高等数学上册第4章习题答案吴赣昌人民大学出版社高数理工类.pdf

1 第第 4 4 章章 不定积分不定积分 内容概要内容概要 名称 主要内容 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 设( )f x， xI，若存在函数( )F x，使得对任意xI均有 ( )( )F xf x 或( )( )dF xf x dx，则称( )F x为( )f x的一个原函数。 ( )f x的全部原函数称为( )f x在区间I上的不定积分，记为 ( )( )f x dxF xC 注： （1）若( )f x连续，则必可积； （2）若( ),( )F x G x均为( )f x的原函数，则 ( )( )F xG xC。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质 1：( )( ) d f x dxf x dx 或( )( )df x dxf x dx ； 性质 2：( )( )F x dxF xC 或( )( )dF xF xC ； 性质 3：( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx ，, 为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 设( )f u的 原函数为( )F u，( )ux可导，则有换元公式： ( ( )( )( ( )( )( ( )fxx dxfx dxFxC 第二类 换元积 分法 设( )xt单调、可导且导数不为零， ( ) ( )ftt有原函数( )F t， 则 1 ( )( ( )( )( )( )f x dxftt dtF tCFxC 分部积分法 ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )u x v x dxu x dv xu x v xv x du x 有理函数积 分 若有理函数为假分式， 则先将其变为多项式和真分式的和； 对真分式的处理 按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题， 实质上是求被积函数的原函数问题； 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中 起到了根基的作用， 积分的问题会不会求解及求解的快慢程度， 几乎完全取决于对这一章掌握的好 坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解课后习题全解 习题习题 4 4- -1 1 1.求下列不定积分： 知识点：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。 思路分析思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ 2 (1) 2 dx xx 思路思路: : 被积函数 5 2 2 1 x xx ，由积分表中的公式（2）可解。 解解： 53 22 2 2 3 dx xdxxC xx (2) 3 1 ()xdx x 思路思路: :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解解： 114111 333222 13 ()()2 4 dxxxdxx dxxdxxxC x 3 x (3) 2 2xx dx （） 思路思路: :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解解： 223 21 22 ln23 x xx x dxdxx dxxC （） (4)(3)x xdx 思路思路: :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解解： 3153 2222 2 (3)32 5 xdxx dxx dxxxC x (5) 42 2 331 1 xx dx x 思路思路: :观察到 42 2 22 3311 3 11 xx x xx 后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解解： 42 23 22 3311 3arctan 11 xx dxx dxdxxxC xx (6) 2 2 1 x dx x 思路思路: :注意到 22 222 1 11 1 111 xx xxx ， 根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项， 分别积分。 3 解解： 2 22 1 arctan. 11 x dxdxdxxxC xx 注注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 (7) x dx xxx 34 134 （ -+-） 2 思路思路: :分项积分。 解解： 34 11 34 2 x dxxdxdxx dxx dx xxxx 34 134 （ -+-） 2 223 134 ln |. 423 xxxxC (8) 2 2 32 () 1 1 dx x x 思路思路: :分项积分。 解解： 22 22 3211 ()323arctan2arcsin. 11 11 dxdxdxxxC xx xx (9)x x xdx 思路思路: :x x x ？看到 1117 24 88 x x xxx ，直接积分。 解解： 715 88 8 . 15 x x xdxx dxxC (10) 22 1 (1)dxxx 思路思路: :裂项分项积分。 解解： 222222 111111 ()arctan. (1)11 dxdxdxdxxC xxxxxxx (11) 2 1 1 x x e dx e 解解： 2 1(1)(1) (1). 11 xxx xx xx eee dxdxedxexC ee (12)3x x e dx 思路思路: :初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33 xxx ee （ ）。 4 解解： 3 33. ln(3 ) x xxx e e dxe dxC e （ ） （ ） (13) 2 cot xdx 思路思路: :应用三角恒等式“ 22 cotcsc1xx” 。 解解： 22 cot(csc1)cotxdxxdxxxC (14) 2 35 2 3 xx x dx 思路思路: :被积函数 2 35 22 25 33 xx x x （ ），积分没困难。 解解： 2 ( ) 2 35 22 3 2525. 33ln2ln3 x xx x x dxdxxC （ ） ） (15) 2 cos 2 x dx 思路思路: :若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解解： 2 1cos11 cossin. 2222 xx ddxxxC (16) 1 1cos2 dx x 思路思路: :应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解解： 2 2 1111 sectan. 1cos2222cos dxdxxdxxC xx (17) cos2 cossin x dx xx 思路思路: :不难，关键知道“ 22 cos2cossin(cossin )(cossin )xxxxxxx” 。 解解： cos2 (cossin )sincos. cossin x dxxx dxxxC xx (18) 22 cos2 cossin x dx xx 思路思路: :同上题方法，应用“ 22 cos2cossinxxx” ，分项积分。 解解： 22 222222 cos2cossin11 cossincossinsincos xxx dxdxdxx xxxxxx 22 cscseccottan.xdxxdxxxC 5 (19) 11 () 11 xx dx xx 思路思路: :注意到被积函数 222 11112 11 111 xxxx xx xxx ，应用公式(5)即可。 解解： 2 111 ()22arcsin. 11 1 xx dxdxxC xx x (20) 2 1cos 1cos2 xdx x 思路思路: :注意到被积函数 22 2 2 1cos1cos11 sec 1cos2222cos xx x xx ，则积分易得。 解解： 2 2 1cos11tan sec. 1cos2222 xxx dxxdxdxC x 2、设( )arccosxf x dxxC ，求( )f x。 知识点：知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析思路分析：直接利用不定积分的性质 1：( )( ) d f x dxf x dx 即可。 解解：等式两边对x求导数得： 22 11 ( ),( ) 11 xf xf x xxx 3、设( )f x的导函数为sinx，求( )f x的原函数全体。 知识点：知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析思路分析：连续两次求不定积分即可。 解解：由题意可知， 1 ( )sincosf xxdxxC 所以( )f x的原函数全体为： 112 cossinxC dxxC xC （）。 4、证明函数 2 1 , 2 xx ee shx和 x e chx都是 s x e chxhx- 的原函数 知识点：知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析思路分析：只需验证即可。 解解： 2 x x e e chxshx ，而 22 xxxx ddd ee shxe chxe dxdxdx 1 () 2 5、一曲线通过点 2 (,3)e，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 6 知识知识点：点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积 函数的关系。 思路分析思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解解：设曲线方程为( )yf x，由题意可知： 1 ( ) d f x dxx ，( )ln |f xxC； 又点 2 (,3)e在曲线上，适合方程，有 2 3ln(),1eCC， 所以曲线的方程为( )ln| 1.f xx 6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是 2 3 (/ )tm s，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？ 知识点：知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的 关系。 思路分析思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解解：设物体的位移方程为：( )yf t， 则由速度和位移的关系可得： 23 ( )3( )f ttf ttC d dt ， 又因为物体是由静止开始运动的， 3 (0)0,0,( )fCf tt。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为: 3 (3)327f米； (2)令 33 360360tt秒。 习题习题 4 4- -2 2 1、填空是下列等式成立。 知识点：知识点：练习简单的凑微分。 思路分析思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解解： 234 111 (1)(73);(2)(1);(3)(32); 7212 dxdxxdxdxx dxdx 22 22 111 (4)();(5)(5ln |);(6)(35ln |); 255 111 (7)2 ();(8)(tan2 );(9)(arctan3 ). 23cos 219 xx dxdx e dxd edxdx xx dxdx dtdtdxdx xxt 2、求下列不定积分。 知识点：知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。 思路分析思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形 式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元 法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ （1） 3t e dt 7 思路思路: :凑微分。 解解： 333 11 (3 ) 33 ttt e dte dteC (2) 3 (35 )x dx 思路思路: :凑微分。 解解： 33 4 11 (35 )(35 )(35 )(35 ) 520 x dxxxxC d (3) 1 32 dx x 思路思路: :凑微分。 解解： 1111 (32 )ln |32 |. 322322 dxdxxC xx (4) 3 1 53 dx x 思路思路: :凑微分。 解解： 12 33 33 11111 (53 )(53 )(53 )(53 ). 3325353 dxdxxdxxC xx (5)(sin) x b axedx 思路思路: :凑微分。 解解： 11 (sin)sin()( )cos xxx bbb x axedxaxd axb e daxbeC aba (6) cos t dt t 思路思路: :如果你能看到 1 ()t 2 dtd t ，凑出()dt易解。 解解： cos 2 cos()2sin t dttdttC t (7) 102 tansecxxdx 思路思路: :凑微分。 解解： 1021011 1 tansectan(tan )tan. 11 xxdxxdxxC (8) ln lnln dx xxx 思路思路: :连续三次应用公式(3)凑微分即可。 8 解解： (ln|)(ln|ln|) ln|lnln| ln lnlnln lnlnlnln dxdxdx xC xxxxxx (9) 2 2 tan 1 1 xdx x x 思路思路: :本题关键是能够看到 2 1 xdx x 是什么，是什么呢？就是 2 1xd！这有一定难度！ 解解： 2222 2 tan 1tan 11ln | cos 1| 1 xdx xxxxC x d (10) sin cos dx xx 思路思路: :凑微分。 解解： 方法一：方法一：倍角公式sin22sin cosxxx。 2 csc22ln |csc2cot2 | sin cossin2 dxdx xd xxxC xxx 方法二：方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。 2 2 cos11 sectanln|tan| sin cossin costantan dxx dxxdxdxxC xxxxxx 方法三：方法三： 三角公式 22 sincos1xx，然后凑微分。 22 sincossincoscossin sin cossin coscossincossin dxxxxxdxdx dxdxdx xxxxxxxx ln|cos |ln|sin|ln|tan|xxCxC (11) xx dx ee 思路思路: :凑微分： 222 111() xxx xxxxx dxe dxdede eeeee 。 解解： 22 arctan 11() xx x xxxx dxe dxde eC eeee (12) 2 cos()xx dx 思路思路: :凑微分。 解解： 2222 11 cos()cossin 22 xx dxx dxxC (13) 2 23 xdx x 9 思路思路: :由 22 222 11(23) 26 232323 xdxdxdx xxx 凑微分易解。 解解： 12 222 2 22 1(23)11 (23)(23)23 663 2323 xdxdx xdxxC xx (14) 2 cos ()sin()tt dt 思路思路: :凑微分。 解解： 222 11 cos ()sin()cos ()sin()cos () cos()tt dttt d tt dt 3 1 cos (). 3 tC (15) 3 4 3 1 x dx x 思路思路: :凑微分。 解解： 33 444 4444 33431313 (1)ln |1|. 44441111 xx dxdxdxdxxC xxxx (16) 3 sin cos x dx x 思路思路: :凑微分。 解解： 332 sin111 cos. 2coscoscos x dxdxC xxx (17) 9 20 2 x dx x 思路思路: :经过两步凑微分即可。 解解： 91010 10 202010 2 11111 arcsin() 101010 22 22 1() 2 xxx dxdxdC xxx (18) 2 1 94 x dx x 思路思路: :分项后分别凑微分即可。 解解： 222 11 949494 xx dxdxdx xxx 10 2 2 2 2 2 2 2 11211 4 2382 94 1 3 11211 94 2382 94 1 3 121 arcsin()94. 234 x dd x x x x ddx x x x xC （） （） （） (19) 2 21 dx x 思路思路: :裂项分项后分别凑微分即可。 解解： 2 111 () 212( 21)( 21)2121 dxdx dx xxxxx 111 ()2 2 22121 1111121 ( 21)( 21)ln. 2 2212 2212 221 dx xx x dxdxC xxx (20) 2 (45 ) xdx x 思路思路: :分项后分别凑微分即可。 解解： 222 1 454111 4(45 ) (45 )5(45 )2545(45 ) xdxx dxdx xxxx （）（） 2 1141141 (45 )(45 )ln | 45 |. 2545252525 45(45 ) dxdxxC xxx (21) 2 100 (1) x dx x 思路思路: :分项后分别凑微分即可。 解解： 222 100100100100100 (1 1)(1)(1)1 (2) (1)(1)(1)(1)(1) x dxxdxxx dx xxxxx 9899100 111 (2) (1) (1)(1)(1) d x xxx 979899 111111 . 97 (1)49 (1)99 (1) C xxx 11 (22) 8 1 xdx x 思路思路: :裂项分项后分别凑微分即可。 解解： 2 8444444 111111 ()() 241(1)(1)1111 xdxxdx xdxdx xxxxxxx 222 22422 2 22 222 11111111 ()(1)(1) 42811111 11111 ln |arctan. 484()11 dxd xd x xxxxx x dxxC xx (23) 3 cos xdx 思路思路: :凑微分。cossinxdxdx。 解解： 3222 coscoscoscossin(1 sin) sinxdxxxdxxdxx dx 3 1 sinsin 3 xxC (24) 2 cos ()tdt 思路思路: :降幂后分项凑微分。 解解： 2 1cos2()11 cos ()cos2() 2() 224 t tdtdtdttdt 11 sin2() 24 ttC (25)sin2 cos3xxdx 思路思路: :积化和差后分项凑微分。 解解： 111 sin2 cos3(sin5sin )sin55sin 2102 xxdxxx dxxd xxdx 11 cos5cos 102 xxC (26)sin5 sin7xxdx 思路思路: :积化和差后分项凑微分。 解解： 111 sin5 sin7(cos2cos12 )cos22cos12(12 ) 2424 xxdxxx dxxd xxdx 11 sin2sin12. 424 xxC (27) 3 tansecxxdx 思路思路: :凑微分tan secsecxxdxdx。 解解： 3222 tansectantan sectansec(sec1) secxxdxxxxdxxdxxdx 12 23 1 secsecsecsecsec 3 xdxdxxxC (28) arccos 2 10 1 x dx x 思路思路: :凑微分 2 1 ( arccos ) 1 dxdx x 。 解解： arccosarccos arccos 2 1010 10arccos. ln10 1 xx x dxdxC x (29) 22 (arcsin )1 dx xx 思路思路: :凑微分 2 1 (arcsin ) 1 dxdx x 。 解解： 2 22 arcsin1 arcsin(arcsin ) (arcsin )1 dxdx C xx xx (30) arctan (1) x dx xx 思路思路: :凑微分 2 arctan2arctan 2arctan(arctan) (1)1() xx dxdxxdx xxx 。 解解： 2 arctan2arctan 2arctan(arctan) (1)1() xx dxdxxdx xxx 2 (arctan)xC (31) lntan cos sin x dx xx 思路思路: :被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出 2 sec x， 2 2 lntanlntanlntanlntan sectan cos sintantancostan xxxx dxdxxdxdx xxxxxx 2 1 lntan(lntan )( (lntan ) ) 2 xdxdx 解解： 2 lntanlntanlntan tanlntan(lntan ) cos sintancostan xxx dxdxdxxdx xxxxx 2 1 (lntan ) 2 xC 13 (32) 2 1ln ( ln ) x dx xx 思路思路: :( ln )(1ln )d xxx dx 解解： 22 1ln11 ( ln ) ln( ln )( ln ) x dxd xxC xxxxxx (33) 1 x dx e 解解：方法一方法一： 思路思路: :将被积函数的分子分母同时除以 x e，则凑微分易得。 11 ()(1)ln |1| 1111 x xxx xxxx dxe dxd ed eeC eeee 方法二：方法二： 思路思路: :分项后凑微分 1 1 111 xxx xxx dxeee dxdxdx eee 1 (1) 1 x x xde e l n | 1|l n (|1 | ) xxx xeCxeeC ( l nl n |1 | ) xx xeeC l n |1 | x eC 方法三：方法三： 思路思路: : 将被积函数的分子分母同时乘以 x e，裂项后凑微分。 111 ln(1) 1(1)(1)11 xx xxx xxxxxxxx dxe dxde deede eeeeeeee ln|1| x xeCln|1| x eC (34) 6 (4) dx x x 解解：方法一方法一: : 思路：思路：分项后凑积分。 665 6666 141411 (4)4(4)4(4)44 dxdxxx dxx dx x xx xx xxx 6 6 6 11(4)11 ln|ln|ln|4| 4244424 d x xxxC x 14 方法二方法二：思路思路: :利用第二类换元法的倒代换。 令 1 x t ，则 2 1 dxdt t 。 66 6266 6 6 6 11(4 )1(41) () 1 2424(4)1414 4 114 ln(14 )ln(1). 2424 dxtdtdt dt x xttt t tCC x (35) 82 (1) dx xx 解解：方法一方法一: : 思路：思路：分项后凑积分。 88224 8282822 1(1)(1)(1) (1)(1)(1)1 dxxxxxxdx dxdx xxxxxxx 246 8 1 (1)(1) xxxdx dx xxx 86422 11111 () 1 dxdx xxxxx 753 111111 ln 75321 x C xxxxx 方法二：方法二： 思路思路: : 利用第二类换元法的倒代换。 令 1 x t ，则 2 1 dxdt t 。 88 642 82222 2 11 ()(1) 1 (1)11 1 dxtt dtdttttdt xxttt t 642642 2 753 75 1111 (1)()(1)() 2111 111111 11 11 1111 ln |ln | 75321753 321 tttdtdttttdtdt ttt tx ttttCC txxxxx 3、求下列不定积分。 知识点：知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。 思路分析思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等 式起到了重要的作用。 2222 sincos1;sectan1.xxxx 为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角 15 范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 (1) 2 11 dx x 思路思路: :令sin , 2 xt t ，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。 解解：令sin , 2 xt t ，则cosdxtdt。 2 2 2 cos sec 1 cos1 cos22 11 2cos 2 dxtdtdtdttt dtttd t tt x 2 tanarcsin. 2 11 tx tCxC x （或 2 11 arcsin x xC x ） （万能公式 sin1 cos tan 21 cossin ttt tt ，又sintx时， 2 cos1tx） (2) 2 9x dx x 思路思路: :令3sec ,(0,) 2 xt t ，三角换元。 解解：令3sec ,(0,) 2 xt t ，则3sec tandxttdt。 2 22 2 93tan 3sec tan3 tan3 (sec1) 3sec 3 3tan393arccos. | xt dxttdttdttdt xt ttCxC x （3secxx时， 22 399 cos,sin,tan 3 xx xxx xx ） (3) 23 (1) dx x 思路思路: :令tan , 2 xt t ，三角换元。 解解：令tan , 2 xt t ，则 2 secdxtdt。 2 3 232 sec cossin secsec (1)1 dxtdtdtx tdttCC tt xx (4) 223 () dx xa 16 思路思路: :令atan , 2 xt t ，三角换元。 解解：令tan , 2 xat t ，则 2 asecdxtdt。 2 33222 223 222 sec11 cosin secsec () . dxatdtdt tdtstC atataa xa x C aax (5) 2 4 1 1 x dx x x 思路思路: :先令 2 ux，进行第一次换元；然后令tan , 2 ut t ，进行第二次换元。 解解： 22 2 424 111 2 11 xx dxdx x xxx ，令 2 ux得： 2 42 111 2 11 xu dxdu x xu u ，令tan , 2 ut t ，则 2 secdutdt， 2 2 42 24 242 2 1111tan11tan1 secsec 22tansec2tan 11 111 (cscsec )ln sectanln csccot 222 1111111 1 ln1lnln1ln. 2222 xutt dxdutdttdt ttt x xu u tt dtttttC ux uuCxxC uux （与课本后答案不同） (6) 2 54xx dx 思路思路: :三角换元，关键配方要正确。 解解： 22 549(2)xxx，令23sin , 2 xt t ，则3cosdxtdt。 22 2 1 cos21 549cos99(sin2 ) 224 922 arcsin54. 232 tt xx dxtdtdttC xx xxC 4、求一个函数( )f x,满足 1 ( ) 1 fx x ，且(0)1f。 思路思路: :求出 1 1x 的不定积分，由条件(0)1f确定出常数C 的值即可。 17 解解： 11 (1)2 1. 11 dxd xxC xx 令( )2 1f xxC，又(0)1f，可知1C ， ( ) 2 11.f xx= 5、设tan, n n Ixdx，求证： 1 -2 1 tan 1 n nn IxI n ，并求 5 tan xdx 。 思路思路: :由目标式子可以看出应将被积函数tannx 分开成 22 tantan n xx ，进而写成： 22222 tan(sec1)tansectan nnn xxxxx ，分项积分即可。 证明证明： 222222 tan(tansectan)tansectan nnnnn n Ixdxxxx dxxxdxxdx 21 22 5442 531 4242 1 tantantan. 1 111 5tantantantan 442 1111 tantantantantanln cos. 4242 nn nn xdx IxI n nIxdxxIxxI xxxdxxxxC 时， 习题习题 4 4- -3 3 1、 求下列不定积分： 知识点：知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析思路分析：严格按照“ 反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。 ”的原则 进行分部积分的练习。 （1）arcsin xdx 思路思路: :被积函数的形式看作 0 arcsinxx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数 0 x优先纳入到微分 号下，凑微分后仍为dx。 解解： 2 22 111 arcsinarcsinarcsin(1) 2 11 xdxxxxdxxxdx xx 2 arcsin1.xxxC （2） 2 ln(1)x dx 思路思路：同上题。 解解： 2 222 22 22 ln(1)ln(1)ln(1) 11 xx x dxxxxdxxxdx xx 18 2 22 22 2 2(1)2 ln(1)ln(1)22 11 ln(1)22arctan. xdx xxdxxxdx xx xxxxC （3）arctan xdx 思路思路：同上题。 解解： 2 22 (1) arctanarctanarctan 121 dxdx xdxxxxxx xx 1 2 1 arctanln(1) 2 xxxC (4) 2 sin 2 x x edx 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解解： 2222 1111 sinsin()sincos 22222222 xxxx xxxx edxdeeedx 22 222 222 2 2 111 sincos() 22422 1111 sin(cossin) 2242242 111 sincossin 2282162 2 sin(4sincos). 21722 xx xxx xxx x x xx ede xxx eeedx xxx eeedx xexx edxC (5) 2 arctanxxdx 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解解： 3 233 2 111 arctanarctan()arctan 3331 x xxdxxdxxxdx x 3 3 2 11 arctan 331 xxx xxdx x 3 2 11 arctan() 331 x xxxdx x 3322 22 322 1111111 arctanarctan(1) 333 1366 1 111 arctanln(1). 366 x xxxdxdxxxxdx xx xxxxC (6)cos 2 x xdx 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 19 解解：cos2sin2 sin2 sin2 sin4 sin 2222222 xxxxxxx xdxxdxdxxd 2 sin4cos. 22 xx xC (7) 2 tanxxdx 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解解： 2222 tan(sec1)( sec)secxxdxxxdxxxx dxxxdxx x d 22 11 (tan )tantantanln cos. 22 xdxxdxxxxdxxxxxxC (8) 2 ln xdx 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解解： 2222 11 lnln2lnln2 lnln2 ln2xdxxxxxdxxxxdxxxxxxdx xx 22 ln2 ln2ln2 ln2.xxxxdxxxxxxC (9)ln(1)xxdx 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解解： 22 2 11 ln(1)ln(1)ln(1) 2221 xx xxdxxdxxdx x 2 2 111 1 ln(1) 221 x xxdx x 2 111 ln(1)(1) 221 xxxdx x 22 1111 ln(1)ln(1) 2422 xxxxxC (10) 2 2 ln xdx x 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解解： 2 222 22 ln11111ln ln()ln2lnln2 xx dxxdxxdxxdx xxxxxxx 222 2 11121122 ln2 ln()lnln2lnlnxxdxxdxxxC xxxxxxxx 2 (lnln2)xxC x 1 (11)coslnxdx 思路思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 20 解解： 1 coslncoslnsinlncoslnsinlnxdxxxxxdxxxxdx x 1 coslnsinlncoslncoslnsinlncosln cosln(coslnsinln ). 2 xxxxxxdxxxxxxdx x x xdxxxC (12) 2 ln xdx x 思路思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。 (1