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东北大学硕士学位论文摘要 指数分布尺度参数的区间估计 摘要 参数的置信区间表示该参数的取值范围和可信程度，在置信水平给定的条件下，置 信区间的平均长度越短，估计的精确度就越高。如何构造合适的统计量，使得构造出的 置信区间的平均长度尽可能短是一个重要的统计学问题。 指数分布是可靠性工程中最重要的分布之一，对其参数区间估计的研究有一定的理 论意义和实用价值。本文主要针对小样本情况，研究指数分布尺度参数的区间估计问题。 第二章讨论了单参数指数分布尺度参数基于选定枢轴变量的最短区间估计方法，根据假 设检验与区间估计之间内在的联系，通过似然比检验推导出尺度参数在无偏估计类中最 短的置信区间；第三章针对双参数指数分布，在位置参数未知的条件下，利用尺度参数 致最小方差无偏估计构造枢轴变量推导出该参数的置信区间，同时又利用似然比检验 法求出尺度参数置信区间，两种方法所得结果相同，最后给出了尺度参数的定数截尾估 计；第四章根据p i t m a n 准则下点估计改进的思想，给出了尺度参数区间估计的一种新 方法，并证明了通过这种方法确定的置信区间在置信水平和精确度上都有了改进。 关键词：指数分布；尺度参数；置信区间；枢轴变量；置信水平 一i i c o n f i d e n c ei n t e r v a lo fs c a l ep a r a m e t e r f o r e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n a bs t r a c t t h ec o n f i d e n c ei n t e r v a lo fu n k n o w np a r a m e t e rr e p r e s e n t st h er a n g eo fv a l u e sa n dt h e r e l i a b i l i t ya b o u te s t i m a t i o no fp a r a m e t e r u n d e rg i v e nc o n f i d e n c el e v e l ，t h es h o r t e rt h e a v e r a g el e n g t ho fc o n f i d e n c ei n t e r v a li s ，t h eh i g h e rt h ep r e c i s i o no fe s t i m a t i o ni s s oi ti sv e r y n e c e s s a r yt or e s e a r c ht h es t a t i s t i c a lp r o b l e mh o wt oc o n s t r u c tp r o p e rs t a t i s t i c st om a k et h e a v e r a g el e n g t ho fc o n f i d e n e ei n t e r v a l 嬲s h o r t 船p o s s i b l e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o ni sa ni m p o r t a n td i s t r i b u t i o ni nr e l i a b i l i t ye n g i n e e r i n g t h i sp a p e r m a i n l yd i s c u s s e st h ec o n f i d e n c ei n t e r v a lo fs c a l ep a r a m e t e rf o re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nu n d e r t h ec o n d i t i o no fs m a l ls a m p l e i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h em e t h o d so ft h es h o r t e s tc o n f i d e n c e i n t e r v a lo fs c a l ep a r a m e t e rb a s e do nc h o s e np i v o tv a r i a b l e sf o rs i n g l ep a r a m e t e re x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n b e c a u s eo fr e l a t i o n s h i pb e t w e e nh y p o t h e s i st e s ta n di n t e r v a le s t i m a t e s ，t h e u n i f o r m l ym o s ta c c u r a t eu n b i a s e dc o n f i d e n c ei n t e r v a lt h r o u g hl i k e l i h o o dr a t i ot e s ti sp r o v i d e d i nc h a p t e r3 ，c o n f i d e n c ei n t e r v a l so fs c a l ep a r a m e t e rf o r t w o p a r a m e t e re x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o nw i t hl 瑚o l o w nl o c a t i o np a r a m e t e rt h r o u g ht h ep i v o tv a r i a b l e sb a s e do nu m v u e a n dl i k e l i h o o dr a t i ot e s ta r ei n t r o d u c e d t h er e s u l t sb yt w ow a y sa b o v ea r et h es a m e f i n a l l y , c o n f i d e n c ei n t e r v a lo fs c a l ep a r a m e t e rb a s e do nt y p ei ic e n s o r i n gd a t ai sa l s op r o v i d e d i n c h a p t e r4 ，a c c o r d i n gt ot h ei d e ao fi m p r o v e dp o i n te s t i m a t e su n d e rp i t m a n m e a s u r eo f c l o s e n e s s ，an e wm e t h o do f c o n s t r u c t i n gc o n f i d e n c ei n t e r v a lo f s c a l ep a r a m e t e ri sp r o v i d e d i ti sp r o v e dt h a tt h ei m p r o v e dc o n f i d e n c ei n t e r v a l sh a v eb e t t e rp e r f o r m a n c eo n c o n f i d e n c el e v e la n dp r e c i s i o n k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ；s c a l ep a r a m e t e r ；c o n f i d e n c e ，i n t e r v a l ；p i v o tv a r i a b l e ； c o n f i d e n e el e v e l i i i - - 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：上寿 日期： 2 0 0 0 ，；3 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名：王涛 导师签名： 打务 f 签字日期： 2 夕d 歹。3 ；签字日期：积芗乡 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 对于一个未知量，入们在测量或计算时常不以得到近似值为满足，还需要估计误差， 即要求知道近似值的精确程度( 亦即所求真值所在的范围) 。类似地，对于未知参数0 ， 除了求出它的点估计外，还希望估计出一个范围，并且知道这个范围包含参数秒真值的 可信程度，这样的范围通常以区间的形式给出，同时还给出此区间包含参数0 的可信程 度，这种形式的估计称为区间估计，这样的区间即所谓置信区间。 现今最流行的一种区问估计理论是原籍波兰的美国统计学家n e y m a n 在2 0 世纪3 0 年代建立起来的，随后得到广泛发展，现已成为统计学中基本而重要的方法，广泛地应 用于经济与生产实践中。在正态总体的情况下，已有多种经典的估计方法，早在1 9 6 4 年，s t e i n 【l l 利用样本均值与样本方差比值给出芷态总体方差点估计的改进方法，随后， b r o w n 2 1 将s t e i n 结果进一步扩展。而区间估计问题在某些方面与点估计是相似的，t a t e i 和k l e t t i 习推导出正态总体方差基于样本方差的最短区间估计，c o h e n 4 】将b r o w n 的结果 应用于方差区间估计，通过这种方法所确定的置信区间在精确度一定的条件下使得置信 水平有了改进，在1 9 9 0 年g o u t i s ，c a s e l l a t 4 1 】【4 2 1 和s h o r r o c k 4 3 l 在以上成果基础上给出了 正态总体方差区间估计一种新方法，通过这种方法所确定的置信区间在置信水平和精确 度上都有了改进。国内也有些专家学者做过相关的研究，例如朱宏，吕恕f l0 j 给出了正 态总体位置参数基予不完全数据的区间估计，王炳兴1 1 7 1 给出了对数正态总体参数区间估 计，王建华，张来成【1 8 1 在传统方法基础上，利用l a g r a n g e 乘子法给出了正态总体方差 的最短区间估计等。 1 2 基本概念 定义1 1 设样本x i ，x 2 ，x 。来自分布函数为f ( x ；目) ( 口为未知参数) 的总体，对于 给定的常数口g ( o 1 ) ，如果存在两个统计量岛= o i 似；，x ：，x 。) 与 0 2 = 0 2 似，。x ：，x 。) 满足 局 硪 0 岛) l 一口，v o 毫o ( 1 1 ) 一l 一 东北大学硕士学位论文 笫一章绪论 则称随机区间 ，吼) 是参数秒的置信水平为l 一口的置信区间。 由概率性质易知 p 卜 0 + ) = 1 即 户矽岛 + 尸识 0 岛 + j p p 岛 = l ( 1 2 ) 由置信区间定义得 j p 汐b ) + 尸矽岛) 口( 1 3 ) 故可得到与定义1 1 等价的定义1 2 。 定义1 2 设总体z 分布函数为f ( x ；o ) ，其中秒为未知参数，对于给定的常数 口( o ，1 ) ， 由来自总体x 的简单随机样本x ，x ：，x 。确定的两个统计量 幺= q 似，x ：，x 。) 和吼= 0 2 似。，：，x 。) 满足p e 幺) 拳，0 口。 口和 尹p 0 2 = 口2 ，0 口2 口且口l + 口2 口，则称随机区间 ，岛) 是椤的置信水平为1 一岱 的置信区间。 说明：在定义1 1 中，口是事先选定的，与假设检验类似，对给定的置信水平i 一口， 人们总是力图构造这样的区间估计，使得( 1 1 ) 式得到满足，并且至少存在一个0 0 ， 使得乓以( x ) 0 吼( x ) 嚣l 一口，这意味着置信水平被“足量”使用了，以满足区间 的精确度尽可能高的要求。 区间估计的要旨是充分使用样本提供的信息，做出尽可能可靠和精确的估计，有了 样本x ，x ：，x 。，就要把口估计在区间 ，岛) 之内，不难理解，这里要有两个要求： ( i ) 矽要以很大的可能性落在区间 ，0 2 ) 内，也就是说概率局概 0 皖 要尽量大。 ( 2 ) 区间长度岛一b 要尽可能小，或某种能体现这个要求的其它准则。 故此，评价区间估计的优良性有两个要求，其一是置信水平( 可靠度) ，即区间包 含未知参数概率的大小；其二是精确度，即衡量置信区间的长度，因置信区间是随机区 间，故应使用平均长度乓慨一只) 作为精确度的度量。平均长度俞小俞好，但在样本大 小一定的条件下，这两者是矛盾的，犹如假设检验中犯第一类错误的概率与犯第二类错 一2 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 误的概率这一对矛盾，完全与n e y m a n 和p e a r s o n 的假设检验理论的基本思想类似，而 区间估计理论和方法的基本问题莫不在于已有样本资源的限制下，怎样找出更好的估计 方法，以尽量提高二者置信水平和精确度，但终归有一定的限度。n e y m a n 提出并 为现今广泛采用的原则，在使得置信水平达到一定要求的前提下，寻找精确度尽可能高 的区间估计，也就是寻找区间平均长度尽可能短，或者区间包含非真值的概率尽可能小 的区间估计。 通常，我们通过使用枢轴变量来推导参数的置信区间，或者用某个量的渐近分布( 中 心极限定理) 获得参数的置信区间，但是在样本容量不太大时，并不能保证渐近分布咐 精确性，本文主要研究小样本下参数区间估计问题，故采用枢轴变量法推导参数的置信 区间。欲构造参数0 的置信水平为l 一口的置信区间，我们首先考虑0 的m l e 或充分统 计量，然后据此得到一个统计量m ( x ) ，并基于m ( x ) 构造枢轴变量，然后推导0 的置 信区间。 定义1 3 设样本x 的分布族为 岛( x ) ；口0 ) ，其中口为分布的参数，设r = 丁( x ) 为 一统计量，若在已知f 的条件下，x 的分布与参数0 无关，则称歹是充分统计量。 定义1 4 设x = 似。，x ：，x 。) r 是来自分布族忆( x ) ；护0 的独立同分布的样本， 随机变量t = 丁( x ；印是样本与参数0 的函数，而它的分布又必须与参数秒无关的已知分 布，具有这一特性的随机变量称为枢轴变量。一般地，r 常是充分统计量或点估计的函 数。 给定的枢轴变量t = r ( x ；d ，设其分布密度函数为g ( 功，对予给定的常数口( 0 ，1 ) ， 选取两个常数正和正( 墨 疋) ，使得 p 矗 丁( x ；p ) 疋 = l - a ，v 口o ( 1 4 ) 如果下面两个不等式可以相互转化 互 r ( x ；o ) 疋最( x ) 0 0 2 ( x ) ( 1 5 ) 那么 岛靓( x ) 9 吼( x ) = l 一口，v o o ( 1 6 ) 则区间 ( x ) ，岛( x ) ) 为参数矽的一个置信水平为l - o r 的置信区间。 一3 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 对于枢轴变量t = t ( x ；o ) ， 令 尸k 0 ) 中 任元素0 。，口z ) ，由等式9 9 ) 魂= 口。和 g ( t ) d t = o t ：都能确定出口，b 满足 f g ( t ) d t = 1 一口，从而由不等式口丁( x ；口) 6 可解出无穷多个随机区间亿( x ) ，疋( ) ) 使 得b 敬( x ) 0 设x 。，x ：，x 。是来自上述总体的一个容量为，l 的简单样本，样本均值为 叉= 吉缸。 2 2 尺度参数区间估计最短化 引理2 1 设x ，x 2 ，以是来自单参数指数分布e p ) 的- - + n 单样本，则 g 。霉型。x 2 ( 2 拧) 。1 1 5 l 仃 由引理2 1 知，对于给定的常数口毫( 0 ，1 ) ，有 令 忆m 肿。唾 卜高2 n x 毒卜 一6 一 东北大学硕士学位论文 第二章单参数指数分布尺度参数的区间估计 p 咖出小量，p 刖如川出= 詈 其中g ( x ，力表示z 2 ( 2 n ) 分布的密度函数。 孙一叫萄葶 o 而枢轴变量q 的概率密度函数显然是单峰非对称函数，故用上述方法得到的置信区间 p p g 。 6 ) = g ( b ，刀) 一g ( a ，押) = l 一口 ( 2 1 ) 其中g ( x ，力) 是g 。的概率分布酾数。 由此我们得到尺度参数置信水平为l 一口的置信区间f 垒当，塑丝1 。 id口j ( 丝a 一丝bm aj b ) 2 仃 ljl， 根据n e y m a n 区间估计理论的基本思想，我们需要解下述的条件极值问题： m m i n ( 1 口一i 1 ( 2 2 ) 【p 口 时，矗( x ) 悬严格单调递减的，即而( 嚣) 是单峰非对称函数，而当石趋于正 无穷大或零时。办( 善) 趋予零。为了保证a 2 ( 玎+ 1 ) 时，g ( 6 ，玎) 一g ( 6 ) ，一) 是随身严格单调增加的，另外当b 趋于无穷大时，口= 【，( 6 ) 从大 于零的一侧趋于零；而当6 在大于2 ( n + 1 ) 的一侧趋于2 如+ 1 ) 时，a = u ( b ) 从小于2 ( n + 1 ) 的侧也趋于2 ( n + 1 ) ，因此有 3 受弦( 6 ，门) 一g ( u ( 6 ) ，刀) 】= 1 o 一+ 啊 一 l i m l 】f g ( 6 ，力) 一g ( u ( 6 ) ，刀) 】高0 而0 1 一口 0 由 那么区间( 口，b ) 是满足条件( 1 ) 的所有置信区间中最短的。 证明：根据f ( x ) 的单峰性及条件( 2 ) 知，必然存在极值点x 满足a x b ， 假设存在区间( 口，b 。) 满足条件( 1 ) ，并且6 一a b a 。 设口 a 同理可证。 若b a ，那么a b a x ，则有 l 一倪= e 厂( x ) 出 厂( 6 ) ( 6 一口) ( 口) ( 6 。一口)l 一倪= j ：厂( x ) 出 ，( 口) ( 6 。一口) 由 显然矛盾，即b a ，那么a a b 6 ，则有 f 厂( x ) a x f ：厂o ) a x = ojf ：厂o ) a x = f ：几) a x 而 厂( 口) ( 6 一b ) = 厂( 6 ) ( 6 一b ) 6 一a ，显然与已知矛盾。 综上所述，区间( 口，6 ) 是满足条件( 1 ) 的所有置信区间中最短的。 证毕 为了数值计算上的方便，有必要对( 2 1 ) 式做进一步化简。 引理2 4 设允为任意实数，掰为正整数，则有下式成立： ，妻。鲁唧c 卅= 志r t me x p c - t ) d t 证明：令 坐兰塑主学位论文 笫磊章单参数指数分布尺度参数的区间估计 ”。，_ _ 。_ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ ，。_ _ 二- _ - 二，r ”_ r - 二一_ - t ：。 八匐；，委。音c x p ( 一亓未酉f t me x p ( 。) 班 f l 埘+ l ： 工k ，1 1 。l ， 显然f ( a ) 是定义在( - - c o 悯) 上的连续可导函数，且有 九伽t - , m + t w m + l ，等e x p ( 卅一，姜，鲁蚺护志t 舷p ( - 名) o f - 拼+ l i ： 4 , m rl ， = 茎鲁州卅一，塞。鲁州卅唧- 吾t e x p ( 卅 掌0 所以厂( 力) 在( 哪，栩) 内恒为常数，而只q ) = 0 ，故f c a ) = 0 。 证毕 由( 2 1 ) 式得 f g ( x ，刀) d x r g ( x ，一) d x = 1 一口 即 令“= 兰，代入上式得 2 一 。 由引理2 4 得 j 志矿1e x p ( 一一r 丽1 x n - le x p ( 一小口 r 2 南圹1e 孵懒一聒1 一j u - le x p ( 训幽小西 薹荔唧c 一争一善”而a te x 一争= 一口 所以尺度参数矿基手枢轴变量g 打= 塑竖的置信水平为1 一口的最短置信区间为 降爵 其中口，b 满足 p “e x p ( 一詈) 一6 舯1e x p ( 一i b ) = o t丢n-i享a丽te x p j 薹，一萎差二酞一兰，= 一口 2 4 东北大学硕士举位论文第二章单参数指数分布尺度参数的区间估计 我们知道，对于指数分布e ( 仃) ，尺度参数的枢轴变量不是唯一的，例如在容量 为玎的样本中，令x ( i ) 为最小的次序统计量，由x ( i ) 的密度函数 似= 融詈) x 0 x c 五( x ) c 的检验缈0 ) 称为检验问题( 2 5 ) 似然比检验，其中c 为某常数。 说明：当9 。= 概) 时，由定义2 1 知 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 东北大学硕士学位论文 第二章单参数指数分布尺度参数的区间估计 a a ( x ) ：丝掣 ( 2 8 ) l b ； 显然有0 五( x ) 1 ，这里9 是参数0 在整个参数空间中的极大似然估计。在得到样 本观测值x 后，似然性最大的参数值是最大似然估计各，与参数移真值相当接近。若原 假设风成立，即0 的真值为o o ，则0 等于o o 或“离o o 很近”，使得 厂( x ；o o ) 岛f ( x ；o ) = s u p f ( x ；o ) ，从而旯( x ) 1 ；当a ( x ) 显著地小于1 时，显著地有 f ( x ；o o ) c 时接受。；当旯( x ) c 时拒绝h 。 若要寻求参数毋置信水平为l 一口的置信区间，则要考虑关于口= o o 的检验问题日： o ：0 = o o ”h t ：0 o o ( 2 9 ) 设岛的一个水平为劈的检验矽( x ) 相应的拒绝域与接霉域分别为w c x ；o o ) 与w ( x ；o o ) ， 则 气be 驴( x ；岛) 口，气k 形( ；瓯) l 一口 ( 2 1 0 ) 设ke 砍x ；鼠) 常汐es ( x ) ，又设s ( x ) 再匦) ，否( x ) ) ，则有 巳酞) o c 允( x ) c 杯硒f ( x ；c r o ) = 筹 =r盏rio0i”ex以一挈三，cx，。， = 阱倒弘牡。， f ，e 、“ 2 恼j e x p l 2 蚪 2 而 ，霉l o o 2 m ( 势p ( 一勰硼 当h 。成立时，服从z 2 ( 2 玎) 分布，设其密度函数为厂 ) ， 打 趸i ( x i o ) l l i ( 2 1 1 ) 在( o ，2 刀) 和( 2 ，l ，+ ) 内，盒( ，) 关于，分别是严格单调递增和严格单调递减函数。所以 一1 3 东北太学硕士学位论文 第二章草参数指数分布尺度参数的区间估计 真实水平为口的似然比检验为 始，却是丢蒜c ： 其中c 。，c 2 为常数，且由下式确定 由引理2 4 得 ( x ) 出1 一口j 【旯( c 。) 露名p ：) 2 志x - le x p ( 一主) 出小口 印d 导) 蚂”e 叉p ( 一了c 2 ) 由燃获得尺度撕的置信水平为1 - a 的- 个鼍信啾降料 其中q ，g 满足( 2 1 2 ) 式。 由于区间估计与假设检验存在内在联系，可以预计，最优区间估计与最优假设检验 也存在内在联系，按照这一思路来寻求最优区间估计，即n e y m a n 的置信区间。由双边 假设检验问题( 2 。9 ) 的水平为口的检验可以得到0 的置信水平为1 一口的置信区间，但在文 献 1 4 q a 已证明了该检验的一致最大功效检验是不存在的，为了研究双边检验问题的最 优性，只需在满足无偏性要求这个较小的检验类中寻求最大功效检验，由参数u m p u 检验可导出该参数u m a u 置信区间，在置信水平给定的条件下，u m a u 置信区间在无 偏置信区间中精确度最高。【2 0 】 定义2 2 设样本分布族为忆：口o ) ，对给定的口( o ，1 ) ，以口表示假设检验( 2 5 ) 的所有水平为口的检验组成的集合，若检验伊+ o ) 口，且对任一缈( x ) 毫口有 夕矿( 口) 成( 秒) ，r oe 0 l ，则称9 + ) 为检验问题( 2 5 ) 的水平为口的一致最大功效检验 ( u m p 检验) 。 定义2 3 设妒( x ) 是假设检验问题( 2 5 ) 的一个检验，其功效函数尾( 目) 满足： 对口( 0 ，1 ) ，有 c 、，l o q 了 ，f，【t纠d _ ，1j y “而 x f一d 甑 枷 2 _ 、厂 一 1 q 一2卜q i q 丁r r。文七一 x “l 0唧“万 一 l 吖神 东北大学硕士学位论文 第二章单参数指数分布尺度参数的区间估计 夕蕾( 口) s 口，v p o 几( 秒) 口，v o o i 则称妒( x ) 是检验问题( 2 5 ) 的水平为口的无偏检验。 显然水平为口的u m p 检验一定是水平为口的无偏检验。 定义2 4 在检验问题( 2 5 ) 中，如果存在一个水平为口的无偏检验伊( x ) ，对于任何水 平为口的无偏检验伊( x ) ，有日( 伊( x ) ) 岛( 伊( z ) ) ，v 9 o 。，则称检验妒( x ) 是水平为口 的一致最大功效无偏检验( u m p u 检验) 。 引理2 5 设双边假设检验问题( 2 9 ) 的水平为口的u m p u 检验的拒绝域为 矽= w ( x ；o o ) ，接受域为一4 , = 矿( x ；鼠) ，如果“x 谬( x ；岛) 可以等价地变换为 “幺( x ) o o 吼( x ) ，那么称 ( x ) ，0 2 ( x ) ) 是口的置信水平为1 一口的u m a u 置信区 间。【2 0 】 由引理2 5 知，要证明通过似然比检验所确定的置信区间为u m a u 置信区间。只 需求证检验问题( 2 11 ) 的似然比检验为u m p u 检验即可。 引理2 6 设样本x 的分布函数族是单参数指数族，其中0 是一维开区间，o o o ， 对任意水平口( o ，1 ) ，如果检验妒仃( x ) ) 具有形式 f l丁( x ) c 2 伊。仃( x ) ) = 4 丁( x ) = c = l ，2 【0c 1 r ( x ) ? 柳 表可验检j儿mu的口 为平 水的 题 闯 验 检该知62理定由x 。m 鞯 、， x ，- i 、 叮 量，：_ p统分充 乩q确扣q 勒冰印钉“卜“ ) x m 孙 “7 c n ， z 婴伊 东北大学硕士学位论文 第二章单参数指数分布尺度参数的区间估计 e ( 砌( r ) ) = e ( 丁) 一e ( 丁( 1 一f o ( 丁) ) ) = 刀俨c i ( d 一善c ( 1 一最) p 留= c f 一e 嘉p ( 一吉产 又由( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 式e c r o ( 9 仃) ) = 口，e 铂( 砌( 丁”= a e 嘞( r ) ，故( 2 1 5 ) 式中c 1 , c 2 可由 来确定，易证此方程组有解，所以妒+ ( 丁) 是检验问题( 2 。l1 ) 的u m p u 检验，由定理2 7 知似然比检验伊( x ) ： o0 。) c 是检验问题( 2 1 1 ) 的u m p u 检验。 证毕 1 12 0 ) c 由引理2 5 知，通过似然比检验所确定的尺度参数的置信区间为一致最精确无偏置 信区间。 2 4 小结 在小样本条件下，当枢轴变量的密度函数为非对称单峰函数时，传统方法采用概率 分布对称来推导参数置信区间显然不是最优的，但随着样本容量的增加，置信区间长度 缩短的幅度将呈递减趋势。根据f i s h e r 定理【1 4 】，啊z 2 ( 以一1 ) ，2 叩收敛于正态分布 2 ，z 一3 ，1 ，它是对称分布，所以当样本容量增大时，两种方法差异就缩小。由于枢轴 变量不唯一，无法求得指数分布尺度参数最优置信区间，所以只能在小范围内求取参数 最优置信区间，因此我们将置信区间的范围缩小到无偏类中，利用区间估计与假设检验 之间内在的联系，通过似然比检验求取尺度参数的致最精确无偏置信区间。 一1 7 一 妣 一黔、j。暖 守 一 x hn 告 冲 厂一麟 一) z 一刀 一， 一( 一， 一r 一孔歹一l 础爷而 东北大学硕士学位论文 第三章暑叉参数指数分布尺度参数的区间估计 第三章双参数指数分布尺度参数的区间估计 3 1 引言 ，、f 土e x p f 一型、1 x m ； ) 宰 孑麟义一彳j 垃 【0 x 0 是完备的。因为l 是盯 的充分统计量和无偏估计，根据l e h m a n n s c h e f f e 定理【1 4 】可知统计量三是盯的一致最小 方差无偏估计。证毕 在位置参数未知的条件下，对于尺度参数的区间估计，本章也采用枢轴变量法， 因为枢轴变量不唯一，所以构造枢轴变量的方法的好坏将直接影响到区间估计的优劣。 参数的一致最小方差无偏估计作为充分统计量的函数，并且具有完备性，由它构造出的 枢轴变量所确定的置信区间也将具有较好的性质。 定理3 2 设x l ，x 2 ，x n 是来自指数分布e ( t ，仃) 的一个简单样本，令 尺：n ( x - x o ) ) ，贝, t jr 。r ( 刀一l ，1 ) 。 证明：尺：n ( x - x o ) ) ：! ! 至二盥一燮虻丝 令 s = 竺垡= 煦= t x ，- p 矿百 盯 而查 兰。r ( 1 ，1 ) ，根据g 口m m a 分布可加性知s 。r 伽 1 ) 。 令 甲刀( 五i ) 一) r = 二卫i 一二二 仃 州扣机 ， 小旷吾e 文一半) 出卜一p ( 一掣) 一1 9 一 东北大学硕士学位论文 第三章双参数指数分布尺度参数的区间估计 帆l j ( 惦 1 _ e x p ( 一掣) 哪 l o f 所以x ( 1 ) 的密度函数为厂o ) = 旦e x p f 一巫笔掣1 ，o ) ，即x ( 1 ) e ( ，州n ) ，o r k万， 一 则t r ( 1 ，1 ) ，由t ，s 分布可知r r 0 一l ，1 ) 。证毕 设分位点口，b 满足 户 p 足 厶 = l g 即 p 掣掣卜 则尺度参数仃的置信水平为l 一影的一个置信区间为 ( 掣，掣) b 2 ， i f 了i p 。 该区间的平均长度为 厶茹层【掣一掣) = c 刀一，盯( 刍一三b 、j l 口d i口 根据n e y m a n 区间估计理论的基本思想，即需要解决下述条件极值问题： m i 告舻f 上r ( n - o x n - 2c x n 胁小口 ( 3 3 ) 将6 看作口的函数，对积分f i 熹面x - 2 e x p ( 一x ) 出= l - t z 两边关于口求导得 面口”2e x p ( - a ) _ - 一= = _ _ - _ _ - _ _ h _ _ _ _ _ _ _ 一 d a6 舻2e x p ( - b ) 令f ( 口) ：一1 一_ 1 ， ad 则，( 口) 取最小值时有7 ( 口) 薯一7 1 + 矿l 磊d b ；o ，整理得a e x p ( 一口) 一6 e x p ( 一6 ) = 。 一2 0 一 东北大学硕士学位论文 第三章双参数指数分布尺度参数的区间估计 其中口，b 满足 ( 掣，掣 l r _ j l 口”e x p ( - a ) 一b ”e x p ( - b ) = 0 tr 志扩2 唧胁一口 。4 易证此方程组解存在且唯一，证明过程可参考定理2 2 。 在第二章，我们通过似然比检验法构造单参数指数分布尺度参数的置信区间，并且 证明该区间为一致最精确无偏置信区间，本节将继续利用似然比检验构造在位置参数未 知的条件下双参数指数分布尺度参数的区间估计。 由样本概率函数( 3 1 ) 式易知五。) 是的极大似然估计， 由型塑墨掣= o 知牙一五。) 是盯的极大似然估计 d d 一 对于检验问题： h o ：盯= 盯o ”h l ：叮仃。 似然比统计量 令f ：n ( x - x o ) ) ， 盯o 则 抽：竺鳖竺：血 一s u p 饶，盯厂( x ；五，含) = 降h 一喜掣n 庐肋 埘( 掣h 一掣卜庐， 盒( ，) = ( e ) n , n e p ( 一，) ，( x 。，) ，2 。 易知旯( ，) 关于，为单峰函数，这里取丛苎型作为检验统计量， 0 o 一2 l 一 东北大喾硕士学位论文 第三章双参数指数分布尺度参数的区间估计 检验函数矽( x ) ； o? o 冷c 1 1 兄( ) _ c 接受原假设蛾时，则有 f 五( ，1 ) # 五( f 2 )l t l ”e x p ( - t 1 ) - t 2 ”e x p ( - t 2 ) = 0 志广2e 舯舻h 专志广2 唧c 瑚小口 。5 所以尺度参数盯的置信水平为l 一口的一个置信区间为f 墨兰型，墨苎型1 ， l f 2r l 其中0 ，：满足( 3 5 ) 式。显然通过似然比检验法所确定的置信区间与用枢轴变量法所确定 的置信区间相同。 3 3 尺度参数的定数截尾估计 在实际问题中经常会遇到数据缺失阀题，譬如在产品寿命实验中，由于实验设备、 观测手段或其它方厦的困难造成某些数据丢失或未观测到的现象等，这样我们得到的是 “缺失数据”。若由于部分数据缺失重做实验一般是不值得的，有时甚至是不可能的， 如何对缺失数据后的现有数据进行统计分析是一个特殊的、有较大难度的问题。因此， 寻找在缺失数据条件下对不完全数据进行科学、有效的可靠性分析方法现已成为可靠性 分析中一个新的十分重要的领域。 设l ，x 2 ，x 。悬来自指数分布e ( ，盯) 的一个简单样本，一”x ( 2 ) ，x ( ，) 是该样 本中前r o ，s ，) 个次序样本，下面我们通过尺度参数的最佳线性无偏估计来构造该参 数的枢轴变量，首先寻找尺度参数的最佳线性无偏估计。 引理3 , 3 设x ( 1 ) x ( 2 ) s x ( ，) 是来自e ( ，仃) 的前，个次序样本，记k = x ( 1 ) ， 一2 2 东北大学硕士学位论文 第三章双参数指数分布尺度参数的区间估计 z = ( 刀一f + 1 ) ( f ) 一x ( f - 1 ) ) ，i = 2 ，3 ，则誓，艺，r 相互独立，rr , 。e ( ，吖，? ) r r ( 1 ，l 仃) ，i = 2 , 3 ，。 3 q 引理3 4 设x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( ，) 是来自指数分布e ( 1 ) 的前，个次序样本，记c ，。= e x ( ，) ， = e 一u ，肛( j ) - u j ) , o r i z = e ( x ( 0 - u 1 ) 2 ，则u ，= 丢s - i 磊1 ，= 仃，2 = 芸石与， 0 j t ，。【3 l 】 定理3 5 设x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( ，) 是来自双参数指数分布e ( ，仃) 的前r 0s ，s 玎) 个样 棚岫a 嬲= 击酚，诋) + ( 叫。 证明：令】，= 羔，则】，e ( 1 ) ，令k 。：兰，则k f ) 是来自e ( 1 ) 的第f 个次 仃 仃 序统计量，由引 3 4 知e t l ) 2 2 丢i 与，而以( j ) 2 + 础。，f = 1 2 ，h 敢x t ：k m ，x ，m ) ，则 e x = 么汐，其中彳= i ， 玩以= 仃2 v ，其中v 为x 的协方差矩阵。 口= 各= 耋) = 。r y - 1 彳) - 1 彳r y - 1 x ， c 3 6 ， 其中v 。为v 的