（应用数学专业论文）基于广义置换循环矩阵的理论探究.pdf

西华大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：织磊 日期： 冲1z ， 指导教师签名： 日期 幻永膨 | 扫1 暑 西华大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于西华大学，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，西 华大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 学位论文作者签名：秘磊 日期：仲胆一 指导教师签名：彳- 叁。膨j b 期 ， 叫乙j 笤 西华大学硕士学位论文 摘要 特殊循环矩阵类的研究是矩阵理论的重要组成部分，且日益成为应用数学领域中一 个非常活跃和重要的研究方向。由于这类矩阵有许多良好的性质和结构，很有必要对其 进行推广。文章在前人对置换因子循环矩阵的研究基础上，将其进一步推广，并探讨其 特殊性质和有关算法。主要研究内容如下： 1 、针对正交表和置换群中的置换矩阵问题，提出了，一置换矩阵和块置换矩阵的概 念，研究了其性质，并且给出这类矩阵逆的求法以及利用h a d a m a r d 积得出确定一个方 阵为，一置换矩阵的充要条件。 2 、给出了厂一置换因子循环矩阵的概念，并研究了它的性质。第一，得到这类矩阵 可逆和广义逆的判定条件，逆矩阵以及广义逆矩阵仍是r 一置换因子循环矩阵，给出了 逆矩阵以及广义逆矩阵的算法。第二，得到以这类矩阵为系数矩阵的线性方程组a x = b 有解的判定条件和快速算法。当，一置换因子循环矩阵非奇异时，该快速算法求出线性 方程组的唯一解；当，一置换因子循环矩阵奇异时，该快速算法求出线性方程组的特解 与通解。 3 、提出了块置换因子循环矩阵的概念，并利用k r o n e c k e r 积和分块多项式定理研究 这类矩阵的性质，给出了其行列式的计算方法和可逆的充要条件。当这类矩阵可逆时， 它还可以快速地求出其逆阵和以这类矩阵为系数矩阵的线性方程组的唯一解。而且这种 计算在实数域上是精确的，很容易在计算机上实现。它对于研究这类形式的块状线性方 程组有重要的理论意义。 关键词：，一置换矩阵；块置换；，一置换因子循环矩阵；块置换因子循环矩阵；逆 矩阵；广义逆矩阵；线性方程组 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 a b s t r a c t s p e c i a l m a t r i xt y p eo fr e s e a r c hi sa ni m p o r t a n tp a r to fm a t r i xt h e o r y , a n da p p l i e d m a t h e m a t i c si si n c r e a s i n g l yb e c o m i n gav e r ya c t i v ea n di m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n s i n c e s u c hm a t r i xt h e r ei l z em a n yg o o dn a t u r ea n ds t u e t t t r e , i ti sn e c e s s a r yt op r o m o t ei t s 1 1 1 e a r t i c l ei nt h e p r e v i o u sc y c l eo ft h ep e r m u t a t i o nm a t r i xo ff a c t o r s ，b a s e do ni t sf u l t l i c r p r o m o t i o n , a n dt oe x p l o r et h es p e c i a ln a t t t r eo f t h ea l g o r i t h m ? m a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n g ： l ，皿ec o n c e p to fr - p e r m u t a t i o nm a t r i xa n db l o c kr e p l a c e m e n tm a t r i xa r ep r o p o s e di n c o n n e c t i o nw i t ht h ep r o b l e mo fp e r m u t a t i o nm a t r i c e si no r t h o g o n a la n dp e r m u t a t i o ng r o u p a n di t sc h a r a c t e r sa r es t u d i e d m o r e o v e r ，t h ea l g o r i t h mo fs u e l ai n v e r s el l l a l l j xa n dt h e n e c e s s a r ya n ds u 佑e i e n tc o n d i t i o n so fd e t e r m i n e0 1 1 es q u a r ei sr - p e r m u t a t i o nm a t r i x 眦 o b t a i n e dl 玛eo f h a d a m a r dp r o d u e t a l lt h e s e 剐ee x t r e m e l yi m p o r t a n tf o ro u i r e s e a r c ha n d e x t e n s i o np e r m u t a t i o nm a l l i x 2 厂一p e r m u t a t i o nf a c t o re i r e u l a n tm a t r i xi sd e f i n e da n di t sn a t u r e 扣- cs t u d i e d f i r s t , t h e d e t e r m i n e dc o n d i t i o n so ft h ei n v e r s ea n dg e n e r a l i z e di n v e r s eo f 也e s em a l x i c e sh a v eb e e n f o u n d , i nw h i c hm a t r i xi n v e r s ea n dg e n e r a l i z e di n v e r s e8 1 t es t i l lt h et - - p e r m u t a t i o nf a c t o r e i r e u l a n tm a t r i c e s m o r e o v e r , t h ep a p e rh a sg a v e nt h ea l g o r i t h mo ft h ei n v e r s ea n dg e n e r a l i z e d i n v e r s eo fm a l r i x 。s e c o n d , af a s ta l g o r i t h mf o rc o n d i t i o n so fs o l u t i o na n ds o l u t i o no f r p e r m u t a t i o n f a e t o re i r c u l a n t m a t r i x e q u a t i o n 丘x = b a i r e p r e s e n t e d w h e n ，一p e r m u t a t i o nf a c t o re i r e u l a n tm a t r i xa r en o n s i n g u l a r ，i tc o m p u t e st h es i n g l es o l u t i o no f 厂一p e r m u t a t i o nf a c t o re i r e u l a n tm a t r i xe q u a t i o n ；w h e n ，一p e r m u t a t i o nf a c t o r e i r e u l a n t m a l r i xa l es i n g u l a r , i tc o m p u t e st h es 套e c i a ls o l u t i o na n dg e n e r a lo fr - p e r m u t a t i o nf a c t o r e i r c u l a n tm a t r i xe q u a t i o n 3 ，1 f 1 1 ep a p e rp r e s e n t sac o n c e p to ft h eb l o c kr e p l a c e m e n tf a c t o re i r e u l a n tm a t r i xa n d s t u d i 骼t h en a t u r eo ft h e s em a t r i c e su s eo fk r o n e c k e rp r o d u c ta n ds u b - b l o c km a l r i x p o l y n o m i a l 也e o r e l i l t h ee a l c u l a t i o nm e t h o do fi t sd e t e r m i n a n ta n dr e v e r s i b l en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o na r cg i 珊矾e ns u c hr n a t l j xi n v e r t i b l e , i t 啪q u i c k l yc a l c u l a t e 也e i n v e r s em a t r i xa n dt h eo n l ys o l u t i o no fl i n e a re q u a t i o n so f u s i a gi t 勰t h ec o e f f i c i e n t m o r e o v e r , t h ee a l c u l a t i o ni nt h er e a ln u m b e rf i e l di sa c c u r a t ea n di ti se a s yt oi m p l e m e n to nt h ec o m p u t e r i th a si m p o r t a n tt h e o r e t i e a ls i g n i f i c a n c ef o rs t u d yo ft h e s eb l o c kl i n e a re q u a t i o i l s k e yw o r d s ：，一p e r m u t a t i o nm a t r i x ；b l o c kr e p l a c e m e n t ；，一r e p l a c e m e n tf a c t o r c i r c u l a n tm a t r i x ；b l o c kp e r m u t a t i o nf a c t o rc i r e u l a n tm a t r i x ；i n v e r s em a t r i x ；g e n e r a l i z e d i n v e r s em a t r i x ；l i n e a re q u a t i o n s i i 西华大学硕士学位论文 目录 摘要。i a b s t r a c t ：i i 弓i言1 l 预备知识3 1 1 几种常见循环矩阵3 1 2 置换矩阵5 1 3 置换因子循环矩阵5 1 4 两个重要多项式定理6 1 5 本章小结7 2 ，一置换矩阵和块置换矩阵8 2 1 ，一置换矩阵的定义及几个简单性质8 2 2 块置换矩阵1 0 2 3 本章小结。l l 3 ，一置换因子循环矩阵1 2 3 1 定义及性质1 2 3 2 ，一置换因子循环矩阵的逆矩阵以及广义逆矩阵的算法1 5 3 2 1 理论推导。1 5 3 2 2 算法及举例17 3 3 ，一置换因子循环线性系统求解的快速算法2 l 3 3 1 理论推导2 1 3 2 2 算法及举例一2 5 3 4 本章小结2 9 4 块置换因子循环矩阵3 0 4 1定义及简单性质3 0 4 2 非奇异块置换因子循环矩阵的逆矩阵3 3 4 3 以非奇异块置换因子循环矩阵为系数矩阵的线性方程组的解3 4 4 4 本章小结3 7 5 文章结束语及未来展望3 8 参考文献3 9 附录a 文章的常用符号名称。4 3 i l i 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 二i = 二二二： 攻读硕士学位期间学术论文及科研情况4 4 致 谢4 5 西华大学硕士学位论文 引言 循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛地应用。特别 是在分子振动、信号处理、纠错码理论、编码理论、图象处理、小波变换、结构计算、 电动力学、优化设计、自回归滤波器设计、计算机时序分析、石油勘探、线性预测、误 差控制码、理论物理、固态物理、线性预测、地震物探、计量经济、工程技术、晶体结 构理论以及弹簧振动问题等领域常常要用到这类特殊矩阵。 由于循环矩阵类有许多特殊的性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计算数学的 许多领域。如控制理论、最优化、求解( 偏) 微分方程、矩阵分解、多目标决策、三次 样条插值、曲线几何设计、预条件共轭梯度法、图论、傅氏变换、逼近论、二次型化简 以及平面几何学等。而且循环矩阵类在应用方面的广泛性及迅猛发展，自从1 9 5 0 年以 来，对它的研究引起了人们的高度重视。它不仅受到代数学工作者的重视，而且也受到 了计算数学、应用数学等许多领域研究工作者的重视。 循环矩阵的概念是t m u i r 1 3 于1 8 8 5 年首先提出的，关于其初期研究成果可参阅 综述文献 2 5 。然而，在1 9 5 0 年之前，对于循环矩阵的研究并没有引起数学工作者的 足够重视。直到1 9 5 0 年至1 9 5 5 年，i j g o o d 等才分别对循环矩阵的逆 6 - 8 3 、行列式 9 以及特征值 1 0 3 进行了研究。近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域 中一个非常活跃和重要的研究方向，关于它的理论研究方面得到了飞速发展。目前由于 循环矩阵的理论还不是很完善，并且在实际生活中许多的数学模型是关于循环矩阵的， 数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着。其中循环矩阵和特殊循环矩阵的逆矩阵求法 以及线性循环系统的解是多国数学工作者研究的一个熟点。 自1 9 9 1 年起，l s t u a r t 和j r w e a v e r 提出并研究了置换因子循环矩阵的基本性质 1 1 。作为一种特殊的循环矩阵置换因子循环矩阵，也开始成为数学工作者的研究 课题。在文 1 2 一1 8 中，很多国外数学工作者分别对置换矩阵、置换因子循环矩阵、置 换群进行了研究，理论结论较细致，实用价值极高。 循环矩阵在国内也是一个很活跃的研究课题。但对于置换因子循环矩阵，近年来， 国内研究不是很多。在文献 1 9 - 2 1 中，江兆林等用初等方法对置换因子循环矩阵的逆 和广义逆进行了研究。在文 2 2 中，崔艳等用初等多项式变换法对以置换因子循环矩阵 为矩阵系数的线性方程组进了研究。对特殊循环线性系统的求解 2 2 - 2 6 ，能寻求一种 更简单的方法，更适合计算机的算法，是线性代数工作者的一个重要研究方向。因此， 对置换因子循环矩阵的推广并探讨其性质和应用显得很有必要。 全文共分为五章，主要内容： 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 第一章，预备知识。介绍一些常见的特殊循环矩阵和常用的概念及引理。 第二章，一置换矩阵和块置换矩阵。首先针对正交表和置换群中的置换矩阵问题， 提出，一置换矩阵的概念，并研究其性质，并且给出这类矩阵逆的求法以及利用 h a d a m a r d 积得出确定方阵为r 一置换矩阵的充要条件。其次提出分块置换矩阵的概念， 并研究其性质。 第三章，- 一置换因子循环矩阵。给出，一置换因子循环矩阵的概念，并研究它的性 质。首先得到这类矩阵可逆和广义逆的判定条件，发现它的逆矩阵以及广义逆矩阵仍是 ，一置换因子循环矩阵，给出逆矩阵以及广义逆矩阵的算法。其次得到以这类矩阵为系 数矩阵的线性方程组a x = b 有解的判定条件和快速算法。当，一置换因子循环矩阵非奇 异时，该快速算法求出线性方程组的唯一解；当，一置换因子循环矩阵奇异时，该快速 算法求出线性方程组的特解与通解。 第四章，块置换因子循环矩阵。提出块置换因子循环矩阵的概念，并利用k r o n e c k e r 积和分块多项式定理研究这类矩阵的性质，给出了其行列式的计算方法和可逆的充要条 件。当这类矩阵非奇异时，可快速地求出其逆阵和以这类矩阵为系数矩阵的线性方程组 的唯一解。且这种计算在实数域上是精确的，很容易在计算机上实现。它对于研究这类 形式的块状线性方程组有重要的理论意义。 第五章，文章总结及未来展望。 2 西华大学硕士学位论文 1 预备知识 1 1 几种常见循环矩阵 下面介绍几种常见循环矩阵。 定义1 1 1 【1 1称如下形式的矩阵 彳= 口l a n 一2 口4 - 1 一1a 0 口 一3 一2 口l吃一1a 0 为循环矩阵，为方便，简记为彳= c i r c ( a o ，q ，a n - 2 ，口川) 。 对循环矩阵的研究见 1 1 0 。 定义1 1 2 【2 7 1称如下形式的矩阵 a = = 口。口l a n 一2a n 一1 - a h 一1a 0 口 - 3a n - 2 一q - a 2 一一1a o 为斜循环矩阵，为方便，简记为彳= c i r cl ( ，口l 一，q - 2 ，a ) 。 对斜循环矩阵的研究见【2 1 、2 7 、2 8 。 定义1 1 3 f 2 9 1称如下形式的矩阵 a = 口。口l a n 一2a 。i 口l 呸a p ld o 口p 1d o - 3 口p 2 为向后( 对称) 循环矩阵，为方便，简记为a = r e t r o c i r c ( a o ，a i ，口柚，a n 1 ) 。 对向后( 对称) 循环矩阵的研究见 2 9 3 2 。 定义1 1 4 【3 3 1称如下形式的矩阵 彳= 口oq 口。2c i n l ，一l 口o 口p 3a n 一2 朋ir a 2 r a n ld o 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 为r - 循环矩阵，为方便，简记为a = c i r c ，( a o ，口l ，一，a n _ 2 t a ) 。 对，- 一循环矩阵的研究见 3 3 3 7 。 定义1 1 5 t 3 8 1称如下形式的矩阵 a = 口。口l a n 一2a 玎1 q 口2 a p lr a o a p ir a o r a h - 3r a h 一2 为对称，一循环矩阵，为方便，简记为a = r e t r o c i r c r ( a o ，口l ，“，a n _ 2 t a ) 。 对对称，一循环矩阵的研究见 3 8 - 4 0 1 。 定义1 1 6 t 4 1 1称如下形式的分块矩阵 a = 44 以一：4 一。 4 一。4 4 l 。4 一： 44 以一4 为块循环矩阵，为方便，简记为a = b c i r c ( a o ，4 ，4 彩a n 一。) 。其中4o = 0 ，l t - - t 以一1 ) 是 m xm 阶矩阵。 对块循环矩阵的研究见 4 1 _ 4 5 。 定义1 1 7 t 4 6 1称如下形式的分块矩阵 a = 44 4 一：以一。 44 4 一。代 以一。4 4 ，一，4 一： 为对称块循环矩阵，简记为a = r e t r o b c i r c ( a o ，4 ，以- 2 a n 1 ) 。其中4 ( i = 0 ，l t t n - 1 ) 是 m m 阶矩阵。 对块循环矩阵的研究见 4 6 - 4 8 1 。 定义1 1 8 t 4 9 1称如下形式的分块矩阵 a = = 44 4 一：以= 。 “一1 4 0 以- 3a n 一2 一鸠以一。a o 4 西华大学硕士学位论文 为，一块循环矩阵，为方便，简记为a = b c i r c r ( a o ，4 ，以珈4 一，) 。其中4 ( f = 0 ，1 ，n - 1 ) 是，z m 阶矩阵。 对，一块循环矩阵的研究见 4 9 5 0 。 定义1 1 9 t 5 1 1称如下形式的m n 分块矩阵 a = 44 4 | 一：以一， 尼厶一。4 4 一，以一： 赳戤r a n 一。4 为块因子尺一循环分块矩阵，为方便，简记为a = b c i r c r ( 4 0 ，4 ，4 印4 一。) 。 对块循环矩阵的研究见 5 1 5 5 。 定义1 1 1 0 t 5 6 1 称如下形式的矩阵 a = 44 4 4 一g + l 以一g + 2 以一g 以一2 9 + l 以一2 9 + 2 以一2 9 4 + ，4 + ：4 为块g 一循环矩阵。其中4 f ( f = o ，1 ，珂一1 ) 是m m 阶矩阵，g 为任意整数，下指标以 模刀同余，u p 如果f = ( m o d ，z ) ，则4 = 4 。简记为a = g - b c i r c ( 4 ，4 ，以) 。 对块g 一循环矩阵的研究见 5 6 、5 7 。 1 2 置换矩阵 定义1 2 1 【5 8 1 设q 。，q ：为元素个数相同的有限群，不妨记为 0 ，1 ，2 ，n 一1 ) ，若 存在一个q l 到q 2 的一对一映射厂：q l q 2 ，称如下的n x n 矩_ 阵 n - i 丁= e i ( n ) e r y ( f ) ( ，z ) ( 1 ) i = o 为置换矩阵，其中q ( ，z ) 是第f + 1 个元素为l ，其余元素为0 的n x l 向量，e t ( n ) 为岛( ，z ) 的转置向量( 江0 ，1 ，2 ，刀一1 ) 。置换矩阵是每行每列都只有一个非0 元素1 的方阵。 对置换矩阵的研究见 5 8 、5 9 。 1 3 置换因子循环矩阵 定义1 3 1 t 删称一个n 阶置换矩阵p 为基本置换因子循环矩阵，当且仅当 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 p “= 。 【1 ) 这里，l 是一个n 阶单位矩阵，n 是满足( 2 ) 的最小正整数。 显然，p 是一个正规矩阵且特征多项式和极小多项式都是x “一i 。 定义1 3 2 眇1设尸为满足( i ) 的珂阶基本置换因子循环矩阵，对于m 。中的矩阵彳如 果满足a p = p a ，则称a 为置换因子循环矩阵。本文用。表示坂中的所有置换因子 循环矩阵组成的集合。 对置换因子循环矩阵的文献研究见 1i 、1 9 、2 0 、2 2 、6 0 】 1 4 两个重要多项式定理 两个重要的多项式定理，其详细证明请读者参看文献 6 6 ，6 7 。 引理1 4 1 【6 q 设多项式矩阵( 篡经初等行变换化为 r d ( x ) “( x ) v ( x ) 、i l 0 s ( x ) f ( x ) j 则 ( ( 石) ，g ( 工) ) = d ( x ) ， 且满足 h ( x ) u ( x ) + g ( 功v ( x ) = d ( x ) 。 嗍6 2 1 设分块多项式矩阵( 篡z 户等行变换化为 f ，d ( x ) “( x ) 1 ，( x ) l 0 s ( 工) f ( 工) j 则d ( x ) 是g ( x ) 与h ( x ) 的最大右公因式，且满足 厅( z ) “( x ) + g ( 工) 1 ，( 工) = d ( x ) 。 西华大学硕士学位论文 1 5 本章小结 本章主要介绍一些常见的循环矩阵以及常用的概念和引理，为第二、三、四章作知 识预备。第一节是让读者对一些常见循环矩阵及研究情况有一个清晰的认识；第二节和 第三节是引出文章研究的主要对象置换矩阵和置换因子循环矩阵，以及目前的国内外的 研究情况；第四节是介绍两个重要的多项式定理，它们是本文研究用到的主要方法之一。 文章接下来进入第二章，首先将置换矩阵推广到r 一置换矩阵和分块矩阵的情形， 并研究其简单性质，其目的是为第三章和第四章的研究作准备条件。 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 2 ，一置换矩阵和块置换矩阵 2 1，一置换矩阵的定义及几个简单性质 在对正交表 6 3 - 6 5 和置换群d 4 - 1 7 的研究中，置换矩阵在其中扮演着重要的角色。而且 发现，在置换群中，某个元素经过置换后有时会发生变化。因此，对其研究和推广有很 大的必要。本节将置换矩阵进一步推广，提出了，一置换矩阵的概念，研究了其性质， 并且利用h a d a m a r d 积得出确定方阵为，一置换矩阵的充要条件以及这类矩阵逆矩阵的 求法。 定义2 1 1 记e = 10 o0 01 00 0o 1o 0o o ， ( 下同) ，设丁为满足定义1 2 1 的( 1 ) 式n 阶置 换矩阵，对于m 。中的矩阵z ，如果满足 z = 巨t ， ( 1 ) 则称z 为厂一置换矩阵。 为了讨论方便，这里假定r 为复数且p 0 ，本文用豫表示m 。中的所有，一置换矩 阵组成的集合。特别地，当r 为非零常数口时，这类矩阵称作厂( 口) 一置换矩阵。 通过以上定义可以看出：，一置换矩阵是每行每列都只有一个非o 元素，且这些非o 元素中只有一个是，= a ( 位于最后一行) ，其它的都是1 的矩阵。当，= 1 时，z 为初等置 换矩阵。 为了研究方便，现给出同类，一置换矩阵的概念。 定义2 1 2 对于满足定义2 1 1 中( 1 ) 式的两个，一置换矩阵么和b ，如果它们所含的 丁相同，则称彳和召为同类，一置换矩阵。 有了同类，一置换矩阵的概念，就可以很容易地来研究，一置换矩阵的关系及性质。 无特别声明，当谈两个，一置换矩阵的关系时，都是指同类，一置换矩阵。 引理2 1 1 t 5 9 1方阵丁为置换矩阵的充分必要条件是 t o t = t ，刀r = t r t = e 。 其中，o 为矩阵的h a d a m a r d 积( 下同) 。 定理2 1 1r ( a ) 一置换矩阵p 一定可逆，且逆矩阵为“a - 1 ) 一置换矩阵的转置矩阵。 8 西华大学硕士学位论文 证明 由定义2 1 1 ，设p = e 丁，由于 ( e 丁) ( e 一。丁) r = ( e 丁) r e 。t 一。= e 乞一- = e ， ( 乞一- 丁) r ( e 丁) = ( r 7 e 。t 一。) ( e 丁) = t r t = e 。 所以尸可逆，且尸= ( 乞一。丁) r 为r ( a - 1 ) 一置换矩阵的转置矩阵。证毕。 通过定理2 1 1 可以看出，给出一个任意的r 一置换矩阵，就可以很快地写出它的逆 矩阵。 定理2 1 2方阵p 为r ( 口) 一置换矩阵的充分必要条件是 po p = e o p ，p p l = e o 证明充分性设p = ( ) 脚，由于p 。p = 瓦p ，于是得到 b 。2 ，= 乞或6 ；= 口，= 0 或l 或口 甜 v 自 vv 且= a 时一定在第刀行。 再令即r = ( c j f f ) ，其中c ：6 = ( f ，j = 1 ，2 ，刀) ，由于 k = l f 1 ，f - _ ，拧， 即，= 乞：，c ：f = 口2 ，i = j = n ， 10 ，i j 这时 【b 2 + b 2 + + 6 ：= 1 ( i = 1 ，2 9 t 9 拧一1 ) ， i 1 1 i 2加 7。 i b 2 + 6 2 + + 6 2 = 口2 in l 2材 由于= 0 或1 或口，可以看出p 的前n - 1 行每行只有一个非零元素1 ，第，z 行只有 一个非零元素口，又i 歹时c f ，= o ，得出这些非零元素位于不同列，根据定义2 1 1 知， 户是r ( a ) 一置换矩阵。 必要性由定义2 1 1 ，p 为，( 口) 一置换矩阵，设 p = e a r ， 由于 e o o e n = e = e n e o ， 且由引理2 1 1 ，我们有 p 。p = ( 乞丁) 。( 瓦丁) = ( 乞。e ) ( 丁。丁) = ( e 。e ) 丁= 乞：t = e 乞，= 乞p ， 9 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 p p 7 = ( e 丁) ( e 丁) r = ( e o t ) ( t r 霹) = e o 彰= 乞：。 还可以看出，尸o p 是r ( a 2 ) 一置换矩阵，证毕。 定理2 1 2 给出了判断一个矩阵是否为，一置换矩阵的方法，对推广和继续研究置换 矩阵及其重要。 定理2 1 3 a 和b 为同类，一置换矩阵，则寺似+ b ) 也为r - w _ 换矩阵，且它与a ， 二 曰都为同类的，一置换矩阵。 根据，一置换矩阵元素的结构，这个定理的结果是显然成立的。 同样，也可以得到： 定理2 1 4设彳和b 为同类，- 一置换矩阵，则a 。b 也为与彳和b 同类，一置换矩阵。 2 2 块置换矩阵 定义2 2 1设丁为满足定义1 2 1 中( 1 ) 的n 阶置换矩阵，对于m h 中的矩阵f ，如果 满足 f = t 厶， 则称一个砌阶矩阵f 为块置换矩阵。这里，p 为矩阵的k r o n e c k e r 积( 下同) 。 容易得到，块置换矩阵f 具有以下性质： 定理2 2 1 设f 为块置换矩阵，f = 丁0 厶，则 1 ) f 是一个砌阶置换矩阵。 2 ) f ”= t “o 厶。 3 ) f 的形式特征多项式g x ”一，的特征多项式是- 1 。 证明1 ) 由于f 的各行各列都只有一个元素1 ，其余的元素都是0 ，而且它有砌行 和k n 列，所以它是一个砌阶置换矩阵。 2 ) 由k r o n e c k e r 积的性质，则 f 4 = ( 丁 厶) ”= 丁”p ”= t ”o ， 结论成立。 3 ) 由于力阶置换矩阵丁的特征多项式是，一1 ，所以结论显然成立。 定理2 2 2 设f 为块置换矩阵，f = 丁p 厶，则f t = ，一= t to 厶。 证明由于，为块置换矩阵，设f = r 圆厶，由置换矩阵的性质有 f 一：f t 。 1 0 西华大学硕士学位论文 又丁和厶都是可逆的，且丁= t t ，则由k r o n e c k e r 积的性质有 f t = ，= ( ， 厶) = 丁一1o 一= 丁t 固厶。 于是，定理得证。 定理2 2 2 给出了求分块置换矩阵的逆矩阵的一种方法，也就是说只需将块置换矩 阵f 中的置换因子丁作一次转置即可，这样大大减少了运算量。 2 3 本章小结 本章将置换矩阵进一步推广。首先从矩阵元素形式的角度介绍了厂一置换矩阵的概 念、性质、及其有关的运算。其次从量上介绍了分块置换矩阵的概念和有关性质。出于 为了与第三章和第四章的研究顺利过渡，本章没有作详细的展开，关于这部分的详细研 究，笔者将在另类文献中给出。 接下来，文章将进入主体研究部分，厂一置换因子循环矩阵和分块置换因子循环矩 阵的研究。 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 3 ，置换因子循环矩阵 3 1 定义及性质 定义3 1 1 设p 为满足定义1 3 1 中( 1 ) 式的n 阶基本置换因子循环矩阵，对于m 。中 的矩阵p 如果满足 = 10 01 0 o p， 则称p 为，一基本置换因子循环矩阵，用咫表示m 。中的所有，一基本置换因子循环矩阵 组成的集合。当r = 1 时，为一般的基本置换因子循环矩阵。 可以验证：只的特征多项式和极小多多项式都是，一，。 定义3 1 2 设p p r ，：又v i t - - m 。中的矩阵4 ，存在个多项式办( x ) = a ，x ，如果 满足 a = ( p ) = a o p o + 口l e + 口2 e 2 + + 口川e ”1 ， 则称彳为，一置换因子循环矩阵。 其中，( 口o ，口l 一，口) 是彳的第一行元素( 口f 0 ，气，口钿) 除去，因子后对应于e 的一 个重排，规定p = l ，厶为，z 阶单位矩阵，称j l z ( x ) = 口，x 为a 的伴随多项式( 下同) 。 本文用p 。表示m 。中的所有，一置换因子循环矩阵组成的集合。 定理3 1 1 e “= 以。 证明 由于只的特征多项式g ( x ) = l 订一e l = 矿一，所以e 特征根为 q = 拥( c 0 s 2 k ，l n + 汹2 k ，l n ) ，1 ，少1 。 由于q 国，( 尼) ，即e 的特征多项式g ( x ) 有咒个不同的特征根，故e 有刀个线性 无关的特征向量，从而只可以对角化。即存在可逆矩阵r ，使得 只= t d i a g ( c o o ，c o l ，c o 一1 ) 丁一， 于是 西华大学硕士学位论文 p = ( t d i a g ( c o o ，铂，略，1 ) 丁卅) 4 = ( t d i a g ( c o o ，q ，q 1 ) 丁) ( r d f a g ( c o o ，q ，q 1 ) 丁_ ) ( t d i a g ( c o o ，q ，q 1 ) 丁- 1 ) = t d i a g ( o ：，c o 。n ，吒) 丁_ = t d i a g ( r ，r ) t 一 - = r i n o 定理3 1 1 非常重要，在以后求厂一置换因子循环矩阵的逆阵以及广义逆阵和解以这 类矩阵为系数矩阵的线性方程组时要经常用到它。 定理3 1 2 若矩阵么，则彳e = p , a 。 证明由于a = j j l ( p ) = a 0 + q 所+ 口2 p r 2 + + a n l p ，“，则 e 4 = e ( 口o + 口l 研+ 口2 p r 2 + + a n i 刃“一1 ) = c z o e + 口l 刃2 + 口2 p r 3 + + a n l p ，“ = ( 口o + 口l p ，+ 口2 p ，2 + + 口h l p ，”一1 ) e = 么只。 定理3 1 3 设矩阵a 。，b p 。，则 彳+ b = b + a 。，a b = b a 。 证明 设么肼匕。，曰纠。，以及彳，b 的伴随多项式分别为j l l ( x ) 、吃( 工) ，则 彳+ b 和艿+ 彳的伴随多项式分别为 啊( x ) + ( x ) 和吃( x ) + 啊( x ) ， a b 和删的伴随多项式分别为 j l l ( 工) 吃( z ) 和如( x ) ( 工) 。 由于 红( x ) + ( x ) = 吃( 工) + 啊( z ) ，啊( 工) ( x ) = 吃( x ) 啊( x ) ， 于是令工= ，则有 彳+ b = b + a ，a b = b a 。 同时，a + b = 啊( e ) + 岛( e ) ，彳b = 7 l l ( 只) 如( e ) 都是关于e 的一个多项式矩阵，所以 a + b = b + a p r c m 。，a b = b a p r c m 。o 基于广义置换因子循环矩阵的理论探究 定理3 1 4 设彳纠。，则彳的特征值为厅( 哆) = 口，哆，其中哆是g ( x ) 的刀个不 同的根，= o ，1 ，n - 1 。 证明同定理3 1 1 ，由于只的特征多项式是 g ( x ) = l x l p r l = x 4 一厂， 所以e 特征根为 q = 锕( c o s 警+ z s i n 等胁k o ，1 ，扩。 因为c o k ，( 七) ，所以p 的特征多项式9 0 ) 有以个不同的特征根，于是p 有以个 线性无关的特征向量，从而可以对角化。即存在可逆矩阵r ，使得 p r = t d i a g ( c o o ，铂，c o , 一1 ) 丁一。 又因为a 。，所以 a = j i l ( e ) = a o e o + 口l f + + 口。一i p 一。 于是，在上式的两边左乘r _ 和右乘r ，有 t a t = t 一( 口o i + a l p + 口2 乎+ + 口。一l p - 1 ) 丁 - a o t i t + a l t p ，t + a 2 t - 1 p 2 丁+ + 口。一l r - 1 p _ 丁 = a o i + a l ( 丁一p r t ) + a 2 ( 丁- 1 丁) 2 + + a n l ( 丁- 1 p 丁) ”1 = a o e + a l d i a g ( o ，q ，哆，c o 一1 ) + 口2 d i a g ( c 0 2 ，砰，( 0 2 - - 1 ) + + 口凼曙( 瞄一，叫- i 硝一，础) = 讲昭( 哆“，q 硝，口，吐，口f 一。) = d i a g ( h ( c o o ) ， ( q ) ， ( 哆) ， ( 一1 ) ) = do 这表明矩阵彳与对角矩阵d 相似，由于相似矩阵具有相同的特征值，故么的特征值 乃= 五( 哆) = q ( 巧) 。 1 4 西华大学硕士学位论文 3 2 、，一置换因子循环矩阵的逆矩阵以及广义逆矩阵的算法 3 2 1 理论推导 定义3 2 1 【删 设彳，b c ”“”有下列5 个方程： a b a = a ( f ) b a b = b ( i i ) (ab)=ab(iii) ( 鲥) = b a ( i v ) a b = b a ( 1 ，) 则称满足方程( f ) ，( f 耽( 饼) ，( 如) 的矩阵b 为彳的m o o r e p e n r o s e 逆，记为彳+ ；称满足方 程( f ) ，( f f ) ，( 1 ，) 的矩阵召为么的群逆，记为1 2 5 1 或记为a 。；称满足方程( f ) ，( f f ) 且其非 零特征值是彳的非零特征值的倒数的矩阵曰为彳的谱逆，记为。 稠3 2 p 盯设多项式矩阵( 竺1 。铲初等行变换化为u 啦( x m ) v ( 圳x ) 1 删 ( j i l ( 工) ，g ( 工) ) = d ( x ) 且河寿足j j l ( 工) “( 工) + g ( 工) v ( x ) = d ( x ) 。 引理3 2 2 t 2 3 】设z 是一个有不同特征值的n x n 矩阵，缈2 表示所有与z 可交换的矩 阵组成的集合，则c , 0 2 中每一个矩阵彳都有指标1 ，并且么的唯一谱逆是彳在够2 中仅 有