（应用数学专业论文）平面微分系统的等时中心问题.pdf

平面微分系统的等时中心问题 应用数学专业 博士研究生陈兴武指导教师张伟年教授 若平面微分系统的孤立奇点的某邻域被周期轨充满，则称此奇点为中心若 在中心的某邻域内的月期轨具有相同周期，则称此中心为等时中心对周期轨周 期的研究是微分方程定性理论探讨中的一个重要领域周期的性质与其他定性性 质密切相关例如，在同( 异) 宿分岔和次谐分岔中，一个非退化条件就是周期 的局部单调性因此，判定一个中心是否是等时中心( 称为等时中心问题或中心 的等时性问题) 是很有必要的等时中心问题研究的主要困难是计算周期常数或 等时常数的代数簇以及寻找线性化变换或横截交换系统本文研究平面微分系统 的等时中心问题 近年来，等时中心问题吸引了许多学者( 如c h a v a r r i g a 、c h i c o n e 、c h r i s t o - p h e r 、s a b a t i n i 、r o m a n o v s k i 等) 的目光，并出现了很多有意义的工作然 而，等时中心问题的研究迄今还没有一个成熟的方法，并且，由于其中涉及大量 多元多项式的代数簇计算，计算机的计算能力也限制着此问题的发展因此，许 多微分系统的等时中心问题还没有得到解决，甚至低次( 如三次) 多项式微分系 统的等时中心问题也没有被完全解答 c h o u i k h a ：对阻尼项是速度平方的l i e n a r d 型方程的等时中心给出了一个复杂 的判定原则在第二章中，我们对他的判定原则给出了一个直接计算参数的方 法从而，通过把约化时间可逆三次多项式微分系统变换为l i e n a r d 型方程，我 们有效地对此三次多项式微分系统的等时中心给出了参数条件 等时中心的判定往往涉及大规模多元多项式的代数簇计算在第三章中，我 们在前人结式消元法的基础上从代数上严格证明了一个代数簇的分解公式这个 公式帮助我们得到了前人所没有解决的三类具有二次等时中心的时间可逆三次 微分系统的等时中心必要条件接着，我们通过寻找线性化变换证明了满足这些 条件的系统在原点处的中心是等时的从而，对二次等时中心在时间可逆三次扰 动下保持等时性的充要条件的研究得以完成 非双曲系统的线性化是当今十分重要的问题，本质上就是要寻找等时中心条 件c h r i s t o p h e r 对二次和具有三次齐次非线性项的平面复系统解决了线性化问 题在第四章中，我们对具有五次齐次非线性项的复系统通过计算线性化量的代 数簇和证明线性化变换的存在性，得到了系统线性化的参数条件我们也相应给 出了具有五次齐次非线性项的实系统线性化的参数条件，从而，完成了对线性等 时中心在五次齐次扰动下保持等时性的充要条件的研究，推进了c h a v a r r i g a 等人 的工作 2 0 0 2 年，j a r q u e 和v i l l a d e p r a t 在j d j f t e q u a 上研究了四次h a m i l t o n 系 统的等时中，5 - 问题。并提出公开问题t 偶次多项式h a m i | t o n 系统有等时中心吗? 在第五章中，我们研究一般多项式h a m i l t o n 系统，利用周期常数的隐式关系计 算，给出了原点为非等时中心的一个充分条件，并证明了具有齐次非线性项或只 具有偶次菲线性项的多项式h a m i l t o n 系统在原点处的中心是非等时的。从而部 分回答了这个公开问题此外，我们还确定了细中心的阶数以及分岔出临界周期 的个数 关键词多项式微分系统，临界周期，周期常数，等时中心，线性化 i i p r o b l e mo fi s o c h r o n o u sc e n t e r so fp l a n a rd i f r e r e n t i a l s y s t e m s m a j o r ：a p p l l e dm a t h e m a t i c s p h d s t u d e n t ：c h e nx i n g w u s u p e r v i s o r ：p r o f z h a n gw e i n i a n a s i n g u l a rp o i n to fp l a n a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m si sc a l l e dac e n t e ri fi th a s an e i g h b o u r h o o dw h i c hi sc o v e r e dw i t hp e r i o d i co r b i t s ac e n t e ri sc a l l e da n s o c h r o n o u sc e n t e ri ft h o s ep e r i o d i co r b i t si ns o m en e i g h b o u r h o o dh a v et h es a m e p e r i o d ，t h ei n v e s t i g a t i o no ft h ep e r i o d so fp e r i o d i co r b i t ss u r r o u n d i n gac e n t e r t a k e sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fq u a l i t a t i v et h e o r yb e c a u s et h e r ea r ec l o s e c o n n e c t i o n sb e t w e e nt h ep r o p e r t i e so ft h ep e r i o d sa n do t h e rq u a l i t a t i v ep r o p e r - t i e s f o ri n s t a n c e ，an o n d e g e n e r a t ec o n d i t i o ni nt h es t u d yo fh e t e r o c l i n i ca n d s u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n si st h a tt h ep e r i o di sl o c a l ys t r i c t l ym o n o t o n e t h u s ， i t i sn e c e s s a r yt 0j u d g ei ft h ec o n c e r n e dc e n t e ri si s o c h r o n o u s ( c a l l e dp r o b l e mo f i s a c h r o n o “sc e n t e r so ri s o c h r o n i c i t yo ! c e n t e r s t h em a i nd i f f i c u l t i e se n c o u n t e r e d i n c l u d ec o m p u t i n gt h ev a r i e t yo fs o m ep o l y n o m i a l sa n df i n d i n gt h el i n e a r i z i n g t r a n s f o r m a t i o n so rt r a n s v e r s a lc o m m u t i n gs y s t e m s i nt h i st h e s i s 7w es t u d yt h e p r o b l e mo fi s o c h r o n o u sc e n t e r s i nr e c e n ty e a r s ，m a n yr e s e a r c h e r s ，s u c h 硒c h a v a r r i g a ，c h i c o n e ，c h r i s t o - p h e r ，s a b a t i n ia n dr o m a n o v s k i ，f o c u so nt h ep r o b l e mo fi s o c h r o n o u sc e n t e r sa n d m a n yi n t e r e s t i n gw o r k sh a v eb e e nd o n e h o w e v e r ，t h e r ei sn og e n e r a lm e t h o d t oi n v e s t i g a t et h ep r o b l e mo fi s o c h r o n o u sc e n t e r sa n dt h ec o m p u t a t i o np o w e ro f c o m p u t e r sr e s t r i c t st h ed e v e l o p m e n to ft h i sp r o b l e mb e c a u s em a n yc o m p u t a t i o n s a r ei n v o l v e d ，t h e r e f o r e t h ep r o b l e mo fi s o c b r o n o u sc e n t e r sh a sn o tb e e ns o l v e d f o rm a n yd i f f e r e n t i a ls y s t e m si n c l u d i n gs o m ep o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m so f l o wd e g r e e i nc h a p t e rt w o ，w e 百v eam e t h o db a s e do nc h o u i k h a 7 sc r i t e r i o nf o rf i n d i n g i s o c h r o n i c i t yc o n d i t i o n sf o rt h el i d n a r d t y p ee q u a t i o na n da p p l yi tt ot h er e d u c e d c u b i ct i m e - r e v e r s i b l es y s t e mt oo b t a i nt h ei s o c h r o n i c i t yc o n d i t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w eo b t a i nt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h eo r i g i nt ob e a ni s o c h r o n o u sc e n t e ro ft h ec u b i ct i m e - r e v e r s i b l es y s t e mw i t ht h eo r i g i nb e i n ga q u a d r a t i ci s o c h r o n o u sc e n t e rb yc o m p u t i n gt h ev a r i e t yo fs o m ep e r i o dc o n s t a n t s ， i i i t h e n ，u s i n gt h ed e f i n i t i o no fi s o c h r o n o u sc e n t e ro rg i v i n gt h el i n e a r i z i n gt r a n s - f o r m a t i o n s ，w ep r o v et h es u f f i c i e n c yo ft h e s eo b t a i n e dc o n d i t i o n s t h e r e f o r e ，t h e c o n d i t i o n sf o raq u a d r a t i ci s o c h r o n o u sc e n t e rt ok e e pt h ei s o c h r o n i c i t yw h e nt h e q u a d r a t i cs y s t e mh a sc u b i ct i m e - r e v e r s i b l ep e r t u r b a t i o n sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rf o u r ，w eg i v et h ei s o c h r o n i c i t yc o n d i t i o n sf o rt h eq u i n t i cs y s t e m s w i t hh o m o g e n e o u sn o n l i n e a r i t i e sb yf i n d i n gt h el i n e a r i z a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rt h e q u i n t i cc o m p l e xs y s t e mw i t hh o m o g e n e o u sn o n l i n e a r i t i e s o u rm e t h o di st oc o m p u t et h el i n e a r i z a b i l i t yq u a n t i t i e sa n dt h e nf i n dt h el i n e a r i z i n gt r a n s f o r m a t i o n s i nc h a p t e rf i v e w ed e d u c eas u m c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eo r i g i nn o tt ob ea n i s o c h r o n o u sc e n t e r ，d e t e r m i n et h eo r d e r so fw e a kc e n t e r sa n dg i v et h em a x i m u m n u m b e ro fc r i t i c a lp e r i o d sb i f u r c a t i n gf r o mt h ew e a kc e n t e r sf o rt h ep o l y n o m i a l h a m i l t o n i a ns y s t e m sb yc o m p u t i n gt h ep e r i o dc o n s t a n t si m p l i c i t l y a p p l y i n g t h i sr e s u l tt ot h eh a m i l t o n i a ns y s t e m sw h i c hh a v eh o m o g e n e o u sn o n l i n e a r i t i e so r o n l yh a v ee v e nd e g r e en o n l i n e a r i t i e s ，w ep r o v et h en o n - i s o c h r o n i c i t yo ft h ec e n t e r a tt h eo r i g i n t h e r e f o r e w ea n s w e rp a r t l ya j lo p e np r o b l e ma b o u ti s o c h r o n o u s c e n t e r sg i v e nb yj a r q u ea n dv i l l a d e l p r a ti nj d i me q u a i n2 0 0 2 k e yw o r d s ：p o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ，c r i t i c a lp e r i o d ，p e r i o d i c o r b i t ，i s o c h r o n o u sc e n t e r ，l i n e a r i z a t i o n i v 声明尸叫 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的成果，据我所知，除了文中特别加以标注 和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 篓黧骤、 作者：陈兴武嘶澎撩 致谢 本文是在我的导师张伟年教授的悉心指导下完成的衷心感谢张 老师多年来对我学习和生活的关心及鼓励张老师不仅传授我许多专 业知识、培养我良好科学素养，而且教我很多做人道理他既是我进 入科学前沿阵地的引路人，也是与我并肩战斗的战友他的谆谆教诲 永远是我不断提高自我的力量源泉在此，向张老师表示我最诚挚的 敬意和感谢! 感谢斯洛文尼亚m a r i b o r g k ：学应用数学与理论物理研究中心对我为 期一年的访问邀请感谢v e l a r yr o m a n o v s k i 教授和m a r k or o b n i k 教授在我 访问期间对我的热情帮助和接待与他们的合作讨论使我获益良多 感谢徐冰副教授、杜正东副教授和杨地莲、燕锐、邓圣福等博士对 我的关心和热情帮助他们对我的学习研究提出了许多好的建议在 此，表示我深深的谢意 感谢唐异垒、陈丽、何志蓉、邹兰和丁可等博士在我去斯洛文尼 亚访问学习期间，他们给我提供了许多关于我学位的信息，并热情帮 我办理相关事务 感谢所有关心和帮助我顺利完成学业的老师和朋友感谢讨论班 上的同学，从与他们的探讨中我学习掌握了更多知识，受益非浅 最后，我要特别感谢我的家人和女朋友对我学习的理解和全力支 持他们为我努力学习及以后勤奋工作提供了巨大动力 第一章绪论 在化学，生物和物理等实际应用中，许多数学模型能用常微分方程表示常 微分方程基本理论的研究很有必要，且其对其它学科的研究有很大的帮助定性 理论是常微分方程理论的重要研究领域特别地，由于常微分方程的奇点决定了 其附近轨道的拓扑结构，奇点的研究在常微分方程定性理论中显得尤为重要 1 1中心与等时中心 我们考虑平面向量场或等价微分系统 圣= p ( z ，! ，) ，= q ( x ，y ) ，( t ，y ) 甜，( 1 ，1 1 ) 其中，表示微分算子d t i t ，“是r 2 中的一个开连通子集，且p ( z ，g ) ，q ( o ，y ) g ，r ) 21 如果p 0 ，g ) 和q ( z ，g ) 在甜中点0 处为零。则称。为系统( 1 1 1 ) 的奇点( 临界点或平衡点) ；如果存在一个奇点0 的去心邻域v 使得在v 中没有奇 点，则称0 为孤立奇点不妨设奇点0 为系统的原点如果向量场的线性部分距 阵在奇点0 处有两个非零特征值( 也叫做0 的特征值) ，则称0 为非退化奇点，否 则，称0 为退化奇点 ， 现实生活中有很多周期现象例如，地球绕太阳运转，钟摆的摆动，脑电波 等等p o i n c a r 6 在f 7 7 】中给出了中心的定义 定义1 1 若存在一个孤立奇点d 的去心邻域vv c “使得v 中全是围绕o 的周 期轨，则称o 为系统口，1u 的中心 称被围绕中心0 的周期轨所充满的最大连通集o 为中心域( 或周期域) 1 8 3 2 1 若n o 三“，则称0 为全局中心，即，系统( 1 1 1 ) 的相图中每条轨道都是周 期轨 中心的特征值为一对纯虚数因此，退化中心具有二重零特征值设系统 ( 1 1 1 ) 中的p ( z ，f ) 和q ( z ，) 是定义在非退化奇点原点0 的一个邻域v 上的解析函 数，且0 具有特征值a 1 , 2 = j ：i w ，u r u 0 通过座标的线性变换和时间伸 第2 页 第一章绪论 缩，系统( 1 1 1 ) 可写为 = 一y + 只( 训) ， s = 2 其中，只，q 是8 次齐次多项式，8 = 2 ，3 ，且幂级数在y 中收敛 ( 11 2 ) 判断原点0 是否是系统( 1 i 2 ) 的中心的一个重要方法是计算所谓的p o i n c a r & l y a p u n o v 常数此方法由p o i n c a r 6 给出 7 s ，并由l y a p u n o l 6 8 】发展而来寻找形 式级数 胃( z ，咖= 玩( z ，y ) ，也= 下x 2 + y u ， ( 1 1 3 ) 其中。f ( z ，) 是n 次齐次多项式，n = 3 ，4 ，使之满足 官； - 鲈+ 薹只k ，i 筹+ + 薹训础i 等= 砉e 。2 + 力一_ a ， 其中，k 是关于系统( 1 1 2 ) 中参数的多项式称k 为p o i n c a r d l y a p u n o v 常 数p o i n c a r 6 和l y a p u n o v 指原点0 是中心当且仅当所有p o i n c a r 6 一l y a p u n o v 常 数都为零否则，原点0 是一个焦点称判断原点0 为系统( 11 2 ) 的中- l - 或焦点 的问题为中心一焦点问题。若0 为系统( 1 1 2 ) 的中心( 焦点) ，则称之为细中心( 细 焦点) 当系统( 1 1 2 ) 为多项式系统时，其可表示为 立= - y + 只( 叫) ，口= z + q ( 训) ， ( 1 1 5 ) 其中， 只( 刎) = 啦，y j ，b ( 圳) = 玩庐一y i 4 - 2 5 jj 5 a 令堤有所有p o i n c a r 6 一l y a p u n o v 常- 数生成的在环q 中的一个理想，其中，a 是 由系统( 1 1 5 ) 的所有系数按某种方式排列而成的向量由h i l b e r t 有限基定理1 5 9 l t ，是有限生成的，即，存在不小于l 的整数啦，使得j = ，k ，。) ，其中， ( 也，k ，) 是由k ，u ，k 。生成的理想因此，若k = k = = 。= 0 ， 则所有p o i n c a x d - l y a p u n o v 常数都为零 关于系统( 11 2 ) 和( 1 1 5 ) 中心的结果可参考f 1 7 ，1 8 ，4 6 。特别地，我们介绍 一类称为时间可逆的系统 9 2 】原点d 是该类系统的一个中心 z q 础 +盘 = y 1 1 中心与等时中心第3 页 定义1 2 著存在同胚函敷 使得西2 为恒等变换且 击：r 2 一r 2 ( z ，) - - ( 西1 ( z ，可) ，2 ( z ，y ) ) p ( 毋l ( z ，y ) ，咖2 ( z ，) ) = 一庐1 ( p ( z ，y ) ，q ( x ，) ) ， q ( 毋l ( z ，) ，j 5 2 ( z ，) ) = - 妒2 ( p ( x ，口) ，q ( z ，f ) ) ， 则称系统一j 纠为可逆系统 定义1 3 若氧绕( 1 1 i ) j 垒旋转 ( 爹) = c o s - s i n 。) ( ：) 后在变换 ( x ，y i t ) - ( 九( x ，y ) ，也( x ，y ) ，- t ) 下保持形式不变，则称其为时间可逆系统 时间可逆系统的相图具有一条经过原点0 的对称轴例如，具有性质 p ( 。，- y ) 三- p ( x ，g ) ，q ( 2 ，- y ) 三q 0 ，g ) 的系统( 1 1 1 ) 是一个时间可逆系统z 轴就是其相图的对称轴特别地，如果时 间可逆系统的对称轴的斜率为t a na ，则系统经顺时针旋转7 r 2 一a 角度后在变换 ( z ，t ) ( 一z ，y ，一t ) 下保持形式不变因此，当系统( 1 1 2 ) 是时间可逆系统时， 原点0 一定为中心，而不是焦点 设o 是系统( 1 1 1 ) 的中心，o 是此中心的中心域我们可以用一个函数( 称 为周期函数) 来定义经过0 中点( z ，g ) 的周期轨的最小周期一个特殊情形是此 函数为常值函数此时。有如下定义 1 8 】 定义1 4 若系统以j 纠的中心d 的某邻域内的周期轨具有相同周期，则称中心 0 为等时中心 我们常常假设所研究的系统的奇点为原点中心为等时中心需具有的条件被 称为等时中心条件或简称等时条件 第4 页第一章绪论 周期函数的研究得到许多数学家的关注周期函数的性质与其它一些定性 性质有着密切的联系例如，在二阶边界值问题中，周期函数值的范围确定了二 阶边界值问题有解的初始值范围2 7 ，9 3 1 ；在研究h a m i l t o n 系统在周期绕动下的 同宿分岔和次谐分岔中，往往要求周期函数的周期在局部是单调的【3 1 ，5 6 1 因 此，周期函数的单调性也得到了研究f 2 6 1 特别地，二次h a m i l t o n 系统和l o t k a v o l t e r r a 系统的周期函数都是单调的f 3 9 ，9 9 1 在这些应用中，周期函数为常值的 情况( 即，等时中心) 带来极大的困难 在微积分发展之前，从1 6 世际g g a l i l e i ( 1 5 6 4 1 6 4 2 ) 考虑单摆问题，人们开 始研究等时中心问题所谓单摆问题就是考虑在重力作用下，单摆摆动的周期是 否是等时的此问题被c h u y g e n s ( 1 6 2 9 - 1 6 9 5 ) 第一个解决并在1 6 7 3 年发表这也 是第一个具有等时中心的非线性系统的例子( 上世际末，一个关于电信的微分系 统也被证明了存在等时中心f 7 3 ) 他应用此结果构造了等时摆动的单摆时钟 此钟摆的数学模型可写为摆长s 关于时间的微分方程 筹+ k 2 5 0 ， ( 1 1 6 ) 其中， 是一个实常数此方程是如下二阶微分方程的一个特殊情形 笔+ g ( s ) ：o ( 1 1 7 ) 面+ g ( 5 ) 2 o 【1 1 1 7 ) ( 1 1 7 ) 是一个保守力学系统用微分方程语言讲，等价于存在形如 h ( s ，j ) = 铲2 + a ( s )( 1 1 8 ) 的首次积分，其中， c ( s ) = f9 ( f ) j 0 如果9 ( s ) 是解析奇函数或多项式函数，且原点o 是系统( 1 1 7 ) 的等时中心，则g ( s ) 一定具有形式舻s 2 8 ，9 5 ，9 6 1 但当g ( 5 ) 是解析的非奇函数或非多项式函数时。 0 有可能为系统( 1 1 7 ) 的等时中心当g ( s ) 是解析函数时，0 为等时中心的充要 条件 1 8 】是存在函数7 ( s ) ，使得7 ( 0 ) = 0 ，7 ( ，y ( s ) ) 三s ，且 g ( s ) 2 杀( s 一7 ( s ) ) 2 ， s 皿 此时，围绕等时中一6 0 的一族周期轨具有相同的周期u 中心等时性的判断问题与中心一焦点问题相对应由于退化中心周围的周期 轨的周期随着周期轨趋于中心是趋于无穷大的 1 8 ，3 2 ，所以，等时中心问题的考 5 1 2 研究等时中心的主要方法 第5 页 虑只针对非退化中心从而，在研究等时中心问题时，我们常常假设所考虑的中 心是原点且其向量场线性部分为( - y ，z ) 1 2 研究等时中心的主要方法 在本节，我们介绍一些证明中心等时性的方法做变换( z ，y ) = ( r c o s0 ，rs i np ) 系统( 1 1 5 ) 可化为极座标形式 i = x c o s 0 + y s i n 0 = r ( r ，口) ，0 = ( c o s 0 一：s i n o ) r = 1 + o r ，口) ，( 1 2 1 ) 其中， n 兄( r ，8 ) = 只( ， 0 = 2 9 ( = g ( r ”1 ， j = 2 只和q ，是s + 1 次齐次三角函数实事上 只( 鳓= c o s o p , ( c o s 0 ，s i n 0 ) + s i n o q ，( c o s 0 ，s i n o ) ， q ，( p ) = c o s o q ，( c o s 0 ，s i n o ) 一s i n o p , ( c o s o ，s i n 0 ) 由( 1 2 1 ) ，我们得到如下微分方程 生d o 名尚 ( 1 z 2 ) 一2 再丽。 l “。j 定义r ( 口，力是方程( 1 2 ，2 ) 的满足r ( o ，力= p 的周期解，其中，p o 充分小其周 期函数可表示为 t = 0 2 ”警= f 2 ”丽斋丽 ( 1 z - 3 ) 由定义1 4 ，我们有如下结果 定理1 1 原点o 是系统以1 纠的等时中心当且仅当 ：“瓣d o 嘲 第6 页第一章绪论 若口三1 ，则t ( p ) 三2 丌此时称中，b o 为平凡等时e e , b 周期函数是解析的 2 8 j ，并可用一个收敛级数表示为 t ( 力= 新+ p k p k ， ( 1 2 4 ) k = l 其中，系数p k 被称为周期常数，且p 1 三0 每个p k 都是环q 川中的多项式，其 中，a 是由系统( 1 1 5 ) 中的系数按某种方式构成的向量而且，对i 1 ，鼢十- 属 于由m ，p 2 洼成的理想文 1 9 ，1 1 1 给出了一个计算周期常数的方法用数学 归纳法，不难证明对充分小的r 0 ， 其中 志1 e(面：妻。r + ，口) 乞。 ( 1 2 5 ) n 一1 a o = 1 ，a 沪一q + 1 a k ( 1 26 ) ，2 1 且当i 一 七pd 珏 u 够 u l 1 1 一墨 + a 。h 打 ， = p 12 研究等时中心的主要方法第7 页 由( 1 2 1 0 ) 可见，p k p 依赖于u 1 ( 口) ，u ( p ) 和a 1 ，a k 结合( 1 , 1 5 ) ，我们知道 孤与系数a i d ，b i , j ( i + j k + 2 ) 是无关的 因此，系统( 1 1 5 ) 的等时性问题可化为计算由所有周期常数生成的理想的代 数簇v ( ( 化，) ) ，即，计算多项式仇，的公共零点h i l b e r t 有限基定理【5 9 保证 了存在一个不小于1 的自然数m ，使得( 仇，) = ( 化，p 2 。) 但是，没有一般 方法来寻找这个m 计算v ( ( 见，) ) 的个可能方法是：首先寻找一个不小于1 的自然数，使得 v ( ( 】0 2 ，纯。) ) = v ( ( 仡，p 口。+ 2 ) ) 然后，计算v ( ( 以，仡。) ) 的不可约分解，最后，运用合适的方法证明由此确定 的系统的原点o 的确是等时中心 如前面所讲，只有非退化中心才有可能是等时中心，即，具有一对非零共轭 纯虚特征值的中心p o i n c a r 6 1 7 8 】指出原点0 为非退化中心的解析系统( 1 1 5 ) 总 可以经座标的线性变换 x = z + d ( ( z ，y ) i ) ，y = y + o ( i ( z ，y ) 1 )( 1 2 1 1 ) 又= 一y ( 1 + 砂( x 2 + y 2 ) ) ，j ，= x ( 1 + 妒( x 2 + y 2 ) ) ，( 1 2 1 2 ) 其中，妒是一个解析函数此结果有如下推论【7 1 】 定理1 2 原点0 是解析系统p ，1 ，印的等时中心当且仅当系统p ，1 甜可被形如 口，2 j 纠的解析变换和时间伸缩化为线性等时系统 令x = h ( r ，p ) 是形如 x = 一ky=x ( 1 2 1 3 ) 甘( r 1 口) = 甄( i = 1 的幂级数，其中，日1 ( 目) = c 0 5 p ，凰( 口) ( i = 2 ，3 ，) 是i 次齐次三角多项式由 第8 页第一章绪论 ( 1 2 1 3 ) 可得矗+ h = 0 比较r 的同次幂系数，我们得到如下递归微分方程 聊+ 凰+ q 。q 磁+ ( o + 2 k 一1 ) p , q j + q 。q ；) 磁 刊只叫川煅倒耻卯舶s i n 矾喜：鬣， 其中，= 2 ，3 ，f ，= 刍，p 1e0 ，q 1 三1 ，啦，厦是关于系统( 1 1 ，5 ) 中的系数的多 项式称口f ，成为等时常数f 1 3 ，1 4 ，1 8 因此，所有等时常数都为零是原点0 为 等时中心的一个必要条件 研究等时中心问题的另一个方法是线性化复系统通过变换钍= 。+ i y 面= z i y ，系统( 1 - 1 2 ) 可写为 i t = i u + 矿 i + j = 2 ( 1 2 1 4 ) 其中，i = ，了，啦，c 由定理1 2 ，我们得到如下结果 1 8 ，7 0 1 定理1 3 原点0 是系统p ，1 纠的等时中心当且仅当系统p 2 j 可被解析变换 u = 口+ d ( f ( 缸，司1 )( 1 , 21 5 ) 化为d = i u 寻找变换( 1 2 1 5 ) 的一个有效方法是所谓的d a r b o u x 线性化【4 1 ，7 0 ，7 1 】 定义1 5 称形如 女 u ( u ，口) = n 甲 y = 0 的函数v ( ，豆) 为f 广义，d 8 柏d z 函数，其中，q q 蜀c 阻，露】隅= e x p ( g j ) ， g j c 阻，面 j = 0 ，k 若系统( 12 1 4 ) 可通过( 广y ) d a r b o u x 函数化为u = i u ，则称( 12 1 4 ) 是可 ( 广) ) d a r b o u x 线性化的，并称此( 广义) d a r b o u x 函数为( f - 3 7 , ) d a r b o u x 线性化 变换 1 2 研究等时中心的主要方法第9 页 令z = ( z ，y ) r 2 考虑系统 未= 矿( z ) ， 2 = w ( z ) ， v ( z ) - - ( 1 ，u 2 ) 秽( “，r 2 ) ，k 2 ，( 1 2 1 6 ) ( z ) - - ( w l ，叫2 ) 秽( “，r 2 ) ， k22 ， ( 1 2 1 7 ) 其中，甜是r 2 中的一个开连通子集用咖( ，z ) ，妒( t ，z ) 分别表示系统( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) 的满足初始条件妒( o ，z ) = z ，舻( o ，z ) = 2 的解 定义1 f i 若对满足( t ，妒( s ，z ) ) 和妒( s ，妒( t ，z ) ) 存在的任意时间范围 o ，刁 0 ，翻， ( t ，妒( 5 ，z ) ) = 妒( s ，l j 5 ( t ，z ) ) 成立，则称( t ，z ) 与妒( t ，z ) 交换 由文慨7 4 】中结果，咖( t ，。) 与妒( t ，z ) 交换当且仅当在“中 k 吲三0 ，其中 【，一】是李括号，即， i v , 翻：三高萋：奶w l 萎) + 趁蒌：篡萎淳- - 。0 ： c 2 ，s ， w ，】：= 扣- 号警一等) + ( ”。警一”。智) 、7 此时，我们称y 与w 交换，并称w 是v 的交换子 定义1 7 如果u 1 ( z ) 2 ( 。) 一 2 ( z ) 如1 ( z ) 0 ，则称y 与w 在点z 处是横截的 交换性可用来刻射系统的等时中心下面的结果由文【8 6 ，9 7 】给出 定理1 4 设原点d 是系统一j 纠的非退化中心原点d 是等时中心当且仅当向 量场( p ( ，g ) ，q ( z ，g ) ) 有在0 处与之横截的交换子w 做为推论，如果 娑o x = 筹，筹一筹， ( 1 z ) d 口 d z 则系统( 1 1 1 ) 的所有中一l - 都是等时中心实事上，当( 1 2 1 9 ) 成立时，向量场( p ，q ) 有一个在每点都与之横截的交换子( q ，一p ) 对等时中心问题的研究分为两步第一步是通过计算理想佃2 ，p 4 ，p 拥) 或 理想( q 3 ，岛，o t 5 ，岛，c r 2 m “，卢+ 1 ) 的代数簇来寻找必要等时条件，其中，砌是 周期常数，0 c 2 i + 1 和岛。，是等时常数，m 是一个适当取定的正整数第二步是运 用定理1 1 ，1 2 ，1 3 或1 4 来证明所得到的条件也是充分的 第1 0 页第一章绪论 但是，在这两个步骤中都存在着困难第一步中的困难实际是一个代数问题： 计算一个多项式系统的公共零点一般有三种消元法来处理这个问题：g r 6 b n e r 基 6 j 1 特征集【7 9 ，1 0 4 ，结式消元 6 9 】所有这些方法在理论上都是可行的但 是，当遇到多项式很庞大的时候( 见附录) 就很难得出结果，并且，高度依赖于计 算机的计算能力这也是为什么到目前为止只对某些特殊系统解决了等时中心问 题的一个重要原因第二步中的困难是如何运用定理1 ，1 ，12 ，13 或1 4 来证明中 心的等时性，即，如何运用解析技巧来证明t ( p ) 对充分小的p 恒为常数，如何寻 找座标的解析变换使原系统可被化为线性系统或者证明这样的变换的确存在。以 及如何寻找一个横截的交换系统或证明其存在迄今，还没有处理这些问题的一 般方法 1 3 等时中心问题研究的进展 某些系统的等时中心问题已经被解决我们在本节给出等时中心问题的一些 已有结果 令 z = t u + f i ，= 可 t l - - u y ( 1 3 1 ) z 2 i 一，2 i l l 5 l j 我们从复微分方程 吐= f ( “) ，“ r c c ，( 1 3 2 ) 得到一个实微分系统 i = 生盟掣，j = 丁f ( x + i y ) - f ( x + i y ) ， ( 1 粥) 其中，0 堤点u = 啪一个邻域，f ( u ) 是定义在址的解析函数且满足f ( o ) = 0 文 9 ，2 4 ，5 4 ，5 8 ，6 7 ，7 5 ，97 l 考虑了原点d 的等时性问题，证明了0 是系统( 13 3 ) 的等时中心当且仅当f ( 0 ) 是一个纯虚数此时，围绕0 的一族周期轨的周期都 为褊 文 2 8 ，6 4 ，7 1 i 正日 i t i n 次系统( 1 1 5 1 , p ，n = 2 ) 的原点0 是等时中心的充 要条件是系统可经座标的线性变换和时间伸缩化为 圣= 一y + a z 2 + b y 2 ，9 = z + x y ， ( 1 3 4 ) 1 3 等时中心问题研究的进展第1 1 页 其中，似，口) = ( 1 ，o ) ，( 1 2 ，- l 2 ) ，( 1 4 ，o ) 或( 2 ，一1 2 ) 文 7 l ，7 6 j 证明了原点 d 是具有齐次非线性项的三次系统( 1 1 5 ) 的等时中心的充要条件是存在座标的线 性变换和时间伸缩把原系统化为如下系统之一： = 一y4 - z 3 3 x y 2 ，0 = z + 3 x 2 y y 3 ， ( 1 3 5 ) 主= 一g + z 3 一x y 2 ，9 = z + x 2 y y 3 ，f 1 3 6 ) 童= 一y + 3 x 2 y ，口= z 一2 x 3 + 9 x y 2 ， ( 1 3 7 ) 圣= 一y 一3 x 2 y ，口= z + 2 x 3 9 x y 2 ( 1 3 8 ) 系统( 1 3 5 ) ，( 1 3 6 ) ，( 1 37 ) 和( 1 3 ，8 ) 的横截交换系统在【5 0 ，7 2 】中被给出 若三次系统( i i 5 ) 满足条件 z q s ( z ，y ) 一p p 3 ( z ，y ) 兰0 ，碍( z ，y ) - 4 - q 2 3 ( z ，y ) 0 ，( 1 3 9 ) 则称其为在无穷远处退化的系统【9 4 】原点0 是此系统的等时中心的充要条件 1 5 ，3 4 是该系统能被座标的线性变换和时间伸缩化为( 1 3 6 ) 或如下系统之一： ；i ：。爹42 篡z - l 蒙；挈西， 。加， 参= z + 奴z 2 一誓z 掣一丘l 可2 一譬z 2 管一屉 z 掣2 ， 卜7 ；i ：。鬈j 竺k l y 是麓3 象：雾誊萨s ，雪= z + 七l z 2 + ；z 可一2 + 坚h z 2 9 一砰z 掣2 一牛f 3 ， 1 1 7 j 圣= 一y + z 2 一矿+ c l z 3 + 2 c 2 正2 y c 1 z 矿，