2016高考数学专题-导数讲义doc.doc

导数知识要点一、导数与积分1. 导数设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比有极限（即无限趋近于某个常数），我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作或即 注：当趋近于0时，趋近于2. 导函数如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作或即 注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。3. 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。例. 求曲线在点P处的切线方程例. 经过原点作函数的图像的切线，则切线方程为4. 几种常见函数的导数（为常数） （） 5. 运算法则（1）导数的运算法则（为常数）（2）复合函数的求导法则的导数例. 6. 定积分（1） 概念如果函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即这里和分别叫做积分的下限和上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间有关, 与积分变量记号无关（2）性质 （为常数） （）（3）微积分基本定理一般的，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，为了方便，常常把记作，即.例计算下列定积分的值 （4）常见定积分的公式 （） （为常数） （5）利用定积分求平面图形的面积 画图象：在直角坐标系内画出大致图象 确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定被积函数与积分的上下限 用牛顿-莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分例. 如图，阴影部分的面积是AB CD二、导数的应用1. 函数的单调性设函数在区间内可导，导函数在区间内满足，则为增函数；，则为减函数设函数在区间内可导，导函数在区间的任意子区间内都不恒等于0，则 ，则为增函数；，则为减函数注：是递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时，同样是f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例1、判断下列函数的单调性及单调区间（1） （2） （3） （4）（5） 例2、已知函数.若函数在上单调递增，求的取值范围.变式训练： 已知函数在上是减函数，求的取值范围例3、设函数，其中，求的单调区间变式训练：已知函数，试判断函数单调性例4、当时，证明不等式 变式训练：当时，证明不等式 2. 函数的极值（1）定义设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作. 极大值与极小值统称为极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意以下几点：（）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。oaX1X2X3X4baxy（）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而。（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数，在处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设使，那么在什么情况下是的极值点呢？oaX0baxyoaX0baxy 如上左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即。的右侧附近只能是减函数，即，同理，如上右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，从而我们得出结论：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。例. 求函数的极值。（2）判断是极值的方法当函数在点处连续时，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.注： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.例如：函数，在点处不可导，但点是极小值点（3）求极值步骤： 确定函数的定义域； 求导数； 求方程=0的根，这些根也称为可能极值点； 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)例1、 求下列函数的极值（1） （2） 例2、已知函数在的时候取极值，讨论是函数的极大还是极小值例3、已知函数（1） 若曲线在点处与直线相切，求的值（2） 求函数的单调区间和极值3 函数的最值（1）在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值；（2）求最值步骤：设函数在上连续，在内可导求在内的极值；将的各个极值与、比较，其中最大的一个是的最大值，最小的一个是的最小值.注：闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间上的最大值、最小