（控制理论与控制工程专业论文）基于lmi的不确定切换系统的极点配置.pdf

摘要 摘要 不确定切换系统是一类重要的混杂系统，不确定系统主要包括两类：动态不 确定性和参数不确定性。模型不确定性一般是动态不确定性和参数不确定性的组 合，并可能出现在控制环的不同位置上。本文研究了一类不确定线性切换系统基 于状态反馈的极点配置和鲁棒性问题。此类切换系统不仅具有未知但有界的结构 不确定性，而且具有外部扰动。具体工作如下： 首先研究了一类带有状态不确定性的切换系统的极点配置和最小扰动衰减 水平问题，此类切换系统不仅具有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰 动。利用公共l y a p u n o v 函数方法，给出不确定切换系统可经状态反馈镇定的条 件与切换策略的设计方法来保证：( 1 ) 各线性子系统的特征值位于左半复平面的 选定圆内，( 2 ) 最小化闭环切换系统的扰动衰减水平。在各子系统不稳定的前提 下，设计切换系统的状态反馈控制器，使得在任意切换策略下系统的闭环极点配 置在左半复平面，且具有较好的鲁棒性，系统渐近稳定。用易于求解的线性矩阵 不等式表示出结果，通过仿真验证了结论的j 下确有效性。 其次研究了另一类带有输入不确定性的切换系统。这类切换系统同样不仅具 有未知但有界的结构不确定性，而且具有外部扰动。利用公共l y a p u n o v 函数， 用易于求解的线性矩阵不等式形式来表示使切换系统稳定的充分条件。该条件保 证各子系统的特征值位于左半复平面的选定圆内，通过仿真验证了所设计的切换 系统在状态反馈控制器下渐近稳定，且具有良好的极点配置和最小y 衰减水平。 最后研究了不确定切换系统的保成本控制问题。为了让带有不确定性的切换 系统能够满足一定的动态特性和静态特性，同时满足保性能控制的要求。利用圆 盘的特性，将圆盘的极点约束和保性能要求有机地结合起来，导出了问题的解。 对全文工作进行了总结，并指出了下一步可深入研究的方向。 关键词：极点配置；，衰减水平；保性能控制 a b s t r a c t a b s t r a c t u n c e r t a i ns w i t c h e ds y s t e m sa r ea l li m p o r t a n tc l a s so fh y b r i ds y s t e m s t h e u n c h a i ns y s t e m sm a i n l yi n c l u d et w ot y p e s ：d y n a m i cu n c e r t a i n t ya n dp a r a m e t e r u n c m a i n 够t h em o d e l su n c e r t a i n t yi st h ec o m b i n a t i o no fd y n a m i cu n c e r t a i n t ya n d p a r a m e t e ru n c e r t a i n t yi ng e n e r a l ，a n dp o s s i b l ea p p e a ro nd i f f e r e n tl o c a t i o no f c o n t r o l l o o p t h ep r o b l e mo f s t a t ef e e d b a c kc o n t r o lo fc o n t i n u o u s - t i m es w i t c h e dl i n e a r s y s t e m sw i t hu n c e r t a i ni t e m si sa d d r e s s e di nt h i sp a p e r u n c e r t a i ns w i t c h e ds y s t e m s p o l ea s s i g n m e n ta n dd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nl e v e la r es t u d i e d t h es w i t c h e ds y s t e m s n o to n l yh a v eu n k l l o w nt i m e v a r y i n g n o r m - b o u n d e du n c e r t a i n t yi i ls y s t e m ss t r u c t u r e ， b u ta l s oh a v ee x o g e n o u sd i s t u r b a n c e t h ed e t a i l sa r ea sf o l l o w i n g ： f i r s t ,s w i t c h e ds y s t e m s p o l ea s s i g n m e n t w i t hs t r u c t u r a l u n c e r t a i n t y a n d d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nl e v e la r es t u d i e d t h es w i t c h e ds y s t e m sn o to n l yh a v e u n k n o w n ，n o r m b o u n d e du n c e r t a i n t yi ns y s t e ms t r u c t u r e ，b u ta l s oh a v ee x o g e n o u s d i s t u r b a n c e b yu s i n gc o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，t h es t a t ef e e d b a c kr o b u s t c o n t r o l l e r su n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n gs t r a t e g ya r ed e s i g n e dt oa s s u r ee a c hs u b s y s t e m s e i g e n v a l u ei n s i d ea c h o s e nc i r c l eo nt h eo p e nl e f t - h a l fc o m p l e xp l a n ea n dt h es t a t e so f t h es y s t e m sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e t h e nt h em i n i m u md i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nl e v e lo n l y a p u n o vf u n c t i o nf o rs w i t c h e ds y s t e m si s o b t a i n e d a l lo ft h e s eb a s e do nc o n v e x c o m b i n a t i o n st e c h n i q u ea n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sm e t h o d ，t h er e s u l ti se x p r e s s e d i nt h ef o r mo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，w h i c hc a nb es o l v e de a s i l y t h es i m u l a t i o n s h o w st h a tt l l ec o n c l u s i o ni sc o r r e c ta n de f f e c t i v e s e c o n d ，t h es w i t c h e ds y s t e m s p o l ea s s i g n m e n tw i t hi n p u tu n c e r t a i n t y a n d d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nl e v e la r es t u d i e d t h es w i t c h e ds y s t e m sn o to n l yh a v ea l s o u n k n o w n , n o r m b o u n d e du n c e r t a i n t yms y s t e m ss t r u c t u r e ，b u ta l s oh a v ee x o g e n o u s d i s t u r b a n c e b yu s i n gc o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nt o m a k et h es w i t c h e ds y s t e ms t a b l ei se x p r e s s e di nt h ef o r mo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s t h ec o n d i t i o na s s u r e se a c hs u b s y s t e m se i g e n v a l u ei n s i d eac h o s e nc i r c l eo nt h eo p e n l e f t h a l fc o m p l e xp l a n e t h es i m u l a t i o ns h o w st h a tt h ed e s i g n e dc o n t r o l l e rc a nm a k e t h es t a t e so ft h es w i t c h e ds y s t e m sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l eu n d e rt h ea r b i t r a r ys w i t c h i n g s t r a t e g yw i t hp o l e si n s i d ec h o s e nc i r c l e sa n dm i n i m u m d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nl e v e l l a s t ，t h eq u e s t i o no ft h eg u a r a n t e e dc o s to fu n c e r t a i ns w i t c h e ds y s t e m s i s a d d r e s s e d t om a k et h eu n c e r t a i ns w i t c h e ds y s t e m ss a t i s f ys o m ed y n a m i cc h a r a c t e r a n ds t a t i cc h a r a c t e r , a tt h es a m et i m ef u l f i l lt h er e q u e s to fg u a r a n t e e dc o s t b yu s i n g 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 t h ec h a r a c t e ro fd i s c , c o n n e c tt h er e q u e s to fd i s c sp o l ec o n s t r a i n t sa n dg u a r a n t e e d c o s t t h ea p p r o a c ho ft h ep r o b l e mi sa d d r e s s e d s u m m a r yo f t h ef u l lt e x ta n dt h ed i r e c t i o no fn e x tr e s e a r c ha r eg i v e na tt h ee n do f t h i st h e s i s k e yw o r d s ：p o l ea s s i g n m e n t ；ya t t e n u a t i o nl e v e l ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：枸球 砂驴年3 - 月2 多日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( v 厂 ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名：求多延烁 导师签名：光嘴匆 日期：埘年，月彩日 e l , 苴a ：硼年拥面日 第一章绪论 1 1 切换系统 1 1 1 切换系统概述 第一章绪论 切换系统的研究是随着混杂系统的研究发展起来的，切换系统的研究主要来 自以下几个方面：1 、系统自身表现出切换特性，如图1 1 所示，可由一组切换 的模型来描述，这类模型可由一组切换的控制器来进行控制。例如含有继电、饱 和、滞环等环节的被控对象以及工业上常见的多液罐系统，此外还有存在摩擦、 碰撞等现象的动态系统。 图1 1 系统在多个模型间的切换 2 、比较复杂的非线性对象，为了便于处理和分析，采用一些简单的子系统 组成的切换系统来近似原系统，常用的是分段仿射系统( 也称分段线性系统) ，分 段仿射系统可以充分地近似大部分复杂的非线性系统。切换系统和其设计方法在 许多领域中都得到了广泛的应用，如汽车引擎控制、交通控制、机器人控制、网 络拥塞控制等。切换系统是混杂动态系统中的一类重要类型。系统的动态由有限 个子系统或动态模型来描述，同时有一个切换规则，使之在子系统之间进行切换。 切换系统模型比混杂系统模型简单一些，但是，必须说明这模型的简化并没有 限制它的模型能力和适用范围。因为实际应用中许多系统都可以归结为切换系 统，如自动化工业、飞机空中交通控制、电力系统网络的切换等等。而且在有些 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 情况下，连续动态变量的选取决定了是否存在状态的跳跃或不连续。因此，从这 个意义上说，混杂动态系统的发展史是切换系统的发展史。 切换系统之所以重要，首先是因为它有广泛的实际应用背景，其次它满足了 智能控制飞速发展的需要，智能控制的设计方法是基于在不同的控制器之间切换 的思想。这些控制技术在近年来得n t 广泛的应用，尤其在自适应领域，既实现 了系统的稳定性，又改善了传递响应。 切换系统是一类典型的混杂系统，由一组子系统和切换规则组成。如图1 2 所示 1 1 2 历史回顾 图1 2 多控制器切换系统 二十世纪3 0 年代发展起来的经典控制理论系统研究方法主要有根轨迹法、 奈魁斯特稳定性判据、频率响应法、零极点分析方法、超前滞后补偿法等【。 在一定程度上这些方法能解决单变量线性系统的鲁棒控制问题，例如利用单变量 系统的开环频率特性在b o d e 图上进行综合时，首先确保系统具有一定的稳定裕 量，使得控制系统对其模型的微小摄动量具有一定的鲁棒性，然后再根据经验不 断迭代修改，直至满足系统性能的要求为止。这种方法只适用于单输入单输出线 性系统，难以考虑系统的初始条件，具有明显的试凑性，同时手工计算繁琐，因 此仅限于研究系统具有微小摄动的不确定情况。 现代控制理论发展于二十世纪5 0 年代末，研究问题的方法主要有时域状态 2 第一章绪论 空间分析法，l y a p u n o v 稳定性分析法，线性二次型最优状态调节器法，状态观 测器控制法以及极点配置法等【2 j 。这些方法能很好地解决多变量控制系统的分析 和综合问题，但是没有明确考虑系统中存在的不确定性，这将会导致被控对象的 摄动的鲁棒稳定性很差。例如最优调节器具有良好的稳定裕度( 增益稳定裕度为 o 5 至棚，相角稳定裕度大于或等于4 - 6 0 度) ，然而当被控系统中存在微小摄动量 时，控制系统的稳定性会受到很大的影响，甚至于崩溃。此外，在许多情况下， 仅仅知道外部干扰信号w 是属于某个集合的，如w 为能量有限信号 w e 厶i o ，0 0 ) ，而并不确知其统计特性，这便使得最优调节器方法难以应用。因 此必须寻找一种新的控制方法，使得系统存在不确定性时，系统仍能正常工作并 具有一定的性能( 如干扰抑制等) ，即研究系统的鲁棒控制问题。 n y q u i s t 3 】在1 9 3 2 年给出了基于n y q u i s t 曲线的频率稳定性判据，使得反馈增 益和动态系统的稳定性之间的关系明朗化，为以后的研究奠定了理论基础。1 9 4 5 年b o d e l 4 】讨论了单输入单输出反馈控制系统的鲁棒性，提出用增益和相角稳定 裕量来表征系统对不确定性的容忍范围，并用微分灵敏度函数来衡量系数摄动下 的系统性能。6 0 年代初，c r u z 和p e r k i n s 5 】将单输入单输出系统的灵敏性分析思 想推广至多输入多输出系统，并引入灵敏度比较矩阵来衡量闭环和开环系统性 能。这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统不确定性是微小参数摄动的情 况，属于灵敏性分析的范畴，但是实际系统中的参数是不能视为不变或仅具有微 小摄动的，它们有可能在较大范围内变化，从而超出了基于微分灵敏性分析方法 所能解决问题的范畴。面向非微小有界摄动不确定性的现代鲁棒控制理论的建立 可以归功于6 0 年代所发表的两篇重要文献。一篇是1 9 6 3 年z a m e 6 】发表的关于 小增益原理的文献，他研究和分析了非结构不确定性系统的鲁棒稳定性问题。另 一篇是k a l m a l l 【7 】于1 9 6 4 年发表的，证明了单输入单输出系统最优l q 状态反馈 控制律具有良好的鲁棒性，即无穷大增益稳定裕度和6 0 度相角稳定裕度。 进入7 0 年代后，由于实际工程问题和数学理论的紧密结合，鲁棒控制理论 取得了令人瞩目的发展。y o u l a 8 】等于1 9 7 6 年提出了使反馈系统稳定的控制器参 数化形式，提出通过镇定控制器的y o u l a 参数化，对控制系统的各种性能进行设 计，同时参数化过程保证了最终的反馈控制器自动地产生一个闭环稳定的系统， 从而为多变量系统的鲁棒镇定提供了重要工具。接着，在1 9 8 1 年z a m e s l 9 首次提 出了利用控制系统内某些信号间传递函数矩阵的风范数作为优化指标的设计思 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 想。同时z a m e s 还指出，基于状态空间模型的l q g 设计方法之所以对于参数摄 动的鲁棒性不好，主要是由于l q g 使用的优化指标是平方积分型的。随后， d o y l e l l o 】等于1 9 8 2 年针对以性能指标提出了结构奇异值理论，其主要思想是把 系统的确定部分和摄动部分进行关联重构，以隔离所有摄动，转而处理块对角有 界摄动问题。由于该理论在处理结构不确定的鲁棒性能问题中，可以将鲁棒性能 问题转化为等价的鲁棒稳定性问题，因此该方法是一种把性能和鲁棒稳定性结合 在一起考虑的分析和设计方法，是检验系统鲁棒性的有力工具。正是由于这些重 要结论揭开了鲁棒控制理论的新篇章，极大地推动了以日。范数为性能指标的鲁 棒控制理论的发展。 1 1 3 研究的主要问题和现状 目前切换系统应用在航空、通讯、机械生产等多方面，并引起了多方面的重 视【l l - 1 3 1 。系统性能分析、鲁棒控制、不确定分析、区域极点配置、保性能控制和 时滞分析是当前控制界研究的热点。 稳定性分析是系统性能分析中最为重要和基础的部分，任何一个实际系统 ( 如控制系统、电力系统、生态系统等) ，总是在各种持续和偶然的情况下工作。 系统在干扰下能否保持要求的工作状况，这是必须优先考虑的问题，也就是说系 统的稳定性。在大量的研究中，稳定性分析都是最为集中的研究。且取得了一大 批研究成果1 4 - 19 1 。 由d a n i e ll i b e r z o n 和a s t e p h e nm o r s e 发表的第一篇关于切换系统稳定性及 设计的综述文章，该文章全面叙述了切换系统的稳定性研究的问题。文章中提出 了三个基本问题： 问题l ：寻找切换系统在任意切换下渐近稳定的条件； 问题2 ：验证切换信号是否使切换系统渐近稳定； 问题3 ：构造切换信号使切换系统稳定； 对于问题1 ，一般是寻找共同l y a p u n o v 函数来保证切换系统对任意切换满 足渐近稳定。但是事实上，对于任意切换都稳定的切换系统不多，因此，需要采 用一定的切换信号，这就是问题2 所提出的。多l y a p u n o v 函数方法是解决该类 问题的有效方法【2 0 之1 1 。 4 第一章绪论 对于切换系统的稳定性及其控制问题，已有诸多学者发表了研究成果，文 2 2 研究了如何使包含两个不稳定的线性定常系统的切换系统稳定；文 2 3 】引入 多个类l y a p u n o v 函数方法，分析切换系统的稳定性；文【2 4 给出了多个独立子系 统不稳定，但切换系统稳定的充分条件；文 2 5 利用l y a p u n o v 函数方法，给出使 系统稳定的多个控制器切换方法。 切换系统与一般系统的区别在于，一般系统如果存在l y a p u n o v 函数则系统 是渐近稳定的，而切换系统的子系统的稳定性并不等同与整个系统的稳定性。 下面将给出这样的例子【2 6 】 例1 1 离散切换系统为 m 删砷= - 0 0 0 9 耋焉b ， m 州啦锶黧篙水， 子系统x ( k + 1 ) = a ，工( 尼) ，i = 1 , 2 都是渐近稳定的，但是切换系统 x ( 七+ 1 ) ：j 4 r ( 舶、x , ( k ) x x 2 ( k ) 、 0 。一。 。 ( 0 1 ，1 ) r 。 图1 3 切换系统的状态轨迹 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 因此在研究切换系统时不仅要研究各子系统的特性，还要考虑切换规则。 在工程实践中，采用基于精确数学模型的现代控制理论方法所设计的控制系 统往往难以具有所期望的性能，甚至连系统的稳定性都难以得到保证。鲁棒控制 理论结合系统参数不确定性和外部扰动不确定性的考虑【2 7 2 9 】，研究系统的鲁棒性 能分析和综合问题，弥补了现代控制理论需要对象精确数学模型的缺陷，使得系 统的分析和综合方法更加有效、实用【3 0 。1 1 。 鲁棒控制自提出以来，很快受到了人们的广泛的关注【3 2 】，取得了一系列的研 究成果【3 3 3 5 】，并在一些工程中获得了成功的应用【3 6 1 。鲁棒控制就是针对被控对象 的数学模型存在不确定性时，所设计的控制器使得被控系统不仅能保持稳定，而 且还具有期望的性能，即研究系统对不确定性的不敏感性和使系统满足性能要求 的控制器的设计问题。近年来，随着科学技术的日新月异和工业生产的高速发展， 使得工程界对控制的要求也日益提高，由此极大地推动了鲁棒控制理论的发展和 完善。相信鲁棒控制无论是在控制理论领域内，还是在工业实际应用领域内，都 会取得辉煌的成果。 由此可见，保证控制系统的鲁棒性能意味着： l 、对于标称模型，可以保证控制系统的稳定性和期望的性能： 2 、对于考虑了不确定性的模型集合，能够保证控制系统的鲁棒稳定性，并 可以达到期望的性能。 文 3 7 】基于线性矩阵不等式( l m i ) 方法和凸组合技术，研究一类带有非线性 扰动的不确定切换系统的鲁棒镇定问题。在每个子系统均不能镇定的情况下，利 用单l y a p u n o v 函数方法和多l y a p u n o v 函数方法，分别得到不确定切换系统可镇 定的充分条件。针对参数不确定性的未知、时变、有界等特点，设计出鲁棒状态 反馈控制器及相应的切换策略。 文 3 8 】由于切换规则的存在使得切换混杂控制系统的稳定性研究变得极为 复杂，如何针对给定的系统设计适当的控制器和切换规则没有统一的方法。该文 考虑一类线性不确定离散时间切换混杂系统的鲁棒二次镇定和渐近镇定问题。利 用公共l y a p u n o v 函数方法和多l y a p u n o v 函数方法，分别设计了切换混杂系统鲁 棒状态反馈控制器和鲁棒输出反馈控制器，保证了切换混杂系统的二次稳定性和 渐近稳定性。 文 3 9 】研究了一类不确定线性切换系统基于状态反馈的鲁棒镇定问题。此类 6 第一章绪论 切换系统不仅具有未知时变但有界的结构不确定性，还具有不满足匹配条件的外 部扰动。首先利用完备性条件与共同l y a p u n o v 函数方法，在各子系统不需满足镇 定的条件下，设计了切换系统的状态反馈鲁棒控制器及相应的切换策略，使不确定 线性切换系统的状态在其平衡点处渐近稳定，得到了切换系统可状态反馈镇定的 充分条件；然后基于凸组合技术与线性矩阵不等式方法，将所得结果用易于求解的 线性矩阵不等式的形式表出。 文 4 0 考虑一类单输入线性切换系统的可镇定性问题，利用变结构控制对系 统进行降维。通过对系统滑动模态的研究，得出了系统一致可镇定的充分条件和 系统存在容许镇定策略的充分条件。给出了具体的容许镇定策略集合，并对二阶 切换系统给出了详细的容许镇定策略。 控制科学主要研究如何修正动力学系统的行为以实现预定目标，这涉及到被 控系统期望的性能指标以及控制手段，即如何利用控制器k ，通过信息的变换和 反馈作用，使系统p 稳定并满足一定的性能或要求，如图1 4 ，显然反馈对系统 的控制和稳定起着决定性的作用。 问题1 4 给定系统p ，求反馈控制器k ，使得相应的闭坏系统满足期望的性 能指标。 注1 4 根据反馈信号是状态x 还是输出y ，分别地称k 为状态反馈控制器和 输出反馈控制器。 w u 图1 4 控制系统结构 7 z x ，y 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 对于问题1 4 ，自2 0 世纪5 0 年代，经典线性控制理论基于传递函数数学模 型，以拉普拉斯变换为工具，主要采用频率响应法求解，其性能指标一般以系统 状态x 或输出z 的响应时间、超调量、衰减度等表示。6 0 年代以卡尔曼提出的 状态空间方法为代表，现代控制理论采用微分方程模型描述系统，直接在时域中 求解，可实现对诸如l q 性能指标的最优控制。一般来讲，综合或设计控制器， 经典线性控制理论立足于满足一定的性能指标，而现代控制理论则追求性能指标 最优，由此优化在控制中起着重要的作用然而实际系统不可避免地要遇到各种 不确定性，包括诸如系统的未建模动态、模型参数的不确定性、工作环境的变化， 降阶及线性化近似等系统本身的不确定性，以及外部干扰的不确定性，如一般统 计特性未知等情形如图1 5 ， w u z x ，y 图1 5 不确定对象控制系统结 其中a p 代表对象p 的不确定部分，由此不确定系统控制问题为： 问题1 1 2 对不确定系统p + a p ，求反馈控制器k ，使得相应的闭环系统保证一 定的性能指标。 一般地，对问题1 5 ，依据系统及其不确定性的数学描述，其求解可采用随 机控制的方法、自适应控制的方法、鲁棒控制的方法、容错控制方法，模糊控制 方法以及其它人工智能控制方法。随机控制在最优控制的基础上考虑到了外部干 扰的影响，但对干扰的统计特性预设要求。自适应控制通过不断辨识来获取不确 定性的最新信息，进而修正控制律实现的控制目标，即以可变的控制器应对系统 的不确定性。模糊控制用模糊集合描述不确定性，并据此设计所谓模糊控制器。 第一章绪论 鲁棒控制假设不确定系统未知但有界，对不确定系统用确定性方法求解控制器， 使得对允许范围内的所有不确定性，闭环系统具有所期望的性能。实际上，控制 系统的各种故障的结果最终表现为系统模型变化，自然地，可设计一个控制器实 现对某些故障的容错，所谓容错控制也可看作鲁棒控制的一种。 鲁棒控制方法给出的是一个确定性的控制律，易于进行稳定性和其它性能分 析，其基本内涵实质上是线性系统理论的深层次发展，就应用而言，控制器综合 或设计可离线进行，对计算量要求不高，但由于所得到的控制器适用于所有允许 的不确定性，一方面难以达到最优的性能指标，只能保证一定的指标界，另一方 面不可避免带来保守性。 在控制理论与实践中的一个基本问题是设计状态反馈控制律，将闭环系统的 极点配置在所期望的位置上，以保证闭环系统具有所要求的动态和稳定性能 4 1 - 4 6 。在最初的极点配置问题中考虑的是精确极点配置问题。即将闭环极点配置 在左复半平面中事先给定的位置。然而，由于模型的不精确性和各种扰动的存在， 使得这样一种精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。 事实上，只要将闭环系统的极点配置在复平面上的一个适当区域中，就可以 保证系统有一定的动态和稳态特性。例如，具有极点五= 缈。j c o d 的一个二阶系 统的阶跃响应可以由自然频率( 或无阻尼震荡频率) c o = 川、阻尼比( 或相对n 阻尼系数) f 和阻尼自然频率c o 。完全确定。通过将旯限制在复平面上的一个适当 区域中，可以保i f yg - , ( o n 和满足一些给定的界，从而保证系统具有所期望的过 渡过程特性。 文 4 7 】针对一类范数有界参数不确定线性连续系统，研究使得闭环系统的所 有极点均配置在给定扇形区域中的状态反馈控制器设计问题。利用线性矩阵不等 式( l m i ) 处理方法，给出不确定线性系统存在鲁棒d 控制的充分条件，并利用该 l m i 的可行解给出状态反馈控制器的设计算法和设计步骤。 文【4 8 】考虑了利用状态反馈控制器将不确定线性系统的极点配置在给定的 椭圆形区域中的问题。得到了相应的闭环系统的极点配置在椭圆中的充分条件和 状态反馈控制律，并且将其转化成线性矩阵不等式的形式。 时滞系统是由泛函微分方程来描述的。二十世纪五十年代米以来，泛函微分 9 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 方程和微分差分方程的发展很迅速，在许多方面都取得了重要成果4 9 与。二十世 纪七十年代以后，无穷时滞和无界滞后量的泛函微分方程也跟着兴起，进一步促 进了时滞系统理论的发展【5 2 - 5 5 1 。 时滞切换系统同时存在连续状态、离散状态以及时滞状态，这些状态之间交 互影响，难以分开，给研究带来了一定的困难。目前，时滞系统研究结果主要分 为两类：时滞独立( 时滞无关) 和时滞依赖( 时滞相关) 。文 5 6 考虑了时滞切 换系统的可控性问题。文 5 7 】研究了一类有时滞摄动的切换系统的稳定性问题， 分别利用单l y a p u n o v 和多l y a p u n o v 函数方法给出了切换系统稳定的充分条件。 文 5 8 给出了时滞切换系统在共同l y a p u n o v 函数下时滞独立稳定的结果。文 5 9 】 给出时滞切换系统在共同l y a p u n o v 函数下时滞依赖稳定的结果。 由于现实生活中的大多数系统都带有非线性的性质，因此在切换系统的研 究领域中也出现了不少研究非线性系统的文纠6 0 也】。 1 2 本文主要工作 由于实际系统中存在着不确定性和外部干扰，对于研究不确定线性系统的稳 定性、鲁棒稳定性及其鲁棒控制，将对实际系统的控制要求、控制性能的实现都 有很大的影响，对控制系统的设计和应用，也具有实际的指导意义，而且这也是 不确定系统理论本身完善和发展的需要。因此对于不确定系统的稳定性及鲁棒控 制的研究有其自身的迫切需要。 众所周知，系统的动态性能取决于闭环极点的位置。将闭环系统的极点配置 在左半复平面的指定位置上，可以使闭环系统不仅具有一定的动态性能，保证过 渡过程的品质要求，而且还具有一定的稳定裕度以抑制干扰信号对系统性能的影 响。因此，针对范数有界的参数不确定性，在动态性能指标以及h ，h 。综合性 能指标的约束下，研究具有极点约束的线性系统的鲁棒混合h ，h 。控制问题， 以保证系统既是鲁棒稳定，又具有一定的抗干扰能力和满意的动态性能。 基于以上分析，本文研究了极点配置下的不确定切换系统的鲁棒控制和最优 h 。性能指标。概述如下： 第二章给出了论文研究的理论基础。包括极点配置的简介，不确定性的定义 以及区域极点配置。 l o 第一章绪论 第三章研究带有状态不确定性的切换系统的极点配置和最小化扰动衰减水 平。利用公共l y a p u n o v 函数方法和状态反馈结合区域极点配置原理给出了不确 定性切换系统在极点配置下稳定的充分条件，并且满足最小化扰动衰减水平。最 后进行了数值仿真。 第四章研究带有输入不确定性的切换系统的极点配置和鲁棒镇定问题。利用 公共l y a p u n o v 函数方法和状态反馈给出了不确定性切换系统在极点配置下稳定 的充分条件，所得充分性条件均能用线性矩阵不等式方法求解，最后进行仿真来 验证结论。 第五章研究不确定性切换系统的保成本控制，同时还要求切换系统满足极点 配置条件，利用圆盘的特性，将圆盘的极点约束和保性能要求有机地结合起来， 导出了问题的解。 第六章对全文进行了总结，并指出本文存在的一些不足及今后需深入研究的 一些问题，展望了切换系统下一步的发展。 第二章论文研究的理论基础 2 1 极点配置简介 第二章论文研究的理论基础 对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极 点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴k 时，系 统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时系统动态响应 的基本特性也依赖于极点分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应按指数规 律衰减，衰减的快慢程度取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复 数，则其动态响应是振荡衰减的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的 快慢由极点的负实部决定。因此将系统极点配置在指定位置，该位置主要由时间 域性能指标和频率域性能指标给定，性能指标有时间域形式的过渡过程时间，上 升时间，延迟时间和峰值时间，超调量等和频域形式的增益稳定裕度、相位稳定 裕度，谐振峰值，谐振角频率和截止角频率等。极点配置可以使系统满足性能指 标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际意义。传统的p i d 校正就是基于 系统的传递函数，通过控制器的设计，将闭环系统极点配置在指定位置上，从而 获得满意的系统性能。在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间方法为基 础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在指定位置。在控制理论中，解决 极点配置问题的主要方法有状态反馈和输出反馈两种。 ( 1 ) 状态反馈是以系统状态为反馈变量的一类反馈形式。它是控制理论中最 基本的反馈形式之一。状态反馈采用线性系统的状态变量构成反馈律，进而改变 系统矩阵，状态反馈具有改变系统结构属性和实现性能指标的功能。状态反馈的 引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。由于状态可完全地表 征系统结构信息，所以它为系统结构信息的完全反馈，对各类性能指标时间域系 统综合问题，几乎都采用状态反馈，表明状态反馈控制器更易于实现。 对于单输入线性定常系统的极点配置，可以通过系统的特征多项式求出状态 反馈增益矩阵。对于多输入情形，可采用以下几种算法：第一种算法是将多输入 极点配置问题化为单输入极点配置问题，再求出反馈增益矩阵：第二种算法是将 系统能控矩阵化为能控规范形，再根据极点配置要求确定反馈增益矩阵。 1 2 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 ( 2 ) 输出反馈是采用线性系统的输出变量构成反馈律。与状态反馈相比，虽 然输出反馈同样也能改变系统矩阵，但是两者并不等同。输出反馈控制系统可以 实现的功能，必可以找到相应的状态反馈控制系统来获得，相反状态反馈系统可 以达到的功能，却不一定能找到相应的输出反馈控制系统来获得。同时，输出反 馈是系统结构信息的一种不完全的反馈，因此输出反馈并不能改变系统的结构特 性，即它的引入能保持系统的能控性和能观测性。 此外，由于输出反馈不能把反馈系统的极点配置到根轨迹以外的位置上，因 而输出反馈不能任意配置极点。但是对于完全能控和完全能观的系统，则通过输 出反馈可对闭环系统极点进行“任意接近”式配置，使其可任意地接近任给的期 望极点位置。如果在引入输出反馈的同时，附加引入补偿器。则可以通过合理选 取补偿器的结构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 2 2 不确定性的定义 个复杂的动态模型必须用一个相对简单的模型来描述，而这样一个简化模 型和实际对象之间的差距称为模型不确定性。除了在模型简化过程会带来不确定 性外，对系统特性认识的不够，系统环境的变化、元器件的老化、物理参数的漂 移，随时间变化等因素所带来的系统的变化也会导致模型不确定性的产生。 由于在实际控制过程中，被控对象很难用一个准确的数学模型来描述，即系 统模型中总存在着不确定性。不确定性的存在意味着即使知道输入信号，也无法 准确地预计出系统的输出信号，也就无法对控制系统进行分析与综合。数学模型 中不确定性的描述是多种多样的，主要分为非结构不确定性和结构不确定性。 ( 1 ) 非结构不确定性是指模型与不确定性之间的相互关系是不明确的，其描 述可以分为以下几类： a ) j j i 法不确定性，即一个实际控制对象的传递函数模型可以描述为 只0 ) = p ( s ) + ( s ) ( 2 1 ) 其中只( s ) 为被控对象的实际数学模型，尸( s ) 为被控对象的标称模型，a ( s ) 表示为模型中的加法不确定性。 b ) 乘法不确定性，即一个实际控制对象的传递函数模型可以描述为 只( s ) = 【j + ( s ) p ( s )( 2 2 ) 1 3 第二章论文研究的理论基础 当用以上两种方法描述系统的不确定性时，有时为了便于处理问题，有可能 会将一个难于处理的较小集合放大，因此不可避免带来一定的保守性。 c ) 基于规范化互质分解描述的不确定性，即一个实际控制对象的传递函数模 型可以描述为 只0 ) = 【膨0 ) + ，( s ) 】- 1 o ) + ( s ) 】 ( 2 3 ) 其中a ，( s ) 和a ( s ) 分别表示为互质矩阵m ( s ) 和( s ) 的稳定性摄动。 ( 2 ) 结构不确定性是指具有已知结构的参数含有不确定性，如测量误差、元 器件老化、线性近似等引起的参数变化。对于状态空间描述的模型，系统的实际 参数可以描述为 彳驴o ) ) = 么+ 彳p ( f ) ) ( 2 4 ) 其中么表示系数矩阵的标称值，为实数矩阵；鲋( ，( f ) ) 表示有界时变的不确定 性，有三种描述方法： p a ) 参数结构不确定性：鲋( ，( f ) ) = ( f ) 4 ，k ( f ) l 1 ； j = l p b ) 块结构不确定性：z l 4 ( r ( t ) ) = b ，( t ) e i ，0 a ，( 0 1 - 1 ； f = l c ) 结构不确定性：鲋( r ( f ) ) = d a ( t ) e ，i i z x ( t ) l t 1 模型不确定性也可分为以下两类： 1 )动态不确定性：例如在线性模型中忽略的动态特性，由于慢时变特 性的忽略、输入中的非线性等因素导致的动态行为的变化； 2 )参数不确定性：一些难于精确刻画的物理参数，或者在运行过程中 发生变化但难以刻画其变化规律的参数。例如，机械系统中的阻尼 系数和弹性系数、飞行装置中的空气动力学系数、电路中的电容和 电感等。 不确定性的其他特性包括是否为线性、是否为时变等等。模型不确定性一般 是动态不确定性和参数不确定性的组合，并可能出现在控制坏的不同位置 上。例如，在系统的执行器上可能出现动态不确定性，在某些传感器的系数 上可能出现参数不确定性等。 1 4 基于l m i 的不确定切换系统的极点配置 2 3 区域极点配置 2 3 1 堋i 区域 定义2 3 i 对复平面中的区域d ，如果存在一个对称矩阵l r “”和矩阵 m 尺耐”，使得 d = s e c ：l + s m + - s m7 o ( 2 5 ) 则称d 是一个线性矩阵不等式区域。矩阵值函数 厶( z ) = l + & 膨+ i 膨r ( 2 6 ) 称为l m i 区域d 的特征函数。 特征函数厶( z ) 的取值是m m 维的埃尔米特矩阵，t o ( z ) o 表示矩阵厶( z ) 是负 定的。 由定义2 3 1 可以看到复平面上的一个l m i 区