（基础数学专业论文）一类pell方程的两个相关问题.pdf

摘要 p e l l 方程是最古老的数论方程之一，作为二次不定方程的经典代表，p e l l 方程一直以 来都受到数论工作者的高度关注，尤其关于x 2 一b y 2 = 1 的研究更是令许多数论工作者 着迷，并且取得了相当丰富的成果这些成果对于解决某些不定方程的解的存在性问题 是很有帮助的然而，求解x 2 一d y 2 = 1 归结为求其最小解，这件事本身却非常困难，无 论用试验法或连分数法，都往往遇到冗长的计算，且只能针对具体的d 值求解因此， 寻找计算这类p e l l 方程的最小解的简洁方法以及探求p e l l 方程的应用价值是数论研究中 的重要课题 本文的主要工作： 1 利用初等方法研究了p e l l 方程x 2 一o y 2 = 1 和x 2 - d 。y 2 = 1 ( 其中d = d 2 d 。) 的最 小解之间的关系，具体讨论了d = 2 ，3 ，5 时的情况 2 运用p e l l 方程的一些结果讨论了两类三次不定方程的解的存在性问题，具体给出 了几个不定方程无正整数解的充分条件 关键词 p e l l 方程，平方因子，正整数解，最小解 t w or e l a t e di s s u e sf o rac l a s so fp e l l se q u a t i o n a b s t r a c t p e l l se q u a t i o ni so n eo ft h eo l d e s tp r o b l e m ss t u d i e di nn u m b e rt h e o r y , a st h ec l a s s i c r e p r e s e n t a t i o n o ft h eq u a d r a t i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，p e l l se q u a t i o nh a sa l w a y sb e e n c o n c e m e db ys c h o l a r s s p e c i a l i z e d i nn u m b e rt h e o r y , p a r t i c u l a r l yr e l a t i n gt or e s e a r c h 戈2 一b y 2 = 1 ，a n dm a n yh a v em a d ec o n s i d e r a b l ea c h i e v e m e n t s ，s o m eo ft h e s er e s u l t sf o r s o l v i n g t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fs o m ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n sa r ev e r y h e l p f u l h o w e v e r , s o l v i n gx 2 一b y 2 = 1 a m o u n t st os o l v i n gt h em i n i m u ms o l u t i o n ，b u ti ti sv e r y d i f f i c u l t w h e t h e rb yt r i a lo re v e ns c o r e so fl a w , a r eo f t e ne n c o u n t e r e di nt h el o n gc a l c u l a t i o n ， a n do n l yt os o l v es p e c i f i cv a l u e so f d t h e r e f o r e ，l o o k i n gf o rt h es i m p l em e t h o d sf o rs o l v i n g t h em i n i m u ms o l u t i o na n de x p l o r i n gt h ea p p l i c a t i o nv a l u eo ft h ep e l l se q u a t i o na r ei m p o r t a n t s u b je c t si nn u m b e rt h e o r y t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1u s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o dt od i s c u s s e dt h er e l a t i o n s h i po ft h em i n i m u ms o l u t i o n s b e t w e e nt h ep e l l se q u a t i o n 石2 一印2 = 1a n dx 2 - d 1 y 2 = i ( d = d 2 d 1 ) w h e r e d = 2 , 3 ，5 2u s i n gs o m er e s u l t so ft h ep e l l se q u a t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft w oc l a s s e so f c u b i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o n si sd i s c u s s e d s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h e d i o p h a n t i n ee q u a t i o n sh a v en op o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o na r eg i v e n k e y w o r d s p e l l se q u a t i o n ，s q u a r ef a c t o r , p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n ，m i n i m u ms o l u t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：二辞肆指导教师签名：j & 立l 毋月，。日带月。e t 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：( 眵对7 孥 节年6 月，。日 两北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1p ei i 方程概述 古希腊数学家阿基米德( a r c h i m e d e s ，公元前2 8 7 2 1 2 年) 曾提出一个所谓的“牲 畜问题”，此问题最后归结为求解二元二次的不定方程x 2 4 1 0 2 8 6 4 2 3 2 7 8 4 2 4 y 2 = 1 1 7 世纪，费尔马重新提出求解不定方程石2 一d y 2 = 1 的解的问题，其中d 是非完全平方的正 整数他猜测此方程有无穷多组正整数解，同时他向所有数学家挑战：求证此方程有无 穷多组正整数解英国皇家学会的第一任会长布龙克尔勋爵( l o r db r o u n c k e r ) 给出了解， 但他未能证明解有无穷多个沃利斯( j w a l l i s ，1 6 1 6 1 7 0 3 ) 彻底解决了这个问题佩尔 ( j p e l l ，1 6 1 1 1 6 8 5 ) 在他的一本著作中附录了沃利斯的结果欧拉在他于1 7 3 2 年发表的 一篇论文中错误地称x 2 一d y 2 = 1 为p e l l 方程，这个错误就沿袭至今 其实，通常的p e l l 方程是指下面的不定方程 x 2 一d 少2 = 1 ，4 ( x ，y z ) 其中，d 是非完全平方的正整数( 以后的d 若不加注释皆这样认为) 广义p e l l 方程是上述不定方程的推广，有以下两种基本类型 x 2 一功2 = k ( x ，y ，k z ) ， a x 2 一砂2 = 1 ，2 ，4 ( x ，y ，口，b z h a b 0 ) 我们把上述的四种不定方程统称为p e u 方程 1 2 课题研究的背景及意义 p e l l 方程是最古老的数论方程之一，这个方程在希腊人和印度人中间有着悠久的历 史公元4 5 世纪时，印度人在求2 的近似值前就曾得出不定方程戈2 2 y 2 = 1 有解 ( x ，j ，) = ( 3 ，2 ) ，( 1 7 ，1 2 ) ，( 5 7 7 ，4 0 8 ) 同时，毕达哥拉斯学派也得出x 2 - 2 y 2 = 1 的一个递推 公式，同样阿基米德也得出x 2 - 3 y 2 - - 1 的一个解( x ，y ) = ( 1 3 5 1 ，7 8 0 ) 从数学史的研究中 可以看出，关于p e l l 方程x 2 一o y 2 = 1 ，印度人在七世纪时已经得出了相当丰富的结果 这个方程存在无穷多组整数解，且任何一组解都可以由某一特殊解( 称之为最小解) 表示 出来这样一来，问题就变成了求其最小解的问题1 7 5 9 年欧拉通过把万展成连分数 1 第一章绪论 而给出解z 2 一砂2 = l 的方法他的想法是：如果x ，y 满足方程x 2 一b y 2 = 1 ，则x y 是d 的很好的近似值但是，他不能证明他的方法总能求出解，并且不能证明所有解都能够 由d 的连分数展开给出来直到1 7 6 6 年，拉格朗日才完全解决了这个i 口- j 题除了用连 分数的方法外，人们还发现，可以令y = 1 ，2 ，3 代入印2 + 1 ，直到其为一完全平方数 然而，无论连分数法或试验法，都往往遇到冗长的计算，且只能针对具体的d 值求解， 因此杨仕椿把求其最小解的问题列为尚未解决的1 5 个著名的不定方程问题之一，并提 出：“方程x 2 一b y 2 = 1 的最小解有什么规律吗? 有没有求方程x 2 一b y 2 = 1 的最小解的简 洁方法? 这是一个很现实的问题对于方程石2 一b y 2 = 一l ，人们发现它并不总是有解的， 所以很多数论工作者在寻找这个方程有解的条件，并且找到了一些判别其有无整数解的 情况 p e l l 方程经过数百年的研究，不仅在理论上已经获得了丰硕的成果，而且它的应用 价值也在不断被发掘它的一些成果在丢番图逼近理论及代数数论中也起着极其重要的 作用，并且对于解决某些不定方程的解的存在性问题是很有帮助的 基于对p e l l 方程的兴趣，我应用初等方法研究了方程石2 一功2 = l 和x 2 一d 。y 2 = 1 ( 其中d = d2 d 。) 的最小解之间的关系，具体讨论了d = 2 ，3 ，5 时的情况；运用p e l l 方程 的一些结果讨论了两类三次不定程的解的存在性问题，具体给出了几个不定方程无正整 数解的充分条件 1 3 相关理论 为了完成后面课题的研究，本节简单介绍一些与之相关的基础知识( 参见文献 1 - 3 ) 定义1 3 1 ：给定一个正整数m ，把它叫做模如果用m 去除任意两个整数口与b 所 得的余数相同，我们就说口，6 对模加同余，记作口兰b ( m o d m ) 如果余数不同，我们就说 口，6 对模历不同余，记作口b ( m o d m ) 由同余的定义易得出以下基本性质： 甲a 兰a ( m o d m ) 2 西北大学硕士学位论文 乙若口- b ( m o d m ) ，贝06 享a ( m o d m ) 丙若口- b ( m o d m ) ，b - c ( m o d m ) ，则口兰c ( m o d m ) 丁若q 三6 】( m o d m ) ，a 2b 2 ( r o o d m ) ，则口】+ 口2 暑6 l + 6 2 ( r o o d m ) 戊若q 量翻( r o o d m ) ，a 2 三如( m o d m ) ，贝1 j a l a 2 毫岛如( r o o d m ) ，特别地 若口- b ( m o d m ) ，则a k = - b k ( m o d m ) 己若口- b ( m o d m ) ，_ r a = q d ，b = 岛d ，( d ，伪) = 1 ，贝l j a l - - - b , ( m o d m ) 庚若口三6 ( m o d 朋) ，k 0 ，贝, l j a k = b k ( m o d m k ) 辛若a - - b ( m o d m , ) ，i = 1 ，2 ，k ，贝j j a - b ( m o d m 。，肌：，】) 壬i 若ia - b ( m o d m ) ，dm ，d 0 ，贝, l j a - = b ( m o d d ) 癸若口- - - b ( m o d m ) ，则( 口，m ) = ( 6 ，肌) ，因而若d 能整除口，b 二数之一，则d 必能整 定义1 3 2 ： 设厂( x ) = - a 。x 4 + 口川x ”1 + + 口l x + a o ，其中n 是正整数， 如果口。o ( m o d m ) ，则刀叫做它的次数如果x o 满足f ( x o ) 三o ( m o d m ) ，则 定义1 3 3 ：设p 2 ，d 是整数，p ? d 如果同余方程x 2 三d ( m o d p ) ；h - 解，则称d = 仨攀焉余 我们把( 暑 称为是模p i 拘l e g e n d r e 符号 3 第一章绪论 ( 1 ) - ( 等 ； ( d ) - d ( p - i ) 2 办 ( 3 ) 盼； 划m 阱； 乩盼”岍 定义1 3 5 ：设奇数p l ，p = p 。p 2 p s ，p j ( 1 歹s ) 是素数，定义 = ， 这里c 吲纠是模乃的e n a r e 符号，删，把称为模p 胁础i 符号 显然，当p 本身是素数时，j a c o b i 符号就是l e g e n d r e 符号 j a c o b i 符号的基本性质： c ，( 吉 = ；当c d ，p ， 时，( 吾) = 。：当c d ，p ，= 时，( 吾 取值； = ( 孚) ( 3 ) ( 4 ) 盼； = ； c5 ，当c d ，p ，= 时，( 譬 = ( 吾 = 4 西北大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章方程x z 一印z ：1 的解的情况 众所周知，方程x 2 一d y 2 = 1 总是有正整数解的( 见文献【4 7 ) 而方程z 2 一印2 = - 1 却不总是有解的( 见文献 4 9 】) ，所以很多数论工作者在寻找这个方程有解的条件，并且 找到了一些判别其有无整数解的结论而且当方程x 2 一d y 2 = 1 有解时，其任何一组解 都可以由它的基本解表示然而，有时运用以上方法求解p e l l 方程并不十分方便2 0 0 0 年王云葵和侯李静运用递推数列的通解公式，获得了p e l l 方程的简洁递推关系及其通解 公式 在这一章，我们就对方程石2 一d y 2 = 1 的解的情况及其形式做一综述，使我们对这 类p e l l 方程解的情况有个基本的把握，以便更好地展开对该课题的研究 2 2 方程x 2 一d y 2 = 1 的解的存在性 引理2 2 1 ：设d 是非完全平方的正整数，则存在整数尼，o 吲 1 + 2 万，使得方 程 工2 一d y 2 = k 有无穷多组正整数解 证明：因为绝对值小于l + 2 , - d 的整数只有有限个，而我们知道有无限多对整数 x ，y ) 满足 i 石2 一印2 l 1 时，方程x 2 一b y 2 = 1 的最小解为 f = ( 2 七2 肛) 一1 【y o = 2 k i d 9 第三章方程x 2 一d y 2 = 1 的最小解 ( 2 ) 当d = 1 时，方程x 2 一印2 = 1 的最小解为 文献 1 2 】) 但对于这其中的某些d ，方程的最小解g 。，蜘) ，并不满足而 誓一1 吴文 良受文献 1 2 】的启发，找到了d 满足另一类特殊条件时方程的最小解计算公式( 见文献 1 3 ) ，在这一类条件下，最小解也不满足引理所给条件可见，引理所给的条件只是判 3 2 结果及其证明 定理3 2 1 ：设方程z 2 一d y 2 = 1 的最小解为g 。，y 。) ，若d l = 4 d ，则方程 石2 - d 。y 2 = 1 的最小解为 胁警) 渤胁 【k + 功；, x o y 。l 当2l 蜘时 证明：设方程z 2 一d 。y 2 = 1 的最小解为g 。，y 。) ，则 x 卜q y ；= 砰一d ( 2 y 。) 2 1 ， 即g 。，2 y 。) 是方程石2 一缈2 = 1 的解，由题设及前面的讨论我们知道 五+ 2 m 沥：k + 虬牺) ，力+ ( i ) 当2y 。时，取以= 1 ，即有 而胪孥； ( i i ) 当2 l 时，若疗= 1 ，则得到乃= i y o ，与咒为整数矛盾，取刀= 2 ，可得 1 0 西北大学硕上学位论文 定理证毕 定理3 2 1 ：设方程x 2 一d y 2 = 1n t 最, j 、解为g 。，y o ) ，且d = 4d 1 ，若方程组 b 2 + 现2 - - x o 1 【砂= y o 有正整数解( x ，y ) ，则( x ，y ) 为石2 一d 。y 2 = 1 的最小解；否则，其最小解为k ，2 y 。) 证明：设x 2 一d 。y 2 = 1 的最小解为g 。，y 。) 因为d = 4 q ，所以 x 2 d l y 2 _ - x 2 _ d y 斗2 = 1 由题设及定理3 2 1 得， 当2 y 。时，方程石2 一功2 = 1 的最小解为( 而，导) ； 当2 ，儿时，方程x 2 一b y 2 = 1 的最小解为g ? + 印? ，_ m ) 如果方程组有正整数解似，y ) ，则g ，y 。) = 伍，】，) ，否则 ( 五，詈) 如砒 即x 。，y 。) = x o ，2 y 。) ，证毕 引理3 2 1 ：若方程石2 一砂2 = 1 的最小解为g 。，y 。) ，则有3d x o y 。 证明：若3l ，则3 d x o y 。否则，有x o 暑1 ，2 ( m o d 3 ) , 甚1 x ；兰l ( m o d 3 ) ， 砂；= 磊一1 兰0 ( m o d 3 ) 所以，3b y ；，即3ld 或3iy 。，n i l e3d x o y o 定理3 2 2 ：设方程x 2 一d y 2 = 1 的最小解为k ，y o ) ，若d 。= 9 d ，则 ( i ) 当3 i y 。时，方酣_ d l 产1 的最j 、解为( 孙孚 ； ( i i ) 当3h ，_ l f l 3h 时，方酣_ d l y 2 = 1 的卧解为( 甜2 碥孚) ； ( i i i ) 当3fx o y 。，且3d 时，方程x 2 一d 。y 2 = 1 的最小解为 第三章方程x 2 一d y 2 = 1 的最小解 h 33 蛐一2 矶2 + 孚) 证明：设方程石2 一d 。y 2 = 1 的最小解为g 。，y 。) ，则 x 卜d 。y ? = x 卜d ( 3 y 。) 21 ， 即g 。，3 y 。) 是方程x 2 一d y 2 = 1 的解 x 。+ 3 y 。4 - , 5 ：g 。+ y 。历y | ，甩+ 当3 y 。时，取刀= l ，即有_ = ，m = 了y o ， 当37y 。，且3i 时，取刀= 2 ，可得_ = z ；+ 功；，y 。= 2 x 3 0 y o 一； 当3f y 。，且3ld 时，取胛= 3 ，可得x i = 石。3 + 3 眈。y 。2 ，) ，。= x 。2 儿+ 孚 定理3 2 2 7 ：设方程x 2 一o y 2 = 1 的最小解为g 。，y o ) ，且d = 9 d 。，若方程组 f x 2 + 印2 = i x 3 + 3 d x y 2 = t 孚锄或b 竽= 之一有正整数解，】，) ，则，y ) 为x 2 - d 。y 2 = 1 的最小正解；否则，其最小正解为 ( 而，3 ) 证明：设方程x 2 一d 。y 2 = 1 的最小解为0 。，y 1 ) ，因为d = 9 d 。，由定理3 2 2 得 当3 m 时，方程x 2 一缈2 = 1 的最小解为( 五，訾) ； 当3ly 。，且3 k 时，方程石2 一砂2 = 1 的最小解为( 彳+ 聊，垄 ； 1 2 西北人学硕士学位论文 当3 矾且3 j 。时，方酣一功2 = 的最小解为h3 如订南+ 孚 所以，若方程组之一有正整数解( x ，y ) ，则g 。，m ) = 似，y ) ：否则( _ ，导) = ( 嘞，) ，即 ( x i , y 。) = ( ，3 儿) ，定理证毕 引理3 2 2 ：若方程石2 一d y 2 = 1 的最小解为g 。，y o ) ，且x o - 0 ，1 ，4 ( m o d 5 ) ，则有 5d x o y o 证明：若5j x o ，则5 i d x o y o 否则，x o 兰l ，4 ( m o d s ) ，即暑l ( m o d 5 ) 故蜕= - 1 三0 ( m o d 5 ) 所以51 磁，于是5d 或5y o ，因此5ld x o y o 定理3 2 3 ：设方程石2 一d y 2 = 1 的最小解为g 。，y o ) ，且x o 兰o ，1 ，4 ( m o d 5 ) ，若 d i = 2 5 d ，则 ( i ) 当5 i 时，方程x 2 - d l y 2 = 1 的最小解为( ，挚) ； ( i i ) 当5f ，且5 l 而时，方程x 2 一q y 2 = 1 的最小解为( 靠+ 明，垒 ； ( i i i ) 当5f ，且5d 时，方程x 2 - d 。y 2 = 1 的最小解为 陋4 2 喇州砒删胁孚) 证明：设方程石2 一d 。y 2 = 1 的最小解为g 。，y 。) ，则 z ? 一q y ；= x ；一d ( 5 乃) 2 = 1 ， 即( x i , 5 y 。) 是方程石2 一缈2 = 1 的解 由题设及前面的讨论我们知道 一+ 5 y 。历= ( x o + y o , f - d ) ”, n + 于是 ( i ) 当5 i 时，取玎= l ，即有而= ，m = 誓； 1 3 第三章方程x 2 一d y 2 = 1 的最小解 ( i i ) 当5 1y o ，且5 ，时，取刀= 2 ，可得_ = 2 + 觋，m = 2 x 5 0 y o ； ( i i i ) 当57 ，且5d 时，取刀= 5 ，可得 x i = 5 x o y 4 d z + 1 0 磊尤。嘛m = 恻以。+ 孚 定理证毕 定理3 2 3 7 ：设方程工2 一印2 = 1 的最小解为g 。，y o ) ，且d = 2 5 d , ，若方程组 阵x z + 之一有正整数解伍，y ) ，则，】，) 为石2 一d 。y 2 = 1 的最小正解；否则，其最小正解为 ( ，5 ) 证明：设方程x 2 一d ，y 2 = 1 的最小解为g 。，y i ) ，因为d = 2 5 ) 1 ，由定理3 2 3 得 若5 i m ，则方程x 2 一砂2 = 1 的最小解为( _ ，导) ； 若5 m ，且5 l ，则方酣一砂2 = 1 的最j 、解为( 彳+ 聊，孚) ； 若5l 五m ，且5d ，则方程工2 一d y 2 = 1 的最小解为 ( 5 y ；d 2 + 1 0 枷睇枷2 柳+ 华) 所以，若方程组之一有正整数解，】，) ，则g ，川) = ，y ) ，否则( 五，誓) = ( ，儿) ，即 ( 五，y 。) = ( x o ，5 ) ，定理证毕 1 4 而 。 硝 x 2 一 + d一； d 广一：孚 ， 口 咿 场 + ， 、 扩 矿 圯 t + 砂 撅 矿 或 砂 嘞 西北大学硕：l ：学位论文 第四章p ei i 方程的应用 4 1 引言 经过数百年的研究，f e l l 方程不仅在理论上已经获得了丰硕的成果，而且它的应用 价值也在不断被发掘 沃森( w a t s o n ) 和琼格伦( l j u n g g r e n ) 5 - ) ，j j j 在1 9 1 9 年和1 9 5 2 年应用二次域上的f e l l 方 程对路卡斯( e l u c a s ) 猜想给予了肯定之后，何宗友，王云萍，王云葵，王林分别运用 f e l l 方程给出了路卡斯猜想的简洁初等证明1 9 9 9 年王云葵和罗华明运用f e l l 方程证明 了：当，2 = 3 ，5 或疗2n2n 时，丢番图方程x ( x + 1 ) ( 2 x + 1 ) = 6 y n , x l ，y l ，仅有正整数 解( x ，y ，z ) = ( 1 ，1 ，门) ，( 2 4 ，7 0 ，2 ) 2 0 0 0 年王云葵，候李静运用p e l l 方程证明了甩= 2 时e r d 6 s 猜想必有无穷多组正整数解( 见文献 1 1 】) 在这一章，我们也应用f e l l 方程的一些结果来讨论几个不定方程的解的存在性问题 设d 是无平方因子正整数，且不能被3 或6 后+ 1 形素数整除方程 工3 1 = d 少2 ，工，y n + x 3 1 = 3 d y 2 , x ，y n + 是一类重要的不定方程，有关它们的研究可追溯到e u l e r 时代【15 1 l j u n g g r e n 在1 9 4 2 年证 明了这两类方程最多只有一组正整数解( 见文献 1 6 1 ) 在l j u n g g r e n 之前，n a g e l 曾证明了 当d 仅被3 或1 2 尼+ 5 形素数整除时，；h - 程x 3 + 1 = d y 2 仅有整数解( 一1 ，o ) 然而，他们的 证明都不是初等的1 9 5 2 年，l j u n g g r e n 运用p e l l 方程给了方程z 3 + 1 = 2 y 2 一个初等解法 19 8 1 年，柯召，孙琦获得了p e l l 方程在求解某些三次不定方程上的重要应用( 见文献 1 7 ) 同年，柯召和孙崎证明了当d 2rd 不能被6 k + l 形素数整除时，方程，1 = 3 0 y 2 无 正整数解( 见文献 1 8 】) 目前，关于该方程的主要问题是讨论d 含有6 k + l 形素因数的情况，它是一个相当 困难的问题1 9 8 9 年，曹玉书，郭庆检，在文献 1 9 中给出d 含6 尼+ 1 形素因数，方程 x 3 1 = o y 2 无正整数解的若干充分条件1 9 9 1 年，曹玉书给出d 含6 尼+ 1 形素因数，但不 含8 七+ 1 与8 尼+ 5 型素因数时，方程x 3 1 = o y 2 无j 下整数解的若干充分条件( 见文献 2 0 ) 王镇江证明了方程，+ 1 = 1 3 y 2 无正整数解( 见文献【2 1 】) 2 0 0 3 年，邓谋杰等给出d 含 15 第四章p e l l 方程的应用 6 尼+ l 形素因数，且含8 k + l 与8 k + 5 型素因数时，方程x 3 1 = d y 2 无正整数解的若干充 分条件( 见文献 2 2 】) 2 0 0 4 年，乐茂华证明了当d 为奇素数p = 1 2 s 2 + l ( 其中s 是正整数) ， 方程x 3 1 = 3 d y 2 无正整数解( 见文献【2 3 】， 2 4 】) 设p 是素数，d 是无平方因子正奇数，方程工3 p 3 ”= b y 2 是一类基本而且重要的不 定方程近年来，对于该方程在d 不含p 或6 尼+ l 形素因数时的解的存在性问题都有深 刻的讨论( 参见文献 2 5 3 0 】) ，但是对于d 不含p 但含有6 k + l 形素因数的情况，只有少 量结果( 参见文献 31 3 3 】) 4 2 结果及其证明 文献 1 7 3 3 介绍的方法，虽需一定的技巧，但仅仅用到整数分解的基本性质和p e l l 方程的一些结果，接下来我们就应用类似的方法证明以下几个结果： 定理4 2 1 ：设p 是奇素数，如果p = 3 ( 3 k + 1 x 3 七+ 2 ) + l ，其中尼是非负整数，则 方程 x 3 + 1 = p y 2 ，x ，y n + 无正整数解 证明：设g ，j ，) 是方程z 3 + 1 = p y 2 的解首先考虑x 一l ( m o d 3 ) i 拘情况，根据文献 1 7 】 可得 x + 1 = a 2 石2 一x + 1 = p b 2 其中a b = y ，g c d ( a ，b ) = 1 ，口，b n + 因此 2 小船鬻兰糕誊 3 ( m o d 4 ) ，当口为偶数时 由戈2 一x + 1 = p b 2 得：2fp b 2 ，故2 b 2 ，所以 b 2 暑l ( m o d 8 ) ，b 2 兰l ( m o d 4 ) ， 从而 1 6 两北人学硕士学位论文 故 p b 2 - p ( m o d 8 ) ，p b 2p ( m o d 4 ) 一船 川暑 器端羹翥裟 又因为p = 3 ( 3 后+ l 3 七+ 2 ) + 1 ，其中尼是非负整数，于是p 兰1 ，3 ，5 ，7 ( m o d 8 ) 与上式矛盾 因此方程的解必定满足石量一l ( m o d 3 ) 根据文献 1 7 】可得 z + 1 = 3 a 2 石2 一x + 1 = 3 p b 2 其中a b = y ，g c d ( a ，b ) = 1 ，口，6 n + 于是 由上式可知( 2 6 ，2 口2 1 ) 是方程 3 ( 2 a2 1 ) 2 + 1 = 4 加2 2 3 y 2 = 1 ，x ，y n + 的一组解可知( 2 ，6 七+ 3 ) 是上式的解，且是最小解否则，设( 1 ，y ) 是其最小解，则有 于g c d ( 3 k + 1 ，3 k + 2 ) = 1 ，于是 从而 y 2 p 3 - _ 兰l = ( 3 k + 1 x 3 k + 2 ) 3 k + l = j ，i ! ，3 k + 2 = y ； y ；- - - 2 ( m o d 3 ) 这是不可能的故( 1 ，少) 不是方程2 3 y 2 = 1 的解因此，( 2 ，6 尼+ 3 ) 是其最小解于是， 由文献 6 及方程p x 2 3 y 2 = 1 可得 2 6 扛+ ( 2 口2 1 舻= ( 2 扛+ ( 6 k + 3 炻y 其中，是正奇数由上式得 2 a2 1 三0 ( m o d 6 k + 3 ) 1 7 第四章p e l l 方程的应用 f l 汗3 ( 6 k + 3 ) ，于是 2 a2 1 三0 ( m o d 3 ) 这是不可能的故定理得证 定理4 2 2 ：设p 是奇素数，如果p = 3 ( 3 七十1 七十2 ) + 1 ，其中尼是非负整数，则 方程 z 3 1 = 3 p y 2 ，石，y n + 无正整数解 证明：设g ，y ) 是方程石3 1 = 3 p y 2 的解，根据f e r m a t 小定理可知 则 x 3 x ( m o d 3 ) x 一1 兰0 ( m o d 3 ) 这时g c d g 一1 ，石2 + z + 1 ) = 3 ，根据文献 1 7 】可得： x 一1 = a 2 x 2 + x + 1 = 3 p b 2 其中a b - y ，g c d ( a ，6 ) = 1 ，口兰0 ( m o d 3 ) ，口，b n + 设a = 3 c ，c n + ，于是 3 ( 6 c 2 + 1 ) 2 + 1 = 4 p 6 2 从上式可知( x ，l ，) = 2 b ，6 c 2 + 1 ) 是方程 硝2 3 y 2 = 1 ，x ，y n + 的一组解 由定理4 2 1 的证明过程可知，( 2 ，6 七+ 3 ) 是上式的解，且是最小解根据文献 6 可得 2 e , 7 + ( 6 c 2 + 1 舻：( 2 厄+ ( 6 k + 3 舻7 其中，是正奇数从而得 6 c 2 + 1 兰0 ( m o d 6 k + 3 ) 1 8 西北大学硕上学位论文 由于3 i ( 6 七+ 3 ) ，于是 6 c 2 + 1 三o ( m o d 3 ) 这是不可能的，故定理得证 定理4 2 3 ：设p 是奇素数，p = 3 ( 3 k + 1 x 3 七+ 2 ) + 1 ，其中k 暑1 ，2 ( m o d 4 ) ，则 方程 x 3 - 8 = p y 2 ，x ，y + ，g c d ( x ，y ) = l 无正整数解 证明：首先考虑x 2 ( m o d 3 ) 时的情况，由题设得 或 x 一2 = p a 2 , z 2 + 2 x + 4 = b 2 z 一2 = a 2 , x 2 + 2 x + 4 = p b 2 其中a b = y ，g e d ( a ，b ) = 1 ，a , b n + 由于p = 3 ( 3 七+ 1 七+ 2 ) + l ，所以p - - - 1 ( m o d 4 ) 然而x 2 + 2 x + 4 - - - 3 ( m o d 4 ) ，所以上面两 式都不可能成立 或 以下考虑x 三2 ( m o d 3 ) 时的情况，由题设得 工一2 = 3 p a 2 , z 2 + 2 x + 4 = 3 b 2 x 一2 = a 2 , 石2 + 2 x + 4 = p b 2 其中动= y ，g c d ( a ，b ) = 1 ，口，b n + 若x 一2 = 3 p a 2 , x 2 + 2 x + 4 = 3 b 2 ，贝0 3 ( p a 2 + 1 ) 2 + 1 = 6 2 因为b 是奇数，所以b 2 - l ( m o d 8 ) ，故由上式可得p a 2 + l 兰0 ( r o o d 4 ) 由于p - l ( m o d 4 ) ， 故有。三p a 2 + 1 三p + l 三2 ( m o d 4 ) 这一矛盾 若x 一2 = a 2 , x 2 + 2 x + 4 = p b 2 ，贝0 1 9 第四章p e l l 方程的应用 3 ( 口2 + 1 ) 2 + 1 = p b 2 从而可知( 6 ，口2 + 1 ) 是方程2 - 3 y 2 = 1 ，x ，y en + p x 2 3 y 2 = 1 ，x ，y n + 的解由前面的定理可知方程2 - 3 y 2 = 1 的最小解为( 2 ，6 k + 3 ) 根据文献 6 可得 6 厄+ ( 山1 ) 压= ( 2 厄+ ( 6 k + 3 ) 压) 其中r 是正奇数由上式得 f l ：t - 于3 ( 6 k + 3 ) ，于是 这是不可能的，故定理得证 口2 + 1 - - 0 ( m o d 6 k + 3 ) 口2 + 1 - - 0 (