（机械设计及理论专业论文）基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究.pdf

博士学位论文 摘要 工程实际和科学研究中所考虑的问题越来越复杂，导致对应的近似数学模型 的规模也越来越大。虽然计算机的发展很快，但还是无法满足问题规模增长的需 要。因此，研究、发展更先进的数值算法就显得非常重要。理论上要求这种数值 算法一方面能够大大减小问题的规模、降低计算分析费用，一方面又能保证解的 可靠性、保留原结构的物理属性。实时计算方法就是在这样的背景下应运而生的。 本文综述了国内外实时计算方法的研究现状和进展，对实时计算方法进行了研究 和改进，实现了结构动力问题的时域和频域快速分析。所做的主要工作如下。 1 针对实践中对结构进行重分析的低效率问题，1 ) 采用敏感度分析方法对 结构特征空间进行了实时计算。该方法通过对结构进行敏感度分析，确定结构中 最为敏感的参数，由泰勒展式给出结构的固有频率变化与敏感参数变化之间的近 似对应关系。从而可以根据所要求得到的固有频率对结构进行修改设计，有利于 在对结构进行重分析时避免繁琐的反复求解工作该方法可以很容易地拓展到实 际结构的分析与设计中。2 ) 采用径向点插值方法对结构特征空间进行了实时计 算。该方法利用径向点插值方法，在参数域对每一个非样本点的支持域进行过点 插值，构造出具有d e l t a 函数性质的插值函数，能够实现参数域场变量的快速插 值近似。另外，还实现了其在复合材料层合板的波动特性分析中的快速计算，提 出了自适应插值的方法，能有效地控制插值的误差。 2 提出了基于减基法的结构动力分析实时计算方法。针对模态叠加法和直接 积分法这两种常用动力平衡方程求解方法，分别提出了对应格式的减基法。对于 前者，根据结构整体刚度矩阵和质量矩阵的参数相关特性分别提出了基于标准特 征值问题和基于广义特征值问题的快速求解方法。其基本做法是首先建立参数样 本，把样本参数对应的截断振型抽取出来构成一个减基空间，并且采用g a l e r k i n 映射方法把原特征值问题投影到其中，从而构造出一个减缩降阶了的特征值问题， 达到对特征值问题快速求解的目的。对于直接积分法格式的减基法，主要以 n e w m a r k 为基本求解器。为解决动力响应的时变性给构造样本空间带来的麻烦， 把时间也作为一个参数加入到参数空间进行训练，从而构造出与时间无关的减基 空间。与前面的做法类似，采用g a l e r k i n 映射方法把原n e w m a r k 增量式进行投影， 得到减缩降阶的n e w m a r k 增量式，从而实现动力平衡方程的快速求解。 3 在应用基于减基法的实时计算方法时，对不同形式的参数样本空间采样方 法进行了测试，并且提出了预采样方法，用以取代繁琐的参数敏感度分析对于 减基空间的构造，提出了基于贪婪算法的自适应取样方法。其基本做法就是，在 基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究 参数空间预采样的基础上，从某个预采样样本点开始，把该点作为第一个样本点， 把其对应的场变量向量作为第一个基向量对其他的预采样点进行减基近似。把预 采样样本的原解集与减基近似的结果相比较，找出减基误差最大的样本点，并把 该样本点加入样本空间，如此反复直到收敛由于此方法在控制误差的基础上自 适应地进行减基空间的构造，使得减基空间不至于过大，也不至于过小，从而避 免了计算效率与计算精度的取舍问题。 关键词：结构动力分析；实时计算方法；减基法 博士学位论文 a b s t r a c t t h ep r o b l e m sc o n s i d e r e di ne n g i n e e r i n gp r a c t i c ea n ds c i e n t i f i cr e s e a r c hb e c o m e m o r ea n dm o r ec o m p l e x , a sl e a d i n gt ot h ei n c r e a s i n gi nt h es c a l eo ft h ea s s o c i a t e d a p p r o x i m a t em a t h e m a t i c sm o d e l r a p i dd e v e l o p m e n ti nc o m p u t e ri ss u r p a s s e db yt h e i n c r e a s i n gd e m a n di nt h es c a l eo fp r o b l e m s t h u sm e t h o d st h a tc a ns i g n i f i c a n t l y r e d u c et h ep r o b l e ms i z ea n dc o m p u t a t i o n a lc o s tw h i l er e t a i nt h ea c c u r a c yo ft h e s o l u t i o na n dt h ep h y s i c so ft h es t r u c t u r e sa r eh i g h l yd e s i r a b l e t h er e a l t i m e c a l c u l a t i o nm e t h o d se m e r g ea st h et i m er e q u i r e i nt h i st h e s i s ，t h er e p o r t e dr e s e a r c h f r o ml i t e r a t u r e sa b o u tr e a l t i m ec a l c u l a t i o nm e t h o di si n t r o d u c e d b a s e do nt h eb a s i c t h e o r y , r e a l t i m ec a l c u l a t i o nm e t h o d sa p r o p o s e df o rt h es t r u c t u r a ld y n a m i ca n l y s i s h i g he f f i c i e n c yi sa c h i e v e db o t hi nt i m e - s p a c ed o m a i na n df r e q u e n c yd o m a i np r o b l e m s t h ew o r k so ft h i st h e s i sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w i n g ： 1 as e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o di sa d o p t e dt oo v e r c o m et h el o we f f i c i e n c yi nt h e r e a n a l y s i so fs t r u c t u r e s i nt h i sm e t h o d ，t h es e n s i t i v i t yi sp e r f o r m e dt of i n dt h ed e s i g n p a r a m e t e r t h ea p p r o x i m a t i o no fn a t u r a lf r e q u e n c i e si sg i v e nb yt h et a y l o re x p a n s i o n w i t hr e s p e c tt ot h ed e s i g np a r a m e t e r t h e ni ti se a s yt oo b t a i nt h er e q u i r e dn a t u r a l f r e q u e n c yb ym o d i f y i n gt h es t r u c t u r e sa n da v o i df u s s yw o r k t h i sm e t h o dc a nb e e x t a n d e dt oa n a l y s i sa n dd e s i g no fa c t u a ls t r u c t u r e s a tt h es a m et i m e ，r a d i a lp o i n t i n t e p o l a t i o nm e t h o d ( r p i m ) i ss u g g e s t e dt os o l v et h ef o r e g o i n gp r o b l e m t h e a p p r o x i m a t i o no ff i e l dv a r i a b l eb yr p i mi sp e r f o r m e di nap a r a m e t e rd o m a i n t h e s h a p ef u n c t i o no fr p i mp o s s e s sd e l t af u n c t i o n sp r o p e r t y t h i sm e t h o di sa p p l i e dt o f a s ta n a l y s i st h ew a v ec h a r a c t e r i s t i c si nac o m p o s i t em a t e r i a ll a m i n a t e dp l a t e t o r e d u c et h ee r r o ri nt h ea p p r o x i m a t i o n ，a na d a p t i v em e t h o di sp r e s e n t e df o rr p i m 2 r e a l - t i m ec a l c u l a t i o nb a s e do nr e d u c e db a s i sm e t h o d ( r b m ) f o rs t r u c t u r a l d y n a m i ca n a l y s i si ss t u d i e d t h ef o r m u l a t i o n sa r ed e v e l o p e df o rm o d a ls u p e r p o s i t i o n a n dd i r e c ti n t e g r a t i o n ，r e s p e c t i v e l y f o rt h ef o r m e r , g e n e r a l i z e de i g e n v a l u ep r o b l e m a n ds t a n d a r de i g e n v a l u ep r o b l e ma r es t u d i e da c c o r d i n gt ot h ep a r a m e t e rd e p e n d e n c eo f s t i f f n e s sa n dm a s sm a t r i c e s c o r r e s p o n d i n gt os a m p l es e t , t h er e d u c e db a s i ss p a c ei s c o n s t r u c t e db ye x t r a c t i n gt h et r u n c a t e de i g e n v e c t o r s t h ee f f i c i e n c yi m p r o v e m e n ti s a c h i e v e dt h r o u g hag a l e r k i np r o j e c t i o no fe i g e n v a l u ep r o b l e mo n t ot h er e d u c e db a s i s s p a c e n e w r a a r km e t h o di sa d o p t e dt od e v e l o pt h ef o r m u l a t i o no fr e a l t i m ec a l c u l a t i o n m e t h o db a s e do nd i r e c t i n t e g r a t i o n t oc o n s t r u c tat i m e i n d e p e n d e n tr e d u c e db a s i s m 基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究 s p a c e ，t h et i m es t e p i sa d d e di n t ot h ep a r a m e t e rd o m a i n t h er e d u c e dn e w m a r k i n c r e m e n t a lf o r m u l ai so b t a i n e db yp r o j e c t i n gt h ef u l ls y s t e mo n t ot h er e d u c e db a s i s s p a c e ，a sl e a d i n gt oe f f e c t i v e l ys o l u t i o no ft h ed y n a m i ce q u i l i b r i u me q u a t i o n 3 d i f f e r e n ts a m p l i n go fp a r a m e t e ri s a d o p t e dt ot e s tt h er e a l - t i m ec a l c u l a t i o n m e t h o db a s e do nr b m i nt h en u m e r i c a la p p l i c a t i o n ，t h ep r e s a m p l i n gt e c h n i q u ei s p r o p o s e dt or e p l a c et h es e n s i t i v i t ya n a l y s i s g r e e d ya l g o r i t h mi ss u g g e s t e dt oc o n s t r u c t t h er e d u c e db a s i ss p a c ea d a p t i v e l y i nt h i sa l g o r i t h m ，t h ev a r i a b l ev e c t o rc o r r e s p o n d i n g t oo n ea r b i t r a r yp o i n ti nt h ep r e s a m p l i n gs e ti n i t i a l i z e st h er e d u c e db a s i ss p a c e b y c o m p a r i n gt h e e x a c ts o l u t i o ns e ta n dt h er e d u c e db a s i sa p p r o x i m a t i o ni nt h e p r e - s a m p l i n gs e t , i tr e g a r d st h ep o i n tw i t hm a x i m u m e r r o ra st h en e x ts a m p l ep o i n t , a n dt h ec o r r e s p o n d i n gv e c t o ri se x t r a c t e dt oe n l a r g et h er e d u c e db a s i ss p a c e t h i s p r o c e d u r ew i l ln o tt e r m i n a t eu n t i li ti sc o n v e r g e n t d u e t ot h ea d a p t i v e l ys a m p l i n g ，i t w i l lg e n e r a t ear e d u c e db a s i ss p a c ew i t hs u i t a b l es i z e , a sa v o i d i n gt h et r a d e o f fb e t w e e n e f f i c i e n c ya n da c c u r a c y k e yw o r d s ：s t r u c t u r a ld y n a m i ca n a l y s i s ；r e a l t i m ec a l c u l a t i o nm e t h o d ；r e d u c e d b a s i sm e t h o d i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：璜函暂 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：省。扎坜 导师签名2 身南友乙 引被瓢 日期：矽莎，年，月，2 日 日期：小醪年l 、月l 入日 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 论文选题的研究背景、目的和意义 对于大多数工程实际问题，由于物体几何形状的不规则或介质的不均匀等原 因，很难甚至无法获得解析解，故一般都采用数值解法进行求解。目前数值解法主 要分为两大类。一类是有限差分法，在流体力学领域至今它仍占支配地位但对 于几何形状复杂的问题，有限差分法的精度很难令人满意，有时甚至无法求解。 另一类数值方法以有限单元法为代表。其基本思想是将连续的求解域离散为一组 有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体进行近似求解。从而使一个 连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。随着单元数目的增加，亦即 单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似 程度也将不断地提高。若单元满足收敛性要求，近似解将收敛于精确解 然而，当所考虑的物理问题越来越复杂，对应的数学模型也越来越复杂，现 有的计算方法渐渐难以满足工程实际的需要，特别是在需要求解多参数组合的偏 微分方程组时，这一问题变得更加突出即使是对稍微复杂的模型，解这些问题 的计算时间也令人无法忍受。例如，在机械零件或系统的设计、优化、控制和识 别表征中，需要对其进行反复的、可靠的甚至实时的性能或输出预测，比如能量、 载荷、临界应力应变、流率、压降、温度和通量等系统的输入就是这里的变化 参数，如几何参数、物理参数、边界条件和载荷等，且一个参数组合对应一个特定 的系统结构。这样，结构系统的行为就可以用输入输出关系来表达。对于实际的 结构，经典的方法如有限元法并不能满足实时得到输入输出关系的需要这是因 为，有限元方法是用一个有限维的近似解空间来代替无限维的真实解空间，要求 近似解空间的维数必须大到使得与真实解空间足够近似。然而这样给出的近似模 型的自由度通常非常大，达到几万甚至是几十万，需要耗费大量时间在建模和计 算上，以至于无法实时得到结构系统的响应。根据问题的规模大小，花费时间少 则几个小时，多则可以达到几个月。尽管计算机的速度越来越快，但始终跟不上 问题规模的增长速度。更有甚者，随着工程实际中结构的日趋复杂和对精度要求 的提高，有限元分析的计算规模不断扩大，使很多非常实用的功能如大型结构的 优化计算、长时程动态响应分析在单台微机甚至工作站上都无法进行更何况， 大多数的数值计算都是在个人电脑上完成的 工程设计和优化中通常需要实时地进行上千次的输入输出计算，而对于大型 结构系统的而言，对每一个特定的输入其计算费用都是非常高的。这就意味着， 基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究 我们无法对结构系统进行自适应设计和优化，对参数进行稳健的估计，或者对任 务和工序进行控制。例如对于一个机翼的设计问题，其形状和结构行为实际上是 由一些重要的参数( 输入) 决定的，其输出主要有剪切力作用下的最大变形和内 部桁架的屈曲极限。由于问题的参数空间非常大，对机翼的每一种可能结构都进 行分析是不太可能的。 因此，人们对基于有限元单元法的数值计算提出了新的要求，这种要求可以 归结为两点：( 1 ) 在解题规模上具有对特大型空间结构进行有限元分析的能力。 ( 2 ) 在尽可能短的时间内对结构进行非线性分析、稳定性分析或动力分析的能力。 这是对计算速度的要求。要满足这种要求，人们有两个选择：( 1 ) 采用更新更好 的计算机，使用最快的c p u 、大容量内存和硬盘。如有可能，甚至可以使用昂贵 的高端工作站( 2 ) 采用更高效的求解器技术这些新技术求解所需的计算量和 存储空间与传统技术相比要小得多，能充分发挥计算机硬件的计算潜力。选择前 者则依赖于硬件的升级，这就意味着在计算机硬件上的昂贵投入选择后者则意 味着算法的改进与新算法的应用。人们往往倾向于选用更新更快的计算机，而不 是选择更好的算法，来满足这种需求。实际上，即使是在现有硬件保持不变的情 况下，好的算法也能成倍、数十倍甚至是上百倍地提高解题速度。如果结合新的 计算机硬件，则提速效果将更为显著。许多原本需要耗费大量机时，或者在当前 计算机硬件条件下无法求解的问题，就可以在很短的时间内求解完成 综上所述，在结构分析特别是在大型空间结构分析中引入高效的求解器技术 势在必行实时计算方法就是在这样的背景下应运而生的。 本研究对大规模实时计算理论和技术进行了系统而深入的研究，以解决现代 工程数值计算及计算力学中普遍存在的计算过分耗时的瓶颈问题，以期大幅度提 高计算效率最终目标是，使得研究出的数值方法能够在设计、优化、控制和识 别表征中得到有效的利用，并且真正与工程实际相结合。 1 2 实时计算方法研究现状分析 自从实时计算方法的概念提出之后，国内外越来越多的研究人员投入到这种 方法的研究中，并已经出现了一些理论和技术成果，而且某些技术已经进入商业 应用，总结起来主要有以下几种方法。 1 变量化设计方法( v a r i a t i o n a ld e s i g nt e c h n o l o g y ) 这项技术由a n s y s 公司旗下的研究小组c a d o e 开发的，是商业软件a n s y s 的一个功能模块。该方法的要点如下：基于泰勒展式，位移响应可分解为两部分 之和：中心值的位移响应，中心值位移响应对变化参数的偏导。通过有限元可求 解两部分的值，进而获得参数变化后的结构位移响应。变量化设计方法将有限元 方法与泰勒公式相结合，耗时的有限元计算只进行一次或少数几次，在改变系统 2 博士学位论文 参数后不用重新进行完整的有限元计算，而是利用函数近似方法在很少的计算量 下快速获得需要的响应值。 变量化设计方法【l 】在处理某些简单问题时确实能达到实时计算的效果，且有 一定的精度，但也存在较大缺陷：泰勒展式在展开点的附近才能保持其精度，如 果参数值变化过大势必造成较大误差；且准确的误差估计十分困难；计算函数的 高阶导数复杂且计算量庞大，影响其实用性；这一方法目前只适用于极小范围内 改变参数的线性静态分析，对于非线性问题其位移响应对于变化参数的偏导很难 求得，因此很难有效地应用。 2 人工神经网络法( n e u r a ln e t w o r k s ) 人工神经网络的研究至今已有6 0 年的历史，每年有大量研究成果问世，发表 的论文数以千计，其应用领域极为广泛。它模仿人脑结构及智能行为，有大规模 并行处理、容错、自组织和自适应的能力。作为一种新颖的建模工具，人工神经 网络不像专家系统一样需要事先建立知识库，知识的获取只需足够的训练样本， 训练合格的网络将知识存储在权系数中 人工神经网络1 2 】只需少数的一些样本对系统进行训练，当训练结束后即可脱 离实际问题模型进行离线实时计算：人工神经网络能够模拟现实系统复杂的输入 输出关系，具有很强的非线性建模能力；近年来神经网络被用于反推，并取得了 一些成果【3 1 。然而，工程实际中，系统的输入与输出往往非常复杂，参数多、数 据量大，很难通过一些样本去训练出一个有效的神经网络模型来模拟众多参数的 关系，这就使得人工神经网络技术在产品的实时设计中受到很大限制。尤其是， 准确的误差估计在人工神经网络法中几乎无法进行，从而大大影响结果的可信度 因此，很难将人工神经网络发展成在实际工程应用中可靠的实时计算工具。 3 基于插值的实时计算方法 基于插值的实时计算方法 4 1 十分简单、明了，可用于复杂非线性问题。这类 方法的基本思想是：通过事先在参数域选择离散样本点，进行离线计算、存储好 样本点的响应在线使用时，给定的新参数下的结构响应可通过对周围离散样本 点进行插值而实时获得。这种方法看似简单，但目前只能使用正规格点。然而离 散的参数域包含了所有可能的参数变化情况，样本点不可能总在正规格点上。因 而插值形函数不是很容易就能构造出来。因此该方法只能用于单个参数的问题， 如果是大于2 维的参数空间，应用该方法将是十分笨拙和低效率的。这是因为基 于正规网格插值时，样本数成几何级增加。因此，该方法很难在工程实际问题上 使用，这是该类算法必须改进的地方l i u t 7 】等在进行无网格法的研究中，成功 地使用了径向基函数基于乱点插值构造了两种无网格形函数，即r p i m 和m l m 形函数这些形函数具有d e l t a 函数特征，从而能进行有效地“过点 插值如果 把这一思想用于开发实时计算方法，则参数域中的样本点的选取可以是任意的， 3 基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究 从而可大幅度减少样本点的数量，大大提高离线阶段的计算效率。 国内在实时计算方法的研究还是处于起步阶段。这方面的论文与资料少之又 少，而且主要是停留于应用层面，并未对这些算法的基础理论进行深入的研究。 相比之下，神经网络的应用较为广泛，但是因为其自身的局限性，并未在实时计 算中发挥很大作用有少数国内研究人员在工程实际中运用了变分法、减基法及 两种方法的结合，但都只是简单的套用。而且现在市场上用于实时计算的商用软 件并不多见，这就使国内在有些产品的开发上无法提高效率，某些涉及到大数据 量的优化设计或参数反推等计算难以有效进行。 1 3 大型结构系统的动力分析实时计算方法 1 3 1 模型降阶方法 和静力分析相比，结构动力分析的计算工作量要大得多，因此提高效率、节 省计算工作量的数值方案和方法更是动力分析研究工作中的重要组成部分。随着 需要进行动态分析的结构复杂程度的提高和人们对其动态特性要求的增加，结构 动力分析的时间和费用也急剧地上升。为了解决该问题。人们提出了各种各样的 模型降阶方法 一般传统的结构动力降阶方法可以分为四类：第一类是动力缩聚法，第二类 是基于k r y l o v 子空间技术的方法，第三类是采用k a r h u n e n l o e v e 展开( 或叫做正常 正交分解法) 技术的方法，还有一类就是基于h a n k e l 范数近似和平衡截断技术的 方法。开发降阶方法的动机来自于要为电路模拟、结构动力学和微电子机械系统 等动力系统提供一个高效的模拟工具。这些传统降阶方法基本的和共同的思想是 把系统的高维状态空间投影到一个低维的状态空间中去，这样就可以产生原来系 统的一个降阶模型。相比较而言，前三类方法应用比较多，这里对其做一个简要 的介绍 动力缩聚法是通过减缩系统中一些对系统影响小的自由度实现系统降阶，对 于无阻尼和粘性阻尼系统比较有效，但不适合于粘弹阻尼系统。动力缩聚法作为 一种模型降阶方法，由于其是在物理空间内实施坐标减缩，因而已被广泛地应用 到系统的特征分析、试验分析模型的相关工作、故障诊断、动力修改、参数识别、 振动的主动控制和有限元建模等许多领域中。自从g u y a n t 8 】和i r o n s 9 于1 9 6 5 年首先 提出该方法以来，人们对此进行了大量的研究，提出了很多有效的方法。动力缩 聚法可分为单步法0 0 1 、两步法【1 1 】和多步方法。迭代法是一种具有代表性的多步法， 由于该方法是通过迭代来提高缩聚精度的，因此就精度而言，该方法优于前两种 方法。文献 1 2 首先较完整地提出动力缩聚的迭代求解方法，但该文是针对标准 特征值问题而言的，对于广义特征值问题则需要通过对质量矩阵进行c h o l e s k y 分 4 博士学位论文 解和对分解后的矩阵求逆，将其转化为标准特征值问题。文献 1 3 对此进行了推 广，使其能直接应用于广义特征值问题。文献 1 4 对i r s 法引入了迭代技术。得出 迭代i r s 法。文献 1 5 提出了一种基于矩阵广义逆的迭代方法，在通常情况下该方 法的精确稍高于前面一些方法，但其计算量较大。已有的动力缩聚迭代法文献 1 2 - 1 5 主要存在以下三个缺点：其一是，迭代收敛速度较低，尤其是当降阶模 型的特征对逼近精确值时，其收敛速度极低：其二是，迭代格式的收敛性证明非 常困难，因此到目前为止还没有文献报道这方面的研究；其三是计算量较大，尤 其是当主自由度数较大时。另外，c h p a r k t l 6 】等以悬臂粘弹材料梁为对象，分别 用动力缩聚和内平衡方法进行了模型降阶研究，结果表明动力缩聚后的模型并不 能保持复合结构原模型的动力学特性。 正常正交分解法广泛地用于工程应用和科学研究中以获得低维降阶动力模 型。其基本思想是，从一个叫做“快照一的数据集开始( 这些“快照一是从物理 系统的试验或者数值模拟获得的) ，利用正常正交分解法从这些“快照一中产生一 个基函数集，同时从某种意义上抓住系统的主要动力特性【1 7 1 然后利用g a l e r k i n 映射把系统投影到由基函数集产生的一个子空间中，从而形成一个降阶系统这 种方法广泛用于获取许多大规模的线性动力系统的降阶模型，如：计算流体动力 学【m 搠，流体结构耦合系统【枷，涡轮机系统1 2 1 2 扪，流体的优化控制t 2 m 们。近来， 正常正交分解法在非线性系统跚、非线性结构动力学【2 6 1 和非线性微电子机械系统 设备【2 7 1 等方面的应用有了快速的增长此外，正常正交分解法还被用来为结构参 数化建立降阶模型。 在过去的几年中，也有不少人致力于基于k r y l o v 子空间技术的降阶方法的研 究，用于系统的高效建模和快速动力特性模拟。其基本思想是，通过构造一个由 正交归一化基函数构成的子空间，把原系统投影到其中，用以近似原系统的传递 函数【加。由于该方法具有鲁棒性和较低的计算耗时，可以有效地用于建立许多大 型线性系统的降阶模型，而且在工程实际中有着广泛的应用，比如：结构动力学 1 2 9 1 ，流体流的优化控制【3 0 l ，电路设计1 3 卜3 2 1 ，涡轮机1 3 3 】等许多基于k r y l o v 子空间 技术的线性降阶方法已经拓展用于弱非线性问题中。其优点是可以把非线性问题 用标准线性或双线性降阶方法进行处理后的简化形式来表示。这种简化形式是采 用泰勒展式来对多维非线性函数进行线性或者双线性化【3 4 1 对于高非线性系统i s 5 1 ， 则是采用分段线性化方法进行线性化。此方法中，是把非线性系统表示成一些线 性模型的组合，而线性模型则是在状态空间的不同线性化点上由一个固定的训练 输入产生的 对于以上所提到的传统降阶方法有以下几个方面需要指出。首先，基于插值 过程的降阶建模对参数变化的捕捉是启发式的；其次，由于缺乏对非线性问题的 有效表示，而且降阶模型的计算量会随着对非线性问题的近似程度呈指数增长， 5 基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究 开发对非线性问题的降阶模型仍然是一个持续和公开的挑战：第三，这些降阶方 法所产生的降阶系统跟原来的大型系统相比在自由度上的降阶并没有很大的优 势，由其产生的计算效率的提高也是非常有限；最后，把这些方法所得到降阶系 统的解往原来的大型状态空间反投影时并不是一件很容易的事，而且对最终投影 出来的近似解缺乏一个有效的手段来保证其精度。因此，开发能降低系统自由度、 极大提高计算效率，同时又能使降阶系统继承原系统的物理属性和结构特点的降 阶方法是非常必要的。 1 3 2 减基法( r e d u c e db a s i sm e t h o d ) 1 3 2 1 减基法的基本思想及其发展 工程实际中往往涉及到很多的输入参数，而工程人员真正感兴趣的输出都不 很多。在如此众多的参数空间中，如果要计算所有可能的参数组合下的结构场变 量几乎是不可能的。何况用有限元、无网格等方法每执行一次完整的计算过程都 将花费很长的时间。 减基法( i m m ) 是近年来发展起来的一种实时计算方法。其基本思想是当系 统由多个参数来描述时，这些参数的不同组合会使系统方程有不同的解( 或有限 次试验结果) ，而系统在新参数下的解可以用事先设计的样本参数组所对应解的 线性组合来得到。实际上就是通过系统在样本参数空间的系列解构造出一个正交 归一的减缩空间，把原来的大型系统投影到其中，形成一个减缩系统，通过快速 解新参数下的减缩系统来降低原大型问题的计算和存储费用。这种方法在对结构 进行自由度缩减的同时能很好地保持原系统的物理属性但是值得注意的是，这 实际上也是一种参数域的插值方法，要求场变量本身跟参数之间应该有一个比较 光滑的关系，才能保证近似的精度。如图1 1 所示： 图1 1 减基近似示意图 6 博士学位论文 减基法最初是用于单参数结构非线性问题的后来n o o r a k 教授把这种方法 拓展到了多参数问题中i 艄7 l ，而且做了进一步的拓展，应用到了先验误差分析中 但大多数早期的相关工作都是把精力集中在了基于局部近似空间的减基法的效率 和精度问题。实际上，跟传统的降阶方法相比得到的效率提高非常有限文献【3 耐 提出了一种全局近似方法，通过在全局提取参数样本，把偏微分方程的解用参数 样本空间的解来近似，使得减基法的效率和精度得到了很大的提高然而，至此 并没有提出严格的误差分析特别是后验误差估计来验证减基法的近似误差 近来，美国麻省理工学院的p a t e r a 教授【3 o 】所带领的学术小组对减基法做了进 一步深入的研究，主要有以下几个方面的工作【3 1 ：( 1 ) 提出了全局近似空间；( 2 ) 提出了严格的后验误差估计方法；( 3 ) 把减基法的计算过程分成了离线、在线两 个阶段。特别是，m a d a y 【( 1 】【，1 】从理论上给出了减基法的先验收敛以证明其一致指 数收敛性质。m a c h i e l s l 4 0 记】等开发了针对强制参数仿射形式椭圆线性问题和广义 特征值问题的减基法，但其针对的是线弹性问题中的临界屈曲载荷，只考虑最低 阶特征值的近似。文献 5 3 3 中，r o v a s 对减基法做了进一步分析，并且把减基法拓 展到了许多不同种类的偏微分方程( 包括非强制椭圆和抛物线线性问题) 的求解 中。v e r o y 4 3 m 州把提出了几种边界调解算符用来产生严格和确定的后验误差估 计算子，而且把减基法应用于二次非线性问题中( 例如稳态不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程【4 刀) 。s o l o d u k h o v t 5 5 1 提出了针对非仿射问题和非线性问题的减基近似策略 另外，减基法在非线性结构分析、液体流问题、复合材料板的分叉和后屈曲 分析和非线性稳态热分析中也有了广泛的应用。除此之外，m a c h i e l s t 硒】等还把减基 法用于散热片的形状优化中a l i t 5 7 1 把减基法和评估一预测一优化方法相结合用以分 析数据不确定的系统设计中的上、下限文献 5 8 5 9 中，g r e p l 针对线性和非线 性时变问题提出了新的误差估计方法，且用于自适应优化控制问题中 1 3 2 2 减基法在静力学问题中的应用 对于一般的静力学问题，其控制方程为： 置) x ( ) = f( 1 1 ) 其中可以为多个参数，表示一种参数组合。引入样本参数空间t = 4 ，脚 ( 1 2 ) 由样本参数空间对应系统的解构造减基空间： w = 印册 x ( 朋) ，x ( 脚) ( 1 3 ) 注意其中各个向量之间应该是线性无关的。为了保证向量的这一性质，则需 要对向量进行正交归一化 此时，系统的总能量可以用下式来表示： 7 基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究 ，；昙r 麟一r f ( 1 4 ) 按照减基法的基本思想，在减基空间中新参数下系统的解可以近似表示成： x = z a ( 1 5 ) 可得： j = ，t - a r 矿k z a - a r z r f ( 1 6 ) 其中： z = x ( 一) ，。，x ( 鳓) ) ( 1 7 ) 根据最小能量原理，令 _ o a r ：o ( 1 8 ) 一= u - - 6 - 、， 即得到新参数下的减缩控制方程： z r 置( ) 历( ) = z r f ( 1 9 ) 或者写为 置( ) 口( ) = ( 1 1 0 ) 如果这里减缩系统的自由度远远小于原来系统的自由度，则系统在新参数下的 方程求解效率就可以得到很大的提高。 按照p a t e r a 教授的思想，整个减基近似的计算过程还可以分解为离线、在线两 个阶段，以进一步提高计算效率。其中很重要的一个环节，就是计算模型的参数 化，需要把系统的刚度矩阵变换成两部分之积，一部分是与参数无关的矩阵，而 另外一部分则是包含了参数变化信息的系数 置( ) ；兰d ) ( 1 1 1 ) q - ! 建立参数样本空间计算近似响应 上t 构造减基空问求解减缩静力方程 上t 投影参数无关矩阵生成减缩系统矩阵 矩阵组合 t 离线阶段在线阶段 图1 2 减基近似过程的离线在线分离 博士学位论文 把刚度矩阵进行了参数分离后，计算过程就可按如图1 2 所示进行离线在线分 离了由于离线阶段只需执行一次，而且其计算结果可以在在线阶段反复调用。 这样一来，当参数变化时，无需重新生成系统的刚度矩阵，从而保证了整个在线 阶段计算的高效性。 1 3 2 3 减基空间的构造方法 采用不同的基空间构造方法有可能带来不同的计算结果，所以具体情况下应 该选择合适的基空间构造方法。总结起来，目前已有的减基空间的构造方法大致 包括以下几种( 假设原结构的自由度为刀，且一n ，朋) 1 、l a g r a n g e 方法 以控制方程在不同参数下的解作为基向量构造减基空间 矽= 印删 x ( m ) ，x ( 鸬) ，x ( 鲰) ) ( 1 1 2 ) 其中x 姐) 表示在给定参数时的响应，减缩系统的大小为n x n 。 2 、t a y l o r 方法 以控制方程的解对参数的连续导数作为基向量构造减基空间 n 册 x ( 础篆，等，翻 坳 上式给出的是单参数时的表达减缩系统的大小亦为n x n 3 、h e r m i t e 方法 h e r m i t e 方法实际上是由t a y l o r 方法和l a g r a n g e 方法演化而来的混合方法 = 嬲卜魄) 嚣差, , x l u d , 薏) m ) 此时减缩系统的大小为2 n 2 n ，此时仍满足疗2 n 。 4 、l a n c z o s 向量法 以l a n c z o s 向量为基函数构造减基空间 矽。= 印鲫 五磊，五，瓦 ( 1 1 5 ) 互= 置一f ，e = 置一m r , ，毛= 置_ 1 m t , j d a oe a l = 置- 1 朋互卜l ( 1 1 6 ) 其中的l a n e z o s 向量在每次代入后式之前都需要进行正交归一化 正交化： 霉= 霉一嘞弓 其中： 嘞= 矸嵋 归一化： 9 基于实时计算方法的结构动力快速分析方法及其应用研究 互= 霉属 其中： 届：( 彳崛) v 2 减缩系统的大小为m m 。 5 、k e y v o l 子空间法 w ”- - s p a n f ，眉f ，置2 f ，置”一1 f l ( 1 1 7 ) 减缩系统的大小为m x m 。 在这些减基空间构造方法中，l a g r a n g e 方法和k e y v o l 子空间法最为常用。一 方面是由于在t a y l o r 方法和h e r m i t e 方法中需要求出场量对参数的偏导数，而很 多时候偏导数却很难获得。另一方面，l a n c z o s 向量法中都需要对刚度矩阵求逆， 而对大型系统求逆本身就是一个非常耗时的过程。 1 3 2 4 参数空间采样方法 考虑结构的参数是可变的，则参数常常存在多种组合。在构造减基空间时， 需要选出一些样本参数组合来，而且须能大致覆盖参数空间。这样构造出来的减 基空间才会是具有代表性，可以用其来近似整个解空间，同时又能保证计算效率 能得到足够的提高。总结起来，参数空间采样方法大致有下面几种。 l 、对数采样方法 l n ( a i , , 4 - 1 ) = 若1 1 1 ( + 1 ) ( 渊，) ( 1 1 8 ) 2 、等间隔均匀采样方法 “= 兰( f = l