（基础数学专业论文）cocycle扩大仿射李代数与n模相关的grothendieck群.pdf

四川大学硕士学位论文 致谢 p 5 1 。 证明：因为口q ，所以口= 疗，口。，其中吩e z 则 ，口) = 2 n ，2 + 2 1 ( a 。，口) = 2 m 四川大学硕士学位论文 其中m z 但i ( - ，一) 半正定，故m 1 ，可见口仨r u o ) 当且仅当肌 i 。 引理4 设r ”= 陋q l ，口) = 2 ) ，且设口，p r ，那么我们有： ( 1 ) 若口+ 卢r ”，则占q ，) = 一( ，口) ( 2 ) 若口+ r ”u o 则占0 ，) = e ( p ，口) ( 3 ) 占+ 卢，) = g ( a ，y ) + c ( p ，y ) 证明：( 1 ) 由引理2 ，我们有由i ( a ，) = - i = + 所以 ，) = 一占( ，口) 。 ( 2 ) 同( 1 ) 可证。 ( 3 ) 显然。 下面证明主要结果。 定理的证明：为了叙述方便，以下我们也称0 为虚根。下面只需验证9 5 关 于方括号运算【一，一】满足j a c o b i 恒等式。 设口，p ，y 是根( 可以为0 ) ，以下分情况验证j a c o b i 恒等式。 i 三个根均为实根即口，y r ”，下面讨论它的两两之和的情况( 验 证方法相同时我们只取其中一种来讨论) ： ( 1 ) 两两之和均为虚根时不可能。否则口+ p + ，= p + ) + ，r ”，故 ，( 口+ + ，口+ + ，) = 2 ，但2 ( 旺+ p + t ) = 如+ p ) + m + 7 ) + “+ a ) r ”u o ， 故4 = 2 i 缸+ 卢+ ，口+ 卢+ ，) = l ( 2 ( a + p + y ) ，2 ( 口+ + y ) ) = 0 ，矛盾。 ( 2 ) 两两之和中2 个虚根而另一个为实根时不可能。否则，不妨设 a + 卢，卢+ r 置“u o ，y + a r ”。则o c + p + y = q + y ) + p = + p ) + y e r ”， 四川大学硕士学位论文 故，0 + ，) = 一1 。另一方面，l ( a + y ，) = ， ，) + ，d ，) = _ 2 2 = - 4 ，矛 盾。 ( 3 ) 两两之和中2 个虚根而另一个不是根时不可能，否则，不妨设 a + p ，卢+ y r u 0 ，y + 口萑r ，因为口+ + 厂e r ”，所以l ( a + r ，卢) = 一1 ， 又，( 口+ ，) = 仁，卢) + ，p ，) 2 2 = 4 ，矛盾。 ( 4 ) 两两之和中1 个虚根2 个实根时不可能。否则，不妨设 口+ r 肼u o x + y , y + 口r ，贝n 口+ p + r = k + 卢) + y r 腭，所以 l ( a + r , p ) = 一1 ，另方面， + r , p ) = ，仁，) + i o , ，卢) 2 1 = 一3 ，矛盾。 ( 5 ) 两两之和中1 个虚根1 个实根而另一个不是根时不可能，否则，不妨 设口+ r 删u 0 ) ，+ y 月坩，+ 口仨r ，贝0u + f l + y = p + ) + y r ， 所以，如+ y , p ) = 一1 ，另一方面，仁+ ，) = ，姣，卢) + 1 0 , ，) 2 1 = 一3 ， 矛盾。 ( 6 ) 两两之和中为1 个虚根另两个不是根时不可能，否则，不妨设 口+ r ”u o ，p + 丫，丫+ o r , 芒r ，因为，q + 凡d ) = ， ，a ) + m ，0 c ) 2 2 0 ， 又因为口+ 声+ 口r ”，所以0 + ，口) = 一1 ，矛盾。 ( 7 ) 两两之和均为实根且口+ 卢+ y r ”u o 时，口+ 厉+ y , y + 口尺”， 则有 、 0 e u , e j s ，j + 肚，巳j e j + 妊，j 勺j = s q ，卢犯。+ ，勺j + s ，y ) i ! e p + y , e aj + s ，口如。，e ，j = 占0 ，k ( 口+ ，y x 口+ x 口+ + ，) + 占，：k + ，口：k + y x 口+ f l + r ) + 占p ，口k + 口，：肛+ 口x 口+ + ，) = 占缸，b q ，弦，x 矗+ + + ，) + 占，k ，口弦d ，口肋+ ，：融+ + ，) 四川大学硕士学位论文 + d r ，口k p ，k 仁，x ，+ c t x 口+ f l + r ) ：占0 ，k 仁，k ，x + x a + 卢+ ，) + + y x p + + ，) + + 口x 口+ 卢+ ，) 】 = 占0 ，k q ，y b ，r x 2 w + p + r ) x a + f l + r ) = 0 因此j a c o b i 恒等式成立。 ( 8 ) 两两之和均为实根f i a + + ，r ”时，这种情况不可能，否则，不妨 设口+ ，+ y ，y + 口r ”，1 ( a + ，) = 一1 ，一1 = l ( c t + f l ，) = ，q ，r ) + i ( f l ，y ) = 一1 1 = 一2 ，矛盾。 ( 9 ) 两两之和均为实根且口+ + y 萑r 时，即口+ ，卢+ ，y + 口r ”，则 有 u e a , e p j e r + u e a , e r j j + 雌。kj = s ( 口，p ) l e a + , o , e rj + s ，y 牡脚，j + 占p ，口妊y + a5 j = 0 + o + o = 0 因此j a c o b i 恒等式成立。 0 0 ) 两两之和中2 个实根而另一不是根，r a + f l + r r “u o 时不可能， 否则，不妨设口+ 卢，p + r r ”，y + a 仨r ，1 ( a + r ，口+ ，) = 4 + 2 ，0 ，y ) = 2 m ， r l q 1 ，故l ( a ，y ) 0 ，又一2 = l ( a + ，) = i ( a ，) + l ( p ，) = - 1 + l ( a ，y ) ，矛 盾。 0 d 两两之和中为2 个实根而另一不是根，r a + 卢+ ，r ”时，不妨设 口+ 卢，+ ，r 坩，+ 口仨尺，因为 阽，l e ， + i l e ，, e r k l + l l e 。k j = 占0 ，卢。+ ，巳j + 占，如，妒气l + o 1 0 四川大学硕士学位论文 = 占 ，p 弦q + 筘，y x 。咿+ ，+ 占够，弦归+ 苁口k + 加 = s k ，卢k k ，) + e ，啦删+ ，+ 占，y 如p ，口) 十占p ，垲强州+ ， = 0 ( 因为占如，声) = 一s ，搿) ，占驴，窿) = s ，) ) 因此j a c o b i 恒等式成立。 o d 两两芝和中为2 令实报而另一不是裉，虽+ y 窄足薅，不妨设 嵇+ 多，p + r 车蠢坩，+ 描彗r ，因为 拙。，勺l e ，j + 妊，勺i 乞i + 妊，l e ，! = 占仁，牡。埘勺j 十0 ，蜘# 州j + o = 0 + 0 = 0 函疵j a c o b i 毽等式成立。 两两之和中为1 个实报另两个不魁根，鼠窟+ + y e 嚣“u o 时，这种 情况不可能。否则，不妨设d + 卢尺”，声+ 儿，+ 口芒丑，因为，o + * 努+ 丫) = 2 m ， 1 ) ，又伪+ ，+ ，) = ，夕) 十2 ，) + ，伊，y ) ，所以，慨，) o 。同理可 得，d ，口) 0 。又一2 ；，白十，) = ，q ，) + ，归，) 0 ，矛盾。 q 移两两之和中为1 个实横而另两个不是根，且口+ + r er ”时，这种情 况不可能。否则。不妨设岱+ 矗”，+ y ，y + 口窖矗，因为，驴+ ，卢+ ，) = 2 m ， 向 1 ) ，又j 护+ + 力= ? 泌，力+ 2 j 积砖+ ，驴，力，所以，力0 。同理可 褥? ，g ) 0 。义2 = ，g + p 十弼馑十+ 7 ) = ，十辑o + ) + 2 j 辍+ 叠，￥) + ，6 ，丫) 鼹鞋有：一l = j 轴+ ，) = j 诞，厂) + j 伽，芦) o ，矛詹。 两两之秘孛为1 个实摄瑟男两个不是投，且掰+ 声+ y 量r 孵，不妨没 四川大学硕士学位论文 口+ r 腭，+ y , y + 口仨r ，因为 峙。，j 巳卜肚，勺j 气j + 峙，i j = s q ，如a + f l | ，勺1 + o + o = 0 因此j a c o b i 恒等式成立。 0 6 ) 当其两两之和均不是根时，显然j a c o b i 恒等式成立。 i i 三个根为2 个实根1 个虚根时，不妨设口，r ”，r ”u o ，则 有：a + ，+ y r ”，我们只需对口+ 的情况分类讨论： ( 1 ) 当q - + 卢r 作时，贝0 口+ + ，= 如+ ) + ，e r 阼，因为 。，知j o ) j + 峙， p e 。j + 噼l 气1 j = e q ，p 妊。彬厅0 ) j e “，p ) ，o ，p 牡。州e 。j + e “，a ) ，o ，a 牡，+ 。，邙j = 一占q ，卢k o ，a + f 1 ) i ( h ，口+ 卢x 。+ ，+ ，一占o ，p ) z ( h ，弦+ 口k 。+ ，+ ， + 占，口) ，伪，口b o + 口，卢k 。+ ，+ ， = 一占，弦p ，口k o ，卢) ，伪，口+ ) 一占，k d ，口k ，p ) z ( h ，) + s ( 口，卢k o ，a k o ，卢v o ，a ) = 0 。 即j a c o b i 恒等式成立。 ( 2 ) 当口+ r “时，贝a + p + r = q + ) 十，r “，因为 。，l 厅p ) j + 峙， o ) 上j + 肛p l 气1 j = e ( c f ，卢牡。+ ， p ) j s ，p ) z ( h ，卢壮，l + c ( v ，口) ，o ，口，+ 。，j = 占0 ，k 仁+ 声，p 仁，i l + 卢+ + y ) 一e p ，p o ，k + ，口+ ，+ + ，) + 占d ，口) ，o ，口k p + 口，炒+ 口+ + y ) = s 0 ，k q ，k ，y ) ，仁， ：融+ ：胁+ 卢+ ，) 一e p ，卢k p ，口p p ，口) ，伪，炒+ ，+ + ，) + 占，口) ，伪，口b ，b 0 ，妇+ 口x 口+ + y ) = 占丘，卢弦缸，y 弦，) ，白， x 口+ + + ，) + 占o ，k ，a k p ，a ) ，q ， + ，+ 卢+ ，) + 占，口k o ，卢k 0 ，卢) ，缸，矗渺+ 口+ + y ) = 0 ( 因为，q + ，h ) = o ，所以，q ，由) = 一，h ) ) 。 即j a c o b i 恒等式成立。 1 1 1 三个根为1 个实根2 个虚根时，不妨设口r ”，y r “u o t 则 有：口+ ，a + y r ”，+ ，r ”u o ) 且口+ + y = 口+ c a + ，) e r ”，因为 峙。，h ( b ) f h 。) j + 峙l p ) j j + 肚o ) l h ( p ) l = 一s ，口l ，积，口牡。+ ，h p ) 】+ 占，) ，0 ，h ) 【i 臼( + ，x 气】 + 占，口弘仁，口k + ，厅) 】 = 一占，口v o ，口弦o ，+ 口) ，仁，卢+ 口 。+ ，+ ， 一s p ，口) ，0 ，口k 驴，口+ ，) ，伪，a + r ) e 。+ ，+ ， + 占，弘白，h k + ，口) ，口k 。+ ，+ ， = 一e o ，) ，o ，a k o ，p + p 0 ，c c k + 。+ ， 四川大学硕士学位论文 一s o ，口) ，0 ，口k ，口+ y p o ，口扣。+ 肿，+ o ( 因为e r “，故，口) = 0 ) ：一k ，a ) ，伪，口k ，k d ，口) + 占，a k ，口k ，y ) l ( h ，口m 0 ，口l 。+ ，+ ， ：0 ( 因为+ ，r “，所以占驴，) = 占，) ) 即j a c o b i 恒等式成立。 i v 三个根均为虚根时，即口，y r “u o ，则口+ 肛+ ，y + 瑾 r ”u o l ，且a + 卢+ y r “u o ，因为 峙0 ) ， 。) j “p ) j + 盼1 l ”) j 仁) j 十峙”l 仁) j ) j ：q ，) ，协，h 。k q + x 厅”) j + 占，r ) l ( h ，h 。) 陋+ ，l 厅q ) 】 + 占( a p 协“，q r ( r + 以h p ) j = 占仁，p ) 1 ( h ，h - ( 口+ ，r ) z ( a ，h ”) ( 口+ ) ( 口+ 卢+ ，) + 占，y ) l ( h ，h 。k ( + ，a ) 1 ( f l ， ) ( 卢+ y ) ( 口+ 卢+ y ) + 占眵，口) ，协，h ) c ( y + a ，f 1 ) 1 ( r ，h 1 ) 仃+ a ) ( 口+ 卢+ ，) = 0 即j a c o b i 恒等式成立。 以上对三个根( 即d ，y ) 以及他们的两两之和( 即口+ 声，+ ，y + 口) 以及三个根之和( 即a + 声+ y ) 的所有可能存在的情况均作了讨论，存在的所 有情况一致满足j a c o b i 恒等式，所以该定理成立。 1 4 四川大学硕士学位论文 参考文献 1 s e s w a r a r a o ，r v m o o d y ，v e r t e xr e p r e s e n t a t i o n f o rn - t o r o i d a l l i e a l g e b r a s a n da g e n e r a l i z a t i o n o ft h ev i r a s o r o a l g e b r a c o m m m a t h p h y s 1 5 9 ( 1 9 9 4 ) ，2 3 9 2 6 4 2 i f r e n k e l ，a m a l k i n ，m v y b o r n o v ，a f f i n el i ea l g e b r a sa n dt a m e q u i v e r s ，s e l e c t am a t h 7 ( 2 0 0 1 ) 卜5 6 3 y l i n ，l p e n g ，2 - e x t e n d e da f f i n el i ea l g e b r a sa n dt u b u l a ra l g e b r a s p r e p r i n t 4 v g k a c ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a l l i e a l g e b r a s ，t h i r de d i t i o n c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s1 9 9 0 5 r v m o o d y ，s e s w a r ar a o ，t y o k o n u m a ，t o r o i d a ll i ea l g e b r a sa n d v e r t e xr e p r e s e n t a t i o n ，g e o m d e d i c a r e3 5 ( 1 9 9 0 ) ，2 8 3 3 0 7 6 k s a i t o ，e i n f a c he 1 l i p t i s c h es i n g u l a r i t a t e n ，i n v e n m a t h 2 3 ( 1 9 7 4 ) ，2 8 9 3 2 5 7 k s a i t o ，p e r i o dm a p p i n ga s s o c i a t e d t oa p r i m i t i v e f o r m p u b l r i m s k y o t ou n i v 1 9 ( 1 9 8 3 ) ，1 2 3 1 1 2 6 4 8 k s a i t o ，e x t e n d e da f f i n er o o ts y s t e m si ( c o x e t e rt r a n s f o r m a t i o n s ) p u b l r i m s k y o t ou n i v 2 1 ( 1 9 8 5 ) 。7 9 1 7 5 9 k s a i t o ，e x t e n d e da f f i n e r o o t s y s t e m si i ( f l a ti n v a r i a n t s ) ， p u b l r i m s k y o t ou n i v 2 6 ( 1 9 9 0 ) ，1 5 7 8 1 0 k s a i t o 。d y o s h i i ，e x t e n d e da f f i n er o o ts y s t e m s ( s i m p l el a c e d e l l i p i t i cl i ea l g e b r a s ) ，p u b l r i m s k y o t ou n i v 3 6 ( 2 0 0 0 ) 3 8 5 4 2 l 1 1 p s l o d o w y ，s i n g u l a r i t a e t e n ，k a c m o o d yl i ea l g e b r e n ，a s s o z i e r t e g r u p p e nu n dv e r a l l e g e m e i n e r u n d e n ，h a b i l i t a t i o n s s h r i f t ( 1 9 8 4 ) 1 2 p s l o d o w y ，b e y o n dk a c m o o d ya l g e b r a sa n di n s i d e ，c a n m a t h s o c p r o c 5 ( 1 9 8 6 ) 。3 6 1 3 7 1 1 5 四川大学硕士学位论文 第二部分与+ 模相关的6 r o t h e n d ie c k 群 1 引言 g r o t h e n d i e c k 群是代数学中研究的一个重要对象，并且在代数、几何等领 域有着深刻的应用。g r o t h e n d i e c k 群的研究的一个重要方向是考虑下面的问题： 设r 是环，p 是r 模，a 是p 的自同构环，则环r 的g r o t h e n d i e c k 群和a 的 g r o t h e n d i e c k 群之间具有什么样的关系? 当。p 是投射维数不超过n 的倾斜模 时，m i y a s h i t a 已证明了若r 与a 是a r t i n 代数，则环r 的g r o t h e n d i e c k 群与a 的g r o t h e n d i e c k 群是同构的( 见【8 】) 。当p 是一个 一模时，t r l i f a j 证明了在环r 的g r o t h e n d i e c k 群和a 的g r o t h e n d i e c k 群之间存在一个阿贝尔同态( 见 1 0 1 ) 。 特别地，若r 和a 是左n o e t h e r i a n 且p 是典范倾斜r - 模，则环r 的g r o t h e n d i e c k 群与a 的g r o t h e n d i e c k 群是同构的( 见【1 0 ) 。 注意到最近文 1 4 】引入了+ ”模，它是+ 模和投射维数不超过n 的倾斜模的 推广( 见 3 1 1 9 1 0 1 1 】) 。因此我们自然的考虑下面的问题，设p 是一个+ ”一模， 则在环r 的g r o t h e n d i e c k 群与a 的g r o t h e n d i e c k 群之间具有什么样的关系? 本 文将证明在适当条件下，在环r 的g r o t h e n d i e c k 群与a 的g r o t h e n d i e c k 群之间 存在一个阿贝尔同态，且当p 是拟一n 倾斜模时，这个同态是可裂的。因此我们 的结果是m i y a s h i t a 和t r l i f a j 的结果的推广。 2 预备 本文约定：环均有非零单位元，模均是酉模。未经特别说明，模均指左模。 对任意环r ，r - m o d ( 或者m o d r ) 表示左( 或者右) r - 模范畴，r - m o d 表示所 有有限生成的r 模范畴。子范畴是指在同构意义下闭的满子范畴。 1 6 四川大学硕士学位论文 定义2 1 令r 是环，p 是r 模，p 有自同态环a = e n d a p 。如果对左r 一 模m 存在正合歹u ： 懈 尸( 以一- ) 哼p ( 。一) 斗寸p ( 。- ) 寸p ( x i j ) _ m 一0 ( 其中是集合) 则称m 被pn 一表现，记n - p r e s ( p ) 表示所有被pn 一表现的模组成的范畴。 注意到，有以下包含关系：( n + 1 ) 一p r 嚣( p ) n p r e s ( p ) ，通常记2 - p r e s ( p ) 为p r e s ( p ) ，记1 - p r e s ( p ) 为g e n ( p ) ，即由p 生成的模的范畴。 引理2 2 ( 见 1 4 】) 令p r m o d 且a = e n 巩p ，那么任取b a m o d 有 p o 。b p r e s ( p ) 。而且，若对1 茎i ”，有乃一( p ，b ) = 0 ，则 p o 月b ( ”+ 2 ) 一p r e s ( p ) 。 定义2 3设p 是r - 模，若对任意的集x ，有标准同构 h o r n r ( j p ，p 。) 兰h o m 月( 尸，p ) ，则称p 是自小的。 显然，每个有限生成模是自小的，但其逆命题不成立( 见 6 】) 。 定义2 4设p r m o d ，m ( 胛一1 ) 一p r 船( p ) ，x 是集，若对正合列 0 _ m _ p ( o 寸寸o 有正合列： 0 一h o m r ( p ，m ) 一h o r n 月( 尸，尸r ) 一h o m 月( p ，) 寸0 ( 见 1 4 ) 则称p 是n 一拟投射的。 令r 是环，p r m o d ，a = e n d r p 。记 k e r 群“：= m i t o t , 。( p ，m ) = o ，1 茎i n ) 类似地，我们记 k e r 耳“：= 肘l t o r j a ( p ，m ) = o ，i 1 ，k e r 砰”：= m i 乃一( p ，m ) = o ，k f ) 同样的记k e re 箩“表示 m l e x t ；( p ，m ) = o ，l i ) ，k e re 尸表示 m in f ；( p ，) = o ，i 1 ，k e re 表示 m i 毋f ：( p ，m ) = o ，k f ) 。对任意 心川大学硕士学位论文 r - m o d 的入射余生成子o ，记k ：= h o r n 。( p ，o ) 。 电 h p = h o r n 月( p ，一) ，耳= p o 一，e ；= e x c 月( e ，一) 和耳( 尸，一) = t o r , 4 ( p ，一) ，( ，1 ) 那么我们知道( 砟，日，) 是一对伴随函子且有如下的典范态射： p ，：耳h p ( m ) 斗m ，圆p 卜f ( p ) 盯：n 斗h p 耳( n ) 卜 p 哼 o p 】 定义2 5 若p 是自小的且是( n + 1 ) 一拟投射的，且n p r e s ( p ) = ( n + 1 ) 一p r e s ( p ) ， 则p 是”一模。 注意到： 1 ) “模恰是一模。( 见 5 】) 2 ) 投射维数不超过n 的倾斜模是所有入射模被n 表现的”一模( 见 1 4 t h 3 8 1 3 ) 对所有有限生成的投射r 模p ，设a = e n d 。p ，若只有有限平坦维数， 则。尸是”一模，n 是某个正整数( 见【1 2 】) 。 4 ) 2 - 拟投射生成子是一类特殊的”模，即( 2 ，2 ) 拟投射的“模。如v o n n e u m a n n 正则环上的所有有限生成投射模均是2 一拟投射生成子。( 见 1 2 ) 引理2 6 ( 见 1 4 】) 令尸r m o d ，a = e n d r p 。则下列条件等价： 1 ) p 是”一模； 2 1p 是自小的且对任意m s p 。有m 力一p r e s ( p ) 当且仅当 e x t ：( p ，m ) 寸e x c ( e ，p 。) 是单射； 四川大学硕士学位论文 3 ) p 是自小的，m ，n h p r e s ( p ) ，对r m o d 中的正合列 0 一三斗m 斗| v 斗0 ，序列0 斗h p ) 寸h p ( m ) 斗h p ( | v ) 斗0 f 合当且仅当l 行一p r e s ( p ) 4 ) 。尸诱导一个等价： t e ：k e r 巧“斗”一p r e s ( r p ) ，h p ：胆一p r e s ( r j d ) 寸k e r 巧引。 本文通篇假设。p 是有限生成的，在自同态环上有有限平坦维数t ( 等价于 k e r 耳“在t - 子模下闭，即对v0 寸_ c l _ c 2 _ 寸c ，其中对1 i ， c ，k e r 巧“，则有n k e r 耳“) 。 3 主要结果 本节中，我们记g e n ( m ) 是r 一模m 的生成元的个数。 首先，我们回忆 1 0 q a 的一些定义。 定义3 11 ) 令r 是环，c c _ r m o d 是在同构像下闭的一类模，用【c 】表示 c c 的同构类。 定义g r o t h e n d i e c k 群k ( c ) = f g ，其中f 是由集“c 】l c c 自由生成的阿 贝尔群，g 是形如【c 2 】- c 1 - c 3 】的元生成的f 的子群，其中c ，c ：，c 3 c 且在r m o d 中0 斗c lj c 2 哼c 3 _ 0 是正合的。 c 】在k ( 召) 中的陪集记为 c l 。 特别地，如果五是无限基数且c 。= ( m r m o d i g e n ( m ) 丑) ，我们定义 9 四川i 大学硕士学位论文 k ( a ，r ) = k ( c 。) 。 2 ) 令r 是环，p r m o d ，a = e n d 。p ，记m ( p ) 是满足下列条件的最 小无限基数五： i ) 对每个a 的左理想i ，有g e n ( 1 ) 五 i i ) g e n ( p ) 五 i i i ) 如果m g e n ( p ) 且g e n ( m ) 丑，那么对m 的任意子模m ，有： g ( m 。1 五。 设是第一个无限基数，那么k ( c o ，r ) 就是指有限生成r - 模范畴的 g r o t h e n d i e c k 群，记为民( r m o d ) 。例如，若r 是左a r t i n i a n 环，则( r m o d ) 在 【1 】，p 5 的定义下与r 上有限长度模类的g r o