（应用数学专业论文）时滞对微分方程组takensbogdanov奇性的影响.pdf

一 【0 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 走墨盎 日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盏盐 日 期：冱! 1 5 ：k 学位论文作者毕业后去向： 指导教师签名： 日期： - 、 r y 1 f q 摘要 基于徐英祥与黄明游 h o m o c l i n i co r b i t s a n dh o p fb i f u r c a t i o n si nd e l a y d i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht a k e n s - b o g d a n o vs i n g u l a r i t y jd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， 2 0 0 8 ，2 4 4 ：5 8 2 5 9 8 】对时滞微分方程组t a k e n s - b o g d a n o v 奇性的描述，本文主要 讨论时滞对微分方程组t a k e n s b o g d a n o v 奇性的影响给出了在含有 t a k e n s b o g d a n o v 奇性的微分方程组中引入或去除时滞项( 令时滞项7 - = 0 ) 时， 微分方程组t a k e n s b o g d a n o v 奇性得以保持的充分必要条件所得结论对于改进 应用科学领域中的数学模型具有建设性的指导作用，且可降低应用模型分支分析 的工作量 关键词：t a k e n s b o g d a n o v 奇点：常微分方程；时滞微分方程 a b s t r a c t t h ep a p e rl a y se f f o r t so l lt h et a k e n s - b o g d a n o vs i n g u l a r i t i e si no r d i n a r ya n dd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b a s e do nt h ed e s c r i p t i o nf o rt a k e n s - b o g d a n o vp o i n ti nd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e v e l o p e db yx ua n dh u a n g ，【h o m o c l i n i co r b i t sa n dh o p f b i f u r c a t i o n si n d e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht a k e n s - b o g d a n o vs i n g u l a r i t y j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 8 ，2 4 4 ：5 8 2 - 5 9 8 】，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s a r eg i v e nf o rt h a tad i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hat a k e n s - b o g d a n o vs i n g u l a r i t y ，w h e n b ea d d e dt os o m ed e l a yt e r m so rr e m o v e dt h ed e l a yt e r m s ( b yl e t t i n gt h ed e l a y7 = 0 ) ， s u c c e e d st h et a k e n s b o g d a n o vb i f u r c a t i o n i tp l a y sav e r yi m p o r t a n ti n s t r u c t i o n a l r o l ei ni m p r o v i n ge x i s t e dm o d e l si nv a r i o u ss c i e n t i f i cr e s e a r c hf i e l d s ，m o r e o v e r ，t h e w o r k so fc o m p u t a t i o na n db i f u r c a t i o na n a l y s i sa l s oc a nb er e d u c e dg r e a t l y b e s i d e s ， w e p r e s e n ta l le x a m p l et oi l l u s t r a t et h er e s u l t s k e yw o r d ：t a k e n s b o g d a n o vs i n g u l a r i t y ：o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 、 i 1 7 ， 0 目录 摘要i a b s t r a c t i 目录i i i 第一章绪论1 1 1 文献综述1 1 2 本文的结构2 第二章预备知识3 2 1 微分方程中的t a k e n s b o g d a n o v 奇点3 2 1 1时滞微分方程的t a k e n s b o g d a n o v 奇点3 2 1 2 常微分方程的t a k e n s b o g d a n o v 奇点4 2 2 微分方程的t a k e n s b o g d a n o v 分支5 第三章时滞对微分方程组t a k e n s - b o g d a n o v 奇点的影响8 3 1两个例子8 3 2主要结论9 第四章总结1 4 参考文献1 5 致谢1 8 ，- 1 v i i i 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1文献综述 常微分方程( o d e s ) 在人口动力学、种群生态学、工程学、控制系统等很多 科学领域中具有广泛的应用许多学者在常微分方程的基础理论、分支问题、 数值方法心3 等方面进行了大量的研究工作此外，许多研究工作着重于改进已有 的微分方程模型以期其在描述客观问题时具有更好的性质 改进常微分方程模型的一种重要方法是在模型中引入时滞项，进而获得时滞 微分方程( d d e s ) 因为其考虑了时间滞后的影响，时滞微分方程描述实际问题 更加贴切例如，时滞的l o g i s t i c 方程的提出就是其典型例子l o g i s t i c 模型最 初是由p i e r r ev e r h u l s t ( 1 8 4 5 ，1 8 4 7 ) 提出用以描述人口动力学的随着问题 研究的不断深入，l o g i s t i c 模型对人口动力学问题的描述不够准确，对该模型 的改进便产生了时滞l o g i s t i c 方程从这个角度来看，在常微分方程中引入一些 时滞项，能够使得模型更符合实际问题，十分必要 然而，时滞微分方程与常微分方程相比，其在解的基本理论、分支理论等方 面均有明显的不同例如，周期轨道与连接轨道只能存在于二维及二维以上的常 微分方程组中，而混沌只能存在于三维及三维以上的常微分方程组中口j 3 ，但是 这些现象都存在于一维时滞微分方程中，参考哺一 由于时滞微分方程的相空间是无穷维的，其分析的方法、手段与常微分方程 相比较也大为不同，这增加了分析处理时滞微分方程的难度因此，分析在不同 条件下时滞项对数学模型性质的影响是非常重要的人们已经认识到这个问题的 重要性，并着眼于此类性质的研究，参考h 1 h o p f 分支是一类重要的分支现象，它描述了当参数经过临界点时，平衡点的 稳定性发生变化，并在其附近产生闭轨的现象一百多年前p o i n c a r e 开始了这方 面的工作，他给出了平面系统的例子，1 9 2 9 年俄国人a n d r o n o v 给出了平面向量场 中相关的定理及计算公式，1 9 4 2 年俄国人h o p f 第一次给出了著名的，l 维向量场 东北师范大学硕士学位论文 情形的h o p f 分支定理随1 几十年来，关于h o p f 分支的问题学者们做了大量工作，它的应用也很广泛 比如文嘲应用h o p f 分支理论来分析肿瘤的免疫系统与免疫反应模型，文n 帕研究生 物数学中的h o p f 分支问题，文n 妇讨论了向日葵方程的h o p f 分支，给出了存在h o p f 分支的条件，分支方向，分支周期解的表达式及其稳定性等性质，文n 2 3 应用h o p f 分支理论来研究人类呼吸系统的h o p f 分支，文n 3 1 钔研究了一类具有时滞的捕食 与被捕食模型的h o p f 分支及分支的稳定性 t a k e n s b o g d a n o v ( t - b ) 分支也是微分方程的一类重要分支现象，其描述了参 数平面上由t - b 点衍生出h o p f 点分支曲线和同宿轨分支曲线的机制，是关于同 宿轨存在性少有的理论结果之一t a k e n s n 韶和b o g d a n o v n 6 1 最初是在常微分方程中 对t - b 分支进行深入研究，其目的是为了将2 维向量场奇点分类，并说明在一定 意义上这种分类对于3 维以上的情况是不可能的比如文n 刀探讨了异步电动机驱 动器的定向控制在间接领域中发生的t - b 分支现象，文n 踟研究电力系统网络中的 t - b 分支于时滞微分方程而言，t - b 分支研究工作则应归功于f a r i a 和 m a g a l h a e s 哺1 ，其深入研究了时滞微分方程的中心流形约化与规范型计算，并应 用其理论讨论了一维方程的t - b 分支问题基于此理论，许多学者在t - b 分支分 析方面做了许多工作比如文n 钔利用t - b 分支分析流行病学的模型，文啪1 讨论了 神经活动的时滞微分方程模型分支，徐英祥和黄明游晗通过给出判断t - b 奇点的 可行性算法和广义特征空间在r ”中的显式表达，利用中心流形约化和规范型计 算，详细的描述了时滞微分方程的t b 分支行为 1 2 本文的结构 本文主要讨论的是时滞对微分方程组t o b 奇性的影响第二章主要介绍微分 方程的t - b 奇性以及t - b 分支的基础知识；在第三章中，首先通过两个例子说明 时滞可对微分方程组t - b 奇性产生重要影响，进而提出研究问题，然后给出了主 要结果以及证明；第四章是对本文的概括总结 2 i ， 一 ， k 东北师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1微分方程中的t a k e n s b o g d a n o v 奇点 2 1 1 时滞微分方程的t a k e n s - b o g d a n o v 奇点 考虑时滞微分方程 j ( f ) = 厂( x ( f ) ，x ( t - r ) ， ( 2 1 ) 其中a = ( a l ，呸) r 2 是参数，z r ”，f ( x ，y ，：r ”r ”x r 2 一r ”充分光滑， 7 - 0 是常时滞令i 是方程( 2 1 ) 当口= 历时的平衡点，也就是说，： 八只瓦a - - ) = 0 ( 2 2 ) 将方程( 2 1 ) 在( i ，厉) 处线性化，并将x ( f ) 一i 仍记作x ( f ) 得到 j c ( t ) = 血( f ) + b x ( t - r ) ， ( 2 3 ) 其中彳：善( - ，- 厉) ，b = 娑( i ，- ，a - - ) 方程( 2 3 ) 的特征方程为 嗷dy， d e e m a 一眈珈) = 0 ( 2 4 ) 称方程( 2 1 ) 具有t - b 奇性，如果 ( c 1 ) 若旯是方程( 2 4 ) 的一个非零根，则r e 2 0o ( c 2 ) a = 0 是方程( 2 4 ) 代数重数为2 ，几何重数为1 的根。 此时，称( = ( 覃，动是方程( 2 1 ) 的t b 奇点 下面的这个引理给出了方程( 2 1 ) 的t - b 奇点的一个等价描述，它可以作 为确定t - b 奇点的一个可行性算法 弓强2 、设( c 1 ) 成立时滞微分方程( 2 1 ) 有t b 奇点曝。鳓当且仅当 ( i ) r a n k ( r a r b ) = n 一、； ( ，j j ) 赚4 ，( 7 彳+ 7 - b ) = s p a n 破 ，勇矽么( r b + ，) 缟r ( r a + r b ) ， ( 2 5 ) ( i i i ) 赚( 1 彳+ 7 - 口) 唬= ( 7 - b + ，) 钨，黝( r b + 1 ) 谚2 一去7 b 稿仨g ( r a + r b ) ， 东北师范大学硕士学位论文 真缟，唬r ” 证明 已知戈( f ) = t f ( x ( t ) ，x ( t - d ，叻与方程( 2 1 ) 是等价的，将其在( i ，历) 线性 化，得j ( f ) = r a x ( t ) + r b x ( t 一1 ) 因此，该引理即为3 的定理2 1 口 2 1 2 常微分方程的t a k e n s - b o g d a n o v 奇点 在方程( 2 1 ) 中令7 - = 0 ，可得到与方程( 2 1 ) 对应的常微分方程， 戈( f ) = ( x ( f ) ，x ( f ) ，功， ( 2 6 ) i 仍然是方程( 2 6 ) 当口= 历时的平衡点方程( 2 6 ) 在( i ，a - ) 处的线性化( 新 变元工( f ) 一i 仍记作x ( f ) ) 为 戈( f ) = ( a + w ) x ( t ) ( 2 7 ) 其特征方程为 d e t ( m a b ) = 0 ( 2 8 ) 称方程( 2 6 ) 具有t b 奇性，如果 ( c 1 ) 若五是方程( 2 8 ) 的一个非零根，则r e 2 0 ； ( c 2 ) 旯= 0 是方程( 2 8 ) 代数重数为2 ，几何重数为1 的根； 此时，称( 工，口) = ( i ，厅) 是方程( 2 6 ) 的t b 点 下面这个引理给出了方程( 2 6 ) 的t - b 奇点的一个等价描述，它可以作为 确定t - b 奇点的一个可行性算法 弓理2 2 设( c 1 ) 成立常微分方程( 2 6 ) 存在t - b 奇点曝。矾当且仅当 ( ，j 夕r a n k ( a + b ) = 刀一1 ， ( ，j j 夕赚么，( 彳+ b ) = s p a n ，那么r ( a + b ) ， ( 2 9 ) ( i i i ) 嫌( 彳+ 召) 娩= 明，那么仨冗( 彳+ b ) ， 真尹奶，r ” 证明引入辅助函数g ( 工( ，) ，口) = ( 石( ，) ，x ( f ) ，口) ，则警( i ，a - - ) = a + b 事实上，若 a 呸 ( i ，历) 为方程( 2 6 ) 的t b 奇点，则应有： ( a + 召) 明= o ，( 彳+ 曰) 娩= 明 ( 2 1 0 ) 4 f v v 0 东北师范大学硕士学位论文 其中奶，耽是非零向量，并且 ( 彳+ b ) y = 娩 在r ”中不存在非平凡解由此可见引理成立 2 2 微分方程的t a k e n s b o g d a n o v 分支 ( 2 1 1 ) 方程( 2 1 ) 和( 2 6 ) 均司利用中心流形约化与规范型计算约化为中心流形 上的如下二维常微分方程 j 五一， ( 2 1 2 ) 【之= 嵋z i + 吒z 2 + 位；+ k i z 2 + j 1 d j “ 其中j i i d f 代表高阶项，系数k ，砭，a ，b 可以由原微分方程确定，其中口b 0 时 滞微分方程( 2 1 ) 的约化过程和系数表达可参见n 町，常微分方程( 2 6 ) 的约化过 程可参见钔 由于高阶项不影响( 2 1 2 ) 的分支结构嘲，故( 2 1 2 ) 的分支结构由微分方 程 铲乞， ( 2 1 3 ) i i 乞= k z l + 砭z 2 + 砰+ 坛乞 。 确定。关于其分支结构有如下结论： 定理2 3 m 1 搀乃( k ，砭) ，j = l ，2 危方嫠像j 彰舭c o b i a n 在_ ( 一量0 ，o ) 必筋铲磁。 则当a b 幸q 且k 、 0 时有 ( i ) 讹= 互( k = f 打，k = 鲁k ， ( “) r e , j ( k ，t ) = 委( 吒一鱼嵋) ，= l ，2 ， z口 于是参我乎面的半直鳍厶= ( k ，吒) ：吒= 一bk ，嵋 o ) 上钓席( k ，砭) 崴是方嫠 ( 2 。1 3 ) 的h o p f 奇点 定理2 4 口1 织改口b 0 彬亭荭影教砰 o 友磋缵可毵撕= ( f ) 糖层 ( o ) = h a ，疫凿o o ) 对应着a n d r 。n 。v h 。p f 分支，原点附近 口 区域1 丘 一一五 一吃一一 区域2 图2 2 区域3 的光滑曲线，- = ( k ，吗) ：砭= ( 百) 葺，i r ； o ) 对应着同宿分支在区域1 上，方 程( 2 1 3 ) 具有两个平衡点( 鞍点与稳定结点) ，当穿过厶时稳定结点变成了不稳 6 1 r v l l 东北师范大学硕士学位论文 定的焦点，此时产生一个稳定极限环，它存在于直线厶与光滑曲线，一之间当接 近乙时，方程( 2 1 3 ) 仍然具有稳定的极限环，而当穿越l 进入区域3 后方程不 再具有周期轨道，因而在l 上方程( 2 1 3 ) 将产生同宿轨道，即，- 为方程( 2 1 3 ) 的同宿轨分支曲线( 参考h 1 ) 7 东北! j 币范大学硕士学位论文 第三章时滞对微分方程组t a k e n s b o g d a n o v 奇点的影响 本节讨论在含有t - b 奇性的微分方程中引入或去除时滞项对方程的影响：( 1 ) 在含有t - b 奇性的常微分方程中引入一些时滞项，是否能获得含有t b 奇性的时 滞微分方程? 如果是，需在什么条件下? ( 2 ) 在含有t b 奇性的时滞微分方程中去 除一些时滞项，是否能获得含有t b 奇性的常微分方程? 如果是，需在什么条件 下? 3 1两个例子 羔暑 = 彳 乏暑 + b 。屯x l ( 。t - 一r 丁) ， ， c 3 ， 其中彳= 言： ，召= ：l - 1 在晗中可以看出，对于具有线性部分c 3 ，的任何 光滑的时滞微分方程，当7 - = 1 时具有t - b 奇性 在方程( 3 1 ) 中令丁= 0 ，可得到常微分方程 嘲吨针 慨2 ， 其中c = 彳+ b = i 三言i 根据引理2 2 不难看出，任何线性部分为( 3 2 ) 的常 微分方程是不具有t - b 奇性的 例1 表明，在时滞微分方程中令7 - = 0 而得到的常微分方程，是有可能不保 留时滞微分方程的t - b 奇性的 例2 考虑常微分方程 嘲= 啦珏 3 ， 8 1 1 、i ， ， v f i 、- 东北师范大学硕士学位论文 其中c = 瞄胡根据引理2 2 容易看出，任何线性部分为( 3 3 ) 的常微分方程 在方程( 3 3 ) 中引入时滞项1 - ，可得到时滞微分方程 嘲= 彳嘲+ b 篡二孙 4 ， 其中彳= ? ：) ，口= _ 0 三 ，且满足彳+ b = c 下面，我们根据引理2 1 说明方程( 3 4 ) 当丁= l 时不具有t - b 奇性 显然，引理2 1 的条件( i ) 成立，并且钨= ( ：) 此时， c 曰+ j ，缟= ( 二0 ( = ( 二) 仨冗c 彳+ 动，也就是说，弓1 理2 1 的条件c i t ，不 成立因此，方程( 3 4 ) 不具有t - b 奇性事实上，对v 丁 0 ( 3 4 ) 均不具有 t - b 奇性 例2 说明，在常微分方程中引入时滞项，t - b 奇性可能被破坏 如果在具有t - b 奇性的常微分方程中引入时滞项，应该如何去做? 在什么条 件- f 时滞微分方棵和与其对应的常微分方程能够同时具有t b 分支? 3 2主要结论 卧毽飞。、设方程( 2 8 ) 的非零解均不具有零实部燹l j 存在t 、 0 。使得当 0 0 使得当0 o ，当o 7 q 使得当q 0 ，当0 丁 0 使得当0 0 使得当0 t t o 时。有下殉结论成立 l ，假定常微分方程( 2 ) 在曝，矾处具有? - b 奇性。氐时滞微分方程( 1 ) 在鼹两 处也具有t b 奇性的充要条件为b 是从人l a 七b 、虱默a 七b 、的映射； 2 假定时滞微分方程( 1 ) 在曝。i 、处具有t b 奇性。购常微分方程( 2 ) 在曝矾 处也具有t b 奇性的充要条件为b 是从u 七b 、勤r u 七b 、的映射 定理中i 是方程( 1 ) 和( 2 ) 当口：历时的平衡点，彳：荨( i ，i ，历) ，b ：娑( i ，i ，历) 眦 a y 上述给出了在微分方程中引入或去除一些时滞项( 令7 = 0 ) ，t - b 奇性得以保留 的充要条件，对于改进应用科学领域中的数学模型具有建设性的指导作用，结合 t - b 分支分析的已有结果，可降低应用模型分支分析的工作量 1 4 i f o f 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 张锦炎，冯贝叶常微分方程几何理论与分支问题【m 】北京：北京大学出版社， 2 0 0 0 【2 b u t c h e rj c n u m e r i c a lm e t h o d sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o u s m c h i c h e s t e r ：j o h nw i l e ya n ds o n s ，2 0 0 3 【3 g u c k e n h e r m e rj ，h o l m e sp n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，d y n a m i c a ls y s t e m sa n d b i f u r c a t i o n so fv e c t o rf i e l d s m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，19 8 3 【4 c h o w s n ，h a l e jk m e t h o d so fb i f u r c a t i o n t h e o r y m n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g , 19 8 2 【5 h a l ejk ，l u n e lsm i n t r o d u c t i o nt of u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，19 9 3 【6 f a r i at ，m a g a l h a e slt n o r m a lf o r m sf o rr e t a r d e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n da p p l i c a t i o n st ob o g d a n o v - t a k e n ss i n g u l a r i t y j j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，19 9 5 ，12 2 ：2 0 1 - 2 2 4 【7 s r i v i d h y aj ，g o p i n a t h a nms ，s c h n d l ls t h ee f f e c t so ft i m ed e l a y si na p h o s p h o r y l a t i o n - d e p h o s p h o r y l a t i o np a t h w a y j b i o p h y s i c a lc h e m i s t r y ， 2 0 0 7 ，12 5 ：2 8 6 - 2 9 7 8 】朱世军h o p f 分支在泛函方程中的发展近况综述 d 】： 硕士学位论文 长春： 东北师范大学大学，2 0 0 7 【9 y a f i ar h o p fb i f u r c a t i o na n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n si na no d em o d e lo f t h ei r l l r n u n es y s t e mw i t hp o s i t i v ei n l m u n er e s p o n s e 【j 】n o n l i n e a ra n a l y s i s ， 2 0 0 7 ，8 ( 5 ) ：1 3 5 9 1 3 6 9 【10 b e a r d m o r ere d o u b l es i n g u l a r i t y i n d u c e db i f u r c a t i o np o i n t sa n ds i n g u l a rh o p f b i f u r c a t i o n s j 】d y n a m i c a ls y s t e m s ，2 0 0 0 ，15 ( 4 ) ：319 3 4 2 1 1 】魏俊杰向日葵方程的h o p f 分支 j 应用数学学报，1 9 9 6 ，( 0 1 ) ：5 4 5 5 5 0 【1 2 李遵先具时滞人类呼吸系统的h o p f 分支分析 d 华南师范大学，2 0 0 7 【1 3 黄利航，陈斯养一类具有时滞的捕食与被捕食模型的h o p f 分支 j 西北师 范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 4 ，( 0 4 ) ：4 6 - 5 4 1 4 】常卫卫一类具时滞的捕食一被捕食系统h o p f 分支 j 榆林学院学报， 2 0 0 7 ，17 ( 0 4 ) ：1 2 3 1 3 2 1 5 文 东北师范大学硕士学位论文 【15 t a k e n sf s i n g u l a r i t i e so fv e c t o rf i e l d s j n l b lm a t hi n s th a u t e se t u d e ss c i ， 1 9 7 4 ，4 3 ：4 7 1 0 0 16 b o g d a n o vr i v e r s a ld e f o r m a t i o n so fas i n g u l a rp o 硫o nt h ep l a n ei nt h ec a s e o f z e r oe i g e n v a l u e s j f u n c ta n a la p p l ，1 9 7 5 ，9 ：1 4 4 - 1 4 5 17 s a l a sf ，r e g i n a t t or ，g o r d i l l of ，e ta 1 b o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o ni n i n d i r e c tf i e l do r i e n t e dc o n t r o lo fi n d u c t i o nm o t o rd r i v e s c 】4 3 r di e e e c o n f e r e n c eo nd e c i s i o na n dc o n t r 0 1 b a h a m a s ，2 0 0 4 ，4 ：4 3 5 7 4 3 6 2 18 g u s t a v or ，d i e g oma ，j o r g elm b i f u r c a t i o nt h e o r ya p p l i e dt ot h ea n a l y s i s o fp o w e r s y s t e m s j r e v i s t a d e l a u n i o nm a t h e m a t i c a r g e n t i n a ，2 0 0 8 ， 4 9 ( 1 ) ：1 - 1 4 【19 h a ngj t a k e n s b o g d a n o va n a l y s i sf o ra ne p i d e m i o l o g i c a lm o d e l j c o m m k o r e a nm a t hs o c ，19 9 8 ，3 ：6 4 3 6 5 3 2 0 g i a n n a k o p o u l o sf ，z a p pa b i f u r c a t i o n si nap l a n a rs y s t e mo fd i f f e r e n t i a ld e l a y e q u a t i o n sm o d e l i n gn e u r a la c t i v i t y j p h y s i c ad ，2 0 0 1 ，15 9 ：2 15 2 3 2 【21 x uyx ，h u a n gmy h o m o c l i n i co r b i t sa n dh o p fb i f u r c a t i o n si nd e l a y d i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht - bs i n g u l a r i t y j jd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 8 ，2 4 4 ： 5 8 2 5 9 8 2 2 r u a ns ，x i a od g l o b a la n a l y s i si nap r e d a t o r - p r e ys y s t e m w i t hn o n m o n o t o n i c f u n c t i o n a lr e s p o n s e j s l 蝴ja p p lm a t h ，2 0 0 1 ，6 1 ：1 4 4 5 - 1 4 7 2 2 3 x i a od ，r u a ns m u l t i p l eb i f u r c a t i o n si nad e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e m w i t h n o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s e j jd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 01 ，17 6 ： 4 9 4 5 1 0 2 4 k u z n e t s o vya e l e m e n t so fa p p l i e db i f u r c a t i o nt h e o r y m s e c o n de d i t i o n ， n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，19 9 8 ，31 4 - 3 3 0 2 5 d r i v e rrd o r d i n a r ya n dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m b e r l i n ：s p r i n g e r ， 1 9 7 7 【2 6 b e l l m a nr ，c o o k ekl d i f f e r e n t i a l - d k f f e r e n c ee q u a t i o n s m n e wy o r k ： a c a d e r n i cp r e s s ，19 6 3 2 7 g o v a e r t sw c o m p u t a t i o no ft a k e n s b o g d a n o vt y p eb i f u r c a t i o n sw i t ha r b i t r a r y c o d i m e n s i o n j s i a mjn u m e ra n a l ，1 9 9 3 ，3 0 ：l1 2 1 - l1 3 3 【2 8 b e y nw j n u m e r i c a la n a l y s i so fh o m o c l i n i co r b i t se m a n a t i n gf r o mat - bp o i n t 【j 】i m aj o u r n a lo f n u m e r i c a la n a l y s i s ，1 9 9 4 ，1 4 ：3 8 1 4 1 0 2 9 j a n o v s k yv ，p l e c h a ep as u m p t o t i ca n a l y s i so fp e r t u r b e dt a k e n s b o g d a n o v p o 血【j 】jc o m p u ta p p lm a t h ，1 9 9 1 ，3 6 3 4 9 3 5 9 【3 0 b r o e rhw ，r o u s s a r i er ，s i m oc i n v a r i a n tc i r c l e si nt h eb o g d a n o v t a k e n s b i f u r c a t i o nf o rd i f f e o m o r p h i s m s e r g o d i ct hd y n s y s t16 ，19 9 6 ，6 ：l l4 7 - 1 17 2 1 6 f 巳， 疗 i 誓 下 l 东北师范大学硕士学位论文 31 】g e l f i e i c h v c h a o t i cz o n ei nt h e b o g d a n o v t a k e n sb i f u r c a t i o nf o r d i f f e o m o r p h i s m s c a n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s i s a a c2 0 0 1 ，e d i t e db yh g w b e g e h r e ta 1 k l u w e r ，2 0 0 1 ，1 8 7 - 1 9 7 【3 2 y u a n