（应用数学专业论文）两类混合元方法的理论及其应用.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本拦可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。- 9 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：韶趁 翩糠阻玄衰 签字日期：2 0 0 4 年牛月为日签字日期：20 0 4 年厶月d 日 隶经炸垮。苷挪。q 觚 锄捷文公档 两类混合元方法的理论及其应用 郭玲 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文讨论了正则长波方程 i ( 口)毗一占u 。t + u + 。= 0 ，知，t ) n ( 0 ，t ) ， ( “( z ，0 ) = ( ) ， q ， 【( c ) = = 0 ，( z ，t ) a n ( 0 ，t ) ， 和s o b o l e v 方程 i ( 岛)牡t ：= 审- ( o ( z ，t ) v 钍。+ 6 ( z ，t ) v “) + ，( 。，t ) ，( z ，t ) q ( 0 ，明， ( b )u ( 。，t ) = 0 ，( z ，t ) a n 【0 ，t ， 【( c )u ( ，0 ) = u o ( 茁) ，o n ， 的h 1 - g a l e r k i n 混合有限元方法。首先将原问题化成未知函数u 和通量函数p 的一 阶方程组，而后将h 1 _ g a l e r k i n 有限元方法用于此一阶方程组的每一个方程，因而可 以同时得到对未知函数和通量函数的最优逼近该方法一方面降低了h t - g a l e r k i n 有限元方法对有限元空间的光滑性要求；另一方面，允许有限元空间和w h 具 有不同的多项式次数，不必满足标准混合元空间所要求的l b b 稳定性条件通过 严格的数学分析，建立了该方法的最优误差分析理论数值例子进一步说明了该方 法的有效性 其次讨论了线性对流占优扩散问题 f ( 。) 塞+ 钍( z ) v c vr ( n ( z ) v c ) = ，0 ，t ) ，i n q ( 0 ，t ) ， ( c ( z ，) = o ，d n f ( 0 ，t ) ， l ( c ) c 扛，0 ) = c o ( z ) ， i n n ， 的扩展特征混合有限元数值模拟此类方程为典型的抛物型方程，但在实际问题中 常表现出强烈的对流占优特征，在本质上具有双曲性质数值实验表明传统的抛物 型离散格式，会产生强烈的数值弥散现象为了克服传统格式的上述缺陷，本文中 我们用扩展特征混合有限元方法来逼近对流占优扩散方程的解鉴于流体在离散层 上沿特征线流动，因而对对流部分采用特征线格式进行离散，以消除流动锋线前沿 的数值弥散现象，保证格式的稳定性；而对扩散部分采用扩展混合有限元方法，同 时逼近未知函数，未知函数的梯度以及伴随向量函数，数值分析表明该方法对未知 2 函数，未知函数的梯度以及伴随向量函数具有最优l 2 误差逼近精度，可采用较大 的时间步长计算，节约计算量数值例子验证了理论分析结果的正确性 关键词：正则长波方程；s o b o l e v 方程；对流占优扩散问题；h 1 _ g a l e r k i n 混合 有限元方法；扩展特征混合有限元方法；最优误差估计 图书分类号：0 2 4 1 8 3 t h ea n a l y s i sa n da p p l i c a t i o no ft w om i x e d 薹i n i t ee l 嚣m e n 鬻m e t h o 酗s l i n g g u o d e p a r t r a e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o 盎gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a a ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h ep a p e r ，w ec o n s i d e rt h er e g u l a r i z e dl o n gv v v ee q u a t i o n l ( 口) 毗一6 “# 甜+ 乱t b + = 0 ，扫，t ) n ( 0 ，t ) ， ( b ) “0 ，0 ) 一事( z ) ，。n ， 【( c ) “= 0 ，( 。，t ) 0 n ( 0 ，t ) ， a n dt h es o b o t e ve q u a t i o n f ( 4 )砧。= v ( n 扛，f ) v t + b ( x ，t ) v u ) + f ( z ，t ) ( 譬，) q ( 0 ，卵， ( b )铭( ，) ：= 0 ，( 茹，t ) 8 q 【o ，t i ， l ( c )u ( ，0 ) = u o ( 霉) ，。n ， w h i c ha r es i m u l a t e db yh 1g a l e r k i nm i x e d 鑫赫t ee l e m e n tm e t h o d t h i sm e t h o df i r s t s p l i tt h ei n i t i a lp r o b l e m i n t oaf i r s to r d e rs y s t e ma n dt h e np r o p o s ea n o n s y m m e t r i cv e r - s i o no fal e a s ts q u a r em e t h o dt h a ti sa n 嚣1 一g a l e r k i np r o s e d u r ef o rt h es o l u t i o na n di t s f l u x c o m p a r e dt ot h e s t a n d a r dh 1 g a l e r k i n ，c 1 - c o n t i n u i t yf o rt h ea p p r o x i m a t i n gf i n i t e d i m e n s i o n a ls u b s p a c e sc 8 _ b er e l a x e df o rt h ep r o p o s e dm e t h o d m o r e o v e r 。t h e a p p r o x i - m a t i n g f i n i t ee l e m e n ts p a c e s 砚a n dw ha r ea l l o w e dt ob e o f d i f f e r i n gp o l y n o m i a ld e g r e e s ， h e n c e ，e s t i m a t i o n sh a v eb e e no b t a i n e dw h i c hd i t i n g u i s ht h eb e t t e ra p p r o x i m a t i o np r o p - e r t i e so f 该a n dw h w eo b t a i nt h eo p t i m a lo r d e ro f e o n v e r g e n c e t h e o r e t i c a l y n u m e r i c a l e x a m p l e sc o n f o r mt h ee f f i c i e n c yo fo u rm e t h o d ， t h e nw ec o n s i d e rt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h ec o n v e c t i o n - d o m i n a t e dt r a n s p o r t p r o b l e m f ( 8 ) 豢+ 札( ) v c v - ( 8 ( 髫) v c ) 霉，( $ ，螃，i n n o ，? ) ， ( b ) c “t ) = 0 ，o n r ( o ，d ， l ( e ) c ( 0 ) = 锄( z ) ， i nq t h e g o v e r n i n ge q u a t i o n i su n i f o r m l yp a r a b o l i c ，b u ti nm 批 l ya p p l i c a t i o n s ，t h ec o n v e c t i o n d o m i n a t e sd i f f u s i o n ，t h ee q u a t i o ni sn e a r l yh y p e r b o l i ci nn a t u r e i ti se s p e c i a l l yd i f f i c u l t t oa p p r o x i m a t ew e l lt h es h a r pf r o n t sa n dc o n s e r v et h em a t e r i a lo rm a s si nt h es y s t e m 。 i nt h i sp a p e r w ep r o p o s ea i le x p a n d e dc h a r a c t e r i s t i c s - m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r a p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o nt oc o n v e c t i o nd o m i n a t e dt r a n s p o r tp r o b l e m 。t h em 醣h o di s8 c o m b i n a t i o no fc h a r a c t e r i s t i ca p p r o x i m a t i o nt oh a n d l et h ec o n v e c t i o n p a r ti nt i m ea n d a n e x p a n d e dm i x e d f i n i t ee l e m e n ts p a t i a la p p r o x i m a t i o nt od e a lw i t ht h ed i f f u s i o np a r t t h e s c h e m ei ss t a b l es i n c ef l u i di st r a n s p o r t e da l o n gt h ea p p r o x i m a t ec h a r a c t e r i s t i c so nt h e d i s c r e t el e v e l a tt h es a m et i m ei te x p a n d st h es t a n d a r dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di n t h es e n s et h a tt h r e ev a r i a b l e sa r ee x 露i c i t l yt r e a t e d ：t h es c a l a ru n k n o w n ，i t sg r a d i e n t ，a n d i t sf l u x o u ra n a l y s i ss h o wt h em e t h o da p p r o x i m a t et h es c a l a ru n k n o w n ，i t sg r a d i e n t ， a n di t sf l u xo p t i m a l l ya n ds i m u l t a n e o u s l y w ea l s os h o wt h i ss c h e m eh a sm u c hs m a l l e r t i m e 。t r u n c a t i o ne r r o r s 七h a nt h o s eo fs t a n d a r dm e t h o d s n u m e r i c 融e x a m p l ei sp r e s e n t e d t os h o wt h a tt h es c h e m ei so fh i g hp e r f o r m a n c e k e y w o r d s ：礴e r e g u l a r i z e dl o n g w a v e e q u a t i o n ；t h es o b o l e ve q u a t i o n ；c o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f l u s i o np r o b l e m ；村1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e x p a n d e dc h a r a e t e r i s t i c sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；o p t i m a le r r o re s t i m a t e 。 s u b j e c tc l a s s l f l c a t i o n ：0 2 4 1 8 5 第一章引言 i ( 口) 毗一6 u 。t + 2 m t + “。= o ，( 霉，) q ( 0 ，t ) ， ( 6 ) u ( 。，0 ) = ：咖( z ) ，z n ，( 1 ，1 1 ) 【( c ) “= 0 ，( 。，t ) a n ( o ，t ) ， 6 方程( 1 1 1 ) 在6 0 年代由p e r e g r i n e 首先提出，主要刻画了浅水波，等离子 波等物理现象已有理论证明此方程具有孤立子解，可以很好的模拟k o r t e w e g - d e v r i e s ( k d v ) 方程，在非线性弥散波的研究中起着重要的作用到目前为止，很多数 值方法已经被应用于此方程的求解，如有限差分法1 n , 1 2 , 1 3 ，有限元方法 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 1 ， 谱方法，混合有限元方法【倒 本文我们提出了该方程的日l g a l e r k i n 混合有限元方法的半离散格式和全离散 格式，给出了解的存在唯一性证明通过严格的数值分析，借助于归纳假设，得到 了未知函数与通量函数的最优l 2 和日1 误差估计数值例子较好的反映了该方程 所具有的孤立子解的运动形态，验证了本文所提格式的有效性 在第三章中，我们讨论下列s o b o l e v 方程 f ( 口)u t = v ，( 口( z ，t ) v t + b ( x ，t ) v “) + i ( x ，t ) ，( z ，t ) qx ( 0 ，t l ， ( 6 )u ( z ，t ) = 0 ，( 。，t ) a n 0 ，t 】， ( 1 1 2 ) 【( c ) “( ，o ) = “。( 。) ，z n ， 其中n 为r 。( d = 1 ，2 ，3 ) 中的有界域，其边界记为a q ，o ( z ) ，( z ，t ) 为已知函数， a ( x ，t ) ，b ( 。，t ) 为给定的具有有界导数的连续函数 s o b o l e v 方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气的迁移问题，不同 介质的热传导问题等许多物理方面具有广泛的应用鉴于此，人们对该方程提出了 许多数值模拟方法，如g a l e r k i n 一有限元逼近f 2 0 ，2 1 j ；标准混合有限元方法 2 2 】等 本文我们采用日k g a l e r k i n 混合有限元方法求解该方程首先提出一维问题的 半离散和全离散格式，讨论了h 1 _ g a l e r k i n 混合有限元解的存在唯一性以及最优l 2 和日1 误差估计其次将其推广应用到二维和三维空间最后用数值例子证实了理 论分析的正确性 本文的第四章讨论了对流占优扩散方程的扩展特征混合有限元方法 设qc 帮，具有光滑边界r ，在时间区间( o ，t 】上考虑下列对流占优扩散问题 i ( 口) 赛+ u 扛) v c v ( ) v c ) = y ( x ，f ) ，i nn ( 0 ，? ) ， ( b ) c ( 为t ) = 0 ，m f ( 0 ，t ) ， ( 1 1 3 ) 【( c ) c 扛，o ) ：c o o ) ，订lq ， 其中c 表示可溶物质的浓度或饱和度，u 表示混合流体的达西速度，“，砚，均为 已知函数 该方程刻画了诸如热量在流体中的传导。可溶的矿物质或污染物在地下水中的 扩散以及不可压缩流体的混溶驱动问题为了求解的方便我们假定( 1 1 3 ) 是q 周 期的，即问题( 1 1 3 ) 中所有函数关于空间都是n 一周期的对于无渗透边界问题在 实际中通常采用反射方法进行处理，因此假定在物理上是合理的另外，由于分子 扩散作用，n ( z ) 是一致正定的，所以问题应当是严格抛物的但在实际应用中由于 7 p e d e t 数非常大，该问题常表现出强烈的对流占优趋势，因而方程具有明显的双曲 性质，在流动的锋线前沿会产生较大的震荡， 此时，传统的抛物型离散格式在逼近流体流动的锋线前沿时会出现强烈的数值 弥散现象为了克服传统格式的缺陷，人们提出了一系列新的数值方法，如显示特 征法，迎风加权有限差分格式【2 3 】；流线扩散法【2 4 】，【2 s 】；特征线法【2 6 l ；最小二乘混合 有限元方法1 2 q ；修正的特征有限元方法( m m o c - g a l e r k i n ) 1 2 s l ，特征混合有限元方法 f 2 0 】，一i j ，f 4 2 j 为了更好的模拟此类方程，本文将m m o c 和扩展混合有限元方法结合，提出一 种新的方法扩展特征混合有限元方法对方程的双曲部分我们采用类似于m m o c g a l e r k i n 方法处理此类问题的方式，即将其沿特征线进行离散，以消除流动锋线前 沿的数值弥散现象，保证格式的稳定性；而对扩散部分采用扩展的混合元方法进行 离散，同时逼近未知函数，未知函数的梯度及伴随向量函数我们首先定义了问题 的扩展特征混合有限元离散格式，证明了离散解的存在唯一性，给出了最优l 2 误 差估计数值例子验证了该方法的有效性与可行性 对文中出现的记号做一些必要的说明t 用w k m ( s ) 表示s o b o l e v 空间，其范数 记为j j j k p ，s h ( 印= w k , 2 ( 回，其范数记为州k s 当s = n 时将s 省略若= 0 ， 用l 2 ( n ) 表示相应的空间。范数为8 m 设x 是s o b o l e v 空间，f ( x ，t ) 在n 0 ，6 上适当光滑，则可定义空间l p ( a ，6 ；x ) 及相应的范数如下 ，6 ( o ，6 ；x ) = ，：j i f ( ，t ) i i p x d t 0 满足 i ( n ) 毗一占科+ u u 。+ 。= 0 ， ，t ) n ( 0 ，t ) ， “( 甄o ) = 妒扣) ，z q ，( 2 1 1 ) 【( c ) “= 0 ，( z ，t ) a q ( 0 ，t ) ， 其中n = a ，6 j 为一有界区间，“表示渡的振幅，j 为一正常数，庐( 。) 是已知函数 令p ：= 6 ；舻一t 。( 通量) ，则( 2 1 1 ) 可以写成下列形式； 求f “，p ) 使得对v i 0 有 l ( o ) 乩k t 一 “2 “= = p ，( ，t ) n ( 0 ，? ) ， ( 6 ) 旷p x 2 o ， ( z ，力n ( 0 巩 2 ) j ( c ) “= 0 ，( 茁，t ) a n ( o ，t ) ， 、 l ( 印“p ，0 ) = ( o ) ， z n ( 2 1 2 0 ) ，( 2 1 2 b ) 分别与( 任意的口嘲) ，鲫。( 任意的w 何1 ) 作内积，并由格 林公式可得( 2 1 ，2 ) 的日l g a l e r k i n 混合变分形式为； 求 u ，以： 0 ，卅一础日1 满足，使对v t 【0 ，t 有 j ( n ) d ( “m ) 一( u 2 ，) ( q ) = ，如) ，v ”嘲， ( b )扫，删) + ( ；牡2 ，叫) + ( u ，w ) 十6 。，札b ) = 0 ，v w 日l ，( 2 1 3 ) i ( c ) 让( ，0 ) = 咖( z ) ，o n 令，嘶。分别为弼和日1 的有限维子空间，且满足下列逼近性质 。：2 厶川”8 p + h l l ”一j j - ，) ! c h k + l o 口j w t + ，一， 础nw 。+ 1 ”， w 。i n w f 。 1 1 叫一叫h j 】l ，+ 九1 1 w w h l l w - ，) g ，l r + 1 i 【删i i r + z w 十1 矿， 其中1 p o o ，r 是正整数 ( 2 1 3 ) 的半离散h l g a l e r k i n 混合元格式可定义为求 ，p ) ：i o ，t i 一 满足 即荫、v h 。) - 皓1 2 m z ? - ( 蛳曲吡幻瞄， v v a v h ， ( 2 “) 【( 6 )( p h ， ) + ( i l u 2 ，叫 ) + ( t ，叫h ) + d o f u ，w h 2 ) = 0 ，v t u 矸， 、。1 其中u h ( o ) 由( 2 3 1 ) 给定 9 半离散格式解的存在唯一性 定理2 1 问题( 2 1 。4 ) 存在唯一解 证明：令 q ) 咎1c 坛和 甄) 罂1cw h 分别是和w i 的基函数设 u h = 办( t ) 垂j 0 ) ，p h = g i 0 ) 皿 0 ) 将上式代入( 2 ，1 4 ) ，并令v h = q ( z ) ，w h = 屯。( $ ) 设 f ( t ) = ( f l ( t ) ，矗。( t ) ) ，a ( t ) = ( g l ( t ) ，g r 。( t ) ) ， a ( f ) = ( ( ，f ( 亡) 中1 0 ) ) ) 西j 0 ) ，西拓) ) 。，。，b = ( ( 奶，圣抽) ) ，。x ，。， i = l 一， +r 1 肘= ( ( 虬t 西缸j ) n x n ， e ( 毋= ( ( 三五( 力鱼扛j ) ) 甄，妁) ) 一。 d = ( ( 圣m ，皿j ) ) ，。n ，e = ( ( 霉妇，虬。) ) ，。n 则问题( 2 1 4 ) 变为求f ( t ) ，a ( t ) 满足对( o ，t ) 拇驴( 力一，孥但删一掣) = 廊( 札 f 2 2 1 1 ) 【( b ) c ( t ) + ；e ( f ) f ( t ) 4 - d f ( t ) + a p a ( t ) = 0 ， 。 因为( ，+ 6 豆) 正定，由( 2 2 1 b ) 得到 g ( t ) = 一( ，+ 6 甸一1 暖舀( f ) f ( t ) 4 - b f ( t ) j ， 将其代入( 2 2 1 a ) ，我们得到 一( 。) = f ( f ( 。) ) ，。 o ，m 2 ) 【( b ) f ( o ) = ( ( o ) ，r 。( o ) ) ， 、 其中 庐( f ( ) ) = ；盈f ) f ( t ) + s f ( t ) ( ，+ 占富) 1 m 1 1 c ( f ) f ( t ) + 西f ( t ) j ， f ( o ) 由u h ( o ) = ，j ( o ) q ( 茹) 给出因为2 ( f ) 和0 ( f ) 关于tl i p s c h i t z 连续，因 此可以证得f ( f ( t ) ) 关于tl i p s c h i t z 连续，则由微分方程理论可知( 2 2 2 ) 存在唯一 解f 3 0 j ，从而( 2 1 4 j 存在睢一解 2 3 半离散误差估计 首先我们定义u 的椭圆投影诹v h 满足 似铭一兹) 。，铂。) = 0 ，y v a 琢 1 0 p 的椭圆投影西w h 满足 ( ( p 一氟) 。，w 。) + 7 ( p 一磊，蜘 ) = 0 ， 其中1 为适当选取的正常数使得 a ( 叫，w ) = ( w x ，叫。) + 7 ( 伽，叫) k o f f 叫| i k o 为一正常数容易验证a ( ，) 的有界性 由| 3 2 1 知对j = 0 ，1 下列误差估计成立 v w h w h ，( 2 3 2 ) v w h 1 u 一矗 i b c h + 1 一i i i i + l ，1 面h l i o ，。sg ( u ) ( u 一百 ) 廿| | c h 十1 一，f i u “| | k + 1 i i p 一五hl i j c h + 1 - j l l p ll ，+ 1 ， | i 扫一磊) t 儿sc h 7 + 1 - o l l p d l ，+ 1 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 由( 2 1 3 ) 减去( 2 1 4 ) ，我们得到误差方程 ( 口) d ( ( t 撬一 。) ，v h 。) 一( ( u 2 一嚷) ，t 协。) 一( ( u u ) ，t ， 。) = ( ( p p h ) ，剞 。) ， v v h v h ， ( 2 3 5 ) ( b ) ( ( p p ) ，w h )+ ( ；( 2 一2 ) ，w h ) + f ( 一h ) ，w h ) + 6 ( p 。一p h $ ， w h 。) = 0 ，v w h w h 设“一u = ( u 一面 ) + ( 面 一“ ) = q + ( ，p p h = ( p 一西。) + ( 风- - p h ) = p + f ，则 ( 2 3 5 ) 变为 ( a ) d ( 岛，v h 。) 一( e ，v h 。) = ( 町1 v h 。) + ( ， u h t ) + ( ( u 2 一t 正2 ) ，观。) + ( p 1 铆珏) ，y v h ， ( 2 , 3 6 ) ( b ) 幢，w h )+ k ，w h ) + 6 ( 矗，w h z ) = 一( p ，w h ) 一( ( “2 一仳z ) ，t i j ) 一( 卵，蛳) + 5 7 ( p ，札 ) ，v 仉么 定理2 2 设“l 。旧k + 1 ) ，p l ”( 日r + 1 ) ，若u ( o ) = 吼( 0 ) ，贝9 当h 充分小时， 对口一锄和p p h 有下列误差估计 u z 9 + j | p p j j + j j u 一让 i h + 九j l p m o l c h 4 洒 + 1 ，+ 1 i l u l i l 。( 日t + - ) + i 囟1 1 l 。( h ，+ t ) 】 证明t 由( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 可知卵和p 的估计，下面只需估计 和在( 2 3 6 a ) 中取v h = e 得到 j ( 厶t ，矗) = ( ( 厶) + ( 吼岛) + ( 厶) + ( 去( t 2 一“z ) ，缸) + 扣，岛) 注意到l i ( 1 l 墨1 | 厶1 1 ，e h o ，利用c a u c h y 不等式有 蛊i | 6 屯| | 2 c ( 1 l e 。1 1 2 + i 【叼1 1 2 + l 睡l f 2 + i | p l f 2 ) + c ( 1 l “+ 玩孵o 。+ j j ( 1 巨。) ( i n l 2 + i e l l 2 ) g ( 1 + 1 1 4 1 1 0 2o 。) 1 1 口1 1 2 + o ( 1 l f l 2 + | i p f f 2 ) + c ( 1 + i i e l l ：。) 1 1 e 。1 1 2 对上式从0 到t 积分并注意到白( o ) = 0 ，我们得到 i i g i l 2 g 詹( 1 + 1 1 e 1 1 ：，。) l l n l l 2 d t + c 名( | f f f l 2 + f i p l l 2 ) 打+ c 启( 1 + ij 4 1 1 ：，o 。) lj e = 1 1 2 d r sc ( 1 + j 1 i l 兰。f l 。) ) j j1 1 q 1 1 2 d t + c f ；( 1 l f l t 2 + i i p l l 2 ) 打+ a 君( 1 + f f e f f 三。f l 。) ) 詹1 1 ( ：。1 1 2 c 汁 设存在充分小h o 0 ，满足当0 h sh o 时 f f f f l * ( o t ；l * ) 1 ， o f t 则由( 2 3 7 ) 及g r o a w a l l 引理推知 2 - g c o 。2 d r + o 。删2 d r + o 。2 州 进一步在( 2 3 6 b ) 中取w h = f 得副 嬉，f ) + ( ( ， ) + d ( 。，矗) = 一( p ，) 一( ；m 2 一“z ) ，9 一向，f ) + 即( p ，f ) 利用e 不等式我们有 膳胪+ 6 f 临胪c ( i t c l l 2 + 忪i | 2 ) + d ( 1 + ( j ：。o 。) i n l 2 + ( 1 + lj ( 惦o 。) l l c i l 2 + f l 垮0 2 ， 即 i 嗜1 1 2 + 6 1 1 。1 1 2 c l l p l l 2 + c ( 1 + 1 1 e 1 1 ：。) l l n l l 2 + ( 1 + i i ( 1 1 ：。) l l c 。1 1 2 则由归纳假设( 2 3 8 ) 及( 2 3 9 ) 得到 1 2 + i i f 。1 1 2sg ( 詹i i n l l 2 d r + 后i l p l l 2 d r ) + c ( i l p l l 2 + i ”| j 2 ) + g 露j j f j 1 2 d r 利用( 2 3 ，3 ) ( 2 3 4 ) ，再由g r o n w a l l 引理知 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 j ( 2 3 9 ) 2 + 怯胪e ( h 2 ( m 露1 1 1 1 2 + 1 d r + 2 ( 州) 詹l i p | | 2 + 1 d f ) + c ( h 2 ( 十1 乱l + 2 ( r + 1 峨- 1 ) 即 垮孵兰g h 2 m n + 1 t 7 + 1 让f 1 2 ( h t + z ) + f 加j j 2 ( 肼r + t ，】 ( 2 3 1 0 ) 利用( 2 3 3 ) ，( 2 ，3 4 ) 及( 2 3 9 ) 中的估计，由p o i n c a ? e 不等式得到 | j e 0 2 i 岛0 2s c h 2 m “七+ 1 t 7 十1 川“j i ( 肿+ ，) + i 扫i 屋鼬( 口，+ z ) j ( 2 3 | 1 】) 由( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 及三角不等式知定理结论成立 下面证明归纳假设( 2 3 8 ) 成立为证蚓i 归( 0 沪) 1 ，只需证明 f f e f f l ( o ，丁；l 】= d ( 1 ) ， 即 艇器i | e | f l * ( o ，t i l * ) 2 0 事实上由( ( o ) = 0 知当t = 0 时( 2 3 8 ) 显然成立由逆性质及( 2 , 3 1 1 ) ，对t ( 0 ，引 有 i ( ( t ) l l 。1 。sk o h 一1 1 f ( 0 i i 。sk o c h m i t t + 1 , r + 1 卜；， 由于k ，r 为正整数，上述不等式说明概i i l l z * ( o m l 一) = 0 ，因此归纳假设成立，故 定理得证 2 4 全离散格式解的存在唯一性及误差估计 设l 为正整数，时间步长取为= t l ，t n = 蛐 0 扎l 另外，设 妒= ( 护) ，o r e - = ( 护一妒- 1 ) t ，其中莎c o f o ，列为连续函数，( u ”，p n ) v h 为( u f “) ，p 妒) ) 的日l g a l e r k i n 混合有限元解则问题( 2 。1 3 ) 的全离散格式为 求( u ”，p “) 满足，1 n l “鼠叼m 0 1 - 紫一扩h x ) 一( u n , v h 。) = ( p n , v h z ) ，v v ， ( 2 4 1 1 【( b )( p ”，l o b ) + ( c ，“一1 u “， ) + ( u “，w h ) + 占( j 蛩，t u 妇) = 0 ，v w w h 、7 定理2 3 问题( 2 ，4 1 ) 存在唯一解( u ”，p “) k w h 证明；设u ”1 = 0 ，则( 2 4 1 ) 等价于 烈甓一b 卜渺”，嘶o 。( p 一础 v h ， ( 2 4 | 2 ) 【( b ) ( p “，w h ) + ( 扩，w h ) + 6 ( 嚣，w h 。) = 0 ，v w he w h 、 在( 2 4 2 a ) 中取v h = u n 得到 素0 叼胪= ( u “，叼) + ( p “，堙) 由c a u c h y 不等式及p o i n c a c e 不等式有 刮叼i j 2 冬c a t l l 暖j | 2 + g 圳p 一 对充分小a t 我们有 j f 翟胪g 叫p “0 2 ( 2 4 3 ) 1 3 进一步在( 2 4 2 b ) 中取w h = p “得到 ( p ，p “) + ( u “，p “) + 6 ( j 翟，j 蛩) = 0 由c a u c h y 不等式， 不等式及( 2 4 3 ) 知 1 1 p “1 1 2 + 6 i i 譬1 1 2 c l l u “1 1 2 曼c t i i p ”1 1 2 ， 因此对充分小t ，l i p n i l l = 0 ，从而p r i = 0 再由( 2 4 3 ) 我们得到u ”= 0 而( 2 4 1 ) 是关于( 矿n ，p n ) 的线性代数方程组，因此解存在唯一 为进行误差估计，我们记 钍( t “) 一u “= u ( p ) 一面h ( 俨) + 冠 ( ) 一u “= 叼“+ ( “， p ( t ”) 一p “= p ( t ”) 一甄( 亡n ) + 西。o “) 一尸“= 矿+ “ 在( 2 1 3 ) 中令t = p ，再与( 2 4 1 ) 傲差，得如下误差方程 ( 口) 6 慨0 ，v h 。) = 一6 ( 玩耐( t 4 ) 一魂魄。( t “) ，也z ) + ( p ，) + ( 矿，v h x ) + f f ”，。) + ( i 1 ( u 2 ( ) 一u ”一1 u ”) ， u h t ) + ( p ”，研n ) ，v v h y h ， ( 2 4 4 ) ( b ) ( 巳吼)+ 6 ( 嚣，蛳。) = 一杪，u l h ) 一( p ，撕) + 升扩，w h ) 一( ( u 2 ( 扩) 一u “一1 u “) ，t u h ) 一( 矿，w h ) v w h w 么 定理2 4 设u l 。o ( h 。+ 1 ) ，u t l ( 工2 ) ，u t t l 2 ( l 2 ) ，p 工o 。( 日+ 1 ) ，若u h ( o ) = 诹( 0 ) ，则当h 充分小且h - a t = o ( i ) 时，对1 n l ，j = 0 ，1 成立下列误差估计 j j “( p ) 一u “l l j + i | p ( p ) 一p “吣 c h ”1 “( + 1 一j , r + l - j ) ( 0 “0 l * ( h k + 1 ) + 1 1 p i l l 一( h r + t ) ) + z l k l l u , i i l * ( l 2 ) + i l 撕t i i 弘( 口) ) 】 证明：在( 2 4 4 a ) 中令v h = p 得到 d 嚣，o ) = 一j ( 砺科) 一鳓i b ( t ”) ，嚣) + ( ( “，嚣) + ( 矿，嚣) + ( p ，嚣) + ( ；( u 2 ( p ) 一u “一1 u ”) ， 詈) + ( 矿，嚣) 利用 ， j ( a o ，o ) 壶( j ( 嚣，o ) 一6 ( o ，嚣_ 1 ) ) 2i a 胪 铝0 2 和c a u c h y 不等式，h s l d e r 不等式及p o i n c a c e 不等式，得到 剐氐那c l l 馨1 1 2 州( ( “2 ( t ”) 一u - 1 u - ) ，0 ) i 5 1 + g ( 豇b # ( t ”) 一岛玩。( p ) 1 1 2 + l l q ”0 2 + i j f “1 1 2 + j i p 1 1 2 ) ， 4 其中 f f 诹“”) 一岛诹；o 驯j 2s g 出仁。诹班炉打， ( 2 _ 4 6 ) 1 4 l ( ( 铲( t “) 一u n - 1 u 4 ) ，嚣) l = f ( ( 8 一t z “一1 + t z “一1 一u “一1 ) ”，? ) f + l ( ( ，“一1 一矗“一1 ) ( u “一u “) ，嚣) + ( z 严一1 ( 札“一u ”) ，留) i = f ( ( 乱”一, t l , n - 1 ) “，o ) i + j ( ( 矿一1 + 0 ，满足当0 h h o 时有 i l ”i i o 。s1 ，n = 0 ，1 ，- ，工 则对充分小m ，对( 2 4 8 ) 应用g r o n w a u 引理得 f f e ；。e ( f f 叼8 2 0 。( 胪) + | f p 悒( l 。) ) + e 耋f | 0 2 + c a t 2 ( 翰2 二。) + | j 诹圳z ( ：) ) 进一步在( 2 4 4 b ) 中取w h = p 得到 ( p ，p ) + 6 ( 鬈，嚣) = 一( 矿，f ”) 一( ，f ”) + 如扣”，f ”) 一( ( t 2 ( 俨) 一u “一1 ，”) ，p ) ( 矿，“) 1 5 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) 利用c a u c h y 不等式，h s l d e r 不等式及乒不等式我们有 i k n l l 2 + 6 l 嗜圣2 c ( 1 l v “一1 l | 2 + 1 1 ：1 1 2 + 1 1 “一1 i | 2 ) + c a tj 盖二，l | 饥1 1 2 d v + c ( 1 + | | e n - 1 f f ：o 。) i f q “| 2 + c 0 + i i e r * - i | f ：。) | | e “ 1 2 ， 由( 2 4 9 ) ，( 2 4 1 0 ) ，并注意到对( 础有0 p l | 2 0 篮0 2 成立，因此 i l “l | 2 + i l ：旷c ( 1 l n l l 2 , 。( l 。) + i l p l l , 。( 弘) ) + c a t 量l k 1 1 2 + c a t 2 ( i i u l 2 ( l 。) + i f 毗f f 2 。( l 2 ) + 0 诹z 拙| | 主。( 舻) ) ， 对充分小t ，由g r o n w a l l 引理得 j j p j j 2 + j j 器j 1 2 曼g ( 帅0 2 叫驴) + i i p i i 知( l , ) ) f 2 4 1 1 ) + c a t 2 ( 】1 u t 0 2 。f 工：) + 1 1 矗h “1 1 2 。(