（应用数学专业论文）瞬时混沌神经网络和一类时滞微分方程的动力学性质分析.pdf

摘要 摘要 瞬时混沌神经网络和一类时滞微分方糕的动力学性质分析 本文首先介绍了神经网络模型和时滞徽分方程的由来及其研究慨况， 利用s c h a u d e r 不动点原理证明了瞬时混沌神经网络( t c n n ) 模型平衡点的存 在性，利用l y a p u n o v 函数方法给出y t c n n 模型的渐近稳定性的充分条件， 剥用“不可分意碡蓑混淹”磷究了t c n n 中混湾产生蕊充分条徉。其次，本 文对于时滞竣满足局部正反镄躐者局部负反馈条件静时涛微分方程，定义了 离散l y a p u n o v 泛函，并证明了这样定义的合理性及其有关性质，烩出了全 局吸引予存在的一些充分条件，利用这样定义的l y a p u n o v 泛函证明了全局 吸引予具有m o r s e 分解的结构以及极限集的若干性质，同对，利用擞隈集的 萑震诞弱了在一定条 孛下，辩漳瑗弱嫠摹调系绞簇瓣瞧蒺。最蜃，在藏嚣理 论结果的漕础上，对于一些鼷体的时滞微分方程，给出了全局吸引子存在的 条件以及麒体结构。 在本文的第一章中，给出了神经网络以及时滞微分方程的研究进展， 弱时迄给爨了本文熬结穆。耀述了焉动力学方法醭究耪经网络豹羹受羧以及 时滞微分方程理论研究的必要性。 在本文的第二章中，我们首先介绍了较常见的各种神经网络的数学模 型，并依次给出了当连接权斑阵为常数矩阵和区间矩阵时，t c n n 模型中不 动点的存在性莘瑾全局澎近稳定性，在给出的理论证明中，剩用了s e h a u d e r 不 动点定理，稳造了新瓣l y a p u n o v i 蟊数。萁次，在对m a r o t t o 定理本襄靛蠲蘧 进行讨论的前提下，给出了一维t c n n 模型在l i y o r k e 意义下产生混沌的条 件，这些条件从理论上对a i h a r a 自经网络模型何时出现混沌进行了证明。这 些结果与前人用数值计算方法所得结论相比较，本文给出t a i h a r a 神缎网络 产生滤浚貔翼俸蕊参数蕊嚣，强就，这对予在鳃合 莞仡窝联想记忆麓实嚣遣 题中设计混淹神经网络具有定的指导作焉。 l la b s t r a c t 在本文的第三章中，首先给出了对于一类时滞微分方程的用改变符号 次数来定义的离散l y a p u n o v 泛函，并给出了其有关性质的理论证明，进而 说明在时滞项具有局部正反馈或者局部负反馈条件下的时滞微分方程这样定 义l y a p u n o v 泛函的合理性，这是对前人在时滞项具有全局负反馈或者正反 馈条件下的l y a p u n o v 泛函的推广。其次，给出了时滞微分方程的全局吸引 子的有关概念和全局吸引子存在的各种充分条件；顺便对在一定条件下，时 滞微分方程的解的有界性进行了估计：并对时滞项具有局部正反馈或者负反 馈条件下，全局吸引子如果存在，证明了其在一定条件下其具有m o r s e 分解 结构。最后，给出了最终落在时滞项局部单调范围内的解的极限集的若干性 质，并给出了类似于p o i n c a r e b e n d i x s o n 定理的结论及其证明，这些结论的 证明尽管与m a l l e t p a r e r 的证明方法相似，但是本文的结论将他有关全局单 调的理论推广到局部单调中去了。 在本文的第四章中，首先对于时滞神经网络模型和光学双稳设备模 型，给出了其全局吸引子的存在性以及其全局吸引子具有m o r s e 分解的结构 的结论，也给出了在一定条件下，其全局吸引子的具体结构以及当以时滞为 参数时的h o p f 分支产生的条件；其次，证明了具有有限食物供给系统和非线 性广告投资模型的解在适当条件下最终趋于正平衡点，并给出了前者的周期 解存在的条件；以前许多文章只是从数值计算上对这些系统何时具有混沌吸 引子何时不具有混沌吸引子进行说明，而本文的结论对不出现混沌吸引子的 条件给出了理论证明。 在本文的第五章中，我们列出了在离散神经网络和时滞微分方程中的 一些正在研究或者即将研究的问题。 关键词：混沌神经网络，渐近稳定性，区间矩阵，混沌，李雅谱 诺夫函数，时滞微分方程，全局吸引子，m o r s e 分解，极限集，周期解，离 散l y a p u n o v 泛函。 a b s t r a c t u l a b s t r a c t d y n a m i c so ft r a n s i e n t l yc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k sa n da c l a s s o fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ) w ef i r s t l yi n t r o d u c et h em o d e l sa n dt h er e s e a r c hp r o g r e s s o ft h ed i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k sa n dt h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e ) i nr e c e n ty e a r s o nt h eb a s i so ft h e m ，w eg i v eap r o o fo ft h ee x i s t e n c eo fa n e q u i l i b r i u mp o i n tb ys c h a u d e rf i x e d p o i n tp r i n c i p l ea n dag e n e r a l i z e d s u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a tg u a r a n t e e st h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fi ti nt r a n s i e n t l yc h a o t i c n e u r a ln e t w o r k s ( t c n n ) b yu s i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o n w h a t sm o r e ，w e p r e s e n tas u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a tg u a r a n t e e st h ee x i s t e n c eo fc h a o si nt h e t c n n s e c o n d l y , w ed e f i n ea d i s c r e t el y a p u n o vf u n c t i o n a lf o rt h ed d ew i t h l o c a lp o s i t i v eo r n e g a t i v ef e e d b a c ki nt h ed e l a yt e r m ，a n dg i v e ap r o o fo f t h ev a l i d a t eo ft h i sd e f i n i t i o na n ds o m eb a s i sp r o p e r t i e so ft h i s f u n c t i o n a l f u r t h e r m o r e ，w ed e d u c e ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tg u a r a n t e e sn o to n l y t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o ra n ds o m ep r o p e r t i e so fl i m i t ss e t ，b u ta l s o t h em o r s ed e c o m p o s i t i o n so ft h eg l o b a la t t r a c t o r i np a r t i c u l a r ，w es t u d yt h e p r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n so f t h ed d ew i t hl o c a lm o n o t o n ei nt h ed e l a yt e r m f i n a l l y ，b a s e do nt h ep r e v i o u sr e s u l t s ，w eg i v et h ec o n d i t i o n s o ft h ee x i s t e n c eo f t h eg l o b a la t t r a c t o r sa n dt h e i rc o n c r e t es t r u c t u r e sf o rv a r i o u sp a r t i c u l a rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na p p l i c a t i o n s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h e m a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dt h er e s e a r c hp r o g r e s sf o rt h ed i s c r e t e t i m en e u r a l n e t w o r k sa n dt h ed d ei nr e c e n ty e a r s w es h o wt h a ti ti sn e c e s s a r yt oa n a l y s i s t h es t a b i l i t ya n dt h ec o m p l e xd y n a m i c si nt h ec o n c r e t em a t h e m a t i c a lm o d e l s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a lm o d e l so fs o m e d i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k sa n dg i v eap r o o fo fb o t ht h ee x i s t e n c eo fa n l va b s t r a c t e q u i l i b r i u mp o i n tb ys c h a u d e rf i x e d p o i n tp r i n c i p l ea n d a g e n e r a l i z e ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a tg u a r a n t e e st h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ft c n nw i t ha s y m m e t r i cc o n n e c t i o nw r i g h t sm a t r i xb yu s i n gan e wl y a p u n o vf u n c t i o n w ef u r t h e r s t u d yt h es t a b i l i t yo fa ne q u i l i b r i u mi nt c n n w i t ht h ec o n n e c t i o nw r i g h t s m a t r i xi nf o r mo fi n t e r v a lm a t r i x s e c o n d l y , o nt h eb a s i so f s t u d y i n gt h ep r o b l e mi nt h ep r o o fo fb o t hm a r o t t ot h e o r e m ，w ed e r i v e dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s t h a tg u a r a n t e e st h ee x i s t e n c eo fc h a o si nt h es e n s eo fl i - y o r k et h e o r e mi no n e d i m e n s i o n a lt c n n ，w h i c hl e a d st oaf a c tt h a ta i h a r ah a sd e m o n s t r a t e db y n u m e r i c a lm e t h o d s e v e r a le x a m p l e sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r es h o w nt o i l l u s t r a t ea n dr e i n f o r c eo u rt h e o r y i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l yg i v eb o t ht h ed e f i n i t i o no ft h ed i s c r e t e l y a p u n o vf u n c t i o n a la n dt h ep r o o fo fs o m ep r o p e r t i e so fi t f o rt h ed d ew i t h l o c a lp o s i t i v eo rn e g a t i v ef e e d b a c ki nt h ed e l a yt e r m s e c o n d l y , w ei n t r o d u c e t h ed e f i n i t i o no ft h eg l o b a la t t r a c t o r a n dw eg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s t h a tg u a r a n t e e st h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o rf o rt h ed d e b yt h ew a y ， w ee s t i m a t et h eb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sf o rt h ed d e w ea l s od e r i v e dt h e m o r s ed e c o m p o s i t i o n so ft h eg l o b a la t t r a c t o rf o rt h ed d ew i t hl o c a lp o s i t i v e o rn e g a t i v ef e e d b a c ki nt h ed e l a yt e r m f i n a l l y , s o m ep r o p e r t i e so fl i m i t ss e t o ft h es o l u t i o no ft h ed d ew i t hl o c a lm o n o t o n ei nt h ed e l a yt e r ma r eg i v e n m o r e o v e r ，u s i n gt h ea b o v ed i s c r e t el y a p u n o vf u n c t i o n a l ，w ep r o v et h a tt h e p o i n c a r e b e n d i x s o nt h e o r e mh o l d sf o rs o m es o l u t i o n so ft h i sd d e i nc h a p t e r 4 ，d e t a i la n a l y s i so ft h eg l o b a la t t r a c t o rf o rt h r e ep a r t i c u l a r c l a s s e so f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nc o n c r e t ea p p l i c a t i o n sa r eg i v e n v a r i o u sr e s u l t so nt h ee x i s t e n c ea n dt h em o r s ed e c o m p o s i t i o n so fg l o b a la t t r a c t o r f o rt h ed d e si nn e u r a ln e t w o r k so ro p t i c a l l yb i s t a b l ed e v i c ea r ep r e s e n t e d w e g i v et h ec o n d i t i o no fh o p fb i f u r c a t i o nw h e nt h ed e l a yi sap a r a m e t e ri nt h e a b s t r a c t v d e l a yn e u r a ln e t w o r k s w ea l s og i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tg u a r a n t e e s t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dt h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o ro fa l lp o s i t i v e s o l u t i o n sa b o u tt h e i rp o s i t i v es t e a d ys t a t ei nam o d e lf o rp o p u l a t i o nd y n a m i c s o fi s o l a t e ds p e c i e sw i t hl i m i t e df o o ds u p p l ya n dn o n l i n e a ra d v e r t i s i n gc a p t i a l m o d e lw i t ht i m ed e l a yf e e d b a c k a tt h ee n do ft h i sd i s s e r t a t i o n ，w el i s ts o m ep r o b l e m sf o ro u rf u t u r e w o r k sw h i c hi n c l u d e ss t a b i l i t ya n dc h a o si nd i s c r e t et i m ev a r y i n gn e u r a ln e t w o r k sa n dt h ed e l a yd i i r e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s ：c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k s ，a s y m p t o t i c a l s t a b i l i t y ，i n t e r v a l m a t r i x ，c h a o s ，l y a p u n o vf u n c t i o n ，d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，d i s c r e t el y a p u n o vf u n c t i o n a l ，g l o b a la t t r a c t o r ，m o r s ec o m p o s i t i o n ，t h el i m i ts e t s ，p e r i o d i c s o l i i t i o n s 第一章研究背景 2 1 1 神经网络的研究背景及进展 第一章研究背景 人工神经网络是一门高度综合的交叉学科，它的研究与应用涉及 计算机与人工智能，神经生理学，认知科学，信息科学，非线性动力学 等众多科学领域。在人工神经网络的发展过程中，提出或用及的网络模 型有近百种，其中较为重要的模型有：4 0 年代初，m c c u l l o c h p i t t s 的神 经元的数学模型f 7 2 1 ；1 9 4 9 年，h e b b 从条件反射的研究中提出了h e b b 学习 规则3 9 1 ；5 0 年代末，以f r o s e n b l a t t 提出的感知器为代表形成了人工神 经网络的第一次高潮 8 5 】；1 9 6 9 年，m i n s k y 和p a p e r t 的“p e c e p t i o n s ”【7 4 】一 书出版，在大量数学分析的基础上，提出了感知器的局限性，从而导 致了神经网络的降温，至t j 2 0 世纪7 0 年代，仅有少数数学家致力于神经网 络的研究：1 9 8 2 年，h o p f i e l d 提出t h o p f i e l d 神经网络模型 4 1 1 1 4 2 1 ，使人 工神经网络的研究有了突破性进展，他把神经网络看作非线性动力系 统，引进t l y a p u n o v 函数，使网络的收敛性和稳定性研究有了明确的判 据。h o p f i e l d 运用这种模型成功地解决了旅行商( t s p ) 问题，这一成果使人 工神经网络的研究又活跃起来，并取得了一大批引人注目的成果：8 0 年代中 期，r u m e l h a r t $ 口m c c e l l a n d 提出的前馈网络的b p 算法，a d d e y 等人的波 尔兹机；9 0 年代初，a i h a r a 等在前人推导和实验的基础上提出了混沌神经 网络模型 5 1 1 。这些网络模型已经在模式识别，决策优化，联想记忆，自适 应控制和计算机视觉，信号处理，目标跟踪，网络系统等众多领域的应用中 取得了引人注目的成果。然而，由于目前人类对真实神经系统只了解非常有 限的一部分，对于自身脑结构及其活动机理的认识还十分肤浅，当今的神经 网络模型实际上是较为简单和粗糙的，并且是常常用某种“先验”的。例 如，b o l t z m a n 机引入随机扰动来避免局部最小，有其优越之处，然而，缺乏 必要的脑生理学基础。毫无疑问，人工神经网络的完善与发展有待于神经生 理学，神经解剖学的研究给出更加详细的信息和证据。而这些信息证据的给 靼神经嘲络的研究营景及进展 3 出往往是建立在对于生物神经系统的数学建模有深刻而全面的分析，所以正 如以上所述，对于生物神经元模型和生物神经网络模型的动力学行为的深入 分析是十分重要的。 近年来，人们从两个方面都发现，脑中存在混沌现象：一是对脑电 波的研究，即用表面电极测定脑活动的宏观空间平均量，二是用微小电 极测定微观的单个神经元的膜电位。前者是通过脑电波数据的相关维数 的分析来表明混沌的存在，而后者则通过一些直接的分析来表明在一定 条件下神经元会产生混沌现象。事实上，神经网络是高度非线性的动力 系统，一般可定义为由确定的微分方程或差分方程所描述的一个系统在 时间轴上的状态演变。所以可以用动力系统中的有关方法来研究神经网 络。而在动力系统中，吸引子是一个十分重要的概念，当某一时刻系统 状态确定后，其后的状态将按动力学方程转移，靠近某一稳定状态，这 样的状态就是吸引子。吸引子有很多种，包括点吸引子，周期吸引子， 奇异吸引子f 混沌是其典型例子) 。通常，神经网络有多个吸引子，最终 收敛于吸引子的状态所对应的初值集合叫做吸引域。神经网络研究的关 键是吸引域。对于吸引域的研究最困难的是混沌吸引子的吸引域。而混 沌是不含外加随机因素的完全确定性系统所表现出的内秉随机性行为， 并且对于混沌定义，从数学上讲还没有统一的定义。目前比较常用的 有l i y o r k e 5 8 ，d e v a n e y 1 6 ，m a r o t t o 7 0 】意义下的混沌。在实际中为了判断 混沌动力学性质往往用最大l y a p u n o v 指数是否大于0 。而对于一维离散动 力系统较常用的有如下判别法：在1 9 7 5 年，l i 和y o r k e 得出一个相当简单的混 沌存在的条件，即：周期3 意味着混沌【58 】。而在1 9 8 2 年，l i 和m i s i u r e w i c z 推 广t l i 和y o r k e 的条件，即：不可分意味着混沌【57 。对于高维离散动力 系统，一般使用m a r o t t o 定理，即：互斥子意味着混沌 7 0 1 。然而，g o o n g c h e n 在 1 3 1 中指出了m a r o t t o 定理的证明过程本身有一个错误，同时，在改 变互斥子定义的基础上，g o o n gc h e r t 给出了类似于m a r o t t o 定理的结论，但 4第一章研究背景 正是由于其所给的互斥子的定义已改变了m a r o t t o 的原来定义。因此，可 以认为m a r o t t o 原定理的正确性至今还没有人能证明，也没有人能举反例 说明其不正确性。鉴于以上原因，虽然l c h e n 和k a i h a r a 在 1 0 1 1 1 2 1 中 用m a r o t t o 定理理论上证明高维瞬时混沌神经网络( t c n n ) 模型具有混沌 结构，但是实际上可以认为t c n n 模型中具有混沌还没有理论证明。 另一方面，对于神经网络平衡点的渐近稳定性的研究也是神经网络研 究的另一个热点。在过去几十年里，由于混沌研究的困难所在，而在应用 中，又希望设计的神经网络具有尽可能多的平衡点用来提供尽可能多的信 息，这就使得许多人研究神经网络的稳定性，产生了大量的有关神经网络稳 定性的文献。例如c h e n 和a i h a r a 等 1 0 1 利用l a s a l l e 不变原理，找出了一类 离散神经网络的平衡点全局稳定的充分条件。l i um i c h e lf 6 0 币l j 用l y a p u n o v 函数方法得到了另一类离散神经网络的平筏点全局稳定的一些结果。g u a n 和c h e n 2 5 推出了连续的h o p f i e l d 神经网络平衡点存在性，唯一性和稳定性 的一些条件。 综上所述，由于描述神经网络模型的是非线性的连续或者离散的动力 系统，所以，除了对其稳定性分析有其重要意义以外，对于混沌动力学的分 析和研究也是十分重要的。 1 2 时滞微分方程的研究背景及进展 在大量的自然与社会现象中有一类确定性的规律，它们可以用含有一个 自变量的未知函数及其微分的方程来描述，这类方程称为常微分方程。其一 般形式可以用如下形式的常微分方程组： 一巾 等= ( z l ( t ) m ( t ) ，x n ( f ) ) i = 1 ，2 ，n ( 1 2 1 ) d 及其初始条件鼢( ) = q 0 ，i = 1 ，2 ，n 来描述，这里要强调一下，方 程( 1 2 1 ) 的左右两边都只是同一时间t 的函数，也就是说我们假定事务的 2 时滞微分方程的研究背景及进展 5 发展趋势( 方程( 12 1 ) 的左边) 只是由其当前的状态( 方程( 1 2 ，1 ) 的右边 的( z i ( ) ，x 2 ( t ) ，x n ( t ) ) 来决定；而不明显地依赖于其过去的状态。例如二 体问题中，当前两个星球间的吸引力( m 丽d 2 x ，m 磐) 只与当前两个星球的位 置( z ( t ) ，( t ) ) 有关，而与这两星球过去的位置无关。可以简单地说，这些现 象都是瞬时起作用的，在这种假设下的数学模型，对大量事物的运动规律的 描述是合适的。然而，在研究自然和社会现象中，客观事物的运动规律是复 杂的和多样的。一般地说，在动力系统中总是不可避免地存在滞后现象，亦 即事物的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于事物过去的历史； 或者抽象一点说，对系统的作用和系统所做出的反应之间总有一段时间上的 延迟。例如：物理学中的电磁铁相互作用的动力学模型【7 】【1 9 】，许多生物系 统中的捕食者与被捕食者之间长久敌对组合的动力学模型 6 a 1 2 6 ，以及经济 学中的投资与收入之间的动力学模型【6 1 ，时滞微分方程正是在对这类系统 进行综合分析后所得到的数学模型，这些模型的一般形式可以概括为： d 出x a = 胞z - ( 牝2 ( t ) z 。( f ) ，x l ( t 一丁1 ) ，z 2 0 一亿) ，x n 0 一) ) i = 1 ，2 ，n ( 1 2 2 ) 其特点是方程的右边不仅依赖于未知函数在当前的值( 例如z ( t ) ) 而且依赖 于未知函数在过去的值( 例如甄( t 一兀) ，以 0 ) ，这种方程称为时滞微分方 程。 从八十年代中期到现在的近二十年时间里，许多数学工作者对如下形 式的具有时滞的微分方程进行了广泛的研究： 百d x ( t ) = m ( 。) ，z ( 一1 ) ) ( 1 2 3 ) 其中函数，( z ，) 是连续可微函数且满足对任意的y 咀0 都 有y f ( o ，y ) 0 ，或者，( o ，y ) 0 ，记6 + = s i g n ( y f ( o ，) ) 。前者称为正反 馈条件；而后者称为负反馈条件。并且在生态学、经济学、非线性光学和神 经网络等的应用中所出现的方程都满足这些条件。因此对形如( 1 2 3 ) 的关于 6 第一露研究背景 时滞的项具有正反馈或港负反馈条件的方瑕的艇的性质的研究是十分必要 麴。 一般地，我们阁e 袭示f 一1 ，0 1 上的遥续实函数全体所构成的b a n a c h 空 间( 取其上确界为其范数) 。则5 满足邋当的条件时，对每个c ， 由方襁( 1 2 3 ) 可唯一地确定一个连续函数。： 一1 ，t 8 ) h 瓞，在( o ，t + ) 上 瀵足方程( 1 。2 3 ) 蠢在 - 1 ，o l 上z ( t ) = 妒 ，刘舔g 辫是方稳( 1 2 ，3 ) 的溃足 裙缓嚣= 妒( 巍t i - 1 ，o 静解，著记淹 ；丽且对任意0 t 0( 1 2 4 ) h a n s o t t ow a l t h e r 【9 8 】铎) ：1 9 9 5 年在负反馈以及对任意的fs 取，( f ) 一x r n l n i f 彰k l ，8 一支。； 卵么，窘( 2 1 1 3 ) 采用劈怒刃步更新对，埘薄教系兢( 2 1 1 3 ) 的 群x ( t ) ，蛳_ 。对，趋向于一爹坏动蔗1 。 2 2 瞬时混沌神经网络的渐近稳定性 在遮一节里，我们首先研究警彬麓常数矩黪辩瞬时渥涟毒枣经霹络鲍激近 稳定性。 2 2 。圭 当w 鸯鬻数矩阵时瞬时渥沌享搴经网终模型瓣乎鸳点麓 渐近稳定性 。 我们酋先要证明瞬时混淹神经网络模型至少存在一个平德点，如果搬此 穰型看成一个获莉的话，氇藏是说趸少存在个不动点。为了证葫平衡患豹 存在性，首先给出s c h a u d e r 不动点原理作为我们的引理。 弓、理2 - 1 s c h a u d e r 攀动点原理穆孽j ：设盖是斌泛线牲空阍。k 是x 中畿强紧 集，映蕊f ：k 壬k 连续，邵么，f 在k 里存农一个不动点，即存在一个 1 更严格的说应该是离散系统( 2 1 1 3 ) 的所有解x ( t ) ，粕t - o o 时，趋向于一个平衡点 囊。 2 瞬b 寸混沌神经网络的渐近稳定性 坞 点y 属于k ，使4 , r w = f ( v ) 。 利用s c h a u d e r 不动点原理，很容易得到下面的定理。 定理2 2 瞬时混地神经网磐模型至少鼻有一个乎静点。 征明由于黔是n 维欧氏空间，在辩上赋予通常的无穷范数：。，即 若x = x - ，。) ，n i i x l l 。= , n a x ( i x i ，一，l z 。1 ) ，从而，由范数的等价 性可知，此时的黔为b a n a c h 空间。定义集合q 为： q = y 酞n il i r l l 。1 ) 根据瞬时混沌神经网络的定义，映射p 是连续的；而按上述定义的集 合q 显然是有界的闭集，于是，在有限维赋泛线性空间( 科，”l i o 。) 中，q 必 定是致密的闭集，从而q 是紧集，又对任意k ，k q ， o ，1 ，显然 有1 1 ( 1 一) h + o k0 c o ( 1 一乜) l i m l l o 。+ a i | i l o o 冬1 ，即( 1 一q ) m + k q ， 因此0 为凸紧集。下面，我们说明映射f ：q _ q 上的映射。 因为甄( t ) = ，( 玑( t ) ) 0 = 1 ，2 ，一，n ) ，而q o 冬，( 玑) 风，从 而，1 3 7 i ( t ) l 1 。所以，l i f il 。曼1 。则f ：q _ q 上的映射。利用s c h a u d e r 不动点原理，存在一个点x + q 使得f ( x + ) = x + 。 口 为证明系统( 2 1 ，1 3 ) 渐近稳定性，我们给出离散动力系统渐近稳定性的 不变性原理。 引理2 2 腼卯考虐萼教动力系统 x ( k + 1 ) = ，( z ( ) ) ，( 2 2 1 ) 其中，k n ，n 是自然数集舍，z ( 七) 黔，f ：融_ 础。假设存 在一含径向元界函数u c 【黔，捌，使z 釉( ，( z ) ) s ( 。) 对所有的z 础。 今a 如是集合z = z 对i ( ，( z ) ) = ( z ) ) 的最大不变集，那么，此动力系 统( 2 2 1 ) 的每一个有界解庐( 女) ，当斗。时，建向于集舍。 2 0 第二章混沌享串经网络的渐近稳定性以及混沌动力学性质 有了平衡点的存在性和此引理后，我们可以利用它们来证明下面的渐 近稳定性定理： 定理2 3 假设系统( 2 1 1 3 ) 满足： 库， ( 2 ) 存在j e 定对角矩庠d = d i a g d 1 ，d 2 ，d n ) 使得d w 是对称矩 ( 3 ) 矩降d w + 4 ( 女+ i ) e dj e 定，那幺，系统( 2 1 1 3 ) 的所搠( t ) ， 觐_ 0 0 对，趋向于一含乎玩点巢。 征明定义l y a p u n o v 函数为 y ( x ) = 一石1 e ( b 玎+ b ，) 郴，一也(