高中数学211参数方程的概念与圆的参数方程.ppt

综合评价 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程 是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式 某些曲线上点的坐标 用普通方程描述它们之间的关系比较困难 甚至不可能 列出的方程既复杂又不易理解 而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便 学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变 提高应用意识和实践能力 学习目标 1 通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系 写出抛物运动轨迹的参数方程 体会参数的意义 2 分析直线 圆和圆锥曲线的几何性质 选择适当的参数写出它们的参数方程 3 举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便 感受参数方程的优越性 学习计划 课标要求 1 理解曲线参数方程的有关概念 2 掌握圆的参数方程 3 能够根据圆的参数方程解决最值问题 第1课时参数方程的概念与圆的参数方程 第一节曲线的参数方程 核心扫描 1 对圆的参数方程的考查是热点 2 根据几何性质选取恰当的参数 建立曲线的参数方程 难点 1 参数方程的概念 自学导引 参数方程 参数 普通方程 参变数 rcos rsin 2 圆心为c a b 半径为r的圆的普通方程与参数方程 a rcos b rsin 1 曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横 纵坐标之间的联系 而参数方程是通过参数反映坐标变量x y间的间接联系 在具体问题中的参数可能有相应的几何意义 也可能没有什么明显的几何意义 曲线的参数方程常常是方程组的形式 任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点 反过来 对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值 名师点睛 2 求曲线参数方程的主要步骤第一步 画出轨迹草图 设m x y 是轨迹上任意一点的坐标 画图时要注意根据几何条件选择点的位置 以利于发现变量之间的关系 第二步 选择适当的参数 参数的选择要考虑以下两点 一是曲线上每一点的坐标x y与参数的关系比较明显 容易列出方程 二是x y的值可以由参数唯一确定 第三步 根据已知条件 图形的几何性质 问题的物理意义等 建立点的坐标与参数的函数关系式 证明可以省略 3 圆的参数方程中参数的理解 思维导图 题型一参数方程的概念 1 求常数a 2 求曲线c的普通方程 思维启迪 本题主要应根据曲线与方程之间的关系 可知点m 5 4 在该曲线上 则点m的坐标应适合曲线c的方程 从而可求得其中的待定系数 进而消去参数得到其普通方程 例1 反思感悟 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消去参数 简称为 消参 消参的常用方法是代入消元法和利用三角恒等式消参法两种 变式1 已知圆的直径ab上有两点c d 且 ab 10 ac bd 4 p为圆上一点 求 pc pd 的最大值 思维启迪 本题应考虑数形结合的方法 因此需要先建立平面直角坐标系 将p点坐标用圆的参数方程的形式表示出来 为参数 那么 pc pd 就可以用只含有 的式子来表示 再利用三角函数等相关知识计算出最大值 题型二圆的参数方程及其应用 例2 解以ab所在直线为x轴 以线段ab的中点为原点建立平面直角坐标系 已知实数x y满足 x 1 2 y 1 2 9 求x2 y2的最大值和最小值 变式2 某飞机进行投弹演习 已知飞机离地面高度为h 2000m 水平飞行速度为v1 100m s 如图所示 题型三参数方程的实际应用 例3 1 求飞机投弹ts后炸弹的水平位移和离地面的高度 2 如果飞机追击一辆速度为v2 20m s同向行驶的汽车 欲使炸弹击中汽车 飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹 g 10m s2 思维启迪 解答本题可以建立直角坐标系 设出炸弹对应的点的坐标的参数方程 然后利用运动学知识求解 令y 2000 5t2 0 得t 20 s 所以飞机投弹ts后炸弹的水平位移为100tm 离地面的高度为 2000 5t2 m 其中 0 t 20 2 由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动 以汽车为参考系 水平方向s相对 v相对t 所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s v1 v2 t 100 20 20 1600 m 反思感悟 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解 由于水平抛出的炸弹作平抛运动 可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动 炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间 如果本例条件不变 求 1 炸弹投出机舱10s后这一时刻的水平位移和高度各是多少米 2 如果飞机迎击一辆速度为v2 20m s相向行驶的汽车 欲使炸弹击中汽车 飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹 变式3 高考在线 圆的参数方程的应用 例1 答案 1 1 1 1 例2 答案 0 10 p24思考 这里定点q在圆o外 你能判断这个轨迹表示什么曲线吗 如果定点q在圆o上 轨迹是什么 如果定点q在圆o内 轨迹又是什么 p26思考 为什么例4 2 中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程 答涉及到了转化的等价性问题 第 1 小题中 由y2 4sin2 得到y 2sin 但是由于 的任意性 即 r 无论2sin 还是 2sin 都可以取到区间 2 2 内的