（运筹学与控制论专业论文）广义分散系统有限时间收敛的非线性控制器设计.pdf

摘要 一1 88 29 2l 本文针对三种广义分散系统模型，研究其有限时间收敛非线性控制器的 设计方法。主要工作概括如下： 第二章分别研究了如何将无脉冲模的广义分散系统和带脉冲模化为正 常的分散系统。对于无脉冲模的广义分散系统，只要通过受限等价变换就可 将其化为正常的分散系统。对于带脉冲模的广义分散系统，情况就比较复杂， 本章首先对广义分散系统的受限等价变换形式作了进一步的研究，然后在采 用状态反馈消除集中控制下脉冲模的影响，然后再将广义分散系统化为正常 的分散系统，为下面三种广义分散系统的有限时间收敛非线性控制器的设计 奠定了基础。 第三章、第四章和第五章分别研究了带脉冲模的广义分散系统、带输入 时滞的广义分散系统和一类具有不确定性的广义分散系统的有限时间收敛 非线性控制器的设计。对于带脉冲模的广义分散系统，在集中可控的条件下， 首先将它化为一个正常的可控的分散系统，然后再利用有限时间收敛的概念 和递推技术束设计控制器；对于带输入时滞的广义分散系统，在无脉冲模和 集中可控的条件下，最终将它化为一个无时滞的正常的可控的分散系统，然 后再利用有限时间收敛的概念和递推技术来设计控制器；对于第五章中研究 的一类具有不确定性的广义分散系统，也是首先将它化为一个具有不确定性 的正常系统，在不确定性有界的条件下利用符号函数抑制干扰对系统的影 响，然后再利用有限时间的概念和递推技术来设计控制器。 对第三章、第四章和第五章中的三个模型，证明了当系统状态在有限时 问内为零时，控制律也同时为零，系统中的所有信号为收敛到零系统的性 能指标达到最优。 关键词：广义分散系统；有限时间收敛；递推设计；控制律设 计；系统稳定 a b s t r a c t t h et h e s i si sm a i n l vt od e s i g nan o n l i n e a rc o n n d l l e ro ft h eg e n e r a l i z e d d e c e n t r a l i z e ds y s t 锄st h a tm d k em es i g n a l so f t t l es y s t e m sc o n v e r g e n c et oz e r oi n f i n i t et i m e t h em a i nw o r k si i l c l u d e s ： t h es e c o n dc h a p t e ri nt h i sp 印e ri sa b o u th o wt ot r a i l s f i o mt l l eg e n e r a l i z e d d e c e n t r a l i z e ds v s t e m si m ot h en o n n a ld e c e n t r a l i z e ds y s t e m s f o rt h eg e n e r a l i z e d d e c e n 仃a i i z e ds v s t e m sw i t h o u ti m d u l s eb e h a v i o ri tc a nb et r a n s f o 咖e di n t ot h e n o n n a ld e c e n t r a l i z e ds y s t e m s o n l y b y t h ee q u i v a l e n t t r a l l s f o 肌a t i o n w h i l e f o r t h eg e n e r a l i z e dd e c e n t r a l i z e ds y s t e m sw i t hi m p u l s eb e h a v i o rw et r a n s f o mt t l e m i n t ot h en o 订n a ld e c e n t r a l i z e ds y s t e m sn o to n l vb ve q u i v a l e n tt r a n s f o m l a t i o nb u t a l s ob ys t a t ef b e d b a c kt om a k et t l cs y s t e m si m p u l s e 丘e e t br e d u c et h e c a l c u l a t i o n st h ef 1 1 n h e rs t l l d ya b o u tt l l ee q u i v a l e n t 咖l s f o m l a t i o no ft 1 1 e g e i l e r a l i z e dd e c e n t r a l i z e ds v s t e m si sg i v e n t h ed e s i p 皿o fm en o n l i n e a rc o n 灯o u e rf o rt l l e g e n e r a l i z e dd e c e n t r a l i z e d s y s t e m sw i t hi m p u l s i v em o d e si s 面v e ni nt h et h i r dc h a p t e lt h en o n l i n e a r c o n t r o l l e rf o rt l l e 譬e i l e r a l i z e dd e c e n 仃a l i z e ds v s t e m sw i t hi n p u tt i m e d e l a yi s p r e s e n ti nm ef o u r t hc h a p t e r t h ed e s i g no ft h en o n l i n e a rc o n t r o l l c rf o rm e g e n e r a l i z e dd e c e n t r a l i z e ds y s t e m sw i t hu n c e n a i n t yi sa l s oc o n s i d c r e di nt h ef i f 【l l c h a p t e r f o rt h ea b o v et 1 1 r e es y s t e n l s ，i no r d e rt od e s i 目mt h en o n l i n e a rc o n t r o l l e rt h e s y s t e m sa r e 仃a n s f o 皿e di n t ot h en o m a ld e c e n t r a l i z e ds y s t e mf i r s t l ya n dt h e c o n c 印t so fc o n v e r g e n c ei nf i i l i t et i l l l ea n dt h ea p p r o a c h e so fb a c k s t 印p i n ga r e a d o p t e d w h e nt h es t a t ec o n v e 唱e st oz e r oi nn n i t et i m e ，a 1 1t h es i 趴a l so ft h e c l o s e d l o o ps y s t e m sa l s ot e n dt oz e r oi nt h es a i l l et i m e a n dt h u st h ep e r f o m l a n c e o f t l l es y s t e m sb e c o m eo p t i m a l k e yw o r d ：g e n e r a l i z e dd e c e n t r a l i z e ds y s t e m s ；c o n v e 唱e n c e i n n n i t et i m e ；b a c k s t e p p i n gr n e m o d ；c o n 仃0 1 1 e rd e s i g l l ；s y s t e ms t a b i l i 吼 广义分散系统有限时间收敛的 非线性控制器设计 第一章绪论 随着所面临对象的日趋复杂，传统的线性系统理论已远不能适应实际控 制的需要。产生于社会经济、工程技术、航天航空等领域的各种实际复杂系 统。正在向控制理论不断提出新的挑战，控制理论正以对象、环境、目标、 手段的复杂性及它们的相互作用为核心，向着更细化、更深入的方向发展。 这种发展趋势的重要表现之一是：以具有某种本质特征的系统为特定对象 ( 如非线性系统、高维大系统、分布参数系统、离散时间系统、随机系统等) ， 专门深入地研究其控制问题已经是当前控制领域中新的分支和热点川。 在控制理论蓬勃发展的各分支中，广义分散系统( 也可以说是广义系统 的分散控制问题) 成为引人注目的研究。广义系统有着鲜明的特征，它以无穷 远极点的存在为特点，是传统以微分方程描述的动态系统的广义化，描述了 一大类带有代数约束的动态系统，并把变量的动态关系于稳态关系集一体进 行研究。广义系统在社会经济、工程等领域存在着广泛的现实背景，如电力 系统、连续生产工业过程等。 近年来，广义系统理论已经取得了许多研究成果，人们对于它的结构性 质有了深入的理解，并提出了各种有效的优化控制算法。但在这些研究中， 对于系统本身的规模及控制实现的可能性没有给予足够的重视，正如成熟的 线性系统控制理论在用于高维大规模系统时会遇到信息来源缺乏、实时计算 量过大等多方面的障碍，因而需要引入以集结、分解协调、分散等概念为主 体的大系统理论一样，当我们面临的实际广义系统因维数高、分布地域广而 引起信息量过大或信息不完全时，现有的广义系统理论也遇到了类似的问 题，同样要采用处理高维性、信息不完全的方法来克服这以困难。 正是基于这种情况，开始了对广义系统分散控制问题的研究。采用分散 化的概念实现系统的控制，通过降低计算量和对信息量的要求，克服用集中 控制的方法所遇到的实现上的困难，同时提高系统的可靠性。然而，分散控 制由于采取了不完全的信息交换模式，使得控制系统出现了在正常的完全的 信息交换模式下未曾产生的一些不容忽视的问题，从而控制的实现遇到了新 的难题。本文在借鉴传统线性系统理论、广义系统理论和变结构控制理论现 有成果的基础上，对不带干扰的和带干扰的广义分散系统有限时间收敛进行 了系统理论的研究，并给出了控制器的设计方法。 下面对广义系统及广义分散系统的理论发展概况进行简要的综述，以便 对本文提出的系统有深刻的认识，并明确本文所要解决的问题。 本章分为三个部分，1 1 对广义系统理论的发展概况加以论述；1 2 是关 于广义分散系统的理论发展概况；1 3 介绍本文的概况 1 1 广义系统理论的发展概况 广义系统是一类比正常系统更具广泛形式的动力系统，其模型通常表示 戤2 出+ b 甜 ( 1 1 ) y = c k 其中x ，“和y 分别为玎维状态向量、肌维输入向量和，维输出向量； e ，4 尺“”；b r ；c r “”。广义系统模型( 1 1 ) 大量出现于经济管理3 1 、 电子网络“1 、机器人“1 、工业生产过程、生物过程和航空航天以及航海技术 等领域“”。广义系统理论是2 0 世纪7 0 年代开始形成并逐渐发展起来的现 代控制理论的一个独立分支。1 9 7 4 年，英国学者r o s e n b r o c k 首次提出了广 义系统的概念“”，随后，美国学者l u e n b e r g e rd g 对线性系统的解的存在 性和唯一性等问题展开研究，从此拉开了对广义系统理论研究的帷幕。 进入2 0 世纪8 0 年代，广义系统理论发展进入了一个新的阶段，代表成 果有：c o b b d 提出了广义系统的能控性、能观性及对偶原理“”；进一步地， d a il 将其推广到离散广义系统“”；y a n gc 等提出了广义系统的最小实现 问题；f a h m ym m 等进行了观测器的设计；f l e t c h e rl r 等分别研究了广 义系统的干扰解耦及特征结构配置等问题；d a il 分别关于连续及离散广义 系统设计了动态补偿器n “；b e n d e rd j 等分别关于连续及离散广义系统研 究了线性二次型最优调节器问题；l i nj 和l i nx 分别讨论了时变和时不变 广义系统的最优控制问题；d a il 研究了广义系统中的正则性问题，认清了 正则的广义系统和不正则的广义系统之间的区别n ”，这是广义系统中一个十 分重要的问题。 由于反馈是系统的一个重要性质，因此广义系统的反馈问题是一个极为 重要的研究方向。c o b b 首先研究了广义系统的状态反馈问题，给出了类似于 正常系统的一些判据及算法“”。a 瑚e n t a n o 在研究了广义系统脉冲能控性的 前提下，利用状态反馈实现极点配置的问题，先利用脉冲能控性消去脉冲模， 然后再进行反馈，给出了具体的算法“”。陈树忠利用系统可正常化的条件， 对系统进行状态及状态的导数、输出及输出的导数的反馈，从而将系统的无 穷远点配置导任意有限位置“”。l e 则讨论了如何利用快慢系统反馈矩阵， 来综合设计状态及状态的导数反馈矩阵，给出了具体的算法公式，该文说明 了消去脉冲模反馈阵与状态导数反馈阵之间的关系“”。l r 等则对广义系统 的特征结构配置及鲁棒性极点配置做了深入的研究1 “。段广仁研究了广义 系统特征结构配置与a v + b w = e v f 矩阵方程的关系，给出了具体配置算法“。 在众多的控制理论工作者的努力下，广义系统理论取得了蓬勃的发展n 2 _ 2 ”。 从2 0 世纪9 0 年代至今，广义系统的研究已从基础向纵深发展，研究从 确定性到不确定性，从无时滞到带时滞，并且现在开始离散广义系统和非线 性广义系统的研究，取得了丰硕的成果“”1 。 1 2 广义分散系统理论的发展概况 广义分散系统通常用线性方程组和代数方程组表示为” 趾血+ 善即 ( 1 2 ) 儿= c f 工 f = l ，2 ， 其中，x 、“，和咒分别为”维状态向量、维输入向量和维输出向量， 卫卫 艺= 肌，= f ；e ，一r “”；马r “”；q r ”，f = 1 ，2 ，。 广义分散系统控制问题也就是广义系统的分散控制问题。传统的控制理 论都是建立在集中控制的基础上，其控制器设计的信息模式称为经典信息模 式，即假定各控制器都能获得同样的系统全局信息，但是当系统的维数较高 或信息的传递无法实现时，这种集中的控制律就面临着实时计算量大，信息 不完全的困难而难以实时实现。因此以非经典信息模式为基础的分散控制研 究引起了人们的很大关注。 分散控制系统中的一个重要特征是：由于对反馈信息结构存在约束，系 统中的某些模态虽然在集中控制情形下是可控可观的，但在分散反馈下则可 能不可控，采用分散化的概念实现系统的控制，并通过降低计算量和对信息 的要求来克服集中控制所遇到的困难，是广义分散系统研究的重要内容。 在1 9 8 6 年美国控制与决策学术会议上，加拿大多伦多大学的c h a n g 和 d a v i s o n 两人发表了关于广义系统分散控制内容的首篇文章，其中涉及与分 散伺服机问题有关的一些理论性课题，提出了广义分散系统有穷分散固定模 和脉冲分散固定模两个重要概念 ”。继此之后，许多专家学者对广义系统 的分散控制展开了深入系统的研究，并取得了一系列的理论成果。x i e 利用 导出系统概念研究了有穷分散固定模的判别问题”。王朝珠和王恩平独立 地从闭环正则广义大系统研究了广义大系统脉冲分散固定模问题，给出了脉 冲分散固定模的等价定义及有关算法”5 1 。l i n 对广义分散系统存在有穷分散 固定模问题做了进一步研究，给出了几个广义大系统存在有穷固定模的递推 特征2 卯。谢绪恺等人利用零化矩阵给出了广义分散系统存在脉冲分散固定 模的代数特征：还通过引入无穷秩给出了广义分散系统存在有穷分散固定模 和脉冲分散固定模的统一判据”。s e n 还将这些结果推广导微分算子形式的 广义分散系统”。与此同时，李光泉等人通过增加子系统间信息通讯的办 法，来消除广义分散系统的有穷分散固定模b 盯。张钟俊、席裕庚和刘万泉 对有关问题做了进一步研究，还将结果推广导带有直馈形式的广义分散系统 1 8 3 9 4 0 l 任何一类系统都不同程度地存在着不确定性，或者产生于系统内部，或 者来自于系统外部，广义分散系统也不例外。因此，鲁棒控制在广义分散系 统中的研究，和正常系统一样，具有同样的重要性。由于广义系统特有的正 则性和脉冲行为，致使有关研究和结论变得复杂而富于挑战性。在广义分散 系统鲁棒控制研究方面，目前只是得到了一些初步的结果4 卜4 7 1 。 4 时至今日，对广义分散系统的研究仍是控制界的一个热点和难点，多数 研究工作仅局限在分散控制系统的结构性质方面，其成果亦不够完善。在其 它方面，尤其是在广义分散控制系统的控制与综合问题上，其研究成果尚不 多见，有待于深入研究与探索。 1 3 本文的概况 有限时间收敛的控制器是一种快速控制机制，当系统实现有限时间收敛 时，其系统的性能指标达到最优。对具有强关联的多变量系统，当某些子系 统的状态分量在有限时间内为零时，它将不再对其他子系统起作用。本文分 别针对具有脉冲模的广义分散系统、具有输入时滞的广义分散系统和一类具 有不确定性的广义分散系统进行了有限时间收敛的非线性控制器设计的研 究。对于具有脉冲模的广义分散系统克服了以往对其要求无脉冲的条件限 制，采用状态反馈保证其在集中控制下是无脉冲的，然后利用有限时间收敛 的概念和递推设计技术，提出了使系统的状态和输出在有限时间内收敛到平 衡点的控制器的设计方法。本文其它章节内容安排如下： ( 1 ) 第二章研究的是如何将广义分散系统化为正常的分散系统。2 2 节 研究了广义分散系统的受限等价变换；2 2 2 5 节研究了怎样将广义分散系 统化为正常的分散系统，对于在集中控制下无脉冲模的的广义分散系统模只 要通过一步受限等价变换就可将其化为正常的广义分散系统：而对于带干 扰的广义分散系统，只是通过步受限等价变换是无法将其化为正常系统 的，为了降低计算量，在2 5 1 中先研究了广义分散系统的另外一种受限等 价形式，在此形式下采用状态反馈消除其子系统的脉冲模，最后再将系统化 为正常的分散系统；2 6 节在前面讨论研究的基础上得出结论； ( 2 ) 第三章研究的是一般的带脉冲模的广义分散系统模型其有限时间 收敛非线性控制器的设计方法。本章在第二章2 5 节研究的基础上，首先将 系统化为正常的分散系统，然后再利用有限时间收敛的概念和递推技术来设 计非线性控制器，使得系统状态在有限时间内达到零，并且当系统状态为零 时，控制律也同时为零，系统中的所有信号为零，使系统的性能指标达到最 优； ( 3 ) 第四章研究的是带输入时滞的广义分散系统模型其有限时间收敛 非线性控制器的设计方法。本章所讨论的广义分散系统是无脉冲模的，在第 二章2 1 节研究的基础上，将其化为正常的带输入时滞的分散系统，然后通 过还原法将其变为无时滞的系统，再利用有限时间收敛的概念和递推技术来 设计控制器，使得系统状态在有限时间内为零，并且当系统状态为零时，控 制律也为零； ( 4 ) 本章研究的是具有不确定性的广义分散系统模型其有限时间收敛 非线性控制器的设计。本章对讨论了一种无脉冲模的具有不确定性的广义分 散系统，首先将其化为正常的分散系统，然后再利用有限时间收敛的概念和 递推技术来设计控制器，在设计控制器的时候通过符号函数来抑制干扰对系 统的影响，保证系统状态在有限时间内为零，并且当系统状态为零时，控制 律也趋近于零。 6 第二章广义分散系统化为正常分散系统 21 引言 广义分散系统 丘= 血+ 善4 “| ( 2 1 ) 咒= c x f = 1 ，2 ， 蔫中x 、虬驴* 分别是”维状态向量、维输入向量和维输出向量， 小i = 埘。= z ； e ，r 删“；马矗。，c 五社4 ，f = l ，2 ，。 。1 今 “1 “= “j ，“0 ，“； 7 ；y = 订，一，蝣 ； 刀= 【日，皿，巩 ；c = 口，四， 7 则广义分散系统的控制闷题可以看成是广义系统 腑2 止+ 占“ f 2 2 1 y = 的分散控制问题。其中，x 、“和v 分别为n 维状态向量、m 维输入向量和f 维输出向量；e ，一r ；曰r 4 硼；c r “1 。 受限等价变换不但能把广义系统，而且具有保持广义系统的结构特性的 性质，因此对广义系统进行分析与综合时，经常先采用受限等价变换把广义 系统化成一种简单特殊的形式，再对其进行分析研究。 脉冲性是广义系统区别于正常系统的一种属性。脉冲模对应着广义系统 的脉冲解，脉冲模的存在使广义系统产生了脉冲行为。在工程实际中，脉冲 行为能使广义系统无法正常运行或导致系统的损坏，所以往往不希望其出 现。 对集中控制下的广义系统( 22 ) ，关于其受限等价变换和状态反馈消除脉 冲模的研究已经比较成熟1 2 “2 4 “，利用这些理论，本章首先研究 冲模的研究已经比较成熟1 2 “2 4 “，利用这些理论，本章首先研究 了广义分散系统( 2 1 ) 的受限等价变换，将系统化为比较简单的形式；然后在 此形式下，研究了怎样用状态反馈消除脉冲模，从而进_ 上步地能将广义分散 系统( 2 1 ) 化为集中控制下无脉冲的广义系统；最后将广义分散系统( 2 1 ) 化为 正常的可控的分散系统。 2 2 广义分散系统的受限等价变换 对广义分散系统 戤= 血+ 善尽略 ( 2 1 ) m = g x f _ 1 ，2 ， 其中工、峨和m 分别是以维状态向量、川，维输入向量和维输出向量， 竹= 州，= ，；e ，4 r 删”；垦r 删叶，g r 埘，f = l ，2 ，。 i = 1t 司 及其相应的集中控制下的广义系统 戤2 血+ 肌 f 2 2 】 y = q 。 其中，x 、“和v 分别为玎维状态向量、珑维输入向量和，维输出向量； e ，4 r x “；b r ；c 尺“”。假设： ( 1 ) ，以后( e ) = g ； ( 2 ) d e gd e t ( 妇一4 ) = r ，即矩阵姬一彳的行列式次数为，。 定义2 1 啦若存在s 。0 使得d e t ( 蚯一4 ) 0 ，则称矩阵对( e ，爿) 正则， 也称广义分散系统( 2 1 ) 与广义系统( 2 2 ) 正则。 定义2 2 ”2 1 设p ，q 是两个h 阶可逆矩阵，对广义系缉( 2 2 ) 进行线性非奇 异变换牙= ，可以得到 p e 够( f ) = 删万( f ) + 船“( f ) ，、 y ( f ) = c q 霄( f ) 、 。 则在广义状态空间中，变换前后的两个广义系统状态之间是一一对应的，称 这两个广义系统是受限等价的，这种变换称为受限等价变换。 对广义分散系统( 2 1 ) ，相应的有： 定义2 3 设_ p ，q 是两个n 阶可逆矩阵，对广义分散系统( 2 1 ) 进行线性 非奇异变换i = q x ，可以得到 雎莎( f ) = 删莎( f ) + 尸善e “o ) ( 2 4 ) 咒( f ) = e 万( r ) f = 1 ，2 ， 则在广义状态空问中，变换前后的两个广义分散系统状态之间是一一对应 的，称这两个广义系统是受限等价的，这种变换称为受限等价变换。 引理2 1 若矩阵对口，4 ) 正则，则存在月阶可逆矩阵p ，q ，使得广义系 统( 2 2 ) 受限等价于 毫= 4 五+ 蜀“ 慨= 屯+ 岛” ( 2 5 ) _ y = c ：工+ c ：z 鼽嘲= 心跏刚q = ( 舌0 朋= 砰霹c q = c l c 2 】； 五r ，屯尺”；4 r x ，；骂r ，岛r ”一7 “”；c j r m ，c ：r 。“。一： m 月( ) 。( 为幂零矩阵，幂零指数为 ，即h 鼍n i n k i m 。= 0 ，k 为正整数) 。 证明：因为矩阵对正则，所以矩阵的行列式不恒为零。选取，使。 令 豆= ( e 一一) 。e ，互= ( j o e 一爿) _ 1 4 ， 将e 化为约当标准形，即存在矩阵丁，使 肌兰 其中，巨r ”为可逆矩阵；易r ”为幂零矩阵。 对r 。j r 进行相同维数的分解，得 r 一- 刀：f4 o 1 、 io4 j 9 使得广义分散系统最终能化为一个带直通的正常分散系统 毒= 农+ 骂巧 扣j ( 3 3 ) 。， 咒三e i + 磊巧 f = 1 ，2 ， 其中 彳= 丑= i = h 7 4 一辟砭( 互：+ 砰2 ) 。互 f 司k 1 o 互一( 五：+ 牟1 ) ( 互：+ 群2 k ；) 。互 i 1 l - i 耳一e 琏( 互：+ 巧2 删) 1 群2 ，= i= l 卑_ ( 五：+ 巧1 趔) ( 互：+ 彤趔) 1 砰2 = 1 ， f = i ，2 ，j v e = p 乒识孙芸碍2 鼢1 互， ， 渊2 ，i e = i q c 2 l 口2 ( 互：+ 碍2 趔) 。1 互，l ， f = 1 ，2 ，； l，驯 - j 岛= 一口2 ( 互：+ 砰2 ) 。霉2 ，f ，= l ，2 ，； i r h 。； j 矗h 4 m + 。；毒r 。“一；e 尺“h 。；或r 。卅f ； f = l ，2 ，。 由假设( 3 ) ，广义分散系统( 3 1 ) 是集中能控的，从而系统( 3 3 ) 是可控 c f q = q口 f _ l ，2 ， 五r ，屯r 4 ： 4 r ，x 7 ；斜r “竹，砰r 耳砷，f = 1 ，2 ， ； c ? r _ “7 ，c ? r 叶。一， f = 1 ，2 ，； m r ( ) 嘶叫为幂零矩阵，幂零指数为 ，即h 可n i n k i m k o ，k 为正整数) 。 口 定理2 2 若矩阵对( e ，4 ) 正则，则存在n 阶可逆矩阵p ，q ，使得广义 分散系统( 2 1 ) 受限等价于 毫= 4 。+ 4 ：屯+ 耳“ f = l o = 4 ，_ + 鸽：屯+ 群m 她朋q = ( 飓= 卧 ；剐q = 眭龛 g q = qc 2 ， f = 1 ，2 ， f = 1 ，2 ， f = 1 ，2 ， ( 2 8 ) r 4 ，t r 卜4 ；4 l 矗9 。2 ；4 2 胄9 。卜9 ；4 l 胄p 9 砷；4 2 r 叫p 一们； 剧尺9 。”，研r ( 俨q 卜“，c ? 胄h g ，c ? r k ( p 引，f = l ，2 ，一，。 需要特别指出的是，对广义分散系统进行受限等价变换后得到的系 统，有非常好的性质，即受限等价变换具有保持系统结构特性的性质，如特 征值、正则性、稳定性、能控性和能观性等结构性质，这是非常重要也是非 常有用的性质，为下面的研究提供了很大的方便。 2 3 广义系统无脉冲的定义及判别 定义2 4 如果矩阵对( e ，4 ) 是正则的且没有脉冲模，即r = g ，则称矩阵 对( e ，爿) 是无脉冲的，或称广义系统( 2 2 ) 是无脉冲的。 1 2 三峥( 乞墨 o 犯。犯o 只八om 八oq 2j o0 、 l ol ooj 跏q 墨 冰烈乞墨) o0 、 五。五：l 互。互：j 魍= ( 乞珈马= 蚓 嬲) f = 1 ，2 ， g 嘲q 乞 掣c z 兰 f = 1 ，2 ， = lq 9 1c 2 2l 其中， 4 尺“，五l r ，五2 r 州1 ，互l 月”m ， 互2 r 一。h “一“；耳r ，砰1 r 4 。叶，b ? 2 r 一4 p 挑，i = 1 ，2 ，一， c ? r h ，c ? 1 r h 4 ，c ? 2 r h 州叫，f = 1 ，2 ，一，。 从而结论2 1 得证。 口 若广义分散系统( 2 1 ) 在集中控制下是有脉冲模的，由其受限等价后的系 1 7 o o o o ，l，l，t = = = q ep 似一似 = = = q 跗 统( 2 1 4 ) 我们可知，子系统( 2 1 4 a ) 和( 2 1 4 b ) 为正常的子系统，所以其脉冲行 为是由子系统( 2 1 4 c ) 引起的，也即矩阵互：是不可逆的。因此要想消除整个 系统在集中控制下的脉冲行为，只要消除子系统的脉冲行为即可。下面我们 采用状态反馈的办法来消除子系统( 2 1 4 c ) 的脉冲。 2 5 2 状态反馈消除脉冲 首先考虑系统( 2 6 ) 毫= 4 1 五+ 4 2 t + 且“ o = 4 l + 如恐+ 岛“ y = c l 石+ c 2 并 ( 2 6 ) 其中，t r 9 ，t r ”一9 ；4 1 r 删；4 2 r 4 。“一4 ；4 l r 4 9 。9 ；4 2 月卜9 。肝9 ； e r 9 。”，岛尺。一4 。“；c j r m ，c ：r “卜驯。 令 “= 甄，+ v ， k r 附呻一 ( 2 1 5 ) 则系统( 2 6 ) 在( 2 1 1 ) 作用下变为广义闭环系统 毫= 4 l 五+ ( 4 2 + 尽足) 恐+ 旦v o = 4 ，一+ ( 4 2 + b k ) 而+ 垦v ( 2 1 6 ) y = c l x + c ：工 由引理2 4 知，广义闭环系统( 2 1 2 ) 无脉冲的充要条件是矩阵( 4 ：+ 垦k ) 可逆，那么在什么条件下，一定存在这样的反馈矩阵足呢? 引理2 6 日2 1 广义系统( 2 2 ) 脉冲能控的充要条件是 m 。七f 芑! ：1 ：。+ m 。| i ( e ) 、 l 爿e 曰j 、 引理2 7b 2 1 广义系统能控( 2 2 ) 的充要条件是 阳砒 姬一爿口】- n 与阳) 的充要条件是 阳砒 姬一爿口】- n 与阳础陋曰】- n 同时成立 统( 2 2 ) 是脉冲能控的。 证明：充分性。如果存在反馈( 2 1 1 ) 使得广义闭环系统( 2 1 2 ) 是无脉冲的 则由引理2 5 可知， 则有 o 0o 4 。4 ： 4 4 ： l o0 00o 4 。4 ：+ 置世l 4 i4 2 + 岛足o ooo ooo ldo b t 0 o 垦 = ，口以七 h + q oo 00o 4 。4 ：+ 马kl 4 l4 ：+ 皿k o 再由引理2 6 知系统( 2 6 ) 是脉冲能控的，又受限等价变换保持广义系统的脉 冲能控性 扪，所以广义系统( 2 2 ) 是脉冲能控的。 必要性。因为广义系统( 2 2 ) 是脉冲能控的，所以其受限等价后的系统( 2 6 ) 也是脉冲能控的，从而由引理2 4 可知存在反馈矩阵足使得( 4 ：+ b k ) 。 口 下面再来考虑系统( 2 1 4 ) 。若广义分散系统( 2 1 ) 是集中能控的，则它必是 集中脉冲能控的，从而子系统( 2 7 2 ) 也是脉冲能控的，所以由引理2 8 可知， 存在反馈矩阵硝r - q 1 ，f = 1 ，2 ，；使得矩阵 ( 互：+ 茸2 ) r ”帅一。是可逆的。 f - i 也即若令 坼= 屯2 + u f - l ，2 ， ( 2 1 7 ) 则在状态反馈( 2 1 3 ) 作用下的广义闭环系统 量：= 互，屯。+ ( 五：屯：+ 群1 霹) + 群1 v i f = 1f = l nn o = 互。+ ( 互：+ 群2 砭) 屯：+ 群2v ( 2 1 8 ) k ll - l m = 口1 j 2 l + 口2 嘞扛1 ，2 ， g +h = 、， o o b 毋 o o o o 在集中控制下是无脉冲的。其中， h r ：，而z r ”；五t r “4 ，( 互z + 群1 ) r 州1 ，互t r 扣一邮”， ( 互2 + 牟2 ) r 训咖一。；砰1 “，群2 r 1 m ，f = 1 ，2 ，： 口1 舻口，e 2 2 r f x ( 训，f - 1 ，2 ，。 口 通过上面的分析和研究，我们可得对广义分散系统( 2 1 ) 由如f 定理成 立： 定理2 4 若广义分散系统( 2 1 ) 是集中能控的且有脉冲模的，存在n 阶 矩阵p ，q 使得其受限等价变换后的广义分散系统为 = 4 _ + 耳吩 毛= 确+ 五：”善茸1 坼( 2 1 4 ) o = 互。+ 互：屯：+ 砰2 ”= q 一+ c 2 。而。+ c ；2 而2 f = l ，2 ， 其中，五r 7 ，恐i r 4 ，而2 r 一；4 r 舯，五l r ，五2 月州“一引， 互1 r 叫加，互2 r 一呻m 卜卜。；研尺“竹，群1 r “啊，砰2 尺叫。砷， f = 1 ，2 ，一，；c ：r h 7 ，c ? 1 r 扛4 ，c ? 2 r h o 一扪，f = 1 ，2 ，- 一，； 则存在反馈矩阵e r ”。”“，扛1 ，2 ，令 “f = t 2 + u ，r 嘶一“，f = l ，2 ， ( 2 1 9 ) 则系统( 2 1 4 ) 在状态反馈( 2 1 9 ) 作用下的广义闭环系统 = 4 五+ 叫砭：+ u 量z 2 互而+ ( 互：+ 善牟1 砭) t z + 善砰1 v f ( 2 2 0 ) o = 互。而。+ ( 互：+ 研2 砭) 屯：+ 印2 v l * = c ? 一+ 9 1 而。+ c ? 2 屯2 f = 1 ，2 ， 在集中控制下是无脉冲的，即矩阵( 心芝碍2 ) r ( 训咖一是可逆的。 扛1 其中， x l 尺 ， x 2 i 月4 ， t 2 r w 一4 ； 4 r 。7 ， 4 i r 4 。 ， ( 五：+ 群琏) r 州1 ，互，r 扣一曲”，( 互：+ 砰2 ) r 1 m 1 ： f = l 扛i 耳r 。竹，砰1 r 。竹，占? 2 r ”一4 p _ ，f = 1 ，2 ，一，；c ? r h 7 ，口1 r “。， 口2 r h 卜，f = 1 ，2 ，。 口 另外，无论是对广义系统还是对正常系统，状态反馈都可以保持系统 的能控性。从而，对广义分散系统来说，状态反馈可以保持其集中控制下的 能控性( 包括脉冲能控性) 。 2 5 3 带脉冲模的广义分散系统化为正常系统 因为( 互：+ 砰2 ) r ”m ”是可逆的，从而由 f = 1 o = 互。屯，+ ( 互：+ 砰2 ) x ：+ 群2 v f( 2 2 1 ) f = 1f = l 可得 nnn 砀= 一( 互：+ 群2 砭) 。1 互。x ：。一( 互：+ 碍2 砭) 。1 群2 巧 ( 2 2 2 ) 扛1扭lf = l 将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 0 ) 得 毫= 一，五一霹墨( 互：+ 砰2 弼) 。互。t f _ lb l nnn + 【耳一辟墨( 互：+ 砰2 ) f = l f 一1f - l ( 2 2 3 ) 1 砰2 】巧 岛= 五一( 互：+ 砰 lf 一1f - l ( 2 2 3 )1 砰2 】巧” 岛= 五一( 互：+ 砰1 琏) ( 互：+ 牟2 蟛) 。1 互。】x ：。 咒= 掣_ “口1 一口2 ( 互：+ 群2 砭) 。互，k 。 扛 ( 2 2 5 ) 、 一c 产( 互：+ 群2 髟) 巧2 叶 扣l ，2 ， j 。l = 1 则由式( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 及( 2 2 5 ) 将广义闭环系统( 2 2 0 ) 化为 其中， 嘉= 盈+ 豆u 咒= 弓孑+ 磊_ f _ 1 ，2 ， ，= l 爿= 晟= i = h r 4 一耳( 互：+ 群2 巧) 。互 o 互。一( 五：+ 砰1 砭) ( 互：+ 茸2 ) 。1 互 耳 x 第三章广义分散系统有限时间收敛的 非线性控制器设计 3 1 引言 本章研究了带脉冲模的广义分散系统有限时间收敛的非线性控制器的 设计方法。本章在第二章2 6 节中的结论2 2 的基础上，首先将系统化为正 常的分散系统，若所研究的广义分散系统是集中能控的，那么在受限等价变 换及在状态反馈作用后的系统仍然是集中能控的，所以化为正常分散系统后 仍然是可控的。利用正常系统的可控性将系统化为l u e n b e r g e r 规范形，然后 再利用有限时问收敛的概念和递推技术来设计控制器，保证系统状态在有限 时间内达到零，并且证明了当系统状态在有限时间内为零时，控制律也同时 为零，系统中的所有信号为零，使系统的性能指标达到最优。 3 2 问题描述 考虑下面广义分散系统 戤= 血+ 善旦珥 ( 3 1 ) m = c f x f = 1 ，2 ， 其中，工、珥和 分别是，z 维状态向量、埘，维输入向量和维输出向量， = ，l ，= ，；e ，爿r 州“；马r 艄讹，g r 煳，f = 1 ，2 ，。 f = lf = 1 假设： ( 1 ) d e gd e t ( 妲一一) = ，即矩阵姬一4 的行列式次数为r ；矩阵m 为 系统( 2 7 ) 中的矩阵，且m h 七( m ) = d ； ( 2 ) 矩阵对( e4 ) 是正则的； ( 3 ) 广义分散系统( 3 2 1 ) 是集中能控的。 则由第二章中的结论2 2 知，存在咒阶矩阵尸，q 和反馈 珥= 而2 巧，弼r 虹1 ，f = 1 ，2 ，( 3 2 ) 2 4 z = z i l ， 一， - 7 其中，z j z 。孙 ，江1 ，2 ，g 。 ( 3 5 ) 在系统( 3 4 ) 中，记控制律v ( f ) 的分量为m ( f _ l ，2 ，) 。取控制律 v = ”o o 7 ，得 2 ，= 缸+ + 五z 。+ o i o ，峙+ + f _ 1 ，2 ，g ( 3 6 ) 下面利用系统( 3 6 ) 设计一个反馈控制律v ( f ) ，使得系统( 3 4 ) 的状态 z ( f ) 在有限时间内趋于零，并且当状态为零时，系统的输出和控制律也为零， 从而控制系统实现了有限时间的收敛性。 再由 3 。3 控制器设计 由系统( 3 6 ) 可得最后一个子系统为 4 ，= 4 。= 乞= 五。z 1 扣+ 毛毛+ 卜o ， o 0 0 忿， o 8 ： 0i1 oj1 心；磁 其中彤为矩阵五，f - 1 ，2 ，q ，= l ，2 ，心最后一行可能的非零元。则由 此可得乞的每个分量为 髓意i “地一1 = k 一辟，一艺筇1 ， 将式( 3 8 ) 代入( 3 7 ) 得 i 2 9 l2 乙2 ，乙，一一。2 乙 1 2 哟= 群勺+ k 对式( 3 9 ) 取向量切换函数 ，：，喝吩 7 其中 v t2 乙一，z2 岛t + t “ ，一i s 9 f2 q ，h + 乇，l - 1 ，f 彳凸“。1 一l s q 旷。一k i ， ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 其中珥和以为适当的正奇数，且满足吩 只( f _ 1 ，2 ，心一1 ) ； ，( f _ 1 ，2 ，一一1 ) 为确定的正常数。 对系统( 3 9 ) 和切换向量( 3 1 0 ) ，k 的设计要求满足趋近律 n = 一k ( ) ( 3 1 1 ) 因为由( 3 9 ) 系统( 3 1 0 ) 还可写成 + 乙瑶 、谴。 ”l 。= z 叮，2 = 乙：+ - s “ 嘞。+ 乳筹c s 孙心“弘。 v v 乳筹c s 孙心州影m l 兵中n f 和a 为遭当阴止可瓤，且礴足吩 o ，当 o ； j g 0 ； 所以我们可得 州1 旷静筹c 黝 一( 毛) 一口s g n j v 再由( 5 8 ) 可得 铲私一弘筹c 瓤一扣 柳 一( ) 一口s g n 矍孽壶鲁善! ：i 础以燃时? 嚣赢竺稳品得 一l j ，一。= 一一，( 。) 7 “ 因为n 州 o ，类似于上面的推导知一，( f ) 在有限时间0 一，之 内从初始值一。( f o ) 到达并保持为零。其中， “= 南螂) 岛r ) + f o 同理，s ：( f ) 和_ ( f ) 分别在有限时间和r 。之内从初始值s ：( 岛) 和s 。( f 0 ) 到达 并保持为零。其中， f 2 2 专编) ) + f o 2 意讹彤训+ r o 这样，在有限时间r 皇妻内切换向量。( f ) 从初始值。( 岛) 到达并保持为零， 因而i ( f ) = 0 。而当s 。( f ) 为零时，由式( 5 1 4 ) 知h (