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a h p 理论中关于判断矩阵一致性问题研究 摘要 层次分析法( r i h ea n a l y t i ch i e 豫r c h yp m c e s s 简称a h p ) 是由美国运筹 学家，匹兹堡大学萨迪( t l s a a 锣) 教授于七十年代初期提出，是将定性与定 量相结合，将人的主观判断用数量形式表达和处理的一种实用有效的多准则 决策方法利用a h p 理论进行决策必须得借用两两比较判断矩阵进行分析， 所建立的判断矩阵的合理与否对决策结果将产生直接的影响，而衡量判断 矩阵是否合理的一个重要依据就是判断矩阵是否具有完全一致性或是否具 有满意一致性当决策者所构造的判断矩阵具有完全一致性时，对大多数排 序方法而言所得方案排序向量及排序是一致的，这将不会影响决策结果的客 观性；但当所构造的判断矩阵不具有一致性时，采用不同的方法往往得到不 同的方案排序，这就对决策结果的客观性产生非常不利的影响因此本文将 对判断矩阵的一致性问题进行深入研究，主要研究工作如下： 第一章简述了a h p 理论的基本思想，对目前关于a h p 理论中一致性 问题的研究现况进行了综述，并概述了本文所要研究的主要内容 第二章总结了传统a h p 在一致性检验及修正方面的成果，并提 出了一种简洁的一致性判断方法及修正方法，为后文的研究打下了基础 第三章对基于模糊互补判断矩阵f a h p 的一致性进行研究，总 结了前人的研究成果，并提出两种新的修正方法 第四章对基于区间数型互反判断矩阵f a h p 的一致性进行全新的研 究，提出了比较简洁的一致性定义及满意一致性定义，并提出了一种基于区 ； 问数互反判断矩阵的方案排序方法；随后提出了一种基于互反区间数判断 矩阵的一致性检验及修正方法；最后在目前的两种区间数组规范化方法下， 对区间数组规范化前后信息是否保持一致进行了研究，得出一个重要结论 关键词层次分析法( a h p ) ；一致性；满意一致性；修正；排序 中图分类号：c 9 3 4 ，0 2 2 3 r e s e a r c ho n t h ec o n s i s t e n c yp r o b l e mo fa h p a b s t r a c t a h pw a sp u tf o m 哪di ns e v e n 哆y e a r sb yp r o f e s s o ft l s 的够o fu n i v e r s i 够 o fp i t t s b u r g h ，t h ea m e r i c a no p e r a t i o n a l i ti sav e 巧p r a c t i c a lm u l t i d e c i s i o n m a k i n gm e t h o dw h i c hc o m b i n e s l eq u a l i t ya n dm eq u a n t i 够，a n dm a k e sm a i l s s u b j e c t i v ej u d g m e n tb ee x p r e s s e da n dd i s p o s e d u s i i l gn u m b e r w h e nw eu s e a hpt om a k ed e c i s i o n s ，w eh a v et oa i l a l y z ei nv i r t u eo fc o m p a r e dj u d g m e m m 撕x b mt h a tm em a t r i xi sr e a s o n a b l eo rn o tw i l lh a v ed i r e c ta f f e c to nm e d e c i s i o n m o r e o v e r ，t l l ei m p o r t a n tm l ew 1 1 i 6 hj u d g e st l l em 撕xb er e a s o n a b l eo r n o ti sm em a t r i xw h i c hh a sa b s o l u t ec o n s i s t e n c yo rs a t i s f i e dc o n s i s t e n c y w h t 1 1 ec o n s t m c t e dm a t r i xh a sa b s o l u t ec o n s i s t e n c y ，t 1 1 ef i n a lp r i o r i t i e s a r em e s 锄et h o u 曲w eu s ed i 虢r e n t 埘o r i t ) ，m e t h o d s t h i sd o e s n ta 虢c tt 1 1 e o b j e c t i v 时b u tw h e nm ec o n s 仃u c t e dm a t r i xd o e s n th a v ea b s o l u t ec o n s i s t e i l c y o rs a t i s f i e dc o n s i s t e n c y ，t h ef i n a lp r i o r i t i e sa r ed i 琢玳n ti fw eu s ed i 饪e r e m 研o r i 够m e n l o d s 1 l l i sw i l la 疵c t 把o b j e c t i v i 够d e 印l y s ow e w i l lr e s e a r c ht h e c o n s i s t e n c yo f m 删x i nd e t a i l ，m em a i n l yr e s e a r c hr e s u h sa r em e s e ： i nc h 印t e r1 ，t l l eb a s i ca s p e c t so fm ea h pa r es t a t e d t h e n ，t h er e c e m r e s e a r c h e so nc o n s i s t e n c yi i la h pa r ec o n c l u d e d ，a n d l em a i nr e s e a r c hc o n t e n t s l r ea l s oi n v o l v e d i nc h a p t e r 2 ，也er e s e a r c h e so nt l l ec o n s i s t e n c yt e s ta j l da 由u s t l l l e n to f n a d i t i o n a la h pa r ec o n c l u d e d ，a n dt l l e np r 叩o s eam e t h o do fc o n s i s t e n c yt e s t a n da d j u s n n 即t t h em e m o d h e l p sm ef o l l o w 伽gr e s e 砌l e sg r e a t l y i i l c h a p 忙r 3 ，t h ec o n s i s t e n c y o fa h pw h i c hi sb a s e do n 如z 巧 c o m p l e m e n t a 巧m 砌x i ss t u d i e d ，m ee x i s tr e s e a r c h e sh 髂b e e nc o n c l u d e di nn l i s p a p e r ，t l l e nt 、： 7 0n e w 删u s t m e n t m e t h o d sa r ep r o p o s e d i nc h a p t e “，1 1 l ec o l l s i s t e n c yo fa h pw h i c hi sb a u s e do ni m e n ，a ln u m b e r c o m p l e m e n t a 巧 m a t f i xi ss t u d i e d n e w l y ， t 、v ob r i e fd e f i n e so fa b s o l u t e c o n s i s t e n c ya n ds a t i s f i e dc o n s i s t e n c ya r ep r o p o s e d ；a n dt 1 1 e nap r i o r i t ym e t h o d w h i c hi sb a s e do ni n t e n ，a ln 啪b e rc o m p l 伽e n t a 叮m a t r i xi sp r o p o s e d ；锄da l s o am e t h o do fc o n s i s t 朗c yt e s ta i l da d j u s t m e mw h i c hi sb a s e do nm t e n r a ln u m b e r c o m p l e m e n t a 叮m 砌xi sp r o p o s e d ；f i n a l l y ，t h a tt h em f o n n a t i o na b o u tt w o g r o u pi n t e n ，a l si sw h e t 1 e rk e 印u n a n i m o u sw h e nt he _ ya r en o n n a l i z e du s i n gt w o n o m l a l i z i i l gm e t h o d sa tp r e s e n tb e f o r e 觚dl a t ei ss t u d i e d ，t h e na ni i l l p o n l m c ( m c l u s i o ni so b t a j n e d k e y w o r d s ：舭皿；a b s o l u t ec o n s i s t e n c y ；s a t i s f i e dc o n s i s t e n c y ；a d j u s t ；砸o r 广西大掌硕士掌位髓叼a h p 理论中岩厅判膏电阵一膏性问噩研究 第一章绪论 层次分析法( t h ea n a l 蜩ch i e m r c h yp r o c e s s 简称a h p ) 是由美国运筹学家，匹兹堡 大学萨迪( t l s a a 哆) 教授于七十年代初期提出，是将定性与定量相结合，将人的主观判 断用数量形式表达和处理的一种实用有效的多准则决策方法，改变了长期以来决策者与 决策分析者之间难于沟通的局面，在大部分情况下，决策者可直接使用a h p 法进行决 策，大大提高了决策的有效性、可靠性和可行性，已成功运用在经济、军事、政治等领 域的系统分析和战略研究中。从本质上讲a h p 是一种思维方式，即把复杂的问题分解 成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构，通过两两比较的方 式确定层次中各因素的相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性 的总的排序，这整个过程体现了人的决策思维基本特征，即分解，判断综合。 利用a h p 理论进行决策必须得借用两两比较判断矩阵进行分析，判断矩阵的合理 与否对决策结果将产生直接的影响，而衡量判断矩阵是否合理的一个重要依据就是判断 矩阵是否一致或是否满意一致，在对实际问题进行决策判断时，决策者所构造的判断矩 阵往往并不是完全一致的，这主要有两方面原因：其一是由于人在信息、知识、能力等方 面的有限性及不确定性因素，人们对事物的主观评价同事物本身之间存在一定的偏差。 很多学者曾经从不同方面研究过刺激与反应的问题，认为这种偏差是客观存在的；其二 是由于标度的选取、标度的非连续性等，决策者进行比较判断时不能作出更详细的区分， 因此决策者的最终判断只能是一个主观感觉到的优先级的一个近似值。 由于所构造的判断矩阵的一致性对应着人的思维的一致性，因此一致性问题的研究 实际上讨论人在决策过程中如何保持对众多事物的逻辑上序的传递性( 序数传递性) ，它 指如果优于口，口优于c ，那么_ 必须优于c ；逻辑上重要性程度的传递性( 基数传递 性) ，它指如果彳优于且3 倍，口优于c 2 倍，那么4 必须优于c 6 倍。当决策者所构造的 判断矩阵具有完全一致性时，对大多数排序方法而言所得方案排序向量及排序是一致 的，这将不会影响排序结果；但当由于上述客观原因或非客观原因所构造的判断矩阵不 具有一致性时，采用不同的方法往往得到不同的排序向量，甚至不同的排序，这就影响 到对决策结果的客观评价，因此本文将对一致性问题进行深入研究，研究判断矩阵的满 意一致性、致性检验及把不具有满意一致判断矩阵如何调整为满意一致性判断矩阵等 问题。 1 1a h p 中一致性研究现状 1 1 1 基于传统a h p 的一致性研究 传统a h p 是a 肿理论中发展最完善的一个分支，关于一致性检验与修正方面有大 量的研究成果，一致性检验方面的成果【1 ，7 ，8 ，1 1 ，1 9 】；一致性修正方面的成果大致 可分三类：机械修正方法 4 ，7 ，1 2 - 1 4 ，1 8 ，2 7 】，列修正方法 1 5 l 刀，全局修正方法【9 ， 1 广西大掌q n b 掌位饨文a h p 葺e 论中关于判膏 矩仁一致性问题研究 2 2 2 6 1 等，这些成果为a h p 的发展打下坚实的理论基础。 传统a l 世理论在发展及其实际运用过程中也存在一些不足，如传统a h p 中由于标 度不足以反映现实事物的复杂性及模糊性，标度本身制约判断矩阵一致性；满意致性 指标不合理，对低阶判断矩阵过松，对高阶判断矩阵过严；依据满意一致性指标进行检 验所需计算量大，一致性检验困难等等。由于传统a h p 理论是拓广a h p 的基础，对其 进行完善也具有实际意义及研究价值。 1 1 2 基于模糊互补判断矩阵的f a 且p 的一致性研究 人们转向对模糊a h p 进行研究，包括基于模糊数f a h p ，基于模糊互补判断矩阵 队h p 的研究。无论在理论研究上还是在实际运用中，模糊a h p 显现出巨大的活力。国 内学者杜栋，姚敏自提出基于模糊互补判断矩阵的队h p 以来，基于模糊互补判断矩阵 的f a h p 的一致性理论研究引起了许多学者的关注。关于其一致性定义目前有两种2 8 ， 2 9 】：加性一致性与乘性一致性；满意一致性指标的建立目前也有两种，如文献 3 4 】将图论 知识运用于决策分析之中，利用构造的可达矩阵来调整模糊互补判断矩阵的一致性；文 献 3 9 】仿照传统a m 建立了一个基于模糊互补判断矩阵的f a h p 的满意一致性数量指 标。文献【3 5 3 7 ，4 2 给出了不同的一致性调整方法。 由于在满意一致性指标的确立上都有各自的缺陷且关于判断矩阵一致性检验与调 整方法目前也不是很多，对其一致性进行研究具有重要价值。 i 1 3 基于模糊数判断矩阵f a l i p 的一致性研究 由于a h p 所处理的大多是复杂的社会经济决策问题，问题的复杂性与不确定性往 往会使判断难以确定，因此产生了用区间判断而不是数值点来表达比较结果，相应地产 生了基于区间数判断矩阵的f a h p 决策方法。这种决策方法与前两种相比更具有实际意 义，且能给决策者以更大的思维空间。目前基于区间数判断矩阵f a h p 的理论研究尚且 不多，关于其一致性理论的研究就更少。如区间判断最早提出【4 4 ，4 5 】是作为模糊或不 确定a h p 进行讨论的；文【4 6 】提出区间判断概念并假设判断值是区间上的随机变量用模 拟方法求出权重向量各分量的分布，由于计算复杂，难以在实际中广泛运用；【4 8 】利用 凸锥模型从几何上对点判断和区间判断给出统一的解释并给出区间判断的局部权重计 算，但该方法对高阶区间判断矩阵一致性检验及区间权重计算同样不方便和计算量大， 因此基于模糊数判断矩阵f a h p 的一致性的理论有更大的研究空间，但同时也面临许多 新的难点，如区间数判断矩阵的一致性定义，区间数的规范化方法，方案排序方法等还 没有一种可以绝对优于另一种的，但这又都会影响到一致性及其调整问题。对这各方面 进行探索性研究都是十分有必要的。 2 广西大掌顼士学位论文 l i p 理论中关于判断矩阵一致性问题研究 1 2 本文针对a h p 的一致性的研究工作概要 针对a h p 中的一致性问题本文作了如下研究工作： ( 1 ) 总结了传统a h p 在一致性检验及修正方面的成果，并在第2 2 节提出了一种简 洁的一致性判断方法及修正方法。 ( 2 ) 对基于模糊互补判断矩阵f a h p 的一致性进行研究，总结了前人研究成果，并 在第3 2 ，3 3 节提出新的修正方法。 ( 3 ) 对基于区间数型互反判断矩阵f a h p 的一致性进行研究，提出了比较简洁的 一致性定义及满意一致性定义，并在第4 2 节提出了一种基于区间数互反判断矩阵的方 案排序方法。 ( 4 ) 在4 3 节提出了一种基于互反区间数判断矩阵的一致性检验及修正方法。 f 5 ) 在4 4 对在目前区间数组规范化方法下，对区间数组进行规范化| j 后信息是否 保持一致进行了研究，得出一个重要结论。 3 广霄大掣啊疆士学位说吁 a j p 罩e 论中簧于判昕矩辟：一致妇- j 匈噩研究 第二章传统a h p 的一致性 传统a i 辔的一致性f 萄题即t l s 翩1 ) ，提出的建立在1 9 标度系统上，基于正互反判 断矩阵的一致性当决策者所构造的判断矩阵具有完全一致性时，用特征值法f e m l 、对 数最小二乘法( l l s m ) 、最小平方法( l m ) 等，得到的方案排序完全相同，但当判断矩阵 不具有完全一致性时，采用不同的方法往往得到不同的排序向量，甚至不同的排序，这 对决策结果将产生重要影响，因此对一致性的研究显得非常重要。自t l sa a _ 【y 提出a h p 理论以来，对一致性闯题的研究就没停止过，包括满意一致性、一致性检验及调整等问 题。传统a h p 的一致性问题的研究己相当成熟，已经丰富的研究成果【3 2 8 】，本文总结 了前人的研究成果继而提出了一个简便的判断矩阵一致性检验及修正方法。 2 i 传统a h p 一致性已有的定义、性质及修正方法 2 1 1 传统a h p 的一致性定义及其性质 定义2 1 设判断矩阵a = ( 勺) 。，e n = “2 ，神，若有呀= 圭，呀o ，则称= ( k 。为 正互反判断矩阵。 定义2 2 1 l 对于正互反判断矩阵；( 吻k 。，若满足勺啊= 吼，v t e n ，则称= ( h 。 为一致性判断矩阵。 定义2 3 【1 】一致性指标c ；爿：墨；。 若正互反判断矩阵= ( k 为一致性判断矩阵，则除了满足定义l ，定义2 之外还满足： 性质1 1 ( 1 ) 若4 一致则，也一致；( 2 ) 一的每一行均为任意指定的另一行的正数倍， 从而r ( ) 。l ；( 3 ) 一的最大特征根k = 一，其余特征根皆为零；( 4 ) 若彳的属于k 的特征 向量为w ；( 叶，屹，) t ，则有唧= 詈，乩2 ，n ；( 5 ) 当a 为正互反判断矩阵时，它的归一 化的右主特征向量w = ( m ，屹，h ) t 就是排序权向量。 定理2 1 正互反判断矩阵：h 。为一致性矩阵的充分必要条件是：最大特征值 五m = 。 若把卢：三兰丑看成是4 偏离一致性程度的一个衡量指标，并可由兰4 ：k + 兰五：一，得 j = 2l - -，1 2 到一；墨，显然一与扰动矩阵；嘞) 有关，下面定理给出它们之间的关系 定理2 2 【”若正互反矩阵一= 嘞) 删的元素吩= 朝勺，u 吐2 棚其中w = ( m ，屹。) t 为一 4 广西大摩嗵士掌位诫叼a h p 理论中爿世产判断矩阵一矗性问题研究 的右主特征向量，那么p l + z 三i 锄+ 土) 。 月妒一”1 9 j 如5 羔1 名得缆j 鞠萨盼二致性检验及修正的基本方法 2 1 判断矩阵的一致性检验方法 2 1 1 一致性比例检验法【1 1 s a a ：t 、，提出用平均随机一致性指标肚修正一致性指标c 上的方法这一指标能较全面 地克服了由判断矩阵的阶数与1 9 两两比例标度下影响，该检验方法在a h p 中被普遍 接受s a a t y 又建议用一致性比例c 见= 等作为一致性检验的指标，并认为当c 尼c o 1 时判 f 断矩阵具有可接受的一致性，否则判断矩阵偏离一致性程度过大，需进行修正，以便趋 于一致，得到合乎逻辑的排序。 2 1 2 次序一致性检验法1 8 j 保持判断矩阵的次序一致性是保持判断者思维符合不矛盾律的起码要求，违反次序 一致性的判断，应提请判断者重新考虑次序一致性的含义：若元素甲比乙重要，乙比丙 重要，则甲比丙重要。 在1 9 比例标度下，判断矩阵_ 满足次序一致性可表述为：对任意的l 女= l 2 ，一 嘞l 咏1 ) v ( 勺l 啦d 呻咏 l 甄( 吩s l 即d v 嘞 1 和s d 呻l 或( 呵。1 ) ( 吩= 1 ) 一= l 2 1 3 统计检验法【l 】 定理2 3 假定毛是在一1 ) 上服从正态分布的独立的随机变量，则咖一l 加近似服从， 分布。 由于人的比较判断有主观上的一致性趋势，毛相对集中于。附近，s a a t y 近一步假定 霹( 0 一2 ) ( 建议a 2 = i ，2 ) ，一致性检验可归结为检验假设 h o = ，；统计量：，：掣 的自由度咖一1 ) ，2 ，这里一2 = l ，2 ，在一定置信水平a 上通过查z 2 的临界值厶，则的临界 值催= 五击面旆2 五壶面砧。当置信水平为9 0 时，得到一的临界值，修正了s a a 锣的对 阶数大的矩阵偏严的现象。( 注：建立不同的统计量得出不同的统计检验方法，如【7 ，1 1 ， 1 9 】) 2 2 不一致判断矩阵的修正方法 修正的主要思路是：首先给出诱导矩阵的定义，然后给出诱导矩阵与原判断矩阵的关 系( 如：偏差) ，最后给出将原判断矩阵改进成满意一致矩阵的简洁，实用的迭代算法 2 2 1 判断矩阵逐个元素修正法 4 ，7 ，1 2 1 4 ，1 8 ，2 7 】( 机械修正方法) 。 该法具有直观，易于决策者进行交互，修正中能保留较多的原判断矩阵的信息等优点， 但校正速度较慢下面以文 刀中的修正方法为例介绍说明，。 5 广西大学嘎士掌位诗丈a h p 理论中关于判膏 矩# 一致性问题研究 盛茹。定义2 4 川称矩阵c ；嘞k 。为判断矩阵4 的诱导矩阵，其中勺2 苦，= 南女” v 定理2 4 阴判断矩阵为完全一致性矩阵的充要条件是c 中元素全部为l ， f 1 1 1 1 c ；? ：| ii j 判断矩阵一致性修正方法： s t e p l ：计算的各列归一化向量，j e n 及和积法求得的排序向量5 s t e p 2 ：求出诱导矩阵c = ( 勺) 。； s 卸3 ：找出使b l l ( v j eq ) 达到最大的下标记为t 。，； s t e p 4 ：若，l ，则若嘞为整数，令0 = 一l ，否则令0 。l ，( 1 7 铀+ i ) ；若i ，则若嘞为 整数，令嘞= 嘞+ l ，否则令嘞= l “1 7 鳓一i ) ；s t e p 5 ：令唧。= 唧，j e o 且“t ，； s 卸6 ：若；h t 。具有满意的一致性，则停止，4 即为所求得的具有满意一致性的判断 矩阵；否则用彳代替爿转1 。 2 2 2 判断矩阵逐行元素修正方法【1 5 1 7 】 该修正方法较机械修正法效率高，易于在计算机上实现，并且文【2 0 】中证明了算法 的良好收敛性，避免了修正的盲目性。 引理2 1 ”1 判断矩阵a = h ) 是一致的充要条件是其任意两列对应元素成比例 由引理知当a 为一致时a 的特征向量国及矩阵五中的列向量嘶t ：l 如。) 完全相同，夹角 余弦值为l ；反之不为1 若掰与q d = 1 ，2 ，力的夹角余弦越小，则它们的偏差越大。 以s a a t y 定义的一致性比例c r 为依据，c 且o 1 时一致性较差，修正使e 尼s n l 用迭代算法对原判断矩阵进行修正： s t 印l 给定一个原判断矩阵a ( o ) = ( o ) ，2 e ( o l x c = o 1 置t = o 。 s t 印2求( ) 的特征值 。耻) 及相应的特征向量) = ( n 妒) ，啦“，硝) t a s t 印3 计算一致性指标c = ! m 等等兰及一致性比例c 尼= 嚣 h it “ s t e p 4 若c 尼t c r 转s t e p 7 ；否则，进行下一步。 s t 印5 把( ”的各列归一化处理，得归一化矩阵孑“= ( q ( “，a ，q 一) ，( i = l 如一) 6 广西大摩顾士掌位论文a h p 理论中关于判断矩阵一致性问题研究 是刁”中的列向量，计算) 与) 之间的夹角余弦一只2 节筹危寄， 确定r 使得c 。s 砟= m i n c 。s e 令) = ( “) 其中嘞“”可按下面两种方法求解： 加权几何平均 d ，( = 俐( 耕扩， ( 硝叫豺，砌麟枰均+ ”= ( “ 其它 耐i ) + ”舢拳小r l 确 呀( n ，其它 s t c 】p 6 令七= 后+ l 转s t 印2 。 s t 印7 输出a ( “，丑。，c 兄，) 则一( 。) 就是所修正的矩阵，) 是其特征向量。 s t 印8 结束。 2 2 3 判断矩阵全局修正法【9 ，2 2 - 2 6 】 该修正方法对原判断矩阵进行全面修正，修正速度快，但没与决策者进行交互， 所包含的判断信息丢失较多。下面以文 2 4 】中的修正方法介绍说明。 若判断矩阵一致，则它的任一行( 列) 均可作为它的排序，即可由任一列( 行) 生 成；若它不一致则可由判断矩阵4 = k 。的每一行按一致性可生成n 个与原判断矩阵近 似的矩阵，再从这个矩阵中挑选出一个与原判断矩阵最贴近的一致矩阵，即可对原判断 矩阵修正。专家判断矩阵为= 白) 。，由第i 行生成的矩阵为4 = ( o ) 。；( 锄，) 。其中 痨示矩阵丑是以原判断矩阵中第f 行数据为基础构造得来的。 定义2 5 令墨；量墨一o o ) 2 ，：l 一墨，兰丘，岛e 【o ，1 】，称t 为4 与的贴近程度。 ，i l i j j = 】 令七j = 一 岛 ，则a ，即为所求，记为，；由与= h 乙构造新的矩阵j = r l 。其 中嘞= ( 1 一f ) + 磁，l s f c j 彬e 【0 l 】，f 取不同的值反应了提取不同的信息量和不同的一致 性程度，一般取r = l 3 。若r = l 3 时，j = 国) 通过一致性检验，则可用于决策，否则需 反馈给专家确认和调整，仍以s a a t y 的c r t o 1 为标准。 2 2 1 基本结论 2 2 一种简便的一致性研究方法 7 广西大掌硕士掣啦论文a h p 理论中关于判薪矩# 一致性问题研究 由正互反判断矩阵的特点并结合判断矩阵一致性定义，我们给出以约束等式的形式 进行判别矩阵是否为一致性判断矩阵的方法。 引理2 2 对于三阶正互反判断矩阵“= ( ) 。为一致性矩阵的充分必要条件是当且仅 当等式q 2 d 2 3 = q 3 成立。 引理2 3 对于四阶正互反判断矩阵为一致性判断矩阵的充分必要条件是当且仅当 下面三个等式同时成立：a 1 2 4 2 3 ；q 3 ，q 2 啊= 唧4 ，q 3 啊= q 4 。 定理2 5 对任意”阶正互反判断矩阵j = “k ( n 鹦) 为一致性判断矩阵的充分必要条 件是当且仅当有堕掣个等式同时成立：q = 鲰其中下标f = l l c ，c s 一。 证明：略例：判断三阶正互反判断矩阵的一致性只需验证等式q ：叼；q ，是否成立即可，对 于四阶正互反判断矩阵只需验证q 2 叼= q 3 ，啦2 翰= 啦4 ，q 3 啊= q 4 是否成立即可) 口 定理2 6 对于。阶一致性正互反判断矩阵_ ：( 唧k 。，由上述堕掣个约束等式构 成的方程组出；o ，其中，；“2 ，而”，恐”，锄，抽，) t ，则矩阵口的秩，( 且) = 垒二兰；旦业。 证明：将定理2 5 中尘掣个乘积约束等式经过转换：v j = k2 ，一，令唧乩勺，可得如下 鱼二! ；兰尘个加法线性约束等式： 1 2 + 也3 2 而3 ，而2 + 恕互曩n ，而3 + 却4 = 而4 ，1 3 + 为h 5 而，而( n d + 气n 一1 m = 1 h 可写成线性方程组出= o ，其中x = “2 ，川”，功，锄，靠) t o l o = ( 岛岛) 其中岛为矩阵口的前扣一1 ) 列元素，岛为矩阵日的后生兰笋生列元素并且岛对角线上的元 素全为1 而其它元素为零，故判断矩阵口的秩，( 口) = 竺兰笋 。 2 2 2 不一致性判断矩阵的修正 当判断矩阵不一致时，需对其进行调整，但在判断矩阵元素调整过程中我们应遵从 尽量保留较多的原专家判断信息，使调整幅度较小的原则。由前面分析可知，对于n 阶 判断矩阵4 = ( 唧) 打。其一致性由堕二! ；业个约束等式确定，此时在约束等式中第一行中元 8 o o；1 0 o o l o o 0 o ；o o o l o o o o o i l ；o 广西大掣啊粘掌位论文a h p 理论中关于判断矩e 一藏佳问题研究 素d l ，( 1 c ，n ) 出现的次数为一一2 次，第t ( 2 t s n 一1 ) 行中元素出现的次数均为1 次，且随 着矩阵阶数的增大，第一行中元素出现的次数也逐渐增多，而第t ( 2 t 一一1 ) 行中元素 出现的次数不变( 1 次) ，放当某一个约束等式不成立时，我们应调整非第一行中的元素。 例l 设有三阶判断矩阵 = 2 5 因为d l ：啦，= 2 3 = 6 t q ，所以 不具有完全一致性，调整元素啦，使a 玉= ；，蠢：= ；，则 修正后的判断矩阵具有完全一致性。当然也可修正q ：或q ，如果与专家之间进行交互， 则可确定唯一的修正方案。 例2 设有四阶判断矩阵也= 因为唧2 叼。i 3 6 ：舶，q 2 呦= l ，3 3 = q 4 ，而q ，嘞；2 2 砷4 所以该判断矩阵不具有完全 一致性。为使修正幅度较小，我们可以调整元素蛳，令也= l ，2 ，如= 2 替换原来的相应元 素，则约束等式全部满足，故调整后的判断矩阵为完全一致矩阵。 2 3 本章小结 传统a h p 的在标度、一致性、排序、保序及群组方面的研究已经相当成熟，由于 利用a h p 进行决策简便易行，易于被决策者与决策分析者接受，其运用越来越广泛， 但在其运用过程中也发现传统a h p 有不足之处，文【5 - 6 ，1 1 】指出：( 1 ) 在1 9 标度下构造 的判断矩阵与人的思维有一定差距。( 2 ) 判断矩阵的一致性检验很困难。检验判断矩阵是 否具有一致性需求判断矩阵的最大特征根 。，依据检验的充分必要条件 一= 一判断其 是否具有一致性。而当矩阵阶数n 较高时，计算最大特征根厶。的工作量将是非常大。 d ) 当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性，这不排除要 经过若干次检验与调整的过程才能使判断矩阵具有一致性。( 4 ) 检验判断矩阵是否具有满 意一致性的标准c 胄 o ，则令矗= 砌一上以；m + o ；若 o ，则令五= 船+ ，五= m 一2 s t e p 6 令矗；岛，v j 且t ，r ；并将矩阵，= ( 五) 。记为p ，转s t 印l 。 s t e p 7 结束。 3 1 3 基于模糊加性一致性互补判断矩阵的调整 方法l 唧 定理3 1 5 【3 7 l 对于模糊判断矩阵尸= 嘞k ，若施之如下数学变换勺= q 5 + 三( 墨甩一量即) ， 埘闰柚 则由此构造的判断矩阵r = ( 嘞) 。具有完全一致性。 为进行一致性调整，我们构造如下调和矩阵 声= ( i 一，) j p + 埔，其中f e 【o ，l 】，岛= ( 1 一f 冯+ 吩 ( 3 1 4 ) 关于判断矩阵，；( h ) 。的一致性调整可按如下步骤进行 s t e p l 根据定理3 1 5 及式( 3 1 4 ) 构造具有完全一致性的矩阵r = ( 嘶) 。和调和矩阵户。 s t 印2 取f = o 。 s t 印3 求出矩阵p 的可达矩阵r ，由定理3 4 ，若户具有满意一致性，转s t c p 5 ；否则 进行下一步 s t e p 4 令f = ，+ 血( 为迭代步长，o a f o ，则适当减小内，令五；鼬一卢，同时相应增大几，令五= 儿+ ，( o c l 为 调整量) ；若如t o ，则适当增大儿，令疋= 妇+ ，同时相应减小如，令矗：如一声；其 它元素保持不变，记调整后的判断矩阵为p f = ( 五k 。转s t e p 2 。 s t e | p 6 结束。 3 2 基于模糊互补判断矩阵的一致性检验及修正新方法( i ) 模糊判断矩阵的一致性可分为加性致性与乘性一致性，而事实上当模糊判断矩阵 采用o 1 0 9 九标度时，判断矩阵是很难满足乘性一致性的并且检验是否满足乘性一致 性也很困难，与乘性一致性相比，决策者使用加性一致性或满意加性一致性判断矩阵进 行决策更为方便，并且一致性检验及调整也直观、简单。下面我们将重点讨论基于模糊 互补判断矩阵的一致性检验、一致性修正等问题。 3 2 1 基本原理 定义3 5 对模糊互补判断矩阵足，作矩阵f = 蝣k ，莓= a 心一心) + 晒，其中a 掣， 广西大掣啁爵士掌位说恢a h p 理论中爿于判断甍阵一膏【性问题研究 i i ：! + ! 量，经简化得彳- 0 5 + ；( 兰一量伽) ，称；( 瞄) 。为r 的特征矩阵。 hmm h 。 l = 1i ；1 。 仿照文【3 8 j 我们给出露与特征矩阵，的褶容性指标： 定义3 6 称a ( r 而= 专4 冠f ) 其中4 见f ) = 忙一f 卜兰墨h 一哼l ，为r 与f 的相容性指标。 在实际运用层次分析法进行决策时，专家所构造的判断矩阵往往不具有一致性，为充分 利用原专家判断信息及使判断矩阵向一致性逼近，利用几何平均法构造矩阵膏= ) 。作 为原判断矩阵的修正矩阵，其中， 弓= ，i ；1 一却彳且，1 7 j 一 o 五l ( 3 2 7 ) 【o 。i 一勺 性质1 按( 3 2 7 ) 式定义的豆= 瓴) 。为模糊互补判断矩阵，且当尺= ( 白) 。为模糊一 致判断矩阵时，豆= r 。 定理3 1 7 若r = ( 嘞) 。为完全一致性矩阵，则月必具有满意一致性。 性质2 设有判断矩阵r 及其特征矩阵f ，若v ，有喀o 5 同时有，i o 5 ，或o 5 同时有勺o 5 ，则屁与f 具有偏序一致性，也即具有满意一致性 定理3 1 8 当原判断矩阵r 不具有满意一致性时，按( 3 2 7 ) 式对其进行修正( 以五为变 动参数，使其逐步增大) ，一定可得到一满意一致性矩阵蠢。 证明设原断矩阵r = ( 勺k 。不具有满意一致性，相应的特征矩阵为矿= ( # ) 。，由( 1 ) 式可 知仅对r 和f 的上三角元素进行讨论即可。 若吩o 5 ，i o 5 则对v o o ，函数厂( 勺) 严格单调递增且，( o ) 2 - 0 5 0 5 。 若吩，嗡彳c n 5 时可作类似分析，解得力仍为而礼警，h 詈，且当乃s 五s l 时，有 厂( z ) o ，即弓= 嘭1 - ”“o 5 。 若记h = j ) i 勺o 5 ， o 5 或勺o 5 ， o 5 ，凡= m “娲，“，) h ，当a 2 凡时，可使 调整矩阵豆与f 的偏序达到一致，即调整矩阵豆具有满意一致性。所以对不具有满意一 致性判断矩阵r 按此方法进行修正，一定能使其达到满意一致性。 推论3 1 记o m m i l l ，l 一知 ，若a = 南时修正矩阵豆具有满意一致性，则当 a = 知+ m 时豆仍具有满意一致性 在进行决策判断时，专家思维有时并不能保持一致，因此构造的两两比较判断矩阵 不具有次序一致性，按上述方法进行调整并能使其达到满意一致性，但如果专家想进一 步使修正矩阵一致性程度更好，我们能得到如下定理： 定理3 1 9 当a 逐步增大时，修正矩阵豆逐步向f 逼近，再与f 的相容度逐步减小， 并可达到任意给定的精度。 证明设当五由五= 五到a = - + m 时，修正矩阵由夏= ( i k 。变为露= ( 亏) 。，由于v ，q ， 同一弓j = j ，；i 矗2 ) 一哆f _ 。陟。一h 1 ( 3 2 1 ) 与 局一带| - l ，； l 一。一“) f + “) 一口l - 。+ p 一“) 一“。“1 ( 3 2 2 ) 而当吩s 弓，则有弓“) s 一r ) ，毋一，叫5 一- 一) ，所以( 3 2 1 ) 式可化为砖一哼i - 哼一哆。秽一，) ， ( s 2 2 ) 式可化为j 亏一舌b 一彳圳圳，而器2 “所啡卅书吲， 进而兰珠一非量如一i l 。 户l ，= i 。 i = l j = 1 同理，当瞄) 石，有曼兰恳一右1 5 量至k c l ，由上分析可知，当a 增大时置比豆更接 同理，当勺) 彳，有同一彳1 5 阿一弓l ，由上分析可知，当a 增大时r 比r 更接 l = i ，= l i = l 户1 1 7 广西大掌硕士掌位论文a h p 理论中关于判断矩阵一致性问题研究 近于一致性矩阵f ，当 增大至l 时烈豆矿) = o 。 依据上述分析，设计如下算法： 3 2 2 算法设计 设专家给定相容度p = f ，忙，o ) 。 s t 印1 给定判断矩阵r ，求出r 的特征矩阵，置五= 如，( 如取法同定理3 1 8 ) 。 s t c l ) 2 若a = 如时，户( ( r ，矿) c s 停止，否则，进行下一步。 s t e p 3 令a = 且+ 兄，m 为迭代步长o 兄 m m ，l 一南 ，一般可取 = o 0 5 ，转s t e p 2 。 s t e p 4 结束。 例l 口7 1 ，设决策者针对方案集j = 伪，恐，码，心 提供的模糊判断矩阵为：r = l 嚣麓：引 f 0 5 o 1o 6o 7 、 1 0 3 0 6o 10 5j 由定理3 4 知r 不具有满意一致性，故需对其进行修正，计算其特征矩阵r 为 阶们龇陆雕雾鋈卧驯度 p 匾r ) = o 0 3 “c o 1 ，已满足专家要求，不需再进行迭代计算。 下面按文【3 3 】的权重计算公式取。= 1 5 ，分别计算上述由满意一致性判断矩阵豆及文 【3 5 】中满意一致性判断矩阵导出的排序向量，有 w = ( 0 2 2 8 6 ，o - 3 4 9 9 ，o 2 4 9 5 ，o 1 7 2 0 ) t ， 0 = ( o 2 3 7 5 o 3 2 5 0 ，o 2 5 ，o 1 8 7 5 ) t 两者排序相同，都为砭卜码卜q 卜托。 3 3 基于模糊互补判断矩阵的一致性检验及修正新方法( ) 本节提出了在判断矩阵的修正过程中既要保持序的传递性又要保持偏差程度的可 接受性，进一步提出了一致性的改进方法。 3 3 1 基本定义及结论 l s n n 0 q 如蝴嗍哪如蛐耋| 嗍啷耋|淼蕊 m r 广西大掌硕士学位饨文a h p 毫论中号 于判昕矩阵一砑：性问题研究 定义3 7 模糊互补判断矩阵异= ) 舢称为是严格序传递的，计乩2 一，若，；，n 5 ，有 2 伽；若勺= o 5 有2 取或伽；若勺o 5 ，有5 伽即任意两行中对应元素之差恒o 或恒“s o ”。 定义3 8 若r = “k 判断矩阵达到文 3 4 】中所定义的满意一致性，则称判断矩阵为弱 序传递的，即若判断矩阵的可达矩阵对角线上的元素全为零，则称判断矩阵露是弱序传 递的 引理3 3 若判断矩阵为严格序传递的，则一定为弱序传递的；反之不真。 实际运用中专家所构造的判断矩阵一般很难达到严格序传递或弱序传递的，并且也没必 要一定要把判断矩阵修正成严格序传递的，但我们要求修正后的判断矩阵为弱序传递的 是合理的。 定义3 9 若模糊互补判断矩阵月= 嘞k 是弱序传递的且与其特征矩阵矿= ( 弓x 。的相容 性指标“冠f ) to 1 时，则称且；( 白) 。是满意一致矩阵。 定理3 2 0 若模糊互补判断矩阵r = ( 白) 。具有完全一致性，则它是满意一致矩阵。 证明若判断矩阵r 是完全一致的，则任意两行对应元素之差相等，故为严格序传递矩 阵；又置