（应用数学专业论文）格蕴涵代数中a—化子和不等式的研究.pdf

西南交通大学研究生硕士学位论文第1 页 摘要 格蕴涵代数是一种重要的逻辑代数，可为格值逻辑和不确定性推理的研究 提供一种理论基础本文基于格蕴涵代数已有的性质，进一步讨论格蕴涵代数 的性质及结构首先，讨论有限格蕴涵代数的理想及其结构：其次，继续讨论 零化子的性质；再次，在格蕴涵代数中提出了a 一化子的概念并得出其若干 性质；最后，在格蕴涵代数中提出了格蕴涵代数不等式的概念并得出解集的 若干性质本文主要取得以下结果： 1 讨论有限格蕴涵代数的理想及其结构，找出了有限格蕴涵代数的所有 理想并证明了由有限格蕴涵代数所有理想所构成的格与布尔格同构 2 继续讨论格蕴涵代中零化子的性质，由于对有限格蕴涵代数的理想做零 化子运算( 记为0 ) 是一个逆序对合算子，所以可以在l 的所有理想所组成 的集合( l ) 上定义一个蕴涵算子“寺”，则( ( l ) ，0 ，l0 ，= 争) 构成一个格 蕴涵代数 3 在格蕴涵代数中提出了口一化子的概念并得出了一些基本性质；其 次，讨论了口一化予与理想的关系，并证明了格蕴涵代数中的a 一化子是格 蕴涵代数的格理想：最后，在格蕴涵代数中证明了曰的口一化子的同态像是 像，( 曰) 的，( a ) 一化子的子集 4 在格蕴涵代数中提出了格蕴涵代数不等式的概念并讨论了三类简单的 重要的不等式的解集及其性质 集 关键词：格蕴涵代数，零化子，口一化子，理想，格蕴涵代数不等式，解 西南交通大学研究生硕士学位论文第1i 页 a b s t r a c t l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sa ni m p o r t a n tl o g i c a la l g e b r a , a n di to f f e r sat h f c t i c a lb a s i s f o rl a t t i c e - v a l u e dl o g i ca n da p p r o x i m a t er e a s o n i n g b a s e do bt h ee x i s t i n gr e s u l to fl a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a , p r o p e r t i e sa n d s t r u c t u r ea r ef u r t h e rd i “u 龉e di nt h i sp a p e r f i r s t l y , w ew i l l d i s c u s st h ef i - i d e a l so ff i n i t el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ；s e c o n d l y , w ew i l lc o n t m t od i s c u s s t h ep r o p e r t i e so fa n a i h i l a t o r s ；t h i r d l y , w cp r o p o s et h ec o n c e p to ft h e 口- s u b s e ti n l a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r aa n dd i s c u s sm a n yp r o p e r t i e s ；l a s t l y , w ep r o p o s et h el a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r i ci n e q u a l i t yi nl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r aa n ds t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o ns e t s t h em a i nr e s u l t so f t h i sp a p e r 龇l i s t e da sf o l l o w s 1 w ew i l ld i s c u s st h el i i d e a l so f l a t t i c ei m p l i c a t i o np r o d u c ta l g e b r a t h es t r u c t u r eo f e - i d e a l sf i n i t el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sd i s c u s s e da n dam e t h o do ff i n d i n go u ta ul i i d e a l s o ff i n i t el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sp r e s e n t e d t h er e l a t i o nb e t w e e nl a t t i c co fl i - i d e a l sa n d b o o l e a nl a t t i c ei sp r o v e dt ob ea ni s o m o r p h i cr e l a t i o ni nt h ef i n i t el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a 2 w ew i l l 如加d i s c u s st h ep f o p e r t i e so fa n n 龇t o ri nl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a a s f o rt h el i i d e a lo ff i n i t el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a t h ed o i n ga n n i h i l a t o ri s 蛆o r d e r - r e v e r s i n g i n v o l u t i v e o p e r a t o r w ec a nd e f i n e a n i m p l i c a t i v e o p e r a t o r “j ”i n t h es e t ( l ) o fa l l l i i d e a l s o f l ，s o ( ( l ) ，0 ，k0 ，j ) i s a l a t t i c e i m p l i c a t i o n a l g e b r a 3 t h ec o n p e to f 口- s u b s e ti sp r o p o s e di nt h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r aa n ds o m e p r o p e r t i e so ft h e 口一s u b s e ta l eo b t a i n e di nt h en o r m a ls e t s i nt h es e c o n d w es t u d yt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e na s u b s e t sa n di d e a l si nt h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a a n dw ew i l l p r o v et h a tt h ea s u b s e to fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sal a t t i c ei d e a l i nt h ee n d w ew i l l p r o v e t h a t t h eh o m o m o r p h i s m i m a g e o f a na s u b s e t o f b i sas u b s e t o f t h e ( a ) - s u b s e t o f ，p ) i nt h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a 4 w ew i l lp r o p o s et h ec o n c e p to fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b t i ci n e q u a l i t yi nt h el a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a t h e nw ew i l ld i s c u s st h es o l u t i o no ft h r e ek i n d si m p o r t a n tl a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r i ci n e q u a l i t ya n ds t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o no ft h ei n e q u a l i t yi nt h e l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a k e yw o r d s ：l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，a n n i h i l a t o r , 口一s u b s e t , l i - i d e a l ，l a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a i ci n e q u a l i t y , s o l u t i o ns e t 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 页 第1 章绪论 格蕴涵代数【5 2 l 是徐扬为了建立命题真值取值于相对比较广泛的一类格上 的逻辑系统。通过结合代数格和蕴涵代数，于1 9 9 0 年提出的一种逻辑代数系 统格蕴涵代数也为格值逻辑与不确定性推理提供了一种代数基础近年来， 对格蕴涵代数结构和性质以及基于格蕴涵代数的格值逻辑系统的研究已经取 得了很大的进展在此基础之上，本文主要继续讨论格蕴涵代数的代数结构 和性质，以期望对更好研究基于不确定性信息的不确定性推理和自动推理以 及基于格蕴涵代数的格值逻辑系统提供一些理论基础 本章将介绍本文写作的背景并简要介绍本文的主要研究工作 1 1 引言 1 1 1 非经典逻辑 经典的二值逻辑是基于确定性信息的逻辑系统虽然基予这种确定信息 的确定性推理以其经典的逻辑基础丽赢得了人们的高度信赖，但是它却无法 直接刻画人类的思维活动因为在客观世界中或外界的客观事物在向人脑反 映的过程中，存在着大量的不精确的、不完全的、不完全可靠的、随机的及 模糊的等信息，即不确定性信息因此，人类的许多推理都伴随着不确定性推 理随着智能信息技术的发展，人类要使机器更多模仿人类处理各种各样的信 息，必然要对各种不确定性信息进行分析、推理、判断和决策，从而也离不 开不确定性推理的理论和方法随着不确定性信息处理的理论与技术的迅速 发展，各种类型的不确定性推理的理论和方法已大量出现( 见文献r ；ob 其 主要包括：基于概率论的概率推理方法，基于证据理论的证据方法以及基于 模糊集理论的可能度方法等虽然关于不确定性推理的理论和方法已经非常 丰富，但针对某种不确定性而建立相应的逻辑系统作为不确定性推理的逻辑 基础仍是非常必要的于是，计算机科学、人工智能、数学及相关应用领域的 研究人员纷纷提出各种各样的非经典逻辑系统，如多值逻辑、量子逻辑、模 西南交通大学研究生硕士学位论文第2 页 糊逻辑、格值逻辑、模态逻辑和直觉主义逻辑等，旨在为智能信息处理中的 不确定性推理建立合适的逻辑基础 多值逻辑，作为一种重要的非经典逻辑，是对二值逻辑的一种完善和发 展，其运算规则更符合人类的思维过程近代很多数学家，如g b 0 0 l c 、 c a v a s i l e v 、j l u k a s i e w i c z 和e p o s t 等都曾对多值逻辑作出重要贡献，其中 l u k a s i e w i c z 和p o s t 的工作具有划时代的意义，他们极大的推动了多值逻辑的 发展i m k a s i e w i c z 于1 9 2 0 年提出了一个三值逻辑系统嘲，其中的第三值可表 示“中立”，“未定义”或某种中间状态它是第一个正式的多值逻辑系统1 9 2 1 年，p o s t 提出了一个不同于l u k 豳i e w i c z 的逻辑的完备的n 值逻辑系统【吲，经 典的二值逻辑系统是p o s t 的多值逻辑系统的一个特例1 9 3 4 年，j o r d a n 等提 出了一种重要的格值逻辑量子逻辑【2 7 1 量子逻辑基于正交模格，如实或 复h i l b e r t 空间的闭凸子集或闭线性子空间构成的格，它们都是非布尔格1 1 量 子逻辑不要求格的分配性，甚至不要求模律，因此，它比布尔逻辑更具有一 般性z a d e h 在1 9 6 5 年引入了“模糊集【1 7 j ，的概念之后，人们很快认识到它对 非经典逻辑研究具有重要意义随后，1 9 6 7 年g o g u e n 将模糊集的概念扩充到 工一型模糊集上，并提出了基于完备格序半群的第一个格值逻辑形式系统1 9 1 此后，r o s s e r 、t u r q u e t t e 和p a v e l k a 等人分别对g o g u e n 系统进行改进与发展， 其中以p a v e l k a 的工作最具代表性1 9 7 9 年，p a v e l k a 提出了一个真值集为丰 富剩余格的模糊逻辑系统，并证明了许多关于公理化的重要结论【1 6 1 1 9 8 2 年， n o v a k 将p a v e l k a 的工作进一步扩充为一阶模糊逻纠刈1 9 8 7 年，g i n s b e r g 提 出了基于双格结构的逻辑1 2 1 l ，其中一个记录真实度，另一个用于记录信息或 知识度，它为一类逻辑语言提供了一种统一的语义基础1 9 9 6 年，s a l z e r 研究 了基于半格的有限值逻辑中的算子和分配量词【5 1 同年，h 旬e k 根据积三角范 数和g o g u c n 蕴涵，提出了积逻辑系统；1 9 9 8 年，他又根据连续三角范数及 其诱导的剩余型蕴涵的性质，提出了一种通用的形式系统b l ，称为基本逻辑 ( b a s i cl o g i c ) 闭2 0 0 1 年，e s t e v a 和g o d o 基于h h j e k 关于连续三角范数基 的逻辑工作，提出了几个有趣的新系统m t l ( m o n i d a lt - n o r m - b a s e d l o g i c ) ，w n m ( w e a k n i l p o t e n tm i n i m u m ) ，i m t l ( 1 n v o l u t i v e m o n o i d a l t - n o r m - b a s e dl o g i c ) 和n m ( n i l p o t e n tm i n i m u m ) 1 2 1 对于h a j e k 的系统b l ， e s t e v a 和g o d o 系统m t l 已经建立了相应的一阶逻辑系统且进行了深刻、细 西南交通大学研究生硕士学位论文第3 页 致的研究工作1 2 , 2 6 3 2 1 1 9 9 8 年h i i h n l e 利用b i r k h o f f 关于有限分配格的表示定理 得到了分配量词的表格形式的公理化系统1 3 1 1 1 9 9 7 年之后，王国俊等研究了 一类代数上的逻辑学，得到了一系列重要的结果 3 , 3 8 , 3 9 ，4 l , 4 2 1 关于非经典逻辑 系统的研究，现在已取得了大量成果，它为人工智能与智能信息处理提供了 理论基础在上述关于非经典逻辑的研究中，虽然有人提出了格值逻辑的概念， 但大多数关于格值逻辑的重要结论都是在真值域为有限链或者区间f 0 ，1 1 的前 提下取得的尽管这在一定程度上可满足实际应用的需要，但在理论和实际应 用上还存在着很大的局限，关于格值逻辑系统的研究还不够充分，特别对复 杂的真值域和真值域中的不可比较元，相应的逻辑系统的研究还比较薄弱于 是，徐扬等于1 9 9 0 年提出了基于格蕴涵代数的格值逻辑系统( 见文献【5 2 】) 在 此之后，韩国、意大利、比利时以及国内的一批学者相继对此进行了深入的研 究，获得了一系列较为深刻的成果【1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 3 3 , 3 ；4 , 4 7 - 5 0 ，州毛5 3 , s 6 , 6 0 - 6 2 1 9 9 9 年以 后，徐扬等又建立了一种分层的格值命题逻辑l 。和分层的格值一阶逻辑 l 。【“胛肛捌，并对其作了深入细致的研究工作，丰富了非经典逻辑的研究 1 1 2 逻辑代数 逻辑代数的思想开始于莱布尼兹用数学方法研究思维规律，把思维过程、 推理过程计算化英国数学家、逻辑学家布尔在他的逻辑的数学分析( 1 8 4 7 年) 和思维规律考察( 1 8 5 4 年) 中建立了第一个思维演算，而逻辑的数 学分析这本书后来发展成为逻辑代数早期的逻辑代数指的主要是布尔代数 逻辑代数是将代数与逻辑相结合的一个数学分支，是数理逻辑( 二值逻辑) 的基本内容，它是用代数的方法研究关于推理、证明等逻辑问题的科学同时， 在应用方面，逻辑代数也为计算机逻辑线路的分析与设计提供了有力的工具 随着非经典逻辑研究的日益深入，逻辑代数所包含的内容已不再仅仅是布 尔代数，现在的逻辑代数已经具有相当丰富的内涵基于各种逻辑背景，国内 外的一些学者在研究多值逻辑的过程中相继提出了各种形式的逻辑代数 1 9 5 8 年，著名逻辑学家c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备性 而引入了m v - 代数1 1 l 这样一种逻辑代数系统，这种逻辑系统的完备性就可以 归结为关于m v - 代数的种完备性1 9 6 6 年，日本数学家k i s 6 k i 从命题演算 西南交通大学研究生硕士学位论文第4 页 系统的代数公式化的角度提出了b c k - 代数 6 1 ，此后又提出了b c i 代数 7 1 ， 并证明了b c k - 代数是b c i 代数的子类1 9 8 4 年，k o m o r i 引入b c c - 代数归1 1 9 8 6 年，d 。m u u d i d 证明了m v - 代数范畴等价于有界可换的b c k - 代数 2 2 1 1 9 9 0 年，吴望名引入了模糊蕴涵代数( 简称为f 1 一代数i 叫) ，并详细讨论了一类 h e y t i n g 型f i 代数一正则h f i 一代数的性质，f i 代数是对【o ，1 】值逻辑中的蕴 涵连接词的一种代数抽象1 9 9 1 年，) 【i 将f u z z y 集理论应用到b c k - 代数中， 从那时起，模糊b c k ( b c i ) 代数得到了广泛的研究王国俊于1 9 9 7 年提 出了r 。代数【柏1 h f i j c k 于1 9 9 8 年提出了b l - 代数1 9 9 9 年，张晓红提出了 模糊b c c - - 代划4 司2 0 0 1 年，e s t c v a 和g o d o 基于h i j e k 的方法，提出了相应 的代数结构，分别称为m t l 一代数，w n m 一代数，m 哪一代数和n m 一代 数 2 1 为了研究命题真值取值于相对比较广泛的一类格上的逻辑系统，1 9 9 0 年，徐扬把格和蕴涵代数相结合提出了格蕴涵代数的概念和格h 蕴涵代数【5 2 】 的概念，并对格蕴涵代数与格h 蕴涵代数的性质作了研究随后，徐扬等对 格蕴涵代数及基于格蕴涵代数的格值逻辑作了深入的研究2 0 0 3 年，徐扬等人 撰写的( l a t t i c e - v a l u e dl d g i c 著作对以往关于格蕴涵代数及基于格蕴涵代数 的格值逻辑的一些主要研究工作做了较详细的总结 1 2 格蕴涵代数的研究简况与本文的研究工作简介 本节将对本文所选课题的研究现状以及本文的具体研究工作作一个简要 介绍 1 2 1 格蕴涵代数的研究现状 1 9 9 0 年，徐扬在研究多值逻辑以及逻辑公式的真值取值于格上的逻辑系 统时，把代数格和蕴涵代数相结合提出了格蕴涵代数的概念和格h 蕴涵代数 【5 2 】的概念，并对它的性质作了初步的探讨为进一步研究格值逻辑提供了基 础，1 9 9 2 年徐扬1 5 1 】对有余格的性质进行了深入的研究文献【1 3 】中讨论了格 h 蕴涵代数的结构和性质，并证明了格h 蕴涵代数与布尔代数等价1 9 9 3 年， 秦克云1 3 0 i 研究了基于格蕴涵代数的模糊幂集以及格蕴涵代数的直积和分解 1 9 9 5 年，徐扬【5 3 l 将模糊集合论应用于格蕴涵代数，给出了模糊格蕴涵代数的 西南交通大学研究生硕士学位论文第5 页 概念，并讨论了它们的一些基本性质1 9 9 6 年，刘军【2 0 1 给出了格蕴涵代数的 一个重要性质( p ) ，并结合此性质证明了格蕴涵代数构成一个剩余格1 9 9 6 年， 宋振明【3 3 l 讨论了格h 蕴涵代数的一个表示1 9 9 7 年，徐扬【鹕】给出了有界可 换b c k - 代数的分配性的一些等价条件，指出了格蕴涵代数与有界可换b c k - 代数以及格h 蕴涵代数与有界关联b c k - 代数之间的对偶关系，并证明了格 蕴涵代数与有界可交换的b c k - 代数等价2 0 0 5 年，潘小东从代数方程的角度 对格蕴涵代数方程作了深入细致的研列2 8 】同年，朱华在毕业论文例中提出 了格蕴涵代数中的零化子的概念，并讨论了一些特殊性质，证明了格蕴涵代 数中的零化子是格蕴涵代数的理想，为进一步研究格蕴涵代数的结构提供了 理论依据 1 9 9 2 年，徐扬提出了格蕴涵代数中的同态、蕴涵同态、蕴涵同构等概念， 并利用滤子和对偶核的概念给出了格蕴涵代数中的同态基本定理1 4 7 1 ，指出了 格蕴涵代数在蕴涵同态下的一些不变性质；1 9 9 7 年，宋振明和徐扬研究了格 蕴涵代数上的同余关系，给出了同余关系诱导的格蕴涵商代数、蕴涵同态诱 导的同余关系，证明了一个格蕴涵代数的所有滤子构成的格与所有同余关系 构成的格是两个同构的完备格, 3 5 1 因为格蕴涵代数的各种滤子在一定意义上分别反映了逻辑中假言推理、假 言三段论、拒取式等推理规则，滤子从代数形式的角度反映了不确定性推理 的一些特征，所以格蕴涵代数的滤子在格蕴涵代数与基于格蕴涵代数的格值 逻辑系统的研究中起着重要的桥梁作用1 9 9 3 年，徐扬【5 2 】等人首次提出了格 蕴涵代数滤子和关联滤子的概念，并讨论了他们之间的关系，给出了滤子结 构定理徐扬和刘军以滤子为工具对格蕴涵代数的结构进行了研究，证明了一 个有限的格蕴涵代数都是有限个l u k a s i e w i c z 链的乘积【n , 1 2 , 1 9 1 关于滤子的更 多研究成果可以在文献f 1 0 ，2 9 ，4 4 ，5 6 ，7 3 】中查到2 0 0 1 年，j u n 提出了n 重滤子1 5 8 j 的概念，并研究了相关性质2 0 0 4 年，s o n g 和j u n 提出了n 重正关 联滤子的概念，研究了其相关的性质，并建立了n 重正关联滤子的扩张性质l ”】 2 0 0 5 年，朱华从研究格蕴涵代数的代数性质出发在文献【7 3 】提出了格蕴涵代 数滤子的根、准素滤子以及n 重素滤子的概念，并讨论其性质1 9 9 5 年，徐 扬与秦克云提出了模糊格蕴涵代数与格蕴涵代数的模糊滤子1 5 1 】的概念，并研 究它们的性质随后j u n 在文献 5 4 ，5 7 1 提出了模糊关联滤子、模糊正关联滤 西南交通大学研究生硕士学位论文第6 页 子、模糊结合滤子等概念，并研究了它们的性质2 0 0 1 年，赵光峰在文献 7 2 1 中提出了i ，型模糊滤子，l 型模糊关联滤子的概念并研究了其性质 理想作为滤子的对偶结构，讨论它对滤子及格蕴涵代数的研究具有重要的 意义1 9 9 8 年以后，徐扬、秦克云、赵光峰与j u n 和r o h 一起引入并讨论了 l i - 理想、超u 理想、模糊u - 理想、正规模糊u 理想、l 型模糊理想的概念 与性质，证明了利用格蕴涵代数上的一个模糊u 理想可以得到格蕴涵代数上 的一簇同余关系，而且这簇同余关系可以构成一个完备链 3 4 , 4 7 , 5 5 , 7 1 1 2 0 0 3 年， 刘用麟等提出了i l l 理想、极大u 理想的概念并讨论了i l i 理想、素u 理想、 极大u 理想的特征与性质，得到了i l i 理想的扩张定理1 6 5 】2 0 0 5 年，朱华从 研究格蕴涵代数的代数性质出发在文献【7 3 】提出了格蕴涵代数理想的根、准素 理想的概念，并讨论其性质 1 2 2 本文的研究工作简介 格蕴涵代数作为一种重要的逻辑代数，为格值逻辑和不确定性推理的研 究提供了一种理论基础徐扬等对格蕴涵代数及基于格蕴涵代数的格值命题 逻辑系统和格值一阶逻辑系统做了大量深入的研究工作同时，国内外同行也 对格蕴涵代数作了大量的研究2 0 0 5 年，朱华在毕业论文1 7 3 1 中提出了格蕴涵 代数中的零化子的概念，并讨论了一些特殊性质，证明了格蕴涵代数中的零 化子是格蕴涵代数的理想，为迸一步研究格蕴涵代数的结构提供了一些理论 依据本文正是在以上研究成果的基础上，继续研究格蕴涵代数的代数结构 具体研究工作如下： 1 讨论有限格蕴涵代数的理想及其结构，找出了有限格蕴涵代数的所有理 想并证明了由有限格蕴涵代数所有理想所构成的格与布尔格同构 2 继续讨论格蕴涵代中零化子的性质，由于对有限格蕴涵代数的理想做零 化子运算( 记为0 ) 是一个逆序对合算子，所以可以在l 的所有理想所组成 的集合( l ) 上定义一个蕴涵算子“辛”，则( ( l ) ，o ，乙0 ，= 争) 构成一个格 蕴涵代数 3 在格蕴涵代数中提出了口一化子的概念，即设b 是l 的子集，则 b ( a ) = z 三l v 6 口，xa b s 口 ，口e l ， 西南交通大学研究生硕士学位论文第7 页 并得出了一些基本性质：其次，讨论了口一化子与理想的关系，并证明了格 蕴涵代数中的a 一化子是格蕴涵代数的格理想；最后，在格蕴涵代数中证明 了b 的口一化子的同态像是像，p ) 的厂似) 一化子的子集 4 显然在格蕴涵代数中r 。( y ) ( = 石工k a ) ，墨口) ，y 厶a e l ) 是y 的口一化子，当固定y 和口时，则r 。( y ) 就是格蕴涵代数不等式 xays a 的解集因此在格蕴涵代数中提出格蕴涵代数不等式的概念并讨 论了三类简单的重要的不等式的解集及其性质 1 3 预备知识 定义1 3 1 s l 设p 是一个集合，p 上的二元关系“叫做一个偏序关系( 或 半序关系1 ，如果满足 ( 1 ) 自反性：口a ，( 尸) ； ( 2 ) 反对称性：a 6 ，b 口 4 - 6 ，( v 口，b e p ) ； ( 3 ) 传递性：4 b , b 墨c a c ， c a ，b ，c e p ) ， 则称s ) ( 或简称p ) 为一个偏序集( 或半序集) 对任意的口，b e p ，若4s b ， 则称“口含于b ”或“4 小于或等于b ”；若4 扫而a - b ，记成a b ，则称“a 真含 于b ”或“a 小于b ”如果ns b 或者b 4 。则称a 与b 是可比的；否则就称口与 b 是不可比的，记作4hb 若偏序集p 中任意两个不同的元素都是可比的，则称p 是一个线性序集 ( 或链，或全序集) ，此时，偏序关系称为线性序( 或全序) ；反之，若p 中 任意两个不同的元素都是不可比的。则称p 是一个非序集( 或反链) 定义1 3 2 【8 l 在一个偏序集伍，s ) 中，如果任意两个元素x ，y 都有上确界 xv y 和下确界z ) ，则称偏序集伍，) ( 或简称l ) 为一个格 西南交通大学研究生硕士学位论文第8 页 设s 是格l 的一个子集，若v a ，6 s ，总有4a b e s ，av 6 s ，则称s 为 格l 的一个子格【6 5 1 如果还满足： c a ，b e s ，坛l ，如果4 墨z 6 ，则工s ， 这时称s 为l 的一个凸子格【8 1 对任意格，如果满足：工 ( yvz ) - o y ) v o a z ) ，v x ，y ，z e l ，则称l 为分配格嘲 定义1 3 3 i s l 设l 是一个格，是l 的子集且满足 ( 1 ) av b e j ，( v 口，b e j ) ； ( 2 ) 若x a ，贝, l j x e j ，( v 4 ，石三) ； 则称，为的一个理想： 对偶地。可定义格的对偶理想 定义l - 3 4 嘲设是一个格，是的子集且满足 ( 1 ) a b e j ，c c a ，b e j ) ； ( 2 ) 若as x ，则z ，o i a ，x 工) ； 则称，为己的一个对偶理想 定义1 3 5 【8 j 设l 是一个集合，：l 一工是l 到自身的映射，如果满足 ( 1 ) 是对合对应，即v 口e l ，( 口7 ) 7 一a ； ( 2 ) 是逆序对应，即v a ，6 l ，a 墨b 时有b s 口； 则称为l 上的逆序对合对应 西南交通大学研究生硕士学位论文第9 页 第2 章格蕴涵代数的有关概念及其性质 格蕴涵代数是研究格值逻辑系统的一种重要基础，到目前为止，虽然对 格蕴涵代数本身的研究已经取得了一些比较深入的成果，但仍然存在许多需 要进一步研究的工作 本章将简要介绍在本文中将要用到的格蕴涵代数的一些基本性质，理想、 素理想、滤子，素滤子和格蕴涵同态等概念以及相关的一些性质 2 1 格蕴涵代数及其有关性质 本节将简单介绍格蕴涵代数的一些基本概念和相关的主要结论，它们是 本文研究工作的基础 定义2 1 1 s 2 1 设，v ， ，) 是一有泛界0 , 1 的有余格，为l 上的逆序对合 对应，若映射一：l x l 一工满足：对于任意的x ，y ，z e l ， ( ，1 ) 工一( y z ) 一y b 一：) ； ( f 2 ) x - x i l ； ( x d x y y 一z ： ( 1 4 ) 若x y y z 一1 ，n x y ； 以) g 一) ，) 一y - ( ) ，一z ) 一工； 他) gv y ) - z ；g z ) 一( ，一z ) ； ( 厶) gn ) ，) 一z b z ) v ( ) ，一z ) ， 则称，v ，a ，7 ，一) 是格蕴涵代数若它还满足： x v y v ( ( z n ) ，) 一z ) 一1 ， 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 0 页 则称仁，v ， ，一) 是格日蕴涵代数 例2 1 1 1 5 2 设伍，v ， ，) 是一个布尔格，对任意的x ，y e l ，定义： x ) ，- x 7 v y ， 则，v ， ，一) 是一个格日蕴涵代数 例2 1 2 1 6 5 1 蕾2 l - 0 ，4 ，6 ，1 并且0 ，一1 口一b , b 一a , 1 r - 0 ，l 上的蕴涵运算 “一”定义如下； 囊2 1 1 l - o ，a ，6 ，n 上的蕴涵运算“” 一0ab1 011 11 ab 1b1 baa 11 1 0 ab 1 l 上的偏序关系如图2 1 1 所示，贝m j ( l ，v ， ，一) 构成一个格蕴涵代数 圈2 1 1 二上的偏序关系“s ” 例2 1 3 f 6 5 】设l - 0 ，l 】，l 上的运算v ， ，一分别定义如下： z v ) ，- m a x 甚，y ) ， z ) ，一m i n & ，_ ) ，) ， 西南交通大学研究生硕士学位论文第11 页 x 一1 - x 石y m i l l n l - x + y ) 则，v ， ，一) 是一个格蕴涵代数通常称它为【0 ，1 1 上的l u k a s i e w i e z 蕴涵代 数 例2 1 4 1 4 5 1 设三一1 0 , 1 ，l 上的运算v , a ，一分别定义如下： x v y m a x x ，) ，) ， 工 y m i n 仁，) ，) ， z - 1 一工， 则伍，v ， ，0 ，1 ) 是一个k l c e n c 代数定义映射 ： o , 1 1 - - , o ，1 】，s ) 一x + 丢s i n h 工， 和二元运算辛l ：l x l l 及号2 ：l l _ l 如下，v x ，) ，l ， x 李1 y e - 1 0 g ) 一( y ”， x 辱2 y = p ( 。1 ) _ e - 1 ( ) ，”， 其中的一是例2 1 3 中的蕴涵算子，则 ，v ， j ，尊1 ，0 ，1 ) 和 旺，v ， ，辛2 ，0 ，1 ) 都构成和l a k a s i e w i c z 蕴涵代数不同的格蕴涵代数 注例2 1 4 表明实数区间i o ，1 】上的格蕴涵代数不唯一 例2 1 5 硎设- 怯l i - 1 , 2 , ，斗 ，对任意的1 j , ks n ，定义： a jv a k 。4 肚 a ja a k 。4 m 州， 0 j ) 一口。一j “， 西南交通大学研究生硕士学位论文第12 页 口j q n 耐t f - ，月l ， 则，v ，ai 一) 是一个格蕴涵代数通常称它为有限链上的l u k a s i c w i c z 蕴涵 代数 例2 1 6 6 s 设l - o ，d ，b ，c ，d ，1 是图2 1 2 所示的偏序集定义l 上的并运 算“v ”和交运算“a ”为： z v y - 仁一) ，) 一y ， x a ) ，- ( ( 工一) ，) 一) ，) 其中，上的蕴涵运算“一”定义如下： 寰2 1 2 l - 0 ，4 ，b ，c ，d ，1 上的蕴涵运算“+ ” 0ab cd1 0 11111 1 ac 1bcb 1 bd a1ba 1 ca a11a 1 db11 b11 10abc d1 余运算定义为：1 ，- 0 ，0 - 1 ，口一c ，c 一4 ，b - d ，d b 贝u j ( l ，v ， ，一) 是 一个格蕴涵代数 1 a 田2 1 , 2 l 上的偏序关系“s ” 西南交通大学研究生硕士学位论文 第13 页 注由上述例子可以看出，格蕴涵代数是一类比较广泛的代数结构，它不 仅包含了两类极为重要的逻辑代数结构，即布尔代数和h k 弱i e w i c z 蕴涵代数， 同时也包含了较一般的非链结构，这就使得它可以用来刻画真值的不可比较 性，从而可以更真实地描述人类的思维活动，增强了以此为基础的格值逻辑 系统的表达能力 定理2 1 1 【6 4 1 设伍，v ， ，一，o 山是一个格蕴涵代数，则( 工，v ， ) 是一个分 配格 定理2 1 2 1 6 s 1 设伍，v ， ? ，一，o 是一个格蕴涵代数，对于任意的z ，y l ， 有： ( 1 ) x - 0 一工，1 - x - 工； ( 2 ) x j y 当且仅当x y - 1 ； ( 3 ) ( x y ) 一y 。x v y ，x y 。( b 一) ，) 一x ，) ； ( 4 ) ( x y ) v o x ) - 1 5 ( 5 ) x 呻y x v y ； ( 6 ) 对任意z l ，x 一：- y z 当且仅当x y 当且仅当z x 一2 一y ； ( 7 ) z v y 一1 当且仅当x y 一) ，； ( 8 ) x a y 一0 当且仅当x y 一一； ( 9 ) 对任意a ，6 工，有：0 - - b ) s o a ) a p y ) 定理2 1 3 【6 5 】设( l ，v ， ，一，0 舯是一个格蕴涵代数，对于任意的x ，y ，z 工， 有： ( 1 ) g y ) 一( ( y - - , z ) - - ( x z ) ) 一1 ； ( 2 ) x 一( ) ，vz ) - ( x - - - y ) v 扛一z ) ， 工一( ) ，一z ) 一0 一y ) n 仁一z ) ： 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 4 页 ( 3 ) g z ) 一( y z ) 一) ，一b v z ) - g 一石) 一o 一工) ； ( 4 ) g - - x ) - - , g - y ) - ( x z ) 一) ，一g z ) 一仁一y ) ： ( 5 ) 若工- r y ，则z - z2 y 一乙。- z z _ y ； ( 6 ) zs y 一工当且仅当y z 一毒； ( 7 ) z 一( ) ，一x ) 0 一y ) 一0 一x ) ； ( 8 ) ( x 一( y z ) ) 一( 一y ) 一o z ) ) = x v y v ( o y ) 一z ) ； ( 9 ) x - ( ) ，一z ) - v y ) - p z 当且仅当x 一( ) ，- - z ) 。x z - y z ； ( 1 0 ) ( o - - y ) n ( ) ，一z ) ) 一0 一z ) - o - - , y ) v o z ) v 0 一曲 定理2 1 4 1 6 5 1 设弛，v ， ，一，0 m 是格蕴涵代数则下述命题等价： ( 1 ) 伍，v ， ，一，o 山是格h 蕴涵代数； ( 2 ) 慨，y 工，x y - z 一( 石一y ) ； ( 3 ) 工一( y z ) 一b y ) 一g z l 魄，y ，z e l ； ( 4 ) 0 一y ) 一工- z ，魄，y e l ； ( 5 ) z _ y 1 工v y ，坛，y e l ； ( 6 ) x v 工- l 坛e l 2 2 格蕴涵代数的理想和滤子 理想和滤子作为格蕴涵代数的子结构本身具有重要的性质，而对于我们 研究格蕴涵代数的结构也起着重要的作用本节主要介绍理想和滤子的概念 和一些基本性质 定义2 2 1 蚓设l 是格蕴涵代数，爿是l 的非空子集，) ，e l ，若彳 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 5 页 满足： ( 1 ) 0 e a ： ( 2 ) 若 一y ) e a ，y e a $ j x e a ， 则称a 为l 的l i 理想( 简称理想) 记格蕴涵代数l 的所有理想组成的集合为 ( l ) 显然， 0 ) 和l 都是l 的理想， 0 ) 和l 称为l 的平凡理想下面给出格 蕴涵代数的非平凡理想的例子 例2 2 1 1 6 5 1 如例子2 1 6 中，若4 = o ，c ) ，则a 是l 的理想 定理2 2 1 l c , - s l 如果l 是格蕴涵代数，则l 的每个l i - 理想都是格理想 定理2 2 2 【6 4 1 如果l 是格蕴涵代数，a 是l 的一个非空子集，a 是l 的 l i - 理想当且仅当 。 v x , y e a , v z e l ，当0 _ 工) sy 时，有z 彳 定理2 2 3 1 6 s l 如果l 是格蕴涵代数，q 是l 的一些理想构成的集合，若 q 非空，则n q 是l 的理想 一般地，如果l 是格蕴涵代数，4 是l 的一个非空子集，则包含4 的最 小理想称作彳的生成理想，记作 ；若4 = 忙) ，则记作( a - 定义2 2 2 5 9 1 如果l 是格蕴涵代数，a 是l 的u 理想，、k ，y e l ，若 xa y e a ，则有x e a 或y e a ，则称a 为l 的素理想 定理2 2 4 【5 9 j 如果l 是格蕴涵代数，a 是l 的u 理想，则a 是l 的素理 想当且仅当对v hy e a ， + y ) e a 或( _ ) ，一z ) 7 e a 定理2 2 5 【叫如果l 是格h 蕴涵代数，则l 的每个格理想都是l 的u 理想 定理2 2 6 l 叫如果l 是格h 蕴涵代数，a 是l 的真l i 理想，则下列条 件等价： ( 1 ) a 是素理想； ( 2 ) 对任意的x e l ，x e a 当且仅当x 硭4 ； 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 6 页 ( 3 ) a 一l a - x l 工田； ( 4 ) 如果x 隹爿且y 圣4 ，则0 一y ) 譬4 和( y - - , x ) 圣4 滤子作为理想的对偶结构，在格蕴涵代数与基于格蕴涵代数的格值逻辑 系统的研究中起着重要的作用，因此研