（管理科学与工程专业论文）模糊最后通牒博弈模型.pdf

中文摘要 本文主要研究最后通牒博弈问题 在介绍博弈论的基本知识和最后通牒 博弈的基本模型的基础上 分析了最后通牒博弈基本模型中关于局中人假设 及研究工具的不足 针对这些不足 本文将行为博弈论与模糊理论相结合 从行为博弈的观点出发 以模糊变量为工具 建立了一种参数模糊的最后通 牒博弈模型 旨在更好的解释最后通牒博弈实验中出现的各种异常现象 进 而完善博弈论对现实活动的预测与指导 通过运用次模型对实际算例进行分析 表明本文提出的模型很好的解释 了最后通牒博弈实验数据中出现的各种异常现象 本文首先介绍博弈论发展至今出现的问题 和相关研究的现状 第二章 介绍本文所用到的标准博弈论的基础知识 以及标准博弈论对最后通牒博弈 的预测 第三章介绍在不考虑参数进化情况下 三个具有代表性的行为博弈 论模型 其中所有模型中的参数都是清晰的 第四章在第三章的基础上 提 出本文的参数模糊的最后通牒博弈模型 其中的模糊参数为局中人的无私偏 好系数 模型定义了局中人的模糊效用函数 给出了博弈的模糊期望纳什均 衡 并结合算例对最后通牒博弈的实验数据进行了分析 第五章介绍考虑参 数进化的最后通牒博弈模型 关键词t 行为博弈论 模糊理论 模糊变量 最后通牒博弈 参数模糊 a b s t r a c t t h eu l t i m a t u mg f f l ei st h em a i nf o c u so ft h i st h e s i s f i r s t l y i ti n t r o d u c e st h ee s s e n t i a lk n o w l e d g eo fg a m et h e o r ya n db a s i cm o d e l so ft h e u l t i m a t u mg a m e t l l el i m i t a t i o n so fa s s u l n p t i o no fp l a y e r sa n dm a t h e m a t i c a lt o o l so fs t u d ya r ea n a l y z e d t oo v e r c o m et h e s el i m i t a t i o n s t h i st h e s i s e o m b i n e st h es t u d yo fb e h a v i o r a lg a m et h e o r ya n df u z z yt h e o r y b a s e d o nt h et h e o r yo ff u z z yv a r i a b l e s t h eu l t i m a t u mg a m eh a sb e e nm o d e l e d w i t hf u z z yp r e f e r e n c e sf r o mt h ea s p e c t so fb e h a v i o r a lg a m et h e o r y i tt r i e s t om a k eab e t t e re x p l a n a t i o nf o rt h ed a t aa n di n d u c eb c t t e rp r e d i c t i o na n d g u i d a n c ef o rt h er e a lh u m a na c t i v i t i e s b ya n a l y z i n gt h en u m e r i c a le x a m p l e u s i n gt h em o d e lp r o v i d e di nt h i st h e s i s i ts h o w st h a ti tc a ne x p l a i nw e l lt h e d a t ai ut h eu l t i m a t u mg a m ee x p e r i m e n t s t h i 8t h e s i si sc o n s t r u c t e da sf o h o w s f i r s t l y p r o b l e m sa r i s i n gi nt h ed e v e l o p m e n to fg a m et h e o r ya n dt h ec u r r e n ts t u d ya r ei n t r o d u c e d s e c o n d l y f u n d a m e n t a lk n o w l e d g eo fs t a n d a r dg a m et h e o r ya n dp r e d i c t i o n sm a d eb y s t a n d a r dg a m et h e o r ya r ei n t r o d u c e d w i t h o u tt h ee v o l u t i o n a lp a r a m e t e r s t h r e et y p i c a lb e h a v i o r a lg a m em o d e l sa l ei n t r o d u c e di nw h i c ha l lp a r a m e t e r sa r ec r i s p b a s e do nt h ea b o v ec h a p t e r s af u z z yu l t i m a t u mg a m em o d e l i sp r e s e n t e di nw h i c ht h ep l a y e r s a l t r u i s mp r e f e r e n c e sa r ef u z z yv a r i a b l e s w i t han u m e r i c a le x a m p l e t h ed a t ai sa n a l y z e db yt h i sf u z z ym o d e l a n o t h e rm o d e lw i t he v o l u t i o n a lp a r a m e t e r si si n t r o d u c e d k e y w o r d s b e h a v i o r a lg a m et h e o r y f u z z yt h e o r y f u z z yv a r i a b l e u 1 t i m a t u mg a m e f u z z yp r e f e r e n c e s l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果 也不包含为获得墨鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文储签名所呼辱字隰加f 年二月务 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫洼盘鲎有关保留 使用学位论文的规定 特授权鑫盗盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 学位论文储铭脚瑚争吁 签知期 硼年 月彳日 导师签名 签字日期 石年2 月2 厂日 第一章绪论 博弈论 g a m et h e o r y 又称对策论 是研究决策主体在相互作用时 如何进行决策以及决策之间均衡的理论 在博弈论分析中 一定框架下的每 个局中人 即决策主体 在决定采取何种行动时 都策略地 有目的地采取 行动 他要考虑他的决策行为对其他局中人的可能影响 以及其他局中人的 行为对他的可能影响等等 通过选择最佳策略 来寻求其收益或效用的最大 化 由于在现实生活中人们的利益冲突与调和具有普遍性 因此 几乎所有 的决策问题都可以认为是博弈问题 事实上 博弈论的思想与实践在中外都有着悠久的历史 例如 中国的 孙子兵法 和 三十六计 其中对战争胜负的认识 以及胜负之间诸 因素的相互作用的深刻论述 和他们所提出的一系列军事对策等 都反映出 系统的博弈论思想 而巴比伦王国的犹太法典中讨论的一个所谓的 婚姻 合同问题4 则通常被人们认为是最早使用了现代合作博弈理论 不过 现 代标准博弈论的建立及其理论体系的形成 则始于2 0 世纪4 0 年代中期t 1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 和m r g e n s t e m0 8 k a r 6 6 合著的 博弈论与经济行 为 一书的出版标志着现在标准博弈论的创立 随后j o h nn a s h 4 6 4 7 4 8 和r e i n h a r ds e l t e n 5 3 1 基本上奠定了标准博弈论的基石 其后 标准博弈论 一直处在不断发展的状态 从静态博弈到动态博弈 从完全信息到不完全信 息 从单期博弈到重复博弈 目前已经形成一套相当完备的体系t 完全信息 静态博弈 完全信息动态博弈 不完全信息静态博弈 不完全信息动态博弈 1 1 问题的提出 纵观博弈论的发展过程其实是一个不断放松一系列严格假设的过程 但 它至今仍然存在着一个假设缺陷 即严格的自私局中人假设 认为局中人只 追求其自身物质利益的最大化 下文中 如果没有特殊说明 用 标准博 弈论 来称呼具有此类假设的博弈理论 用标准博弈论对最后通牒博弈进 行分析 将得到这样的预测结果 即从经济利益最大化考虑 提议者应该尽 第一章绪论 可能的最大化自己的份额 而回应者不应该拒绝任何其自身收益大于0 的分 配方案 因为有总是比没有要好 根据子博弈完美理论 均衡解是提议者分 配给对方尽可能少的份额 回应者接受此份额 或者提议者分配给对方0 回应者无论接受还是拒绝 所获得的效用相同 不过这个自私局中人的假设在近二十年开始受到许多经济学家的质疑 因为大量的实验数据违背了标准博弈论的预测结果 仍以最后通牒博弈为 倒 博弈实验的数据显示提议者不会提出苛刻的分配方案 而回应者会拒绝 自身收益较低的分配方案等 这些现象的出现暗示物质利益并不是局中人决 策的唯一驱动力 从另 个方面来讲 博弈论是一种在策略环境下研究和预测人类行为的 数学系统 但一直以来 它所甩来研究和预测 人类行为 的数学工具都仅 限于清晰数集 这与现实是很不相符的 因为人类的行为决策是不确定的 用清晰数集理论很难对这种不确定建立恰当准确的模型 于是 为了使博弈 论能更好的刻画现实 解决实际问题 缩小博弈论模型与现实的偏差 行为 博弈论与模糊博弈论慢慢浮出水面 1 2 行为博弈论 传统经济学与标准博弈论一样 认为参与经济活动的主体是经济人 他 们在给定的约束条件下追求其自身物质收益的最大化 这些理论通常是基于 理性参与者的内省和推理 而不是对现实中可能参与者真正行为的观察 于 是在经济学实验中出现了很多这些理论无法解释的悖相 行为经济学家为了 弥补传统经济学假定的不足 提出了行为经济学 许多学者致力于行为经济学的研究 其中的二个代表性人物是g e o r g e k a t o n a 2 9 3 0 和h e r b e r ts i m o n 5 0 6 0 从2 0 世纪4 0 年代开始 k a t o n a 广泛研究了经济行为的心理基础 特别是预期的形成 提出了关于通货膨胀 心理预期假说 为后来的通胀目标理论打下了基础 s i m o n 的研究广为人 知 他通过认知心理学的研究 提出了 有限理性 假说 指出经济活动当 事人在决策时不仅面临复杂环境的约束 而且还面临自身认知能力的约束 即使 个当事人能够精确地计算每一次选择的成本收益 也很难精确地做出 2 第一章绪论 选择 因为当事人可能无法准确了解自己的偏好序列 继k a t o n a 和s i m o n 等人之后 许多具有探索精神的经济学家和心理学家开始联手研究经济行 为的发生机制 并试图建立经济行为的心理基层理论 这些学者们尝试测 度影响当事人决策的心理因素 并讨论其对各种具体经济变量的影响 但由 于没有找到合理的方法 使得这类研究无法形成能刺激后续研究的开放体 系 直到2 0 世纪7 0 年代 心理学家d a n i e lk a h l l e m a n 2 5 2 6 2 7 和a m o s t v e r s k y 6 3 6 4 6 5 发表了一系列震撼人心的研究成果 通过吸收实验心理 学和认知心理学等领域的最新发展 以效用函数的构造为核心 把b 理学和 经济学有机结合起来 彻底改变了西方主流经济学 特别是新古典经济学 中的个体选择模型 并激发了其他行为经济学家把相关研究领场拓展到经济 学的各主要分支 从而形成了真正意义上的 行为经济学 流派 一直以来 博弈论是经济学研究的 个有力工具 传统微观经济学研究 个人决策时 不考虑决策主体之间的相互影响 而博弈论则强调了决策主体 之间的交互作用 更具有现实意义 和传统经济学一样 博弈实验中出现了 很多标准博弈论无法解释的异常现象 同样为了弥补标准博弈论的不足 行 为经济学家提出了行为博弈论 行为博弈论通常被认为是行为经济学的 个 分支 行为博弈论中的代表人物有e r n s tf e h r 1 5 1 6 1 7 1 8 m a t t h e w r a b i n 4 9 1 1 5 0 以及d a v i dl e v i n e 3 2 1 f e h r 和r a b i n 的模型有相似之处 均把心理学研究带入到博弈论研究中来 区别是r a b i n 的模型整个博弈的描 述都考虑到局中人之间的心理影响 不仅增加博弈研究的操作复杂性 而且 从本质从背离了传统的决策理论 而f e h r 的模型则比较容易理解 且试图 忠于标准博弈理论 在l e v i n e 提出的模型中局中人的收益函数不仅与经济 利益相关 还与其他因素 如局中人类型等因素相关 同行为经济学并不是 试图颠覆传统经济学一样 行为博弈论的提出也并不是要否定标准博弈论 标准博弈论是一种完美的策略分析过程 推理严密 只是由于经济理性人的 假设使其缺乏可操作性 而行为博弈论正是从这一点出发 假定决策主体的 目标不仅仅是经济利益最大化 决策时局中人在自身物质利益之外还有其他 的决策激励 行为博弈论的最终目的是要将博弈论变得更符合实际 更具有 3 第一章绪论 预测意义 这里要强调的是实验经济学的发展对建立行为博弈论 乃至行为经济学 的重大贡献 实验经济学是在实验室中 通过设计完善的实验来研究人类的 经济行为 从而为某一经济理论的形成提供可靠的事实依据 而不是传统的 依赖经验和内省 通常经济学被看作是一门不可实验的科学 普遍认为经济 学家不能从事类似化学家或生物学家所做的实验 因为在实验中不易控制其 他重要因素 所以经济学实验 般只能限于以观察为主 但是现在这种观点发 生了变化 尽管进行经济学实验存在各种各样的困难 但是经济学家越来越依 赖实验来解释经济行为 最早的实验经济学研究 至少可以追溯到1 7 世纪3 0 年代d a n i e lb e r n o u l l i 2 所进行的有关 匹兹堡悖论 p i t t s b u r g hp a r a d o x 的实验 但是近期的研究主要是从上世纪4 0 年代e d w a r dc h a m b e r l i n 8 的 实验开始 其目的是要检验完全竞争的新古典理论 1 9 9 4 年诺贝尔经济学 奖获得者r e i n h a r ds e l t e n 5 5 1 等曾利用实验方法研究寡头市场的价格形成 n a s h 等人曾经利用实验方法检验博弈论的预测力 另外 s i d n e ys i e g e l 和 f o u r a k e rl a w r e n c e 5 8 1 也曾作过讨价还价实验的研究 行为博弈论的观点都 是在众多实验的基础上提出来的 可以说 实验经济学的发展是行为博弈论 得以迅速发展的前提 最后通牒博弈是博弈实验中的基本博弈类型 其他的很多博弈都是从最 后通牒博弈的基础上延展变形而来 所以本文中主要关注最后通牒博弈 比 较各种模型对最后通牒博弈的解释能力 进而提出本文模糊的最后通牒博弈 模型 1 3 模糊博弈论 本文中 模糊博弈论 的所指很广泛 即那些将模糊理论应用到博弈论 领域的研究 在这里都被笼统地称之为 模糊博弈 当博弈论应用于现实 如进行经济决策 解决管理问题时 局中人会因 为所获得信息的不准确或者对专家评价的理解模糊 从而不能对收益等作出 准确的估测或不能明确自己的决策选择 一般会用概率统计来处理这种不确 定性 但随着模糊数学的不断发展与完善 越来越多的学者在研究博弈论时 4 第一章绪论 倾向于用模糊数学来建立模型 因为模糊数学着重研究 认知不确定 问题 其研究对象具有 内涵明确 外延不明确 的特点 比如 年轻人 就是一 个模糊概念 因为每一个人都十分清楚年轻人的内涵 但想划定 个确定的 范围则很难办到 因为年轻人这个概念外延很不明确 而概率统计研究的是 随机不确定 现象 着重于考察 随机不确定 现象的历史统计规律 考 察具有多种可能发生的结果之 随机不确定 现象中每一种结果发生的可能 性大小 其出发点是大样本 并要求对象服从某种典型分布 这对解释人类 行为的不确定性显然是不适合的 对于实际生活中的问题 使用模糊理论来 处理更具有解释能力和说服力 模糊集理论最初由l o t f iz 驸e h 6 s 1 提出 试图解决不确定问题 其后 模糊理论得到了迅速的发展 其中 a r n o l dk a t f f r a a n n 首先提出了模糊变 量的概念 可能性理论由z a d e h 提出 许多学者像d i d i e rd u b o i s 1 0 1 1 1 2 和s t e v e nn a h m i a s 4 5 1 对模糊理论的发展都起了重要作用 而最近 l i u b a o d i n g 3 3 3 4 3 5 3 6 为了发展一套类似于概率论的公理系统 提出可信性 理论 给出了完善的研究模糊性的公理体系 与此同时 许多经济学家也积极 得将数学领域的发展带入到博弈论的研究当中 例如 t a k a s h im a e d a 4 2 4 3 1 在 个收益被模糊化的博弈中 基于可能性测度与必要性测度 定义了均衡 策略 x ul i n 6 7 则通过研究 个收益模糊的零和博弈 基于可信性理论提 出了三种最小最大均衡策略的概念 这些模型较之清晰数模型 对研究标准 博弈论都得到很好的结果 表明模糊理论应用于博弈论不仅具有说服力 而 且具有广阔的发展前景 本文即是以模糊变量为工具 建立了一个参数模糊的最后通牒博弈模 型 1 4 本文的工作和主要创新 博弈论在政治学 经济学等许多领域都有着广泛的应用 在经济学中博 弈论作为一种重要的分析方法已渗透到几乎所有的领域 每 领域的最新进 展都应用了博弈理论 博弈论已经成为主流经济学的 部分 对经济学理论 与方法的发展有着越来越重要的影响 为了使博弈论能够更好的描述现实 5 第一章绪论 更准确的进行指导与预测 本文将行为博弈论与模糊理论相结合 从行为博 弈论的观点出发 以模糊变量为工具 建立了一个参数模糊的最后通牒博弈 模型 旨在更好的解释实验中出现的各种异常现象 进而完善博弈论对现实 活动的预测与指导 这是本文的主要创新点 在第一章的绪论中 介绍博弈论发展至今出现的问题 和相关研究的现 状 第二章介绍本文所用到的标准博弈论的基础知识 以及标准博弈论对最 后通牒博弈的预测 第三章介绍在不考虑参数进化情况下 三个具有代表性 的行为博弈论模型 其中所有模型中的参数都是清晰的 第四章在第三章的 基础上 提出本文的参数模糊的最后通牒博弈模型 其中的模糊参数为局中 人的无私偏好系数 模型定义了局中人的模糊效用函数 给出了博弈的模糊 期望纳什均衡 并结合算例对最后通牒博弈的实验数据进行了分析 第五章 介绍考虑参数进化的最后通牒博弈模型 文章的最后是对本文研究的总结 以及对未来研究方向的探讨 6 2 1 策略式博弈 第二章博弈论基础知识 策略式博弈有三个要素组成 局中人集合 一般设为有限集合 1 2 对于每个局中人t 有纯策略空间s 以及收益函数撕 这一函数 对每种策略组合s s l s f 给出局中人t 的v o nn e u m a n n m r g e n s t e r n 效用 i s 通常将除了某个给定局中人之外的所有其他局中人称为局中人 的对手 标记他们为 一 需要强调的是 这不是说其他局中人在试图 击 败 局中人 面是每个局中人的目标是最大化自己的收益函数 这可能会涉 及到 帮助 或 损害 其他局中人的情况 在经济学中 对策略的最常见 解释是价格或产品水平的选择 例如 伯川德和古诺竞争 双人零和博弈是使得所有s 有 m 8 0 的博弈 此类博弈的关键 特征是 效用的总和为常数 将常数设为零是一种标准化 在一个双人零 和博弈中 任何一个局中人的获利都是另一个局中人的损失 这是通常意义 上 对手 的极端情况 尽管这种博弈可适用规整的分析 并在博弈论中得 到广泛的研究 然而社会科学中绝大多数让人感兴趣的博弈是非零和的 本文中所讨论的博弈都集中在有限博弈 除非另作说明 下文中提到的 都是有限博弈 有限双人博弈的策略通常可以用矩阵表示 以常见的囚徒困 境 p r i s o n e r sd i l e m m a 为例 矩阵中局中人1 和2 每人都有两个纯策略 坦白与不坦白 每个表格中的第一项是影射策略组合下局中人1 的收益 第 二项是局中人2 的收益 混合策略以是纯策略上的一种概率分布 每个局中人的随机化和他对 手的随机化是统计独立的 混合策略组合的收益是映射纯策略收益的期望 值 记局中人t 的混合策略空间为 i 其中 s 是以赋予乳的概率 混合策略组合的空间记为 钆 l 其中的元素为矿 混合策略以的支 撑集是以赋予了正概率的纯策略的集合 组合口局中人 的收益是 j 地 伊 1l 乃 勺 啦 8 2 1 5 sj l 7 第二章博弈论基础知识 规范而言这种记法在概念上并不合适 可以注意到一种混合策略下局中 人的收益是局中人i 的混合概率吼的线性函数 局中人的收益是策略组合 的多项式函数 因此是连续的 另外混合策略集合中包含纯策略 般博弈可以用过重复严格优势来进行求解 所谓的重复严格优势 局 中人在博弈过程中剔除不占优 或严格劣的 定义如 n 策略 从而找到最 优解的过程 令8 一 t 标记除了i 之外所有局中人的策略选择 并用 8 i 表示组合 8 l 8 i 1 8 i i 1 s j 类似地 对于混合策略令 一 盯一i 0 1 吼一1 吼l o i 定义2 1 1 9 如果存在一 使得 t 8 一 t s 8 一t s 一 2 2 则称纯策略巩对于局中人l 来说是严格劣势的 如果存在一使得上述定义中的不等式以弱不等式形式成立 而且至少 对于 个8 一i 不等是严格成立 则称策略8 是弱劣势的 由于其对手采用混 合策略时 局中人i 的收益是他在其对手采用纯策略时局中人i 收益的凸组 合 所以对于给定的s t 当且仅当他对于对手的所有混合策略一t 满足上 述不等式 策略一对于对手的所有纯策略8 一t 也满足上述不等式 尽管重复严格优势简单易于理解 但人们感兴趣的许多博弈不能通过这 种方法来求解 纳什均衡解的概念更广泛的在博弈中存在 2 2 纳什均衡 纳什均衡是使得每个局中人的策略是对其他局中人策略的最优反映的 一种策略组合 定义2 2 4 7 如果对于所有局中人l 有 i 霄 盯二 m s 盯幺 8 i 韪 2 3 则称混合策略组合矿是 个纳什均衡 纯策略纳什均衡是满足同样条件的纯策略组合 由于期望效用是 概率 的线性函数 所以如果一个局中人在纳什均衡中使用了非退化的混合策略 8 第二章博弈论基础知识 赋予多于一个的纯策略以正概率 则他对于赋予正概率的所有纯策略会是 无差异的 如果一种纳什均衡中 每个局中人具有对对手策略的唯一最优反 应 那么这种纳什均衡被称为是严格的 也就是说 当且仅当矿是一种纳 什均衡时 它才也是严格均衡 而且对于所有8 i 8 有t t i 8 二i 撕 毋 8 毛 则根据定义 严格均衡必然是纯策略均衡 当收益函数受到轻微扰动时 由 于严格不等式仍然得到满足 所以严格均衡仍然是严格的 纳什均衡是关于博弈将会如何进行的 一致 预测 也就是说 如果所 有局中人预测特定纳什均衡会出现 那么没有局中人有动力采用与均衡不同 的行动 因此 纳什均衡 也只有纳什均衡 能具有性质使得局中人能预测 到它 预测到他们的对手也会预测到它 如此继续 相反的 如果任何固定 的非纳什组合出现就意味着至少有一个局中人犯了错 或者是对对手行动的 预测上犯了错 或者是 给定预测情况下 局中人在最优化自己的收益是犯 了错 但纳什均衡并不一定是好的预测 尽管它通过了一致预测检验 在一 些局势中如果认为可以获得精确的预测会过于轻率 当剔出一轮严格劣势策略得到唯一策略组合8 s s 则这一 策略组合必然是一个纳什均衡 实际上是唯一的纳什均衡 因为任何策略 乳 8 必然劣于8 二 任何纳什均衡策略组合必须仅在没有严格劣势策 略上 或者更一般的在重复剔出严格劣势策略后遗留下来的策略上 赋予权 重 但纳什均衡可以对弱劣势策略赋予正概率 并非所有的博弈均有纯策略纳什均衡 有些博弈中唯一的纳什均衡是 非退化的 混合策略均衡 此外有许多博弈具有多个纳什均衡 此时 假设 纳什均衡被采用有赖于存在某种机制或过程导致所有局中人均预期到同样 的均衡 而这种情况一般用聚点理论或帕累托优势均衡来解决 2 3 扩展式博弈 策略式博弈中 局中人多是同时选择他们的行动 而博弈论应用方面更 多的兴趣放在动态结构上 此时 可以用扩展式博弈来把这种动态的情形模 9 第二章博弈论基础知识 型化 从而清晰的表明局中人采取行动的次序 以及局中人在做出每一行动 的决定时所知道的信息 这时 博弈的策略所对应的是相机行动计划而不是 非相机行动 它可以看成是一个多人博弈的决策树的推广 一个扩展式博弈包括以下的信息t 1 局中人集合 2 行动次序 即局中人如何参与行动 3 作为其所采取行动的函数的局中人收益 4 当他们采取行动时局中人的选择 5 局中人在作选择时所知道的信息 6 每一个外生事件的概率分布 局中人集合可以表示为i 妒 采取行动的次序用博弈树t 来表述 如图2 1 所示 一棵树就是一系列有序的结点z x 的有限集合 这些结点 的前后关系用卜来表示 z 卜一表示 在 之前 假定这种前后关系是 可传递的 非对称的 即这一前后关系是半序的 为了确保博弈中对任一给 定的结点都只有唯 路径通过 以使得每一个结点都是其前面事件的完全描 述 要求每个结点 初始结点除外 都必须只有唯一的直接续结点 那些不 是任何结点前续结点的结点称为终点结点 用2 z 来表示 由于每一个z 完全确定了博弈树中的一条路径 所以可以用函数啦 z 一冗来描述一系 列行动的收益 其中蛳 z 表示若到达终点结点z 局中人i 的收益 在画扩 展式图形的时候 收益向量在其相应的终点结点的旁边表示出来 引入映射 i x 一妒 表示局中人t z 在z 结点采取行动 从而描述局中人的行动次 序 引入有限行动集a 以及函数f 用来给每一非初始结点z 表上到达它 的最后一此行动 要求2 在每一结点z 的直接后续结点集上是 对应的 所以不同的后续结点对应不同的行动 同时用a z 表示z 结点上可行的行 动集 a x 是如在直接后续点集上的值域 局中人在选择他们行动是所掌 握的信息 是很微妙的 这些信息用信息集h h 来表示 它把树的结点进 行了分割 即每一个结点仅在一个信息集中 但包含结点 的信息集h x 可以理解为局中人在结点霉上选择其行动时 不能确定他是在结点 上还 是在 z 中的其他结点一上 要求若一 则同 个局中人z 和z 7 1 0 第二章博弈论基础知识 采取行动 如果没有这一要求 则局中人有可能在谁应该采取行动上不能协 调 致 另外还要求如果一 z 那么以 一 a z 因此采取行动的 局中人在该信息及中的每一结点上都有着相同的选择集 因此可以用a h 来表示在信息集h 的行动集 2 1忽 图2 1 博弈树 上面介绍的是扩展式博弈的定义 下面给出扩展式博弈中策略及均衡 的定义 并把他们和策略式模型中的策略和均衡联系起来 用凰来表示局 中人l 的信息集的集合 用a 兰u k 风a 表示局中人i 的所有可选 择行动的集合 局中人i 的纯策略就是映射8 i 风一a 且对所有的 勉 甄 8 i t a 慨 由于每一个纯策略都是从信息集到行动集的映射 可以把最写成每一信息集 下的行动空间的笛卡尔乘积的形式 最 h 甄a 更 般的 局中人i 的纯策略的个数鼢 兀l 给定每 个局中人 j l f 凰 的一个纯策略 以及自然的行动概率分布 就可以计算结局的概率分布 从而对每一组合8 给出期望收益 i m 在策略组合8 下以正的概率所到达 的信息集就称作8 路径 扩展式博弈的纳什均衡矿是说每个局中人e 的策略s 再给定其竞争 1 第二章博弈论基础知识 对手的策略s 幺下都能最大化其期望收益 由于这一纳什均衡定义在检验局 中人 是否愿意偏离其当前策略的前提是保持他的竞争对手的策略不变 从而像各个局中人同时选择他们的策略一样 但这并不意味着在纳什均衡 中 各局中人必须要同时选择他们的行动 为了区分策略式下的混合策略 将扩展式博弈中的混合策略称为行为策略 以 乜 表示a 的概率 分布 局中人 的 个行为策略用玩来表示 即笛卡尔乘积 j i l 风 a h i 的 个元素 也就是说 一个行为策略就确定了在每一 下的各个行动的 概率分布 同时次概率分布在不同的信息集下又是相互独立的 根据策略组 合b b l 6 f 生成的概率分布可以得到各个局中人的期望收益 行为策 略的纳什均衡就是这样的一种组合 即没有局中人可以通过运用不同的行为 策略来增加他的期望收益 对于扩展式博弈 一般用逆向归纳法与子博弈完美来求解 这里只简单 介绍一下子博弈完美 2 4 子博弈完美 在规范定义子博弈完美之前 首先给出适当子博弈的规范定义 定义2 3 1 9 扩展式博弈t 的一个适当子博弈g 是由t 中的 个结点和 其所有后续结点组成 它具有性质一若一 g 和 一 则矿 g 子博弈的信息集和收益都继承于原博弈 也就是说 在子博弈中一和 处 于同 个信息集 当且仅当一和矿在原博弈中处于同一个信息集 以及子 博弈的收益函数正是原来收益函数在子博弈终点结点上的限制 定义2 4 1 9 如果对每 个适当子博弈g 扩展式博弈中的行为策略组合 f 在g 上的限制是g 的 个纳什均衡 则矿是 个子博弈完美均衡 因为任何博弈都是他自身的一个适当子博弈 因此一个子博弈完美均 衡的策略组合就必须是纳什均衡的 如果某博弈的唯一适当子博弈就是其本 身 那么纳什解和子博弈完美均衡就是一样的 如果它还有其他的适当子博 弈 则某些纳什均衡就有可能并不是子博弈完美的 因为子博弈完美是逆向归纳法的一种推广 所以在具有完美信息的有限 第二章博弈论基础知识 期博弈里子博弈完美与逆向归纳通常是一致的 尽管在经济学文献中 大部 分的动态博弈分析仍然毫无保留的使用逆向归纳法及其精炼 但近来持怀疑 态度的人越来越多 事实上 行为博弈论学者许多都是从对子博弈完美的质 疑 开始的行为博弈论研究 在最后通牒博弈 u l t i m a t u mg a m e 中 参与者双方互不认识 一方是 提议者 p r o p o s e r 另一方是回应者 r e s p o n d e r 提议一方就可供分 配的数额向x 寸 z 出价t 即分配给对方的数额 然后回应者对此做出反应 接受 a c c p e t 或者拒绝 r e f u s e 如果接受 则两个人按照提议者的分配 方案进行分配 如果选择拒绝 意味着双方什么也得不到 收益为零 博弈 结束 从经济利益最大化考虑 提议者应该尽可能的最大化自己的份额 而回 应者不应该拒绝任何其自身收益大于0 的分配方案 因为有总是比没有要 好 则根据子博弈完美 均衡解是提议者分配给对方尽可能少的份额 回应 者接受此份额 或者提议者分配给对方0 回应者无论接受还是拒绝 所获得 效用相同 但是在大量的实验中 一方面提议者并没有按照最大化自己经济 利益收益的目标 提出分配方案 另一方面提议者的这种最大化的动机是否 能得以实现 还取决于回应者对于分配的认可程度 对于回应者 拒绝是以 一定的收益为代价的对提议方的潜在威胁 提议者以并非苛刻的分配方案 表现自己的善意或对公平的考虑 回应者以拒绝表达自己对提议者行为已经 触以及其可以忍受的底线 从而宁愿牺牲一定的利益也要实施惩罚或报复 这些都体现了现实中的个人在决策时 对经济利益以外的其他因素的考虑 为了解释这些现象 行为博弈论提出许多模型 下面就三类代表性的模型进 行介绍 第三章参数清晰的最后通牒博弈模型 针对上一章中提到的最后通牒博弈实验中出现的与标准博弈论预测相 背离的现象 行为博弈论提出很多类型的模型 试图解释这些异常的现象 本章给出三个在清晰数集上建立的模型一序列互惠模型 公平模型 自私及 无私模型 这些模型对博弈假设及效用函数 从不同角度各有侧重的对标准 博弈模型进行修正 不同程度上解释了最后通牒博弈中的实验数据 在后面 一章本文提出的模型中 借鉴了这些模型的假设与思想 3 1 序列互惠模型 互惠模型假设在标准博弈中 两个局中人除了物质收益外 还有心理收 益 而且心理收益依赖于局中人的信念 b e l i e f 如果局中人i 认为局中人 j 是善意的 则局中人i 也将是善意的 此处需要注意的是 此时的物质收益 对局中人i 来说 并不是那么重要 因为模型中包含了依赖于信念的因素 所以收益函数在更广范的域中定义 并不像标准博弈论中一样仅依赖于局中 人行为 这类模型最早由i h b i n 提出 不过此处介绍的m a t i nd u f w e n b e r g 和g e o r gk i r c h s t e i g e t 4 4 提出的序列互惠模型 是基于r a b i n 4 9 的模型发 展而来 不同之处是序列互惠模型是扩展式博弈 而r a b i n 的是策略式 而 且在这个模型中还提出了序列互惠均衡解的概念 序列互惠模型细节如下t 考虑 个有限多期博弈 对沿任何路径进行阶段博弈的局中人 1 知道所有以前的决策选择 2 每阶段只行动一次 3 对本阶段其他局中人的策略选择一无所知 设n 1 2 n 竹 2 为局中人集合 日为以前的策略集 o h 且为其根结点 a 为局中人i 的行为策略集 表示在每个历史h h 上 每个局中人i 可能选择策略集合上的概率分布 这里策略只需选用纯策略 令a i i a 则局中人的收益函数表示为巩 a 一冗 将死称之为局 中人的物质收益函数 但它并不是局中人所获得的唯一收益 局中人所要最 1 4 第三章参数清晰的最后通牒博弈模型 大化的效用里面还有一项互惠收益 r e c i p r o c i t yp a y o f f 互惠收益依赖于 局中人对其他局中人信念及决策的信念 用行为策略来表示信念 但为了避 免混乱 引入信念的单独符号 令且b 山为局中人i 对局中人j 的策略 信息的可能信念集 令c 机 马k a k 为局中人i 对局中人j 关于为局中 人k 的策略的信念的信念集 定义局中人 的有效策略蜀是这样的 个策略以 a 对于所有的 历史h h 不存在 a 使得 l r k a h 吩 j 判 啦 q 危 j t 成立 其中 吩 j 判 i a j k n 直观上 如果存在另一个策略使得 j 卿 特定历史发生时 部分局中人的收益提高 但并不是每个局中人的收益都提 高 这是这个策略就是无效的 方便起见 引入符号穆描述局中人i 对于 正在进行的博弈策略组合的信念的个数 定义为 哼 傅 去 m a x 巧 啦 j 牟 k a pm i n j 牟 k 五 更具体的 将局中人的善意定义为 定义3 1 1 4 4 在历史阶段h h 局中人 对另 个局中人j i 的善意 用函数 a l j 一r 来表示 定义如下 啦 挣0 l r i a i h 一 j 吐 3 1 定义3 2 4 4 在历史阶段h 日 局申人i 对局中人j i 如何对待自己 的信念 用函数k 嘞 彩e 一r 来表示 定义如下t k 女 1 1 女柳 几 蝣 勺女 k 却 一哼 勺 御 3 2 1 5 第三章参数清晰的最后通牒博弈模型 定义3 3 4 4 1 在历史阶段h h 局中人i 的效用阢 ax 兀 j 判 1 一r 定义为 b 0 u i 啦 九 i k 劫 婷d t 啦 h 九 b i 3 3 场 啦 危 h j b i 彩 a 弗 i e l v i 定义3 4 4 4 如果对所有的局中人i n 每个历史h 日 1 田 钺g 霉黥 仉 啦 九 勺 埔 j 却 2 对所有j l a j 3 对所有j 蟊 互 k 嚷 成立 则a 町 讵 称为一个序列互惠均衡 s e q u e n t i a lr e c i p r o c i t ye q u i l i b r i u m s r e 条件 1 中 每个局中人在历史h 中 给定其自身的信念及其前博弈历 史均衡的条件下 最大化自身效用 条件 2 和 3 保证初始阶段初始信念 的正确性 通过对模型的描述 可以很容易的看出 尽管此模型突破标准博弈论的 假设 将依赖于信念的心理收益引入效用函数 但不管是从模型建立还是求 解 这个模型实际应用操作很差 整个博弈很大程度上依赖于对框架的定义 与描述 最终求解更是困难 而且因为模型中包含了依赖于信念的因素 所 以收益函数在更广范的域中定义 事实上已经在本质上偏离了标准博弈论 3 2 公平模型 考虑到公平因素的模型 和互惠模型一样将心理因素考虑进模型当中 但这里的心理因素并不是依赖于信念 而是和局中人的相对物质收益有关 公平模型认为当 个局中人不喜欢收入不均的时候 那他就是一个不均厌恶 者 不过这样得表述会引出另一个很难回答的问题 就是怎样来衡量收入的 公平性 公平性一般根据中立参照收益来判断 而这个参照收益本身是一系 1 6 第三章参数清晰的最后通牒博弈模型 列社会比较过程的产物 在社会心理学中 很久以来就强调如何选取适当的 社会比较过程 其中一个重要的观点是 相对物质收益对局中人的决策行为 有很大影响 即假设至少对一部分人 相对物质收益是重要的 可以作为比 较的对象 如果没有这样的假设 很多实验中出现的经验规律就无法解释 而且 确实有很多实验室数据表明 这个假设是成立的 例如 a g e l lj 和 l u n d b o r gp 1 和b e w l e yt 3 的研究表明 相对物质收益对公司内部工资 结构有重要的影响 c l a r ka 和o s w a l da 9 发现相对收益影响着整体工 作的满意度 l o e w e n s t e i ng t h o m p s o nl 和b a z e r m a nh 4 1 则要求 实验者将其与一个比较者的收入差异分布进行排序 根据这些排序来估计相 对收益如何影响个体的效用函数 实验结果表明实验个体具有很强的不均厌 恶 社会中对于给定群体 参照群体和参照收益的适当与否通常是一个经验 性的问题 社会结构 特定代理的显著性 个体间的社会地位近似可能是影响 参照群体与参照收益的重要因素 公平模型关注在经济实验中的个体行为 假设参照群体与参照收益在社会中普遍存在 在实验室中 个体所获得的关 于公平收益的定义通常要简单的多 进入实验的个体之间的社会地位一般都 是平等的 因为他们彼此并不了解 而且他们在实验中的角色也是随机分配 的 所以很自然可以假设 对于每个个体 参照群体就是进行博弈的局中人 集合 而参照点 即公平收益 则一般由平均收益确定 更具体的假设如下 首先 除了纯自私的局中人外 存在厌恶不均 不论 是收益少还是收益多引起的不均 收益的局中人 如果在实验中他们的物质 收益少于其他局中人 他们就会感觉到不公平 当然如果多于其他局中人 他们也会感到不公平 第二 假设他们物质收益少带来的不公平感大于其物 质收益多带来的不公平感 定义3 5 17 一般情况下 考虑 个n 人集合 其中i 1 2 n 代表其 中单个局中人 令z 茁l z 2 z 为收益向量 则局中人 l 2 t 1 1 7 第三章参数清晰的最后通牒博弈模型 的效用为t 以 z 戤一啦i 与e m a x x 一以 o j i 一展击 m a x 戤一巧 o 3 4 产t 其中设屈 啦 0 风 甄 带来的不均效用损失大于物质收益多 巧 瓤 带来 的不均效用损失 z l 图3 1 不均厌恶偏好 用两个局中人的情况评价这个效用函数的实用性 简化起见 假设效用 函数对不均厌恶和戤是线性的 这表明物质收益和不公平性之间的取代边 第三章参数清晰的最后通牒博弈模型 际率是恒定的 这可能并不完全符合现实 但用这种简化的效用函数 似乎 可以解释许多看似相互矛盾的实验现象 不过 在独裁者实验中 很多实验数 据都表明 在物质收益多的情况下 局中人的效用与不均厌恶是非线性的 也就是说用这种表示方法是不合适的 进一步讲 啦 风这个条件保证了 局中人在物质收益少带来的不均效用损失大于物质收益多时的效用损失 前 面提到的l o e w e n s t e i n t h o m p s o n 和b a z e r m a n 4 1 1 的论文中的数据表明 这个假设是成立的 注意这个条件必然意味着 局中人在社会比较中具有损 失厌恶 与参照收益的负偏离比正偏离更重要 也即损失厌恶很自然的影响 社会比较 条件0 岛 1 中 屈排除了喜欢比其他人都好的局中人的存在 事 实上肯定存在屈 0 的局中人 强加这个限制的原因是在实验室环境中 考 虑屈 0 的局中人对研究均衡行为没有实质性的影响 为了理解屈 2 个局中人 局中人t 将其自己的收益与其他n 一1 个局 中人作比较 这时不公平带来的效用损失用公式中第二项与第三项与n 一1 的除商进行标准化 这个标准化是必要的 它确保局中人i 所有受以上不均 厌恶的相对影响与博弈人的个数不相关 针对最后通牒博弈 运用这个模型进行分析 假设提出者的偏好参数由 a 风 来表示 则回应者的偏好用 毗 屉 表示 则根据这些参数可以得到 均衡收益的一些特征 对回应者来说 接受任何z 2 0 5 的提出份额 或拒绝 x 2 z a 2 i a z 1 2 a 2 呓 a 2 都是占优策略 如果提出者知道回应者的偏好 均衡中他 将提出这个的分配份额 i 0 5