14 2014年高考的高频考点——三次函数.doc

2014年高考的高频考点三次函数一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题2014年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题(文理共计37套，其中江苏文理同卷)，发现了“三次函数”是2014年高考的一个高频考点本文将列举出关于三次函数的9道高考题并给出其解答(多数较参考答案更自然或者更简洁)，并对其解法、背景等作出评注题1 (2014年高考课标全国卷I理科第11题即文科第12题)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.答案 C解法1 易知作出函数的图象后再作出函数的图象，可以求解若，可得函数存在负数零点，此时不满足题意所以，可得函数的极小值所以的取值范围是解法2 可得题设即关于的方程的解集是单元素集且该元素是正数，也即关于的方程的解集是单元素集且该元素是正数，用“穿针引线”法可作出函数的图象，且由导数可求出函数的极小值为，由此可得的取值范围是评注 我们要重视“导数是研究函数的有力工具”，解题时还要重视数形结合和分类讨论题2 (2014年高考辽宁卷文科第12题)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )A B C D答案 C解 分三种情形讨论，并用分离常数法，可求得答案评注 对于本题，若是从“求函数的最小值”开始求解，将很麻烦所以，解题需要选择合理的方法题3 (2014年高考江西卷文科第10题)在同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR)的图象不可能是() A B C D解B当a0时，为D选项当a0时，抛物线的对称轴为直线x，三次函数的导数y3a2x24ax1，令y0，解得该函数的两个极值点分别为x1，x2，而总是介于和之间，但选项A,C均满足此，所以由排除法知选B(笔者认为选项B应画得再明显一些，即三次曲线应向左移)题4 (2014年高考安徽卷理科第18题)设函数，其中 (1)讨论在其定义域上的单调性；(2)当时，求取得最大值和最小值时的的值解 (1)函数在上均是减函数，在上是增函数(2)当时，函数在上分别是增函数、减函数，所以当且仅当时，函数取得最大值还有：当时，当且仅当时，函数取得最小值；当时，当且仅当或1时，函数取得最小值；当时，当且仅当时，函数取得最小值当时，函数在0,1上是增函数，所以当且仅当时，函数取得最小值；当且仅当时，函数取得最大值评注 能顺利解答本题的关键是进行合理的分类讨论解答这两问都需要分类讨论，但分类讨论的标准是清楚、自然的，所以大多数考生解答本题不会出现障碍题5 (2014年高考课标全国卷II文科第21题)已知函数，曲线在点(0,2)处的切线与轴交点的横坐标为(1)求；(2)证明：当时，曲线与直线只有一个交点解(1)(2)得，设，得当时，恒成立，所以此时是增函数又因为，所以方程有唯一实根当时，(后者用导数可证)所以欲证成立(2)的另证 由图11-3可证(当时，直线与曲线曲线相切)图1评注 解答本题恰当地运用了“数形结合”，异常简捷！其前提是认真观察、大胆猜想，解题过程还要求论证严谨题6(2014年高考北京卷文科第20题)已知函数(1)求在区间上的最大值；(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切？只需写出结论解(1)用导数可求得：当且仅当时，在区间上取最大值且最大值是 (2)当点在曲线上即时：又当点是切点时，曲线过点的切线是1条又当点不是切点时，可设切点为，得所以此时过点的切线是1条得过点存在2条直线与曲线相切，不合题意所以，即点不在曲线上可设切点为，得题意即这个一元三次方程有三个实根设，得，所以题意即所以所求的取值范围是(3)因为点不在曲线上，所以可设切点为，得或所以可得过点存在3条直线与曲线相切因为点在曲线上，所以点可以是切点也可以不是切点当点是切点时，曲线过点的切线是1条当点不是切点时，可设切点为，得所以此时过点的切线是1条得过点存在2条直线与曲线相切因为点不在曲线上，所以可设切点为，得所以可得过点存在1条直线与曲线相切 评注 题12-28及2010年高考湖北卷文科第21题，2007年高考全国卷(II)理科第22题，2004年高考重庆卷文科第15题都是三次曲线的切线问题(主要包括过一点能作该三次曲线的几条切线及切线的求法)，本质是判断一元三次方程根的个数及求根问题：前者可用导数彻底解决，后者一般需要用试根法(其理论依据是因式定理和整系数多项式有理根的牛顿试除法)和待定系数法作为复习备考的考生，应当抽时间把它们彻底弄清楚题7 (2014年高考天津卷文科第19题)已知函数R (1)求的单调区间和极值； (2)若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围解 (1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是当且仅当时，取极小值；当且仅当时，取极大值(2)由及(I)的结论可得，当时，；当时，由此可作出函数的图象(草图)如图2所示：图2设集合，得题设即因为，所以再由图2知若，由图3得，但此时不满足，所以图3 当即时，由图4得又，所以图4所以所求的取值范围是评注 解答本题要注重数形结合与分类讨论题8(2014年高考广东卷文科第21题)已知函数R) (1)求函数的单调区间；(2)当时，试讨论是否存在，使得解法1 (1)(过程略)当时，函数在R上单调递增当时，函数的单调增区间为，单调减区间为(2)方程，即所以 “当时，存在，使得”“当时，方程在时有解”“当时，” 由此得本题的答案是：当时，当且仅当时，存在，使得解法2 (1)同解法1(2)同解法1，得“当时，存在，使得”“当时，方程(11-4)在时有解”“当时，关于的方程有解” 因为函数的值域是，所以“当时，存在，使得”由此也可得本题的答案(同解法1)评注 由以上两种解法均可得到下面的结论：若R)，则(1)当且仅当时，关于的方程无解；(2)当且仅当时，关于的方程有唯一解；(3)当且仅当且时，关于的方程有且仅有两个解题9 (2014年高考浙江卷文科第21题)已知函数，若在上的最小值记为 (1)求；(2)证明：当时，恒有解 (1)因为，所以可分以下两种情况讨论：当时：若，则f(x)x33x3a，f(x)3x23，所以在上是减函数；若，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，所以在上是增函数所以此时当时，有，得f(x)x33x3a，f(x)3x23，可得在上是减函数，所以此时所以(2)设当时，若，得，所以在上是增函数，得