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大跨度斜拉桥恒载非线性分析摘要随着设计理论的完善、施工技术的改进和新材料的应用，斜拉桥已成为大跨度桥梁的首选桥型之一。随着斜拉桥的跨径不断被刷新，结构的几何非线性问题亦随跨径的量变引起了菜些质的变化，在实际的设计和施工中越来越突出。本文对斜拉桥成桥恒载初始索力的确定和几何非线性对大跨度斜拉桥恒载内力分布的影响进行了研究。在斜拉桥的设计过程中，一个非常重要的环节就是确定成桥时在结构自重恒载作用下斜拉索的初始索力。本文在分析现有斜拉桥索力优化方法的基础上选择影响矩阵法来确定斜拉桥成桥恒载初始索力，并对该方法进行了一些完善使之能考虑更多的约束条件，适用面更广。对于大跨度斜拉桥，几何非线性对其内力的影响是不容忽视的。本文分析了大跨径斜拉桥几何非线性的三个主要影响因素，包括斜拉索的垂度效应、梁柱效应和大位移效应。对现有斜拉桥几何非线性问题的分析理论进行了综述在此基础上，编制了大跨度斜拉桥非线性结构内力分析程序，通过算例验证了程序的可行性和可靠性。【关键词】斜拉桥索力优化初始索力影响矩阵几何非线性n o n l i n e a ra n a l y s i so fl o n g s p a nc a b l e s t a y e db r i d g e su n d e rd e a dl o a d sa b s t r a c tw i t ht h ep e r f e c t i o no fd e s i g nt h e o r y ，g r e a tp r o g r e s si nc o n s t r u c t i o na n da p p e a r a n c eo fn e wm a t e r i a l ，t h ec a b l e s t a y e db r i d g eh a sb e e no n eo ft h ec h i e ft y p e sf o rl o n gs p a nb r i d g e s t h er e c o r d so fs p a n so fc a b l e 。s t a y e db r i d g e sh a v e b e e nr e w r i t t e na g a i na n da g a i n ，g e o m e m cn o n l i n e a r i t yo fs t r u c t u r e sa l s om u s tb ec o n s i d e r e di nr e a lp r o j e c t s ，s i n c et h e i rs p a n sb e c o m el a r g e ra n dl a r g e r t h ed e t e r m i n a t i o no fi n i t i a lc a b l ef o r c e su n d e rd e a d1 0 a d sa n dg e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t ye f f e c t si nl a r g es p a nc a b l e - s t a y e db r i d g eu n d e rd e a dl o a d sa r ep r e s e n t e di nt h ep a p e r i nt h ed e s i g n i n go fc a b l e s t a y e db r i d g e s ，t od e t e r m i n ei n i t i a lc a b l ef o r c e su n d e rd e a dl o a d si sah i g h l yi m p o r t a n tt a s k ，m e t h o d st h a th a v ee x i s t e da r ea n a l y z e di nt h ep a p e rf i r s t l y ，a ne f f i c i e n tc o m p u t a t i o n a lm e t h o do fi n f l u e n c em a t r i xi sp r o p o s e d ，w h i c hi sp e r f e c t e da n dm o r em u l t i r e s t r i c t i o n sc a nb et o o ki n t oa c c o u n t g e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t ye f f e c t si nl a r g es p a nc a b l e - s t a y e db r i d g ec a l ln o tb e e nn e g l e c t e d ，t h r e es o u t c c so fg e o m e t r i cn o n l i n e a r i t yo fl o n gs p a nc a b l e - s t a y e db r i d g e sa r ea n a l y z e di nt h ep a p e r ，w h i c hi n c l u d et h ec a b l es a ge f f e c t ，t h eb e a m c o l u m ne f f e c ta n dt h el a r g ed i s p l a c e m e me f f e c t a n a l y z i n gt h e o r i e so fg e o m e t r i cn o n l i n e 出p r o b l e m so fc a b l e s t a y e db r i d g e sh a v es u m m a r i z e d b a s e do na l la b o v et h e o r i e sap r o g r a mi sc o m p l e t e da n di sp r o v e dt ob ee f f i c i e n t k e yw o r d s lc a b l e s t a y e db r i d g e ，c a b l ef o r c eo p t i m i z a t i o n ，i n i t i a lc a b l ef o r c e s ，i n f l u e n c em a t r i x ，g e o m e t r i c a ln o n l i r i e a r i t y插图清单图卜1 斜拉桥的结构体系图2 - 1 梁索组合一次超静定体系图2 - 2 优化前梁的弯矩图图2 - 3 优化后梁的弯矩图图2 - 4 斜拉桥结构尺寸图图2 5 斜拉桥优化索力相应主梁弯矩图图3 - 1 变形体的运动图3 - 2 拉索的垂度图3 3 分布荷载作用下的斜拉索图3 4 斜拉索的近似形状图3 5 普通梁单元图3 - 6 轴向受压构件图3 7 增量法示意图图3 - 8 迭代法示意图图3 9 混合法示意图图3 1 0 梁单元的变形过程图图4 一l斜拉桥非线性结构分析程序的流程图图4 2 不对称斜拉桥结构尺寸图图4 3 对称竖琴式斜拉桥结构尺寸图埔o坫均鹳雏嬲勰弛如虬虬船们眈表格清单表卜1 斜拉桥的里程碑2表2 - 1 优化索力结果比较。1 6表2 2 优化后单元弯矩计算结果比较1 7表3 - 1t l 列式与u l 列式的不同点2 2表4 - 1 索力值比较4 9表4 2 计入拉索垂度效应计算结果比较5 0表4 - 3 计入梁柱效应计算结果比较5 0表4 - 4 计入大位移效应计算结果比较5 1表4 - 5 计入各种非线性效应计算结果比较5 l表4 - 6 初始索力值计算结果5 2表4 - 7 忽略斜拉索垂度效应计算结果比较5 3表4 8 忽略梁柱效应计算结果比较一5 3表4 - 9 忽略大位移效应计算结果比较5 4表4 1 0 线性与非线性计算结果比较5 4独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金g b 些盘坐或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明菇表示谢意。学位论文作者签字：安缔甩签字日期：土“年月y 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解金罂王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权佥鲤王些盘堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采川影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权4 5 )学位论文作者签名：丢l 亨凤导师签名：签字日期：h 簪6 月7 日签字日期学位论文工作单位通讯地址缈磊月彳日嗣屯话：邮编：致谢本文在选题和写作过程中，得到了王建国教授的悉心指导和大力帮助，王教授诲人不倦、严谨治学的作风和广博的知识，使学生受益颇多，在此谨向王教授表示最诚挚的感谢，并借此机会向为培养我付出辛勤劳动的全体任课老师致以深深的谢意。本人在研究生学习阶段和论文选题的过程中，还得到了蔡敏教授等教师的指导和帮助，对此表示深深的感谢最后，还要衷心感谢我的家人对我三年来在生活、学习上的支持，感谢所有支持和帮助我的同学。作者：朱行风2 0 0 6 年4 月1 1 斜拉桥的发展m第一章绪论斜拉桥是由索、梁和塔三种基本构件组成的组合体系，它是一种桥面体系受压，支承体系受拉的桥梁。其桥面体系用加劲梁构成，其支承体系由钢索组成。斜拉桥以跨越能力大，经济美观而成为现代桥梁工程中发展最快、最具竞争力的桥型之一。1 1 1 斜拉桥的发展历史世界上第一座现代斜拉桥是1 9 5 6 年由德国设计师d i s h i n g e r 设计，在瑞典建成s t r o m s u n d 桥，该桥跨径是7 4 7 m + 1 8 2 m + 7 4 7 m ，塔是门形框架，拉索辐射形布置，加劲梁由两片板梁组成。这座桥从现代的观点来看虽然在细节上尚有一些不足之处，如桥面采用分离的混凝土梁方案，索塔造型尚欠美观等，但在桥梁结构上却是开创了一个新纪元，创造了一个新体系。斜拉桥在世界各地开始广泛流行起来，但此时的斜拉桥大多是稀索体系。2 0 世纪6 0 年代初期，结构分析有了新突破，采用电子计算机分析超静定结构，导致密索体系的产生。1 9 7 7 年法国建成了跨径3 2 0 m ，单索面密索体系的b r o t o n n e 桥，1 9 7 8 年美国建成了跨径2 9 9 m ，双索面密索体系的p k 桥。目前，一般混凝土梁以索距1 0 m 以内称为密索，而钢梁则以2 0 m 以内称为密索。拉索加密以后，主梁支承间距( 索距) 缩短，主梁高度可以减低，人们常把梁高和跨度之比作为一个指标来显示主梁的柔度。梁高减小对于降低恒载重量尤有重要意义。1 9 8 8 年美国建成的d a m ep o i n t 桥，双塔主跨3 9 6 2m ，梁板式主梁高为1 5 2 m ，高跨比1 2 6 0 。1 9 9 1 年挪威建成的h e l g e l a n d 桥，双塔主跨4 2 5 m ，梁板式主梁高为1 2 m ，高跨比1 3 5 4 ，为当前世界斜拉桥最小的高跨比。中国第一座斜拉桥是1 9 7 5 年四川省云阳县建造了云阳桥，是一座跨径7 6 m的双塔双索面混凝土斜拉桥，开始了中国建造斜拉桥的历史。自那以后，在吸取国外先进技术和经验的基础上，我国斜拉桥建设和技术有了长足的进步。8 0年代中后期至今，是我国斜拉桥发展的鼎盛时期，如1 9 9 1 年建成的上海南浦大桥( 主跨4 2 3 m ) 和1 9 9 3 年建成的上海南浦大桥( 主跨6 0 2 m ) 是世界瞩目的双塔双索面、扇形拉索布置的叠合梁斜拉桥。这些大跨度桥梁的工程实践，使我国斜拉桥的发展和技术开发逐渐完善和成熟，并开始进入了世界先进行列。斜拉桥的跨径从2 0 世纪9 0 年代开始记录不断被刷新，表1 1 所列斜拉桥是斜拉桥发展的里程碑。表1 一i斜拉桥的里程碑序号国家桥名跨度完成年份l瑞典s t r o m s u n d1 8 3 m1 9 5 5 芷2德国t e o d o r - h c u s s2 6 0 m1 9 5 7 年3德国s e v e r i n3 0 2 m1 9 5 9 年4德国k n i e3 2 0 m1 9 6 9 矩5德国d u i s b u r y - n e u e n k a m p3 5 0 m1 9 7 0 定6法国s a i n t - n a z a i r e4 0 4 m1 9 7 5 住7西班牙l u n a4 4 0 m1 9 8 4 焦8加拿大a n n a c i s4 6 5 m1 9 8 6 芷9挪威s k a m s u n d e t5 3 0 m1 9 9 1 在1 0中国杨浦大桥6 0 2 m1 9 9 3 钲1 1法国n o r m a n d y8 6 5 m1 9 9 4 笠1 2日本t a t a r a8 9 0 m1 9 9 9 焦1 3中国苏通大桥1 0 8 8 m在建1 1 2 现代斜拉桥的发展趋势s t r o m s u n d 桥拉开了现代斜拉桥建设的序幕，它的发展远比吊桥晚，但发展十分迅速。其主要原因是：( 1 ) 强度高达1 8 g p a 的高强度钢丝的出现，可在相当大跨度内，使钢束保持直线，承受拉力并具有相当的变形刚度。( 2 ) 正交异性板制造工艺已趋成熟，使加劲梁不仅有抗弯能力，更有强大的抗压屈能力。( 3 ) 应用电子计算机技术进行有限单元分析，不仅可分析其内力且可分析结构稳定。上述三点促使斜拉桥起步，其所以能大基推广主要有以下四点：( 1 ) 斜拉桥结构传力明确，主梁结构合理，粱、塔和斜拉索都能发挥各自材料的性能，结构的整体跨越能力较大。( 2 ) 斜拉桥一个重要优点是整个设计与施工的经济性。它是一种自锚体系，不需要昂贵的地锚基础。可以采用悬臂施工，而且斜拉索的存在，为悬臂施工提供了端锚索，大大降低了桥梁的造价。( 3 ) 斜拉桥的美观性。斜拉桥与别的桥型相比，其结构形式可以在基本图式的基础上，产生若干衍生图式，从而达到不同的美学效果。( 4 ) 斜拉桥具有良好的动力性能。斜拉桥和悬索桥都属于柔性体系桥梁，但是由于斜拉桥相当于自锚体系，其结构相对于悬索桥来说，要大得多。斜拉桥今后发展的趋势：跨径向1 0 0 0 m 以上发展，结构体系多以漂浮式或2半漂浮式为主。结构形式多样化，轻型化。大跨度斜拉桥将多采用混合式桥面和钢梁桥面，倒“y ”形或钻石形的塔，以钢绞丝为母材的钢束及锚具，考虑采用辅助索。加强斜拉索的防腐保护的研究，以延长斜拉索的寿命。1 2 斜拉桥的结构体系【3 4斜拉桥是由塔柱、斜索和主梁三部分组成的一种组合体系结构。斜拉索只承受拉力，塔和主梁是以承受压力的压弯构件。塔按照塔的数量可分为单塔、双塔和多塔：按照索面数可分为单索面塔和双索面塔。斜拉索按其立面布置可分为辐射式、竖琴式、扇式、和星式。塔柱、斜索和主梁三者按其相互的结合方式组成四种不同的结构体系( 图卜1 ) ，它们分别是：么令么睑么令令翔么睑么八。幽1 - 1 斜拉桥的结构体系( a ) 悬浮体系；( b ) 支承体系( c ) 塔梁固结体系( d ) 刚构体系( 1 ) 悬浮体系一也称漂浮体系，它是将主梁除两端外全部用缆索吊起而在纵向可稍作浮动的一种具有弹性支承的单跨梁。( 2 ) 支承体系一主梁在塔墩上设有支点，接近于在跨度内具有弹性支承的多跨连续梁。( 3 ) 塔梁固结体系一它相当于梁顶面用斜拉索加强的一根连续梁。( 4 ) 刚构体系一它的塔柱、主梁、和柱墩相互固结，形成了在跨度内具有弹性支承的刚构。综上所述，悬浮体系具有充分的刚度，受力比较均匀，可以作成等截面主梁而简化施工，抗风、抗震性能也较好，是采用较多的结构体系。支承体系不比悬浮体系有多大的优越性。塔梁固结体系的塔柱内力最小，温度内力最小，仅主梁边跨负弯矩较大，整体刚度较小，也是可以考虑采用的结构体系，但修建时要解决大吨位支座的问题。由于巨大的温度内力，刚构体系一般都做成带挂梁的形式，它适用于对抵抗地震和风振无特殊要求的场合。1 3 斜拉桥索力优化方法的发展现状8 ，3斜拉桥成桥恒载内力分布好坏是衡量设计优劣的重要标准之一。恒载内力的优化过程也是设计过程。斜拉桥是高次超静定结构，斜拉桥主梁、主塔受力对索力大小很敏感，而斜拉索索力可以调节，所以我们可以通过优化成桥索力来优化斜拉桥成桥恒载状态，国内外学者已经探索出了很多确定斜拉桥索力优化的方法，可以归纳为如下四大类，即：指定受力状态的索力优化法( 如刚性支承连续梁法、零位移法) 、无约束索力优化法( 如最小弯曲能量法、最小弯矩法) 、有约束索力优化法( 如用索量最小法、分布算法) 。工程界期望在确定斜拉桥成桥恒载初始索力过程中，既能分别得到不同目标函数、不同加权的优化结果，又能计人预应力、活载、收缩徐变、约束优化等影响，供设计者进行比选。以上的方法通常能满足一些特定的要求，但都有局限性。影响矩阵法是种具备这种功能的索力优化方法，影响矩阵法既可用于确定索结构合理状态，也可用于施工阶段和成桥阶段的索力调整，实现了结构调值与结构优化的统一，是一种理论上最为完备的斜拉桥索力优化理论。本文用影响矩阵法来优化斜拉桥成桥恒载初始索力。1 4 斜拉桥非线性分析的研究现状f 6 - 1 ”0 1大跨度斜拉桥是高次超静定结构，即使在正常荷载作用下，往往会产生较大位移，结构几何形状发生显著的变化，整个结构由于有限变形而表现出明显的几何非线性行为。特别是在施工过程中，由于斜拉桥尚未合拢其结构整体刚度较低，且大部分索力和成桥索力相比都较小，斜拉桥表现出更大变形，导致施工过程中的几何非线性问题更为突出，因此几何非线性分析是施工控制过程中的一个重要部分。归纳起来，斜拉桥的几何非线性效应主要有三方面因素：斜拉索的垂度效应、梁一柱效应和大位移效应。斜拉索作为柔性构件，在自重和轴力作用下，呈悬链线形状。其轴向刚度将随垂度变化而变化，而斜拉索的垂度又取决于索中的拉力，因此，斜拉索索力与变形之间存在明显的非线性关系。斜拉索垂度产生的非线性效应随索自重和水平投影长度的增加而增加，随索中拉力增加而减小。斜拉索索力使桥塔、主梁等构件处于弯矩和轴力的组合作用下，桥塔和主梁在变形过程中，由于横向挠度会使轴力产生附加弯矩，而弯矩又影响轴向刚度的大小，从而影响结构的变形，由此产生了梁一柱效应。大跨度斜拉桥由于柔性较大而产生较大的位移，此位移使斜拉桥的几何形状发生较大的变化，从而使结构分析不能仅按禾变形前的几何形状进行，而应当随着位移的变化逐步修改结构的几何形状。此时，结构的刚度矩阵是结构位移的函数，因此平衡方程 f = f 斛f 艿 不再是线性关系，不适应小位移的叠加原理。国内外不少学者研究过斜拉索的非线性行为。1 9 6 5 年德国学者e r n s t 提出了e r n s t 公式，即用直杆模拟斜拉索，用含有索截面上拉应力的等效弹性模量来模拟因索重力垂度引起的几何非线性。l e o n h a r d t 、g i m s i n g 、p o l o d n y 等也证明了该方法的有效性，这也是目前采用最广的解决斜拉索垂度效应的方法。高征铨等提出了拉力增量与位移增量之间的切线刚度矩阵。加藤诚平、单圣涤、4金问鲁、余学进等采用基于“抛物线”理论的计算公式。o z d e m i r 用拉格朗同函数插值法，j a y a r a m a n 用小应变弹性悬链线法，g a m b h i r 用曲线单元法，分别对斜拉索的非线性进行了模拟。1 9 7 9 年，j f l e m i n g 用等效弹性模量来考虑斜拉索的垂度效应，用稳定函数法考虑斜拉桥梁一柱效应，用拖动坐标法考虑大位移效应。用迭代法解非线性方程，给出了斜拉桥几何非线性的平面分析程序。1 9 9 6 年，p h w a n g 等用e r n s t 公式考虑斜拉索的垂度效应，用稳定函数法考虑斜拉桥梁柱效应，用转换系数考虑大位移效应，用增量法和迭代法解非线性方程，分析了各种非线性因素对斜拉桥静力行为的影响。我国也有许多学者对斜拉桥的几何非线性进行分析。现在，已发展为采用基于非线性连续介质力学理论的u l 列式法和t l 列式法来分析各种非线性因素对斜拉桥的影响。1 5 本文的主要研究内容现代斜拉桥的发展进入了向大跨径和特大跨径进军的时代，日本的多多罗桥的跨径达到了8 9 0 m ，现在的苏通长江大桥正进行跨度1 0 0 0 m 以上的斜拉桥的可行性研究。随着斜拉桥跨度的不断增大，几何非线性对斜拉桥成桥内力的影响愈加显著。本论文针对这个问题，以斜拉桥为研究对象，主要围绕以下三个方面的内容展开了研究。( 1 ) 斜拉桥成桥恒载初始索力的确定。本文在分析已有斜拉桥索力优化方法的基础上，选择了较为完善的斜拉桥索力优化法一影响矩阵法柬确定斜拉桥成桥恒载初始索力，并对该方法进行了一些完善，考虑因素更为全面，适用面更广，并编制了相应的计算最优索力的程序，通过算例证明了程序的可行性。( 2 ) 斜拉桥的几何非线性分析。本文基于非线性连续介质的力学的基本理论，详细论述了大跨度桥梁结构的几何非线性的有限元方法，讨论了t l 列式与u l 列式的区别。在分析了大跨度斜拉桥几何非线性产生的原因的基础上，深入研究了斜拉索的垂度效应、梁柱效应和大位移效应的分析方法，并对以往分析方法进行了综述。( 3 ) 斜拉桥非线性结构内力分析程序的编制。根据以上的分析理论，编制了斜拉桥非线性结构内力分析程序，并对编制的程序进行了说明。通过算例的非线性分析，对斜拉桥的几何非线性效应的影响进行了深入的研究。2 1 概述第二章斜拉桥成桥恒载初始索力的确定在斜拉桥的的设计中，确定成桥状态和施工状态是两项非常重要的工作，通常是先确定成桥状态，然后以成桥状态为目标根据施工工序确定各施工状态。斜拉桥是由主梁、塔和斜拉索组成的组合体系，由于斜拉索索力可以调整，索力可以有任意种组合，所以当结构的基本尺寸和荷载确定时，整个斜拉桥结构的整体受力状态就有无数种，也就是说可以通过调整斜拉索索力来调整斜拉桥的整体受力状态。当斜拉桥结构体系确定后，能找到一组斜拉索索力，使结构体系在确定荷载作用下，某种反映受力性能的目标达到最优。这组索力对应的成桥状态就是最优的成桥受力状态。因此，在不改变结构参数的前提下，可以通过优化斜拉桥成桥初始索力来优化斜拉桥成桥内力的。斜拉桥成桥恒载受力状态确定问题就转化为斜拉桥成桥恒载初始索力的优化问题【3 0 j 。国内外学者已经探索出了多种斜拉桥索力的优化方法，可以归纳为四类：指定受力或位移状态的索力优化方法，如刚性支承连续梁法、零位移法、内力平衡法( 或应力平衡法) 、影响矩阵法和自动调索法。无约束的索力优化方法，如最小弯曲能量原理法和最小弯矩法。有约束的索力优化方法，用索量最小法和考虑活载效应的分布算法。本章首先介绍了索力优化的基本概念，然后简单介绍了现有的且具代表性的几种斜拉桥索力优化方法，著指出了每种方法的不足之处。最后对斜拉桥索力优化的影响矩阵法进行了深入的研究。2 2 索力优化的基本概念【3 0计算斜拉桥最优索力的概念，可以用图2 - 1 所示的简单结构来说明。索梁组成的一次超静定体系，赘余力用拉索底张力n 表示，梁的弯矩为：m = j 1 口( & 一x 2 ) 一i n x( 2 一1 )图2 - 1 粱索组合一次超静定体系6如果按变形协调条件计算赘余力，易得：型! ! 丝z 3 4 8 e f + 矗e a为方便讨论，取等= 1 ，丝h = 1 9 2 ，上式变成= 4 f q l ，相应的梁的弯矩如图2 2 所示。这一状态对应于斜拉桥一次落架时的恒载内力状态。为了优化梁的受力，可以根据需要拟定一个目标函数，现以梁上弯矩平方和为例来加以说明。目标函数为：厂= f 吖2 ( x ) 出( 2 2 )图2 - 2 优化前梁的弯矩图图2 - 3 优化后槊的弯矩刚将式( 2 1 ) 代入式( 2 2 ) ，使目标函数厂最小的赘余力为：型( 2 3 )8对应的弯矩如图2 3 所示。这一状况相当于优化后的斜拉桥恒载状态。这时的内力状态是通过索的张拉来实现的。相应的索力不能使结构满足变形协调，正是这一张拉力，改善了梁的受力状况。如果既要使结构内力达到优化状态，又要使梁在自重作用下为一直线，则在制造无应力梁时可设以合理的预拱度，正好抵消自重与吊杆力共同引起的变形。在斜拉桥设计拖工中，也是用这种方法来实现结构内力优化与线形控制的。2 3 斜拉桥索力优化现有方法简介卜2 4通常确定索力优化过程可以分解成两个步骤，首先确定目标函数，然后用合适的方法实现这样的目标函数。因为到目前为止，索力优化的目标函数还没有统一的标准，所以最优索力并非绝对。能够使斜拉桥结构处于一种比较优良的受力状态的一组索力就可以被认为是合理索力。国内外桥梁专家已经提出了许多索力优化的方法，下面介绍现有的几种常用的斜拉桥索力优化的计算方法。( 1 )刚性支承连续梁法此法的原理是选择合理成桥索力，使结构在成桥状态的恒载内力与以拉索锚固点为主梁支点的刚性支承连续梁的内力一致。由于早期的桥梁工程师对连7续梁桥的结构分析很熟悉，所以在对斜拉桥进行结构分析时，很自然地会借鉴连续梁的分析方法。该方法特点是简单易行，对主梁考虑较合理，塔顶水平位移为零。不足之处有：对于塔来说，刚性支撑连续梁法中只对塔顶位移限制，对于其它位置未能考虑，所以塔根弯矩较大( 对于不对称结构) 。这时如果将塔根约束条件引入线性方程组，则出现约束条件总数大于可用于调索的个数，方程总数小于未知数的个数。方程有无数解。斜拉索由于垂度的影响，呈现非线性的关系，在该法中完全线性化的处理不够准确。由该法求得的索力有时不太合理，跳跃较大。例如，如果没有0 号索，有时靠近主塔两侧的第一对索索力过大，而第二对索索力很小，有时甚至为负。在有纵坡的条件下，该法所求结果不太合理。( 2 ) 零位移法零位移法的出发点是使体系完成后在斜拉索索力和结构自重的作用下梁的节段位移为零。虽与剐性支撑连续梁类似，但计算中考虑了索的水平分力的影响。同样对于不对称结构，塔的弯矩难以考虑。桥梁的合理设计成桥状态必须包括力的状态和线形状态。前文己讲过，对斜拉桥来所，只要考虑力的状态，线形的要求可以不在合理成桥状态中考虑。而可以通过在施工中设景预拱度来解决。零位移法的不合理性在于不恰当地选取主梁位移作为控制条件，因为在求解p c 斜拉桥主梁合理内力时是以主梁弯矩达到某一最佳状态为最终目标的，而不是以位移为条件，也就是达到合理的主梁弯矩内力状态时挠度并不一定为零，特定弯矩下的主梁挠度可以通过施工时的预拱度予以消除。( 3 ) 最小弯曲能量法、最小弯矩法这两种方法分别以弯曲能量最小和弯矩平方和最小为目标函数。最小弯曲能量法比最小弯矩法更为合理，因为它能反映抗弯刚度对弯矩的权效应。但最小弯曲能量法只适应于恒载索力优化，无法考虑活载和预应力的影响。缺点是尾索附近索力跳跃较大。而且弯曲能量最小法的前提条件是截面由弯矩控制设计，而对现在的一些密索体系的斜拉桥来说，有时可能由轴向力控制设计，这时，最小弯曲能量法就不再适用了。( 4 ) 用索量最小法以斜拉索用量( 索力乘以索长) 作为目标弯矩，再增加一些约束条件，如索力均匀性约束、控制截面内力约束等。使用这种方法，必须合理确定约束方程，否则容易引起错误结果。( 5 ) 内力( 或应力) 平衡法力平衡法是用力( 或应力) 平衡的思想来确定斜拉桥恒载作用下的合理索力。该方法以控制截面内力( 或应力) 为目标，通过合理选择索力来实现这一目标。控制截面可包括主梁和主塔，因此，主梁和塔的内力( 或应力) 都可照顾到，如控制截面及相应的控制值选择合理，效果会很好。该法的难点在于如何合理的选择控制截面和相应的控制值。在这方面，可以采用宁平华提出的应力平衡原则，即设计适当的斜拉索索力，以使结构的控制截面在恒载和活载共同作用下，上翼缘的最大应力和材料容许应力之比等于下翼缘的最大应力和材料容许应力之比。实际上，刚性支承连续梁法也是内力平衡法的一个特例，特就特在规定了控制截面内力的确定方法。该法的缺点是所求的索力可能不均匀。( 6 )自动调索法该法由张坚提出。该方法和刚性支承连续梁法基本相同，只是对刚性支承连续梁法中不足进行了改进，使其能考虑斜拉索的非线性效应。当它仍有刚性支承连续梁法的其它缺点。( 7 ) 分布算法其计算步骤大致是：用最小弯曲能量法初定成桥状态，尾索附近索力可能跳跃较大。将索力适度调匀，使短索的索力小，长索的索力大，呈递增趋势，局部地方允许索力有突变。如0 号和1 号的索力通常取较大值，同时所有的索力不宜取得太大或太小，并尽量采用第一步确定的索力结果。根据确定的恒载索力估算各根索截面面积，确定索的规格。在此基础上，即可计算主梁活载的应力包络图。根据设计者确定的主粱恒载弯矩最小可行域和前面确定的主梁恒载( 预应力除外) 轴力、上下缘活载应力等计算最小预应力，并配置预应力筋；再计算实际预应力下主梁恒载弯矩可行域：目标索力第二步己被确定，主梁恒载弯矩目标值按“该值位于可行域中值附近”的原则确定。于是确定了受调向量( 含索力、主梁与主塔弯矩) 的调整量。选择索力作为施调向量，建立受调向量调楚量和施调向量调整量之间的关系，即控制方程。控制方程为矛盾线性方程组，用最小二乘法求其广义解，得出施调向量的调整量，从而修正索力。考虑到受调向量可能是截面上弯矩、索力等混合变量组成，这些变量量纲各异，可采用引入反映各控寺4 变量量纲转换矩阵f 只1 ，以及各自重要性的权矩阵陋1 ，其中陋1 为基准物理量目标值和该元索对应的物理量相应值之i ：k 。成桥状态检验，即在修正索力的条件下进行斜拉索应力验算、主梁恒载弯矩可行域及主梁恒载弯矩计算及检验。不合格转入第2 步，直至检验合格。该方法力图综合上述各种方法的优点，但是计算过程很复杂，在实际计算中操作性不是很强。2 4 斜拉桥索力优化的影响矩阵法睁“挪l前述各种索力优化方法都有其局限性。工程界期望在斜拉桥索力优化过程中，既能分别得到不同目标函数、不同加权的优化结果，又能计人预应力、活载、收缩徐变、约束优化等影响，供设计者进行比选。影响矩阵法是一种具备9这种功能的索力优化方法，影响矩阵法既可用于确定索结构合理状态，也可用于施工阶段和成桥阶段的索力调整，实现了结构调值与结构优化的统一，是最为完备的一种斜拉桥索力优化理论。2 4 1 确定斜拉桥合理成桥状态的原则桥梁的合理设计成桥状态必须包括力的状态和线形状态。对于斜拉桥来说，力的状态包括主梁、塔、斜拉索和桥墩的受力状念，其中主梁的受力状态最为关键，起着控制作用。线形状态主要指主梁的成桥线形。线形状态可以不在合理成桥状态中考虑，因为线形的要求可以在施工设置预拱度来解决。对于悬臂现浇施工情况，通过主梁节段立模标高来调整；对于悬臂拼装施工情况，通过主梁分段制着的无应力线形来调整。那么，在确定斜拉桥合理的成桥恒载状态时要考虑以下几个主要问题：( 1 ) 索力分布索力要分布均匀，但又有较大的灵活性。通常短索的索力小，长索的索力大，呈递增趋势，但局部地方应允许有突变。如。号索( 当为全漂浮体系的桥形) 和1 号索的索力通常用较大的值；尾索由于起锚固作用，其索力通常取较大的值，从而索的刚度较大，对活载受力有利。在所有的索中，不宜出现较大或较小索力的索。( 2 ) 主梁弯矩主梁弯矩通常是混凝土斜拉桥设计计算中的重点和难点，在成桥状态下，主梁弯矩要落在可行域内。( 3 ) 主塔弯矩在恒载状态下，主塔弯矩应考虑活载和混凝土后期收缩、徐变的影响。在活载作用下，塔向江侧的位移比向岸侧的位移大，并且混凝土后期收缩、徐变的影响往往使塔往江侧偏。因此，在成桥恒载状态下，塔宜向岸侧有一定的预偏。( 4 ) 边墩和辅助墩的支承反力边墩和辅助墩的支承反力在恒载作用下要有足够的压力储备。最好在活载作用下不出现负反力，但这种受力要求通常由配重或拉力支座来满足。2 4 2 影响矩阵法的基本定义受调向量：结构物中关心截面上所个独立元素所组成的列向量。这些元素一般是截面内力、应力或位移。它们在调值过程中接受调整，以达到某种期望状态。受调向量记为： d ) = ( 4 ，d 2 ，d o ) 1( 2 4 )0施调向量：结构物中指定可实施调整以改变受调向量的，各个独立元素f k m l 所组成的列向量，记为： x = ( x 1 毛，而) 。( 2 5 )施调元多为杆件内力或支座变位。影响向量：施调向量中第个元素x ，发生单位变化，引起受调向量 d 的变化向量，记为： q = ( 钆，c ：，) 。( 2 6 )影响矩阵：，个施调向量分别发生单位变化，引起的z 个影响向量依次排列形成的矩阵，记为：【c 】_ ( c i ，c 2 ，c ) =在影响矩阵中，元素可能对应于内力、晌矩阵是这些力学量混合组成的矩阵。c l ic 1 2c i c 2 1c 2 2c 2 l( 2 - 7 )c m lc m 2 ，j应力、位移等力学量中的一个，影影响矩阵法就是通过影响矩阵建立受调向量与施调向量之间的关系，如果结构满足线性叠加原理，则： c 】 x ) = d ( 2 8 )2 4 3 索力优化的影响矩阵法上式是一个线性方程，求解这组线性方程可得到施调向量的调整量f 彳1 ，但如果构造的是一个普通的线性方程组，往往求得的调整量是没有实际意义的，通常先确定目标函数，构造一个线性规划模型。现从弯曲能量最小为目标进行推导，结构弯曲应变能可写成：u ： m2 ( s ) d si s2 e ( 2 9 )离散的杆系结构可写成：拈l南旧2+mr,i=1i2 ) jl - r 1 1式中：m 是结构单元总数：厶，巨，分别表示f 号单元的杆件长度、模量和截面惯矩；a l l , ，m r 分别表示单元左右端弯矩。将式( 2 1 0 ) 改写成：u = 尬 7 b t l m l + m r 7 b i m r ( 2 1 0 )材料弹性( 2 - 1 1 )式中： m r ) ， 尬) 分别是左右端弯矩向量；旧】为对角系数矩阵；对角元素为：甄一j l( f 1 , 2 ，m )( 2 1 2 )。4 g l i令调索前左右端弯矩向量分别为 膨k l ， 脚。 ，施调索力向量为 t ，则调索后弯矩向量为：髑 m r 拯；：陶器m【 = 慨) + 【坤】 r )“式中：【尬，】，【朋碍】分别为索力对左右端弯矩的影响矩阵。将式( 2 1 3 ) 代人式( 2 - 1 1 ) 得：u = c o + 盯( 旧n 最】 屿】+ m r r 1 且】 慨她)+ ( 陋n 骂】【屿】+ 讽九且儿坶肛)( 2 _ 1 4 )+ 盯( 陋m 【地】+ 【懈九且】【蛾】)式中： c 0 为一与 t ) 无关的常数。要使索力调整后结构应变能最小，令3 u ：0= i l0 t ,( f = 1 , 2 ，)( 2 1 5 )式中： 为调整索数式( 2 1 4 ) 代入式( 2 1 5 ) 并写成矩阵形式( m m l 骂】【鸠】+ m r r 1 日】陋妒 = 一( i m p 1 昼】 坞】4 - 坶九日】【蛾】)( 2 1 6 )至此，索力优化问题就转化为求解式( 2 一1 6 ) 的一阶线性代数方程的问题。但因为弯曲能量最小的前提条件是截面由弯矩控制设计，而弯矩控制设计主要针对早期的稀索体系的斜拉桥，而目前几乎所有的斜拉桥都是密索体系，对于密索体系的斜拉桥来说，有时可能由轴向力控制设计，所以，本文还推导了以梁和塔的拉压应变能和弯曲应变能之和最小为优化目标函数的索力优化公式。该优化目标函数可表示为：u ：f 丝塑+ n 2 ( s ) d s( 2 1 7 )同理可以得到以梁和塔的拉压应变能和弯曲应变能之和最小为优化目标函数的最优索力求解公式：( 陋m 】【屿】+ 陋n 尽】【崛】+ 旧】 屿】+ 【屿m 】 喁惘= 一( t - l ，n 最】【地】+ m r ，n 骂】【饯】+ 【屿n 岛 厶】“屿】r b 2 n r 。】)( 2 - 1 8 )式中： n l o ) 、 民 为调索前左右端轴力向量： 屿) 、 碍) 分别为索力对左右端轴力的影响矩阵；【马】为对角系数矩阵；对角元素分别为：6 2 。= 焉，_ ( i = 1 川2 。，m )( 2 一1 9 )- t r a i q至此，索力优化问题就转化为求解式( 2 1 8 ) 的一阶线性代数方程的问题。但因为这样求得的索力所对应的斜拉桥成桥恒载内力状态只顾及了梁和塔的总能量方面，不能顾及索力、位移、某些截面的弯矩。所以按式( 2 - 1 8 ) 求索力的方法适用面还是不够广泛。本文根据斜拉桥合理成桥状态的原则增加了几个约束条件，使斜拉桥索力优化的影响矩阵法能满足更多的要求，更加完善，适用面更广。下面对此进行详细说明。( 1 ) 索力约束斜拉索的索力在成桥状态在运营过程中，考虑到强度和疲劳问题，应约束索力的上下极限值。另外，初始张拉力及正常使用过程中的索力应为大于零的拉力，以确保斜拉索的有效。因此，索力约束可表示为： t s 巧 ；- r 瓦)( 2 2 0 )式中， 弓 、f e 为指定的索力上下极限值。( 2 ) 位移约束斜拉桥的梁部线型及索塔的水平变位可以在施工过程中采用预设反拱度的方法以达到理想状态，但由于斜拉桥各部位的计算变形值能直观地反映全桥的设计是否合理，所以增加位移约束： 8 0 + s t l r ) 毛) ；一( 磊) + 【品】 r ) ) 一 皖( 2 2 1 )式中， 玩 为指定节点位移在结构自重作用下的效应组成的列阵，磊1 为指定节点位移在各单元索力作用下的影响矩阵。 昂) 、 皖) 为指定节点位移上下极限值。如果不指定任何节点的位移时就不考虑该项约束。( 3 ) 弯矩约束一个反映结构内力状况的目标函数的极值是由结构自身特性和荷载分布情况决定的。本文以能量最小为目标函数，一旦结构形式与荷载确定，其极值也随之而定，斜拉桥的弯矩总量也随之而定，但斜拉桥各部分的弯矩仍是值得关心的问题。般来说，要求结构各部分的弯矩较为均匀的同时，往往要对某些不利截面和危险截面的弯矩值进行限制。其表达式如下： 地) + m l r l t 屿) ；一( 慨) “蚂) 一 慨)。、 z r 。 + m r d r m r u ；一( f 棚 + 卜w 碍】 r ) 茎一 m r c 式中， 埘z u 、 m r u ) 、 m l , ) 、 m r z 为指定截面的左右端弯矩的上下极限值，其它符号同前。如果不指定任何节点的位移时就不考虑该项约束。对于以上不等式约束问题，可以转化为一般的最优化问题来求解，但要选择合适的方法- a 能与影响矩阵法结合起来。现在介绍一种方法，这种方法简单实用，能充分发挥影响矩阵法的优点。现介绍如下：可以先不考虑其约束条件，求在没有约束时的一组最优索力值 丁然后再检验该组索力值 丁1 是否满足以上约束条件，若满足以上的所有约束条件，则它就是斜拉桥成桥恒载最优索力值。如果该组索力值 r 不能满足以上的所有约束条件，那么我们可以作如下处理。假设共有n 个约束条件， 丁 满足其中的 一t 个约束条件，这，7 一k 个约束条件称为不起作用的不等式约束。 丁 。不满足其中的k 个约束条件，这女个约束条件称为起作用的不等式约束。令这t 个起作用的不等式约束( 可能包括部分索力约束、部分位移约束和部分弯矩约束) 的表达式为： 矗 + 陴】 p ( 2 2 3 )式中， r 是由被约束因素组成的维列阵，【0 】为索力对被约束因素的影响矩阵， 尸 是由指定的被约束因素极限值组成的列阵。一般来说，最优索力将发生在起作用的约束条件的边界上，即： 岛 + 【0 】= ( p ( 2 2 4 )这样不等式约束问题就变成了等式约束问题。令： 妒 = 尸 一 r - p d r ( 2 2 5 )号等+ 荛三号0 孑2 。 cz = ，z ，七，c z z e ， 妒 _j将式( 2 1 8 ) 、式( 2 2 5 ) 代入式( 2 2 6 ) ，令 z s 五，五，五 ，得：( i m p , ，九县鸠 + 蝇，九旦】 蚴】+ f 鸠n 础厶】+ 桃， 7 f 础慨腑 - 【盯= 一“她n 旦】【坞】+ 【脚，n 墨1 【慨1 + 【l j 九叫心】+ 【慨n b ：】【氓 1 p ) = 最) + 【b 】 丁)求解k + f 阶方程，便可得到相应的最优化索力向量 丁 。( 2 - 2 7 )在计算过程中，我们还要注意以下问题：( 1 ) 在主梁和主塔的能量叠加中，应该考虑一个能量造价比，即由于施工工艺、材料价格等各种因素的影响，主梁和主塔消耗同等数量的能量所付出的代价是不一样的，通常情况下，主梁比主塔高一些。在此，定义能量造价比如下：口：堕叩七挺式中，、礁! 1 1 分别为塔和主梁消耗同等数量的能量所付出的代价，具体计算时，由设计人员根据经验确定。p 称为能量折减系数，在叠加能量时，可以将塔的能量乘以折减系数后再叠加。( 2 ) 式( 2 1 8 ) 中的矩阵【旦】、 岛】可以分别看成单元弯矩和轴力的加权矩阵。对于变截面的斜拉桥，可以人为的调整系数矩阵【蜀】、 垦】，使刚度大的截面分担多些能量，刚度小的截面分担少些能量。同时，也可以根据构件的重要性和自身的特点，人为的给出各构件的优化加权量。( 3 ) 在形成影响矩阵时，如果结构中已张拉了预应力索，则计算影响矩阵时，就包含了颓应力影响项，因此，用这种方法进行索力优化时能自动将预应力索影响计人优化结果。( 4 ) 用恒、活载共同作用下的能量作为目标函数进行索力优化，只需将内力组合后的结果替代式( 2 1 8 ) 中的 l 呱 和 懈。j 便可。( 5 ) 对斜拉桥进行恒载索力优化时，索的垂度效应破坏了线性叠加原理，似使式( 2 - 8 ) 失效，但根据整体调索的特殊性，可先忽略索的垂度效应，在式( 2 8 )成立的前提下调索，然后对计人垂度的索张以算得的索力，就能得到最优的内力状态。2 4 4 验证算例笔者根据以上理论，编制了斜拉桥成桥恒载初始索力的计算程序，为了验证该程序的可行性，本文对文献 8 】中某一斜拉桥进行了计算。该斜拉桥的基本尺寸见图2 4 。91 3瓣研懈 痢l k ：! ! ! 山一k ：抛1图2 - 4 斜拉桥结构尺寸图该斜拉桥的基本参数为：材料的弹性模量= 2 0 6 e 5 m p a ，1 剖l主梁惯性矩f = 1 1 3 0 7 m 4 ，横截面积a = 0 3 1 9 6 m 2 ，塔( 从上到下) ，= 0 2 1 0 6 ，0 3 4 5 2 ，0 4 3 1 6 m 4a = 0 2 0 2 5 ，0 2 2 7 6 ，0 2 6 9 4 m 2斜拉索内索a = o 0 4 2