（应用数学专业论文）时滞和脉冲动力系统在经济模型中的应用研究.pdf

学位论文的主要创新点 一、对物价微分方程模型，考虑到了商品生产厂家从对商品信息了解到调控商品 生产有一个时间滞后；还考虑到了需求对价格上涨率的依赖程度，当价格不超过 购买力所能承受的价格时，需求刺激物价上涨，而当价格上涨超过购买力所能承受 的价格时，随着价格的上升，需求会下降，为合理调控物价提供了有力的理论依据 二、提出了一个具有分布时滞的金融系统，并且研究了这个系统复杂的动态行 为，通过研究，对商业市场的周期性及其不规则性提供了解释；然后又对这个金融 系统进行了脉冲控制，通过脉冲控制，在某种程度上能够有效地控制商业市场健 康有规律的运行 三、企业集群类似于生物生态系统，鉴于这一事实，提出了一个基于生态学理论具 分布时滞和脉冲收获的企业捕食一食饵模型，获得了企业破产和共存的阈值，并且 得到了一些有经济意义的理论结果，也证明了最终影响企业命运的一些因素 摘要 时滞和脉冲是经济数学模型中的两个重要的影响因素，对具有时滞和脉冲的 经济动态系统的研究是微分动力学领域的前沿课题之一，一些经济现象不能纯 粹的利用常微分方程来描述，在实际的生产生活中，并不像数学表达式一样有规 律，往往事物表现一种时间滞后和脉冲跳跃现象事实上，用时间延迟和脉冲扰动 可以更有效地描述现实的经济体系本文利用时滞和脉冲扰动刻画了一些经济模 型的运行规律，主要完成了以下工作： 第二章，研究了一个具有时滞物价微分方程模型的稳定性和h o p f 分支问题 利用r o p f 分支定理，规范性理论及其中心流行定理，通过选择时滞作为分支参 数，分析线性化系统的特征方程，得到了系统平衡点的稳定性和h o p f 分支存在的 充分条件，给出了确定h o p f 分支方向和分支周期解的稳定性的计算公式 第三章，提出了一个具有分布时滞的金融系统，本文研究了这个系统的复杂的 动态行为，诸如：周期，拟周期，h o p f 分支，混沌吸引子等，通过研究，对商业市场的周 期性及其不规则性提供了很好的解释；然后又对这个金融系统进行了脉冲控制， 利用脉冲微分方程理论，对这个金融系统脉冲控制至稳定的平衡点进行了研究，得 到了带有变化脉冲区间的一个金融系统的稳定性的充分条件通过脉冲控制，在某 种程度上，我们能够有效地控制商业市场健康有规律的运行 第四章，鉴于企业集群类似于生物生态系统，他们之间存在很多相似的特 征，本章提出了一个基于生态学理论具分布时滞和脉冲收获的企业捕食一食饵模 型，通过利用f l o q u e t 理论，小振幅扰动方法和脉冲微分方程比较定理，我们得到了 企业破产和持久存在的阈值，并且获得了一些有经济意义的理论结果也证明了 最终影响企业命运的一些因素 关键词：时滞；脉冲；稳定性；h o p f 分支；物价微分方程模型；金融系统；企业捕 食一食饵模型 a b s t r a c t t i m e - d e l a ya n di m p u l s ea r et h et w oi m p o r t a n tf a c t o r so fe c o n o m i cm a t h - e m a t i c sm o d e l ，r e s e a r c h i n gt h ep r o b l e m so fe c o n o m i cm a t h e m a t i c sm o d e lw i t h t i m e - d e l a ya n di m p u l s ei so n eo ft h ef r o n te d g ei s s u e si nd i f f e r e n t i a ld y n a m i c a l s y s t e md o m a i n s s o m ee c o n o m i cp h e n o m e n ac a l ln o tp u r e l yd e s c r i b e db yu s i n g o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h er e a l i t yi sn o tr e g u l a ra sm a t he x p r e s s i o n ，p e r - f o r m i n gt i m e - d e l a ya n di m p u l s i v ej u m p i n gp h e n o m e n o n i nf a c t ，t i m e - d e l a ya n d i m p u l s i v ed i s t u r b a n c ec a nh a v em o r ee f f i c i e n c yt od e s c r i b et h er e a le c o n o m i cs y s - t e m ，w h i c hh a sm o r ec o m p l e xd y n a m i cb e h a v i o r ，t h i sd i s s e r t a t i o nu s i n gd e l a y a n di m p u l s i v ep e r t u r b a t i o nd e p i c t ss o m ee c o n o m i cm o d e lo fo p e r a t i o nr u l e t h e m a i nc o n t r i b u t i o n so ft h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e r2 am o d e lo fp r i c ew i t ht i m ed e l a yi si n v e s t i g a t e d b yc h o o s i n g t i m ed e l a ya st h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e ra n da n a l y z i n gt h ea s s o c i a t e dc h a r a c t e r - i s t i ce q u a t i o no ft h el i n e a r i z e ds y s t e m ，t h el i n e a rs t a b i l i t yo ft h es y s t e mi ss t u d i e d a n dh o p fb i f u r c a t i o ni se s t a b l i s h e d i np a r t i c u l a r ，t h ef o r m u l a ed e t e r m i n i n gt h ed i - r e c t i o no fb i f u r c a t i o n sa n dt h es t a b i l i t yo fb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eg i v e n b yu s i n gt h en o r m a lf o r mt h e o r ya n dc e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m i nc h a p t e r3 ，af i n a n c es y s t e mw i t hd i s t r i b u t e dt i m ed e l a yi sf i r s t l yp r o p o s e d a n dt h ec o m p l e xd y n a m i cb e h a v i o ro ft h es y s t e mi si n v e s t i g a t e d t h es y s t e m s h o w sc o m p l e xd y n a m i c ss u c ha sp e r i o d i c ，q u a s i - p e r i o d i c ，h o p fb i f u r c a t i o n ，a n d c h a o t i cb e h a v i o r s ，e t c t h em o d e lt h u so f f e r sa ne x p l a n a t i o no ft h ep e r i o d i c i t ya n d i r r e g u l 撕t yi nc o m m e r c i a lm a r k e t s ；t h e nt h ei m p u l s i v ec o n t r o lo faf i n a n c es y s t e m i sa l s oi n v e s t i g a t e d ，a n dt h ef i n a n c es y s t e mc a nb ea s y m p t o t i c a l l yc o n t r o l l e dt o t h eo r i g i nb yu s i n gi m p u l s i v ec o n t r 0 1 b a s e do nt h en e wc o m p a r i s o nt h e o r e mo f i m p u l s i v es y s t e m ，t h i sc h a p t e ro b t a i n ss o m es u f f i c i e n tf o rt h es t a b i l i z a t i o no ft h e f i n a n c es y s t e mv i ai m p u l s i v ec o n t r o lw i t hv a r y i n gi m p u l s i v ei n t e r v a l s ，t os o m e e x t e n t ，w ec a l le f f e c t i v e l yc o n t r o lt h ec o m m e r c i a lm a r k e to p e r a t i n gh e a l t h i l ya n d r e g u l a r l y i nc h a p t e r4 ，e n t e r p r i s ec l u s t e ri ss i m i l a rt ot h eb i o l o g i c a le c o s y s t e m ，t h e r ea r e m a n ys i m i l a rc h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e nt h e m i nv i e wo ft h i sf a c t ，i nt h i sp a p e r ，w e p r e s e n tap r e d a t o r - p r e ys y s t e mo fe n t e r p r i s e sb a s e do ne c o l o g yt h e o r yw i t ht h ed i s - t r i b u t e dt i m ed e l a ya n di m p u l s i v ee f f e c t b yu t i l i z i n gt h ef l o q u e t st h e o r ya n dt h e s m a l la m p l i t u d ep e r t u r b a t i o nm e t h o da n dc o m p a r i s o nt h e o r e mo fi m p u l s i v ed i f - f e r e n t i a le q u a t i o n ，w eo b t a i nt h et h r e s h o l d sb e t w e e nb a n k r u p t c ya n dp e r m a n e n c e o fe n t e r p r i s e sa n dt h et h e o r yr e s u l t sw i t hs o m ee c o n o m i cm e a n i n g s w ep r o v et h a t t h ef a t eo fe n t e r p r i s e sw i l lb eu l t i m a t e l ye 1 f e c t e db yt h ed i s t r i b u t e dt i m ed e l a y a n di m p u l s i v ep e r i o da n dt h ep r o p o r t i o no ft h ei m p u l s i v eh a r v e s t k e yw o r d s ：t i m ed e l a y ；i m p u l s e ；s t a b i l i t y ；h o p fb i f u r c a t i o n ；d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n so fp r i c e ；f i n a n c es y s t e m ；e n t e r p r i s ep r e d a t o r - p r e ym o d e l 目录 第一章绪论l 1 1前言1 1 2微分方程稳定性的一些理论2 1 3关于分支和时滞方程的一些定理4 1 3 1h o p f 分支存在性定理4 1 3 2 分支周期解的分支方向和稳定性定理4 1 3 3 时滞方程的特征根有负实部的定理5 1 4 奇怪吸引子和l y a p u n o v 指数5 1 4 1 奇怪吸引子5 1 4 2l y a p u n o v 指数6 1 5脉冲微分方程的一些定义定理g * o 7 1 5 1 脉冲微分方程的定义7 1 5 2 脉冲微分方程的比较定理9 1 5 3 线性脉冲周期系统1 0 第二章物价微分方程模型1 3 2 1物价微分方程模型的背景及其模型的建立1 3 2 2h o p f 分支的存在性1 4 2 3平衡点的稳定性1 6 2 4 h o p f 分支方向及稳定性1 6 2 5结论1 9 第三章金融模型2 1 3 1一个具有分布时滞的金融系统的混沌与h o p f 分支分析2 1 3 1 1 模型背景2 l 3 1 2 金融模型的建立2 l 3 1 3 模型的分析与数值模拟2 2 3 1 4 数值分析和讨论2 7 3 1 5 结论2 7 3 2一个混沌金融系统的脉冲控制2 8 3 2 1 模型的背景2 8 3 2 2 模型的建立与脉冲至平衡点的分析2 8 3 2 3 混沌金融系统脉冲至平衡点的仿真3 3 3 2 4 结论3 4 第四章基于生态学理论具分布时滞和脉冲收获3 5 4 1模型的背景3 5 4 2模型的建立3 6 4 3模型的分析- 3 9 4 4数值模拟与讨论4 5 参考文献4 7 发表文章目录5 3 致谢5 5 i i 第一章绪论 第一章绪论 1 1前言 许多经济现象可以用动力学的模型来描述，通过建立描述经济现象的模型进 一步研究经济学的问题，以使人们对动态经济学有更多的了解，对某些经济现象 进行优化控制 经济系统在很长的时间里都处于非均衡状态，只可能在很短的时间内保持均 衡状态经济系统在受到一个冲击时，常常要经过很长时间才能达到新的均衡状 态，而对经济系统的冲击又是经常发生的基于这样的原因，对经济系统进行动态 分析是必然的，建立动态模型对经济系统进行动态分析，能兼顾均衡与不均衡两种 情况对经济系统进行动态分析需要建立所研究的经济系统的数学模型，经济系 统的数学模型是对经济规律的数学描述，动态经济中的经济变量一般是依赖于时 间的，经济规律常与经济变量的变化率有关，因此经济模型中经常出现经济变量的 导数，因而连续时间动态系统的数学模型常常是微分方程 用连续微分方程描的经济动态系统模型，其研究结果是十分丰富的如多恩 布什的汇率超调模型，w a h - s 的价格调整模型，双头垄断市场的动态模型，关于通 货膨胀失业模型的菲利普斯关系等等，都为经济动态系统的研究奠定了基础近 年来，人们发现市场中的许多经济现象以及人们对某些现象的优化控制，并非是 单纯的连续的过程，不能简单地用常微分方程来描述，诸如对于物价微分方程模 型，商品生产厂家从对商品信息了解到调控商品生产需要有一个时间滞后，政府对 经济的调控，商品的进出口，消费者随时响应的价格，收入与环境的改变等，这些活 动都是不连续的，可以用不连续的时滞系统和脉冲系统来描述，但由于这种系统出 现不连续和跳跃，导致系统的解不连续，从而研究这类系统更加困难 但是时滞和脉冲是经济数学模型中的两个重要的影响因素，具有时滞和脉冲 的经济动态系统的研究是微分动力学领域的前沿课题之一在实际生产生活中，并 不像数学表达式一样有规律，事物往往表现一种时间滞后和脉冲跳跃现象，事实 上，时间延迟和脉冲扰动可以更有效地描述现实的经济体系，具有更复杂的动力学 行为近年来已经有很多学者对时滞和脉冲微分方程进行了研究，并形成了一些基 本的理论，见后面各章所提到的参考文献 本文以时滞和脉冲动力系统为基础，将其与物价微分方程模型，金融模型，以 及企业集群模型结合，对于物价模型，不仅考虑了商品生产厂家从对商品信息了 解到调控商品生产需要有一个时间滞后，还考虑到了需求对价格上涨率的依赖 程度在特定的经济环境中，当价格不超过购买力所能承受的价格时，需求刺激物 1 天津工业大学硕士学位论文 价上涨，而当价格上涨超过购买力所能承受的价格时，随着价格的上升，需求会下 降；对于金融模型，本文考虑了分布时滞对系统的影响，以及用脉冲对它进行了稳 定至平衡点的控制；对于企业集群，考虑到它类似于生物生态系统，他们之间存在 很多相似的特征，鉴于这一事实，本文提出了一个基于生态学理论具分布时滞和 脉冲收获的企业捕食食饵模型本文通过研究个模型中参数对系统的影响，为经 济系统快速健康的发展提供了可靠的理论依据 1 2 微分方程稳定性的一些理论 考虑自治系统 圣- 7 - - ，( z ) ，z 兄n 系统( 1 2 1 ) 的一个平衡点牙彤，使得 f ( x ) = 0 ( 1 2 1 ) 为了决定牙的稳定性，我们必须考虑在牙附近的解令 x = 牙( t ) + y ( 1 2 2 ) 把( 1 2 2 ) 代入( 1 2 1 ) 并且关于牙泰勒展开得到 圣= 杰( z ) + 多= ，( 牙 ) ) + d ，( 孟( t ) ) 秒+ o ( 1 y 1 2 ) ，( 1 2 3 ) 其中d ，是厂的导数，并且i i 表示在舻上的一个范数又因为主= ，( 牙) ，则( 1 2 3 ) , - - i 以变为 雪= d ，( 牙( ) ) y + o ( 1 y 1 2 ) ( 1 2 4 ) 为了研究在牙附近的任意解的稳定性，我们考虑下面的线性近似系统 雷= d ，( 孟( ) ) 可( 1 2 5 ) 因而，研究孟的稳定性问题，涉及到下面两步 1 、决定( 1 2 5 ) 的解y = 0 是否是稳定的 2 、证明( 1 2 5 ) 的解秒= o 的稳定性( 不稳定) 蕴含牙( t ) 的稳定性( 不稳定) 季 统( 1 2 5 ) 通过= 0 的初值珈的解可以写成如下的形式： ! ，( ) = e d f ( 孟) 珈( 1 2 6 ) 因此如果d ，( 牙) 的所有特征值有负实部，( ) 是渐近稳定的 为了回答第二步，我们能从下面的定理中得到 2 第一章绪论 定理1 2 11 1 】假设d ，( 孟) 的所有特征值有负实部，则非线性系统( 1 2 1 ) 在 平衡点处的解z = 孟是渐近稳定的 设微分方程 万a x = ( t ，z ) ，z ( o ) = 扩，z 酽 ( 1 2 7 ) 满足解的存在唯一性条件，其解z ( t o ) = x ( t ，t o ，z o ) 的存在区间是( 一。o ，+ o o ) ，f ( t ，z ) 还满足条件 f ( t ，0 ) = 0 ( 1 2 8 ) ( 1 2 8 ) 保i 正x ( t ) = 0 是( 1 2 。7 ) 的解，我们称它为零解 定义1 2 1 1 2 l 若对任意给定的 0 ，都能找到6 = 6 ( ，t o ) ，使得当| | 护i i + 丁时，有i | z ( 友t o ，z o ) i i 0 天津工业大学硕士学位论文 1 3 关于分支和时滞方程的一些定理 1 3 1 h o p f 分支存在性定理 设伊- r ，o 】是定义在- r ，0 】上的实的佗维向量值连续函数组成的b a i l a c h 空 间，其每个向量都有k 阶连续导数当七= 0 时，略记为g 【_ no 】或c 考虑单参数时滞方程 圣( t ) = f ( q ，祝) ( 1 3 1 ) 其中f ( a ，妒) 在a r ，妒c 有连续一阶和二阶导数，对任意a ，f ( a ，0 ) = 0 定 义l ：兄c - 肝为 l ( q ) 妒= 乃( 0 f ，o ) 妒，( 1 3 2 ) 其中兄( q ，o ) 是f ( q ，妒) 关于妒在妒= o 处的导数又设 ( 研) 线性泛函微分方程( l ( o ) ) 有简单纯虚根a o = i w 0 ，且所有特征根 知，k ，满足入m a o m 为任意整数 由l ( o o 连续可微，存在0 1 0 o 和线性泛函微分方程( l ( q ) ) 的特征根k ，当川 o ，函数q ( 口) r ，u ( 口) r ，当i n | o ，则当p 2 o ( 舰 o ( 6 2 t o ) ，此时点p t 遇到集合m ( ) 在 7 天津工业大学硕士学位论文 t = t l 处，算子a ( ) 把点b 。= ( t l ，z ( 1 ) ) 变换为只t = ( t l ，z ) n ( t 1 ) ，其中 z = a ( t 1 ) x ( t 1 ) 然后点b 从只，= ( t l ，x t ) 开始继续沿系统( 1 5 1 ) 的解曲线 z ( t ) = x ( t ，t l ，z i _ ) 运动，直到在下一个时刻t 2 t l 处遇到集合m ( t ) ，这样点 只。= ( t 2 ，x ( t 2 ) ) 又变换为只土= ( t 2 ，z 亨) n ( t 2 ) ，其中z 亨= a ( t 2 ) x ( t 2 ) 同样，点 只从只土= ( t 2 ，z 手) 开始继续沿着系统( 1 5 1 ) 的解曲线z ( ) = z ( t ，t 2 ，z 亨) 运动， 只要系统( 1 5 1 ) 的解存在，就重复上述过程 我们把刻画上述演变过程的( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) 统称为脉冲微分系统，称由b 所 构成的曲线及定义该曲线的函数为积分曲线和解 脉冲微分系统的解可以是下列三种情形之一：( i ) 连续函数，如果积分曲线与 集合m ( t ) 不相交或交于算子a ( t ) 的不动点；( i i ) 有有限个第一类间断点的分段 连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于有限个算子a ( t ) 的非不动点；( i i i ) 有 可数个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于可数个算 子a ( t 1 的非不动点 本文假设点b = ( t ，z ( ) ) 遇到曲面盯时发生脉冲，其中口的方程为砂( ，z ) = 0 ，于是脉冲微分方程的数学模型可以表示为 i 象= f ( t ，z ) ，( t ，z ) 0 ， ia x = i ( t ，z ) ，( ，z ) = 0 ， 其中i ：皿qjq 集合m ( ) ，n ( t ) 和算子a ( t ) 定义为 m ( t ) = ( t ，z ) r q ：( t ，z ) = o ) ， n ( t ) = r q ， a ( t ) ：m ( t ) _ ( ) ，( t ，z ) 一( t ，z + i ( t ，z ) ) 点只与集合m ( t ) 相遇的时刻t 七被称为脉冲时刻我们假设脉冲微分系统 的解z ( ) 在t k ，k = 1 ，2 ，处是左连续的，即z ( i ) = 。l i r a 。x ( t k h ) = z ( ) 自由选取描述脉冲微分方程系统的三个关系( i ) ，( i i ) 和( i i i ) ，我们可得到不同 的系统下面考虑固定脉冲时刻的系统： 假设集合m ( t ) 表示一系列平面t = t k ，这里 t k ) 是时间序列，使得当 kj o 。时t kj 在t = t 七处按下列方式定义算子a ( ) ，得到算子序列 a ( 七) ： a ( k ) ：f toq ，z _ a ( t ) x = z + 厶( z ) ， 这里厶：f t - q 相应地n ( t ) 也仅仅在t = t k 处定义，有n ( k ) = a ( 后) m ( 后) 这 样选择m ( 七) ，n ( k ) 和a ( 七) ，一个在固定时刻发生脉冲的脉冲微分系统可描述为： 耋篓裂t 笔t kk 乩2 ， 弛， i z = 厶( z ) ，= ，= 1 ， 、7 8 第一章绪论 其中在t = t k 处：a x ( t k ) = z ( 吉) 一z ( t k ) 且z ( 吉) = ，l i m x ( t k + ) 因此，我们 n u t 知道系统( 1 5 2 ) 的解满足： ( i ) 鲁= f ( t ，z ( ) ) ，t ( 知，t k + l 】， ( i i ) a z ( t 知) = i k ( x ( t k ) ) ，t = 七，k = 1 ，2 ， 1 5 2 脉冲微分方程的比较定理 脉冲微分方程研究的一个非常重要的理论是脉冲微分方程的比较定理首 先给出这个定理要用到的极值解的概念考虑脉冲微分方程 f 掣= g ( t ，u ( t ) ) ，t t k ， a u ( t k ) = 饥( u ( 如) ) ，t = t k ，k ( 1 5 3 ) iu ( t 3 - ) = u o 其中g c r + xr ，兄】，妒七：rjr ，k n 定义1 5 1 设r ( t ) = r ( ，t o ，u o ) 是区间【t o ，t o + a ) 上的一个解，如果对于 ( 1 5 2 ) 在该区间上的任何一个解u ( ) = u ( t ，t o ，咖) ，都有 u ( t ) r ( ) ，t 【t o ，t o + 口) ， ( 1 5 4 ) 则称r ( ) 是( 1 5 3 ) 的最大解如果不等式( 1 5 4 ) 的符号反过来，可以得到最小 解的概念 跟连续微分系统一样，在讨论脉冲微分系统： i 鲁= ( t ，z ) ，t 如， a x = 厶( z ) ，t = “，k n ， ( 1 5 5 ) i z ( 吉) = z o 的稳定性时，经常会涉及到对其解的估计，一个有效的方法是l i a p u n o v 函数法 然而由于系统( 1 5 5 ) 的解是分段连续的函数，我们不必要象连续系统那样要求 l i a p u n o v 函数是连续的，只需要其分段连续假设系统( 1 5 5 ) 符合下面的条件： ( i ) 0 t l t 2 t k t k + 1 ，且奄- - - 4 。o ( 七- - + ) ； ( i i ) i ：rx 舻j 舻在( 亿一l ， r k 】x p 上连续，且对每一个z 舻，j | n ， 极限l i m i ( t ，y ) = 厂( 对，z ) 存在； ( t ，y ) - - , ( 1 - f ，功 ( i i i ) 厶：舻- - 4 p 定义1 5 2 称函数v ：r + 舻or + 属于集合k ，如果 ( i ) y 在h 一1 ，n 】册上连续，且对每一个z 舻，k n ，极限l i m v ( t ，y ) = y ( t ，z ) 存在； 9 天津工业大学硕士学位论文 ( i i ) v 关于z 满足局部l i p s c h i t z 条件 对任意的( t ，z ) ( 亿一1 ，亿】舻，v ( t ，z ) 关于脉冲系统( 1 5 5 ) 的上右导数定 义如下： d + y ( t ，z ) 2 拦器s u ph v ( t + h , x + ，( ，z ) ) 一y ( t ，z ) 】， ( 1 5 6 ) 类似地，定义脉冲系统( 1 5 5 ) 的下左导数为： d y ( t ，z ) 20 粤s u p h v ( t + ，z + ，( ，z ) ) 一y ( t ，z ) 】， ( 1 5 7 ) 如果v c 1 【冗+ r ，r + 】，贝0d + v ( t ，z ) = d v ( t ，x ) = v 0 ，z ) ，其中v ( t ，z ) = ( ，z ) + k ( ，x ) f ( t ，z ) 下面给出脉冲微分方程的比较定理 定理1 5 1 令v v o 假设 j d + y ( 。，z ) g ( t , v ( 。，z ) ) ，。如， ( 1 5 8 ) ly ( t ，z - - i - 厶( z ) ) 妒奄( y ( ，z ) ) ，t = t k ， 、7 其中g ：r + r + jr 满足定义1 3 3 的条件( i ) ，且饥：r + 一r + 是非减的 又设r ( t ) = r ( t ，t o ，铷) ，t 【t o ，o o 】是下面标量脉冲微分方程的最大解： i 札他) = 9 ( t ，u ) ，t t k ， u ( t z ) = 仇( 乱( 知) ) ， ( 1 5 9 ) l u ( t 3 ) = u o 0 则v ( t + o ，x o ) u o 蕴涵着 v ( t ，z ( t ) ) 7 - ( 亡) ，t t o ( 1 5 1 0 ) 其中x ( t ) = x ( t ，0 ，x 0 ) 是系统( 1 5 5 ) 存在于i t o ，o o ) 上的任意解 注释1 5 1 把上述不等式中的不等号变成反向，可有类似结论 1 5 3 线性脉冲周期系统 下面我们给出线性t 周期脉冲微分方程的f l o q u e t 乘子理论，更详细的结 论见文献【6 】 定义1 5 3 若脉冲微分方程： 面d x = a ( ) z ，z 死，r( 1 5 1 1 ) i z = b , x ，t = 仉，南z ， 、7 满足条件( h 1 5 1 ) ： 第一章绪论 h 1 5 1 1a ( ) p c ( r ，伊“) ，a ( t + t ) = a ( ) ，t r ； h 1 5 1 2b k 俨住，d e t ( e + b k ) 0 ， 0 ，b o 0 ，a 0 ，p o 0 记a = - # b ( p o + 卢) 2 + c o ，b = p 6 0 ，c = 肛口，则方程( 2 2 4 ) 可变为 a 2 + a a + b + c e 一灯= 0 ( 2 2 5 ) 如果方程( 2 2 5 ) 所有的根都有负实部，方程( 2 2 2 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 是渐近稳 定的如果方程( 2 2 5 ) 有一根有正实部，方程( 2 2 2 ) 的平衡点( o ，o ) 是不稳定的 当t = 0 时，方程( 2 2 5 ) 变为 a 2 + a a + b + c = 0 ( 2 2 6 ) 假设方程( 2 2 6 ) 所有的根都有负实部，则 a 0 ( 日1 ) b + c 0 ( 飓) 因为p 0 ，b o 0 ，