（应用数学专业论文）广义αβ模糊子半群和模糊子近环.pdf

摘要 摘要 本文研究并讨论了( ，v 吼工棚) 一模糊子半群，( v 拿( z ，) 一模糊完全正则子半群， 广义模糊完全正则子半群，半群中的( ，v g 础) ) 一模糊理想( 右理想，左理想，双理想，内理 想) 、广义模糊理想( 右理想，左理想，双理想，内理想) 、广义如，) 一模糊内理想、 ( ，v 鲰名) ) 一模糊子近环及其理想和( ，v g ( 工棚) 一模糊子近环及其模糊理想得出一系 列有意义的结果，丰富了模糊代数与反模糊代数的研究成果具体内容如下： ( 1 ) 在第二章中，首先给出了( ，v 吼咖) ) 一模糊子半群的定义，并在此基础上给出了 ( ，v 鲰工洲) 一模糊子半群的两个等价命题；其次给出了( ，v q ( a ) ) 一模糊理想( 右理想 左理想，双理想，内理想) 及广义模糊理想的定义及其等价刻画；最后给出了( ，v q ( 钿) ) 一 模糊完全正则子半群和广义模糊完全正则子半群的定义及其四个等价刻画 ( 2 ) 在第三章中，给出了半群的广义以，历一模糊内理想的概念，其中t 2 和为 “，g ( z 。) ，v q ( a , u ) ”中的任一个，研究并讨论了它们的一些基本代数性质推广了j u n y b 和s o n gsz 论文 g e n e r a l i z e df u z z yi n t e r i o ri d e a l si ns e m i g r o u p s i n f o r ms c i ，2 0 0 6 ，1 7 6 ：3 0 7 9 3 0 9 3 中的部分结论，得到了较好的结果 ( 3 ) 在第四章中，在近环中给出了( ，v g ( 咖) ) 一模糊子近环和( ，v 级础) ) 一模糊理 想的新概念，得到了一些模糊集是( ，v g ( 枷) ) 一模糊子近环的充分必要条件和模糊集是 ( ，v 鲰础) ) 一模糊理想的充分必要条件及性质 其中值得指出的是在( 1 ) 、( 2 ) 和( 3 ) 中：当五= o ，= o 5 时，可以得到( ，v q ) 一模糊结 构中的相应结论当兄= o ，= 1 ，我们可以得到r o s e n f e l d 意义下的结论 ( 4 ) 在第五章中，在反属于( ) 、广义反重于国p ) ) 定义的基础上，首次给出 ( 三三v 玩础) ) 一模糊子近环及其理想的概念，并讨论了它们的一些代数性质将通常的反模 糊子近环与( 。，v q ) 一模糊子近环进行了统一和推广当允= l ，= 0 5 时，( ，e v q ( 1 o 5 ) ) 一 模糊子近环为( ，v q ) 一模糊子近环；当五= 1 ，= 0 时，( ，e vq 0 , o ) ) 一模糊子近环为通常 的反模糊子近环丰富了反模糊代数理论 关键词：( ，v 卅) 一模糊子半群；广义模糊完全正则子半群；半群的位，) 一模糊内 理想；( 仨，v 吼五，) ) 一模糊子近环；( ，v g ( 五) ) 一模糊子近环 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , w eg i v e t h ed e f i n i t i o n so f ( ，v 鲰2 ，) ) 一衄s u b s e m i g r o u p s ， ( ，v q ( 五，) ) 一f u z z yc o m p l e t e l yr e g u l a rs u b s e r n i g r o u p s ，g e n e r a l i z e df u z z yc o m p l e t e l yr e 昌叫a r s u b s e m i g r o u p s ，( ，v 哦五，p ) ) 一f u z z y i d e a l s ( r i g h ti d e a l ，l e f ti d e a l ，b i - i d e a l ，i n t e r i o r i d e a l ) ，g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l s ( r i g h ti d e a l ，l e f ti d e a l ，b i - i d e a l ，i n t e r i o ri d e a l ) a n dg e n e r a l i z e d 缸，p ) - f i l z 2 = y i n t e r i o ri d e a l so fs e r n i g r o u p s a tt h es a m et i m et h e c o n c e p t s o f ( ，v 级z ) ) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g s ，( ，vg ( _ ，声) ) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g s ，( ，v q t a ) ) 一f u z z y i d e a l sa n d ( e , ev q ( 伽) ) 一f u z z yi d e a l s o fn e a r - r i n g sa r eg i v e n a n dd i s c u s ss o m eo ft h e f u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so ft h e m t h es e r i e sr e s u l t sa r eo b t a i n e da n de n r i c h e dt h ef u z z ya l g e b r a a n da n t i - f u z z ya l g e b r at h e o r y t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) i nc h a p t e r2 ，f i r s tw eg i v et h ed e f i n i t i o n so f ( ，v q ( 五，) ) 一f u z z ys u b s e m i g r o u p sa n d t w oe q u i v a l e n ts t a t e m e n t s o f ( ，v q ( 4 o ) 一f u z z ys u b s e m i g r o u p s a r eg i v e n n e x tt h e c o n c e p t so f ( ，v q ( 础) ) 一f u z z yi d e a l s ( r i g h ti d e a l ，l e f ti d e a l ，b i - i d e a l ，i n t e r i o ri d e a l ) a n d g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l sa r eg i v e n f i n a l l yw eg i v et h ed e f i n i t i o n so f ( ，v 9 ( z ，) ) 一f u z z y c o m p l e t e l yr e g u l a rs u b s e m i g r o u p sa n dg e n e r a l i z e df u z z yc o m p l e t e l yr e g u l a rs u b s e m i g r o u p s ， s i m u l t a n e o u s l y , f o u re q u i v a l e n ts t a t e m e n t so ft h e ma r e 西v e n ( 2 ) i nc h a p t e r3 ，t h ed e f i n i t i o no fk ，p ) - f u z z yi n t e r i o ri d e a l so fs e m i g r o u p si sg i v e n , w h e r eaa n d f lw i l ld e n o t ea n yo n eo f “，g ( 训，v q ( z ) ”a n dd i s c u s ss o m ef u n d a m e n t a l p r o p e r t i e so ft h e m s o m et h e o r e m si na r t i c l eo fj u ny ba n ds o n gsz g e n e r a l i z e df u z z y i n t e r i o ri d e a l si ns e m i g r o u p s i n f o r ms c i ，2 0 0 6 ，1 7 6 ：3 0 7 9 3 0 9 3 】a r eg e n e r a l i z e da n dw eg e t b e t t e rr e s u l t s ( 3 ) i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so f ( ，v q 0 - ，) ) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g sa n d 忙，v q ( 咖) j f u z z yi d e a l so fn e a r - r i n g s a n dg a i ns o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n s w h i c haf u z z ys u b s e ti s 忙，v q ( a ) ) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g sa n d af u z z ys u b s e ti s ( ，v q 0 ，) ) 一f u z z yi d e a l so f n e a r - r i n g sa n ds o m ep r o p e r t i e so ft h e m i ti sw o r t ht op o i n to u tt h a ti n ( 1 ) 、( 2 ) a n d ( 3 ) ：w h e n 2 = 0 ，= 0 5 ，w ec a ng e tr e l a t i v e r e s u l t si n ( ，v q ) 一f u z z ys t r u c t u r e ；w h e na = 0 ，z = 1w ec a ng e tr e s u l t si nt h es e n s eo f r o s e n f e l d ( 4 ) i nc h a p t e r5 ，f i r s t ，b a s e do nt h ec o n c e p t so fa n t i - b e l o n gt o ( ) a n dg e n e r a l i z e da n t i - q u a s i - c o i n c i d e n t ( q ( z ，) ) ，t h ed e f i n i t i o n so f ( ，evq ( a ) ) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g sa n di d e a l s a r ei n t r o d u c e df o r t h ef i r s tt i m ea n ds o m ea l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft h c r na r ed i s c u s s e d w eu n i f y a n dg e n e r a l i z e ( ，v q 。) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g sa n da n t i - f u z z ys u b n e a r - r i n g s s oi f 名= 1 ， = 0 5 ，( ，v q ) - f u z z ys u b n e a r - r i n g sw i l lb e c o m es p e c i f i ci n s t a n c e so f ( ，evq v , 0 s ) ) 一 f u z z ys u b n e a r - r i n g sa n di f 2 = l ，a = o ，( ，evg ( 1 ，o ) ) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g sw i l lb e c o m et h e u s u a la n t i - f u z z ys u b n e a r - r i n g s t h e r e o u ti te n r i c h e dt h ea n t i - f u z z ya l g e b r at h e o r y k e y w o r d s ：( e ，v 级五，卢) ) 一f u z z ys u b s e m i g r o u p s ；g e n e r a l i z e df u z z yc o m p l e t e l yr e g u l a r s u b s e m i g r o u p s ； ，) 一f u z z yi n t e r i o ri d e a l so fs e m i g r o u p s ；( ，vq ( 丑，川i ) 一f u z z y s u b n e a r - r i n g s ；【e , e v q ( 枷) ) 一f u z z ys u b n e a r - r i n g s i h 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并 且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 警2 垒 导师签名： 日期： 第一章 绪论 第一章绪论 1 1 模糊代数的产生背号，研究进展及应用 1 9 6 5 年，美国控制论专家z a d e h t l l 发表了论文模糊集合，标志着模糊数学这门学科 的诞生经过四十多年的时间发展，研究并应用模糊理论的人越来越多，模糊理论取得了长 足的进步，其应用也日益广泛目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率统 计、模糊语言学、模糊逻辑学、模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊 综合评判、模糊系统、模糊信息检索等应用数学分支并已广泛应用于控制工程、计算机 工程、系统工程、农业、林业、医学、生物学等领域 r o s e n f e l d t 2 1 在1 9 7 1 年首先引入了模糊子群的概念，开创了模糊代数研究的新领域 模糊代数经过3 0 多年的发展，已经出现了一系列的论文和专著陆8 4 1 1 9 7 9 年a n t h o n y 和 s h e r w o o d t 3 1 又重新给出了f u z z y 子群的定义1 9 8 2 年，刘旺金1 4 1 进一步引入群的模糊不变子 群，环的模糊理想等概念b h a k a t 和d a s t 1 0 1 在模糊代数方面也进行了一系列的研究，1 9 9 2 年，他们运用模糊点和模糊子集的“属于”概念“”和“重于”概念“g ”，引入了 ，) 一模糊 子群的概念并在1 9 9 6 年嘲提出( ，v q ) 一模糊子群的概念，这是r o s e n f e l d 模糊子群概念 最重要也是最有意义的推广之一2 0 0 3 年袁学海和张成【1 1 1 继续对r o s e n f e l d 和b h a k a t ，d a s 的模糊子群的概念做了进一步的推广 日本学者k u r o k i t 协1 7 1 给出了f u z z y 子群、f u z z y 理想、f u z z y 双理想、f u z z y 拟理想 和粗糙模糊理想的概念，对半群中的各种模糊理想做了研究j u n t 墙】在模糊半群中利用属 于和重于的关系给出了( 口，) 模糊内理想的概念并且讨论它们的一些基本性质自从 1 9 9 1 年a b o u - z a i d t 哼1 提出模糊予近环的概念以后，许多学者做了进一步的深入研究，如 d a w a z ，k a n d a s a m y ，p i l z ，n a r a y a n a n ，k i m , d u t t a 和c l a y t 雏3 8 1 等b i s w a s t 3 9 1 在1 9 9 0 年给出了 反模糊子群的概念1 9 9 7 年，张成 4 0 l 给出了模糊点与模糊集的两种新的邻属关系，基于这 种新的邻属关系，给出了( ，。v q ) 一型模糊子群袁学、海【4 1 】在2 0 0 3 年通过应用模糊点与 模糊集之间的邻属关系，给出( ，口) 一模糊子半群的概念。四川大学的刘应明院士【4 2 埘j 首先 把“重于”的概念引入到模糊拓扑学上，解决了模糊拓扑学上的一系列问题廖祖华把“9 ” 推广为“哦枷) ”，在兄= o ，= 0 5 时，( ，v 吼o ) 一模糊代数为( ，v q ) - 模糊代数；在 名= o ，= 1 时，l ，v q f o - 1 1 ) 一模糊代数为r o s e n f e l d 意义下的模糊代数，将r o s e n f e l d 意义 下的模糊代数与( ，v q ) 一模糊代数进行了统一和推广，发表了一系列的文章【4 5 6 1 目前国 内外对模糊代数的研究大多集中在r o s e n f e l d 意义下情况及( ，v q ) 一模糊代数情况下 进行，而( ，v 级咖) ) 一模糊代数和( ，v 饥川) 一模糊代数研究的结果并不 多，( ，v 吼咖) ) 一模糊代数及，vq ( 却) ) 一模糊代数方向有大量的问题值得研究 模糊代数理论的兴起，给了代数学的理论提供了更多的应用背景模糊代数在模糊编 码理论，模糊有限机理论，模糊形式语言理论，模糊自动机理论等领域 7 9 - 8 4 1 得到了广泛的应 江雨大学硕士学位论文 用 1 2 本文主要工作和创新点 本文主要讨论了以下几个问题： 1 研究( ，v 鲰咖) ) 一模糊子半群，( ，v 留( 五) ) 一模糊完全正则子半群，广义模糊完全正则 子半群，半群的( ，v 级础) ) 一模糊理想( 右理想，左理想，双理想，内理想) 和广义模糊理想 ( 右理想，左理想，双理想，内理想) ( ，v 口( 五) ) 一模糊子半群和( ，v 口( ) ) 一模糊完全正则子半群分别是( ，v q ) 一模 糊子半群和( ，v q ) 一模糊完全正则子半群的推广，本文首次给出了( ，v q ( 础) ) 一模糊子 半群，( ，v 川) 一模糊完全正则子半群，广义模糊完全正则子半群，半群的( ，vq ( a ) ) 一 模糊理想( 右理想，左理想，双理想，内理想) ，广义模糊理想( 右理想，左理想，双理想，内理想) 的概念，并且给出了( ，v 级2 , z ) ) 一模糊子半群的两个等价命题，( ，v 口( - ) ) 一模糊完全正 则子半群和广义模糊完全正则子半群的定义及其四个等价刻画，半群的( ，v 龟础) ) 一模 糊理想( 右理想，左理想，双理想，内理想) 及广义模糊理想的定义及其等价刻画 2 研究半群的广义位，) 一模糊内理想，其中口，为“，g ( 枷) ，v 口以) ”中的任一个 给出了半群的广义 ，) 一模糊内理想的概念，研究并讨论了它们的一些基本代数性 质推广了j u nyb 和s o n gsz 论文 g e n e r a l i z e df u z z yi n t e r i o ri d e a l si ns e m i g r o u p s i n f o r m s c i ，2 0 0 6 ，1 7 6 ：3 0 7 9 3 0 9 3 中的部分结论，得到了较好的结果 3 研究( ，v 级五川) 一模糊子近环和理想 继d a w a z 给出了( ，v q ) 一模糊子近环和理想的概念，随着“g ”的概念推广到 “q ( ) ”，本文给出了( ，v 钆) ) 一模糊子近环和理想的概念及其刻画值得指出的是当 五= 0 ，；0 5 时可以得到d a w a z 文章中的相关结论当五= 0 ，= 1 ，我们可以得到 r o s e n f e l d 意义下的结论 4 研究( ，e v 口( 础) ) 一模糊子近环及其理想 在反属于( ) 、广义反重于( q c 卫, o ) 定义的基础上，首次给出( ，e vg ( 量) ) 一模糊子近环 及其理想的概念，并讨论了它们的一些代数性质将r o s e n f e l d 意义下的反模糊代数与 ( ，v q ) 一模糊代数进行了统一和推广当兄= l ，= 0 5 时，( ，vq ( 。，0 5 ) ) 一模糊子近环为 ( ，v q ) 一模糊子近环；当五= 1 ，= 0 时，( ，v 。) ) 一模糊子近环为通常的反模糊子近 环所得的结果丰富了反模糊代数理论 2 第二章( ，v 吼工) ) 一模糊子半群 第二章 ( ，v 致五) ) 一模糊子半群 2 1 预备如识 定义2 1 1 【i l 一个映射a ：sj o ，1 】称作s 的模糊子集 定义2 1 2 刚半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的x ，y s ，有 a ( x y ) a ( x ) 人i l ( y ) ，则a 是s 的模糊子半群 定义2 1 3 s o l 设见，f o ，1 】z 劲，则模糊点毛重于a ，记作五霉以) a 如果 a 或者五日似) a ，则记作v q n ) a 定义2 1 6 【5 0 l 群g 的一个模糊子集a ，如果满足下面的条件那么就称a 是g 的 ( ，v 鼋( 五。芦) ) 一模糊子群： ( 1 ) 对于任意的石，y g ，所有的，乞0 ，1 】，如果，y ，2 a ，则( 叫) f 2 v 级咖) a ； ( 2 ) 对于任意的石g ，所有的f ( 元，】，如果a ，则1 v 钆) a 2 。2 ( ，v q ( 础) ) 一模糊子半群 定义2 2 1 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的工，y s 和f 。，t 2 ( 兄，1 】，如果 气，a 有( 秽) f 2v q c a ) a ，则a 称为s 的( ，vq ( 工，肋) 一模糊子半群 定理2 2 1 对于半群s 的一个模糊子集a ，下列条件是等价的： ( 1 ) a 是一个( ，v 棚) 一模糊子半群； ( 2 ) a 是半群s 的广义模糊子半群； ( 3 ) 对于任意的f ( 名，】，非空集合4 是半群s 的子半群 证明：( 1 ) ( 2 ) ：我们现在证明对于任意的x ，y s ，有a ( x y ) v 力a ( z ) a ( y ) ， 假设存在，y o s 满足a ( x o y o ) v 五 a ( ) a4 ( ) 取t 满足a ( x o y o ) v t t ，旯 t 所以( 而) ，a ，( ) ，a 根据定义2 2 1 有( x o y o ) ，v q u ) a 但是a ( x o y o ) t 所以a ( 桫) + f r + l t + 比= 2 所以有( 掣) ，v 级 a ( 1 ) j ( 3 ) ：对于任意的工，y 4 ，f ( 见，】，则a ( 工) f ，4 ( y ) f 我彳l 、 得到a ( 习) v 五a ( 工) a ( y ) t t t = t ，因为力 t ， 所以a ( x y ) t ，即( 秽) 4 0 ) ( 2 ) ：我们现在证明a ( x y ) v2 za o ) a ( ) ，) ， 对于任意的工，y s ，假设存在而，y o s 满足a ( x o y o ) v 名 a ( ) 八a ( ) 取t 满足a ( x o y o ) v , z t f ，a ( x y o ) t ，五 t 所以而，y o 4 ， 因为4 是半群s 的子半群，i 故( x o y o ) 4 但是a ( 而) t ，矛盾即证 定义2 2 2 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的t ( 力，l 】，a ，y s 有 ( 夥) ，v 饥) a ，则a 称为s 的( ，v ) ) 一模糊右理想 定义2 2 3 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的石，y s ，有 a ( x y ) va a ( 功 ，则a 称为s 的广义模糊右理想 定理2 2 2 半群s 的一个模糊子集a ，下列条件是等价的： ( 1 ) a 是s 的( ，v 棚) 一模糊右理想； ( 2 ) a 是s 的广义模糊右理想 证明：( 1 ) ( 2 ) - 假设存在而，y o s 满足a ( x o y o ) v a a ( 而) 人， 取t 满足a ( x o y o ) v 力 t f ，见 f 所以( ) ，a 根据定义2 2 2 ( x o y o ) ，v q ( a , u ) a 但是a ( 而y o ) t ， 故a ( x o y o ) + t t + t + = 2 ， 即( x y ) ，v 哦丑。一 定义2 2 4 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的t ( 兄，1 】，a ，y s 有 ( ) ，v 缸棚a ，则a 称为s 的( ，v 级五。声) ) 一模糊左理想 定义2 2 5 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的工，y s ，有 4 第二章( ，vq ( ，) ) 一模糊子半群 a ( y x ) v 五a ( 工) ，则a 称为s 的广义模糊左理想 定理2 2 3 半群s 的一个模糊子集a ，下列条件是等价的： ( 1 ) a 是s 的( ，v ) ) 一模糊左理想； ( 2 ) a 是s 的广义模糊左理想 证明：同定理2 2 2 的证明 定义2 2 6 半群s 的一个模糊子集a ，如果a 既是s 的( ，v 哦“) ) 一模糊右理想又 是( ，v 级丘，脚) 一模糊左理想，则a 称为s 的( ，v 钆棚) ) 一模糊理想 定义2 2 7 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的t ( a ，1 】，咒a ，z s 有 ( 叫) 。v ) a 且( x z y ) ，v ，) a ，则4 称为s 的( ，v ) ) 一模糊双理想 定义2 2 8 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意x ，y ，z s ，有 a ( x y ) v 旯a ( x ) 八a ( y ) a 且a ( x z y ) v 名a ( 工) a ( y ) ，则a 称为s 的广义模糊双理 想 定理2 2 4 半群s 的一个模糊子集a ，下列条件是等价的： ( 1 ) a 是s 的( ，v 吼础) ) 一模糊双理想； ( 2 ) a 是s 的广义模糊双理想 证明：( 1 ) ( 2 ) ：首先证明对帆，y s ，有a ( x y ) v 无t l ( x ) a ( y ) r ， 假设存在，y o s 满足a ( x o y o ) v 力 a ( ) 人a ( ) 取t 满足a ( x o y o ) v t t ，五 t 根据定义2 2 7 有( x o y o ) ，v q ( 五。旬a 但是a ( x o y o ) + t + t 2 1 u ，矛盾 下面再i 正v x , y ，z s 有a ( x z y ) v 2 a ( 力人a ( ) ，) 假设存在而，z o s 满足a ( x o z o y o ) v 2 a ) a ( ) 人 取f 满足a ( x o z o y o ) vz t t ，兄 t + = 劲， 故( x z y ) ，v q c a u ) a 定义2 2 9 半群s 的一个模糊子集a ，如果对于任意的t ( 允，1 】，a t 乜a 有 ( 动) ，v 鲰五，) a 且对于任意的a ，) ，z s 有( y x z ) ，v 级五，) a ，则4 称为s 的 ( ，v 棚) 一模糊内理想 定义2 2 1 0 半群s 的一个广义模糊子半群a ，如果对于任意茗，y ，z s ，有 a ( x y ) v2 a ( x ) 八4 ( y ) 八且a ( y x z ) v2 a ( x ) ，则a 称为s 的广义模糊内理想 5 江南大学硕士学位论文 定理2 2 5 半群s 的一个模糊子集a ，下列条件是等价的： ( 1 ) a 称为s 的( ，v 棚) 一模糊内理想； ( 2 ) 4 称为s 的广义模糊内理想 证明：易证 2 3 ( e ，v q ( a d z ) ) 一模糊完全正则子半群 定义2 3 1 设五，【o ，l 】，名 a ( x ) a a ( y ) a p ， ( i ) ( 2 ) 对于任意的x ，y s ，a ( x 撑) v 名a ( x ) a p ( i i ) 定义2 3 2 设兄，z o ，1 】，名 z ，a 是半群s 的模糊子集，则a 如果满足下面的条件，则 称a 是s 的( ，v 棚) 一模糊完全正则子半群： ( 1 ) 对于任意的j 【，y s ，t i 乞( 五，1 】，如果，y t , a ，则( 掣) f 2 v 纰棚a ； o 玎) ( 2 ) 对于任意的工s ，f ( 旯，1 】，如果a ，则# v 哦五) ( i v ) 定理2 3 1a 是半群s 的一个模糊子集则下列条件是等价的： 0 ) a 是s 的广义模糊完全正则子半群； ( 2 ) a 是s 的( ，v 哦五) ) 一模糊完全正则子半群； ( 3 ) 对于所有的工，y s ， ，t 2 ( 元，1 】，如果气，y t ：a ，则( 巧舟) ，、1 2 v q ( a ) a ； ( 4 ) 对于所有的工，y s 有a ( x y # ) v 免a ( x ) aa ( y ) a t 证明：( 1 ) ( 2 ) ：我们已经证明了( f ) 铮 f ) ( 定理2 2 1 ) o f ) j ( f v ) ：对于所有的z s ，f ( 名，1 】，如果a ，则a ( z ) f ， 根据定义2 3 1 ( 2 ) ，我们得到a ( x 撑) v 名a o ) 如果t ，贝| ja ( x 。) v 见t ，名 ，则a ( x 。) v 允，名 + = 2 ，所以f 口( 五，) a ； 综上得# v 吼础) a ) 仁( f 1 ，) ：假设存在而s 满足a ( ) v 兄 a ( x o ) a i 比 取f 满足a ( x o ) v2 t a ( x o ) a 则a ( ) t ，旯 t ， 所以( 而) ，a ，( ) v 吼础) a 但是a ( ) t ， 所以a ( x o ) + t st + f 2 z ，矛盾 ( 1 ) 营( 3 ) ：定理3 6 t 5 0 1 已经证明 ( 3 ) j ( 4 ) ：假设存在，y o s 满足a ( x o y ：) v ) 一模糊子半群 取t 满足a ( x o y ：) v 五 t t ，五 t l u 且a ( x o y ：) f ，则a ( x o y 。o ) + t t + t l t + l u = z ； 所以似。) ，v q ( a , u ) a 7 江南大学硕士学位论文 第三章半群的广义( 口，) 一模糊内理想 3 1 预备知识 定义3 1 1 f 1 1 设a 是半群s 的一个模糊子集， a ( y ) = ? 1 1 ；三三称为模糊点，记作玉 定义3 1 2 t l s l 半群s 中的模糊子集a 称为s 的位，) 一模糊内理想，则a 满足以下条 件： ( 1 ) ( 帆，y s ) ( vt it 2 ( o ，1 】) ( 气口4 ，口aj ( 叫) ”1 2f l a ) ； ( 2 ) ( v x ，a ，y s ) ( vt ( 0 ，1 】) ( 口，倪aj ( x a y ) ，f l a ) 定义3 1 3 n 踟如果对于任意的工，y s 都有x y = y ( x y = x ) ，则半群s 称为右零( 左零) 半群 3 2 半群的广义 ，) 一模糊内理想 定义3 2 1 半群s 中的模糊子集a 称为s 的广义缸，) 一模糊内理想，其中口和t 为 ，q 以) ，v q ( 五) ”中的任一个，如果a 满足以下条件： ( i ) ( v x ，y s ) ( vt it 2 以，1 】) ( 口a ，) k 口a j ( 砂) f i 。缸夕a ) ； ( 2 ) ( v x ，a ，y s ) ( v ，以，1 】) ( 口，反a ：( z 掣) l 芦渥) 定理3 2 1 设模糊集a 是半群s 的( ，v ) ) 一模糊内理想，则集合 = 扛s l a ( x ) 五 也是s 的内理想 证明：设工，y a ，令a ( d a ( ) ，) = f 旯，则a ( 工) a ，a ( y ) 允且_ ，即a ( 戈) t ，a ( y ) t 所以吆a ，虼a ，因此( 叫) v 纵，) a ，但a ( 掣) 力 1 , 假设a ( x z y ) a ，则( 冽) ，“ 当t 2 p - , a ，贝l ja ( x z y ) + t = 名+ 2 + 2 p 一五= 2 , u ，即( x z y ) ，鼋( 互) a 所以( x z y ) 。v q ( ，i ) a ，矛盾； 8 第三章半群的广义( 口，) 一模糊内理想 当t 2 , - 2 ，则t 且a ( z ) 但a ( x z y ) 旯 允) 是s 的内理想 推论3 2 1 f 1 8 1 设模糊集a 是s 的( ，v 留) 一模糊内理想，则集合如= 扛s i a ( x ) o ) 是 s 的内理想 注记3 2 1 定理3 2 1 是j u n t l 8 1 文章中定理3 4 的推广 定理3 2 2 设半群s 是一个右零( 左零) 半群，模糊集a 是s 的b 以) ，钆。) ) 一模糊内理 想，屯= v a ( x ) 卜允 r2 - t 五五和2 , 一a 0 设s = 一a ( 工) ， 从而存在w s ，我们有f w = a ( w ) 一占= 一( 乙一a ( 工) ) = a ( x ) 2 ， 选取，f 2 ( 名，1 】满足名2 , - 5 2 - t w t i 2 - t 。 t 2 2 1 u ，t l 2 1 一允芝l ，矛盾 所以工g ，同理，y g ，则x - y g 所以a ( 巧) ， 当t ，贝0a o 哕) t u t ，因此( 矽) ，a ； 当t i t , 则a ( x y ) + t i z + l u = 2 z ，所以) ，q ( a , a ) a ，即b ) ，v 留( a ) 4 设x ，z ，y s ，y ( 兄，1 】满足z ，q ( 椰) a ，则a ( z ) + y 2 z 假设a ( z ) = 力，则2 + y 2 ，即y 2 - 2 1 ，矛盾 所以a ( z ) 旯，即z g 因为g 是s 的内理想，所以有x z y g ，故a