性质( 定理45 ) ， 在第五节我们研究了一些具体的( o 口) 一度量的一些性质( 推论44 定理5 1 推论 5 2 ，命题5 3 ) 。 二预备知识 令y 是一个n 维实向量空间。y 上的一个m i n k o w s k i 函数是指函数上 y _ 0 ，o 。) 同时满足 ( i ) 在v 一 o ) 上三是g 。的； ( i i ) l 是正2 阶齐次的，即 l ( a y ) = a 2 三( ) ：a 0 ，y v( 21 ) ( i i i ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式跏是非退化的，其中 毋( “，”) ：= ；蕊0 2 阢+ s “+ t t l ) k ，。 ( 蝴) 这时( e 工) 称为一个m i n k o w s k i 空间。如果对任意的y v 都育三( 一) = 工( 们则 称三是对称的。现在令 e n ：1 为矿的一个基和y = y i e 。y r “，让 吲小= ；石丽0 2 l ( ) ( 2 那么则有 g y ( u ， ) = g i j ( y ) u 。u ，u = 让。e l ，勘= 7 e j 对具有正则圆锥区域c 的向量空间y 上的一个非奇异m i n k o u , s k i 函数，我们可 以定义一个重要的几何量一一c a r t a n 挠率。对y c 一 o 令 c | i k ( y ) ：= l p t ”j i ( ) ( 2 4 ) 定义g ：= v o v o v t l ，其中 岛( u ， ，叫) = c i j k ( y ) u 2 w k “= u 2 e 2 ， = 矿e j ，州= 州。e 则称c ：= q ) y e c f o ，为c a r t a n 挠率。 令m 是一个n 维流形m 上的一个f i n s l e r 度量l 是指函数l ：t m 胛 同时满足 ( i ) 在t m 一 o 上工是g o 。的； ( i i ) 对任意的z m ，函数l 在已m 上的限制l “= 三h 吖是一个m i n k k i 函数，即 6 ( i i a ) l 。是正2 阶齐次的，2 即 如( a y ) = a 2 如( ”) ， a 0 ，y l ” ( ) ( 25 ) ( i i b ) 对任意的y b m o ) ，在b m 上的基本形式舢足非退化的，其中 鲰( ， ) ：= i 1 丽0 2 ( y + s u + t o ) k f - 。， 这时( m ，) 称为一个f i n s l e r 空间。如果对任意的y 瓦 ，都有l 一) ：f ，l 则称工是对称的 令f 为m 上的正定的f i s l e r 度量，对v o y t m p 儿f 在7 j ，m 上诱导 了如下的一个内积跏 鲰( 叩) ：= 矧啪) “v = ；i f 2 咖m ， f 26 这里z = ( ) 表示p m 的坐标和( z ，) = ( 一，y t ) 表示l a ，的局部坐环。若 c ( t ) 为f 的一条测地线，则它的测地方程为 型(t)+2gi(dt2 c ( t ) 生d t ( t ) ) ：。 、”，。，1、。jj 一” 其中 g ：= ；9 “ i f 2 kr 圹一 ，2 称为，的测地系数0 “) 为慨r ) 的逆。定义 g ：= 万0 2 g ，) 杀 这个向量场是整体定义在切空间t m 上的，从f 的齐性我们有 g 4 ( z ，a ) = a 2 g z ( z ，) ， 0 我们称g 为f 诱导的一个f i n s l e rs p 口r 。令 蟛( 训) ：= 可o c z 【, z ，9 ) r j 。：= 百0 而2 g i ( 删) 我们称叼为f 的联络系数，1 1 妊为f 的c h r i 8 t o f f “符号。 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e t 度量，则它们的测地系数之间的 关系有下面的 引理2 l ( f s h 3 ) 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i w l m 度量，则它口】的测 地系数虿与g 之问满足如下的关系： 虿= g + p y + q 7 2 1 1 】 ” j 仁 洲 其中 p ： - f i k 些k 2 f i q = 寻矿( f l “扩一f ) o 这里f f ：= 万o f ， “i ”表示f 关于f 的水平协变导数。 如果( 2 9 ) 中的q i = 0 ，p ( x ，a y ) = a 尸( z ，g ) v a 0 ，z ，y 、，则称7 i 与，足 射影相关的。如果f 是标准的欧氏度量，则称f 是射影乎坦的。关于射彬下坦我 们有：若f 与f 是射影相关的，则f 是射影平坦的当且仅当f 足射影y - 坦的，下 面我们介绍几个与射影相关的引理 引理2 2 ( f y a j ) 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e r 度量，如果f 与f 是 射影相关的并且f 具有常曲率，那么f 也具有常瞌率当且仅当q ，= 只厂r ，r ，= ( ) ， 其中p = 坐2 f 芝为射影因子， “i ”表示f 关于f 的水平协变导数。 引理2 3 ( s h 3 1 ) 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i n s h 、r 度量且它们是射影 相关的，其中射影因子为p 。如果f 具有标量曲率a ( z ，) 那么f 具育标量曲率 - ( z ，) ，并且下式成立： x ( x ，”) f 一a ( z ，v ) f 2 = 兰 ( 2 1 2 ) 其中 , - z - ：= p 2 一日 扩 ( 2 1 ：j ) “f ”表示f 关于f 的水平协变导数。 引理2 4 ( r a p ) 令f 和f 分别为m 上的两个正定的f i n s l e r 度量，刚f 与r 是射影相关的当且仅当f 满足 - e l f y 一- f i k = 0 “i ”表示f 关于f 的水平协变导数，这时f 与f 的测地系数的关系为 其中 p ：f 1 k ：y k 2 f 1 2 1 ) g j = gl p l r 令f 为m 上的正定的f i n s l e r 度量，对v 0 y l a ，p 从定艾口r + t d d 曲 率为 岛= 巧削如。妇。出。丽0i p ：乃m 。耳m 。耳 ，_ t , , a i 其中 巧“( 叫：= 丽0 3 g i ( 啪) jj 如果b = 0 ，则称f 为b e r w a l d 度量。 定义平均b e r w a l d 曲率为 马= e j k d x j o d x b ：t p m o 乃m _ 曰 8 其中 定义l a n d s b e r g 曲率为 其中 l i j k ( x ，y ) ( 删) ：= ；b ，m l ( 训) 岛= 三巧k d x o d x j o d x 。i p ：为m o 耳吖。乃a ，一7 j f 2 儿； ；”“，。r ( z ，”) b o e ( 。，”) = 一互1 ”m ”，。，( z ”) 百i ；万i ( r “) r 。- - 如果l = 0 ，则称f 为l a n d s b e r g 度量 定义平均l a n d s b e r g 曲率为 已= o d x 2 ：m r 其中 五：= g j k l i j k 定义d o u g l a s 曲率为 岛= 蟛f 如。如 如。杀t p m 。t p m t p m - - - - + t p m 其中 伤“= b ；k l - - ；再2 了 马* 研+ 马z 畦+ 最r 巧+ 等1 如果d = 0 ，则称f 为d o u g l a s 度量。 定义r i e m a n n 曲率为 吼= 磁如。杀耳m t v m f 21 8 2l ” 其中 磁：= 2 篆一丽0 哥2 g i 卅z g 一巧0 面2 g i 一丽o g i 万o g i ， r i e m a n n 曲率的迹 r i c ( x ，y ) ：= ( n 一1 ) r ( y ) = r 嚣( z y ) 称为r i c c i 曲率和r ( x ，g ) = 击t 只i c ( 。，) 称为r i 删标量。 w e y l 曲率为 = 吮如。杀i p ：耳m 一乃m 其中 峨：= a ；一而1 筹矿 9 f 2 2 l 2 2 2 a ：= 兄i r r ：= 而1r i c = 而1 矗： ( 2 2 ： ) 我们知道d o u g l a s 曲率和w e y l 曲率是f i n s l c r 几何中的两个重要的射影不变量，关 于它们我们有重要的 一 引理2 5 ( m a 5 ) 一个f i n s l e r 度量是射影平坦的当且仅当 d = 0 ， w = 0( n 2 )f 2 2 4 1 d = 0 ， k = 0 ( = 2 ) ( 2 2 5 ) 对一个二维平面p c 耳m 和0 y 乃m ，我们定义旗曲率为 k ( p ，y ) ：= 丽丽g 再y ( u , 可r u ( 丽u ) ) ( 2 ，2 6 ) 其中p = s p a n y ，u ) ，显然k 。0 = 辛r = 0 。如果k ( p ，y ) = a ( ) 即( p ) 与所 选平面无关，则称f 具有标量曲率k = a ( ) ，在一个局部坐标系下，这等价于 r i = a f 2 瓯一等) ( 2 2 7 ) 如果a 是一个常数，那么我们称f 具有常曲率。对一个r i e m a n n 度量而言我们有 引理2 6 ( s h a ) 令9 为m 上的r i e m a m i 度量，则下列条件等价： ( 1 ) w = 0 ； ( 2 ) g 具有标量曲率； ( 3 ) g 具有常曲率； ( 4 ) g 是局部射影平坦的 若f ( z ，y ) = f ( y ) ，即f 只与切向量y 有关，而与点的位置无关，则称f 足局部 m i n k o w s k i a n 关于局部m i n k o w s k i 度量我们有 引理2 r ( s h 3 ) 令f 为m 上的正定的f i n s l e r 度量，则f 是局部m i n k o w s i a n 当 且仅当b = 0 ，r = 0 若f 与f 有关系f = e c ( 。) f ，则说f 与f 是共形相关的，其中c ( x ) 称为共形 因子。说f 是共形平坦的是指如果f 与一个局部m i n k o u ，一“度量是共形相关的， ( o ，卢) 一度量这个概念是日本数学家m m a t s u m o t o 于1 9 7 2 年在已被物理学家关 注的r a n d e r s 度量f = q + p 的基础上而提出的令m 为一个，l 维流形。说f i r i s h 度量f 为m 上的( o ，卢) 一度量是指f ( x ，y ) = f ( 叱卢) 为正l 阶齐次函数，即 f ( a a ，a ) = a f ( n ，3 ) j v a 02 孙) 其中a ：= 、n 玎( z ) 矿为r i e m a n n 度量，卢：= 6 ：( z ) 矿为1 阶微分形式。在本文中， 我们总假定口0 ，即昂：= 丽o f b 如果岛饥= 魂b ，岛瓯：= 磬，则称卢是闭的。 若b i l j ：= 岛k b r 略= 0 ，则称p 关于。是平行的其中w ，为r i e t n a n n 度量“ 的联络系数。 1 0 一个( a ，b ) 一度量f ( a ，卢) 称为是一个平坦平行的f i n s l e r 度量，如果r i e l n a n , 度量是平坦的( i e = 0 ) 且卢关于。是平行的 在这里，我们介绍如下几类我们知道且又特殊的( o ，卢) 一度量： ( 1 ) r a n d e r s 度量f = o + 反 ( 2 ) s h e n 度量f = 华； 、 ( 3 ) m a t s u m o t o 度量f = 禹； ( 4 ) k r o p i n a 度量f = 譬； ( 5 ) m k r o p i n a 度量f = 譬( m 0 ，一1 ) ； ( 6 ) h o i i 度量f = o + 譬 对于h o i i 度量，我们有 引理2 , 8 ( h o l i ) 令f = o + 譬为m 上的正定的( 叱卢) 一度量，则f 是射影1 7 坦的当且仅当p 关于a 是平行的并且。具有常曲率 在这一节的最后我们介绍一个代数上的重要引理 引理2 9 假设( 1 ) 矩阵( q q ) 为一n 阶的可逆复方阵，其逆记为( q 。) ( 2 ) 存在复数勺，使得= q 5 j c 。，j = 1 ，n ，那么 ( a ) d e t ( q q + q 勺) = ( 1 + c 5 c s ) d e t ( q i j ) ( b ) 若1 + 一岛0 ，则( q 巧+ c f 勺) 可逆，且逆矩阵为( q 妇一t 干k c 味 三( a ，p ) 一度量的一些基本张量和测地系数g t 的计算 本节首先介绍z s h e n 关于计算( o ，p ) 一度量的测地系数的一种方法，然后在此 基础上得到了一个射影相关的充分条件，最后运用z s h e n 的方法计算得出了一些 重要的( 吼纠一度量的测地系数 在【m a 2 】中， m m a t s u m o t o 介绍了在流形m 上的( n p ) 度量的基本张量 g q ( z ，y ) 的表达式，即 9 玎= p a i j + p o b i b j + p l _ ( b i y j + b j y i ) + p 2 y i y j ( 3 1 ) 其中 叭：= 口玎0 ) ，p = f ，k 。，p o = f 乃口+ 乃f ， p l = ( f r 口+ f 口昂) 屈，p 2 = ( f f n 。+ f n f n f 只f e ) f t 2( 32 ) 遗憾的是他没有再继续深入计算下去，下面我们将通过一定的改造并运蹋一定的计 算技巧把这个工作进行下去 现令f ：= f ( a ，卢) = o 庐( 卢a ) 为流形m 上的( n ，卢) 一度量，则有： f n = 妒+ 。( 一皋) = ：( f p ) ，彤= n ：= ，r 口= 乃。= 一景矿 f o 。= 一5 一 景+ 鲁( 一皋) 们= 7 = 一鲁f n 一，昂，= 一；e 。( 。剐 其中f n ：= 筹，昂。：= 貉，并且：= ( 鲁) ，：= ( ：) 都视为以：为变量的一元函 数，比如毋= ( 譬) 2 ，那么= 警，= 2 ，从而由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 及( 3 3 ) 可知( m 一卜度量 f 的基本张量 g i j = p a i j - i - p 0 6 i 幻+ p l ( b i 鲫+ q 叭) + ，) 2 叭蛐 ( 3 4 t 其中 玑：= n 。j ( z ) ，p = f f j a = a c 。f , 1 = 妒r p o = f & z + f b f b = a 审之串f = 币审t + 串审一 现令 p2= = = = = p l = ( f r 口+ r 乃) a = 丢m 一知) + 三( f 一硝】 = 兰f 一鲁咖咖”一譬+ 三f 】 = 刍 f 一p ( 庐+ ) 】 1 。壶( f 一跏) ， 去陋咖等+ 刍( f 一卢们2 一。去( f 一肼，) 】 刍【鬟+ 。1 。f 。+ 肇曲7 一筹f 一击( 一，膨，) 壶( 暑跏一墨f ) 一暑刍( f 一g p o ) 一曼p l ( 3 5 一万p l r b ：堕： p 2 6 ：= p 0 - - r p 2 p 口 n p r p ：= 了p 2 = 蕊南湫7 + 洲) p ：。了。磊i i k 面- 丽【妒庐+ 庐。j 一“咖寸 = 孬喾南t g p o f 以2 万币丽一t 9 j 则我们可以重写( 3 4 ) 为 k ：= y i + c b i g i j = p ( a i j + 5 b i b j + p k y j ) ( 3 7 ) 令 则 再令 其中 从而 a i j ：= a i j + 6 b i b j g i j = p ( a i j + 卢k 巧) ( 3 8 ) q 玎：= a i j , c i = , g b , ，c = a i mc r n = 一6 m = 、孔7 ( 3f j 6 l ：= n ”“6 t n 1 + 白一聋1 + 、如“、孤= 1 + d n “b 。b t = 1 + 巧矿 这里 6 ：= 1 1 卢1 1 n = s 嘶吼雌盯器= 丽 1 1 0 ) 显然1 + 6 b 2 0 ，从而由引理2 9 ，我们可得 其中 现令 其中 a ”= o ”一7 b 护 d e t ( a i j ) = ( 1 + , i b 2 ) d e t ( a i j ) jo 7 。丽2 面再面帮 y i ：= a i j y j = y i + a b 2 f 2 一歹7 又令 y ：= 雁= 佰i 而鬲西= 痧可再丽 从而运用与上面一样的技巧，对( 3 8 ) 利用引理2 9 ，我们可得 其中 9 玎= p - t ( a j 一叩y y j ) 置】1 ( 3 1 2 ) ( 3 1 4 ) d e t ( g i j ) = p n ( 1 + i l y 2 ) d e t ( a i j ) ( 3 1 5 pr ，z - n - - 3 小r - 凡。 2 南亍万币i 可蕊正丽 ( 3 1 5 ) 把( 3 1 1 ) 代入( 3 1 荀我们则有 9 巧= p 一1 ( a t j r b 驴一q y y j ) 一d e t ( g i j ) = p n ( 1 + p y 2 ) ( 1 + 5 b 2 ) d e t ( a i j ) ( 3 1 7 ) 这样，我们得到了 引理3 1 令f ( a ，3 ) 为m 上的( o ，卢) 一度量，则它的基本张量u ( ，) 及其逆 g i j ( x ，v ) 以及矩阵( g , a x ，f ) ) 的行列式的值分别为 g i i = p ( a i j + d b i b j + 芦k 巧) g i j = p - 1 ( n u r b i b i 目y 。y j ) ， d e t ( g i j ) = p n ( 1 + p y 2 ) ( 1 + 6 b 2 ) d e t ( a i j ) ( 3 i s ) 其中p ，p ，6 ，r ，y ，q 分别为( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 1 6 ) 中所定义的那样。 下面我们将去计算( a ，p ) 一度量f ( n ，卢) 的测地系数g 的一般表达式，由引理 2 1 可知，对( n ，卢) 一度量f ( a ，p ) 和r i e m a n n 度量n 而言，的测地系数g 与虿有 如下的关系： g = 虿+ p y + q f 3 1 9 ) 其中 p ：攀 翻) ) = 鲁9 “( e l “扩一唧) ( 3 2 1 ) 这里凡：= 习o f ，“i ”表示f 关于。的水平协变导数。 下面我们将去计算( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 我们知道蜀女= r a 陋+ 毋饥，而由【s h l 】知道，m 上的任何一个f i n s l t - r 度量关 于它自身的水平协变导数都为0 ，因此a l k = 0 ，故 靠= 昂徘= 昂b i l k y 2 用y 对( 3 2 2 ) 缩并则有 蜀 扩= f b b i l k y 扩= f 口7 。o 【) 这里 r 0 。：= ”巧= ；( b i 。l j + b j i 。) 矿矿= 阢b 2 矿 因此出( 3 , 2 0 ) ，( 3 2 3 ) ，我们可以得到 p ：业 2 f 1 4 f ：j 2 2 f ：j 2 3 1 1 3 2 4 ) 现甩对( 3 2 2 ) 两边微分有 铀= ( 警f n 口+ 6 t 乃3 ) 岛 + m 一 从而用y k 缩并【3 2 5 ) 然后减去蜀，一则有 f i k t 矿一f i = 卷r 口枷 f j z ) 确。十如酶p 一蜘3 其中 令 则有 故 s | o ：= s l j y 3 = ；( 6 f ! 。一b j l t y j ) = ；( 幻j 。一i 以 趣l o = 2 s j o + 局f 、s f o = 0 把( 3 2 7 ) 代入( 3 2 6 ) ，我们可得 啪扩一最= 警兄肿。+ 6 缈。+ 2 耶 这样我们把( 3 i s ) ，( 3 2 8 ) 代入( 3 2 1 ) ，则有 其中 q 。= 。；：= s ，：= 。“s l j s ，：= b z 为2 “， s 。：。j = 幽= 幽。护：；。”b i b j2 利用( 3 渤，( 3 1 跣( 3 2 7 ) 对( 3 2 9 ) 进行改造并合并同类项剐有 q 4 = 2 f ) 0 2 i 等一q ( 尝w 。之6 啪”+ 2 乃孙。r 1 ” + 要p 一1 r p 啪6 1 + 2 s 3 一：r r 扩。扩一r 矿d 。曲 一丢昂即酽一私( 警r ，而。+ 如场啦+ 2 昂孙，j 和譬，一轰a 时脚o o + a 知u 删节“珀1 ) + 2 灯、h + 鲁p 一- 【( f 芦p r o o 一：r 咒4 r 0 0 一r 6 2 乃3 r o o - 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