（基础数学专业论文）两个孤子方程的精确解.pdf

摘要 本文研究两个非线性演化方程的显式解首先提出一个新的孤子方程，并给出它的 d a r b o u x 变换，而后以平凡解u = 0 ，口= 1 作为种子解，利用此d a r b o u x 变换求得该孤子 方程的精确解，并且讨论了n = 1 和n ：2 前两种情形；其次考虑一个( 3 + 1 ) 维k p 方 程，通过引入对数变换，借助于双线性导数法，得到了该方程的n 一孤子解，并给出它的 w r o n s k i a n 解 关键词：谱问题；d a r b o u x 变换；双线性形式；精确解；孤子解；w r o n s k i a n 解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w er e s e a r c ht h e “p h c i ts o l u t i o n so ft w on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s f i r s t ， w ec o n s i d e r8n e ws o l i t o ne q u a t i o na n dg i v ei t sd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n t h e n ，f r o mat r i v i a ls e e d u = 0 ， = 1 ，w en s et h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nt og e te x p l i c i ts o l u t i o n so ft h es o l i t o ne q u a t i o n a n dd i s c u s st h ef i r s tt w oc a s e s ( n = 1a n dn = 2 ) s e c o n d ，w ec o n s i d e rak pe q u a t i o ni n ( 3 + 1 ) 一 d i m e n s i o n s ，f r o mc a l l i n gl o g a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o na n du s i n gb i l i n e a rd e r i v a t i v em e t h o d s ，w e g e tn - s o l i t o ns o l u t i o n so ft h ek pe q u a t i o na n dg i v ei t sw r o n s k i a ns o l u t i o n s k e yw o r d s ：s p e c t r a lp r o b l e m ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；b i l i n e a xf o r m ；e x p l i c i ts o l u t i o n ； s o n t o ns o l u t i o n ；w r o n s k i a ns o l u t i o n 1 引言 孤立子理论是非线性科学的一个重要组成部分它的兴起，给求解非线性偏微分方程 及非线性科学的研究带来了革命性内容和新的活力，使其成为研究非线性方程的主要手 段之一早在1 8 3 4 年，英国科学家j s c o t t r u s e l l 1 】关于英国一条运河中水面波的观察， 最初发现孤立波到了1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 2 】在对孤 立波进行全面分析后，得到此现象的模型方程，此即为著名的k d v 方程 撕+ o “t z + u 黜= 0 直到1 9 6 5 年，美国物理学家k r u s k a l 和z a b , 1 8 k y 3 】，利用计算机通过数值计算详细研 究了k d v 方程两波相互作用的全过程，孤立波的形状和速度在作用前后保持不变而具有 弹性散射性质所以k r u s k a l 和z a b u s k y 又将这种稳定的孤立波称为孤子从此，一个研 究非线性发展方程与孤子方程的热潮在学术界蓬勃的开展起来 目前，在孤立子理论中，已有一系列方法用来求孤子方程的精确解例如：反散射方 法阻5 】，b i i c k l u n d 变换方法1 6 】，d a r b o u x 变换方法1 7 】，h i r o t a 双线性方法【8 - 1 0 ，齐 次平衡法【1 1 1 3 】，分离变量法【1 4 - 1 6 】，对称约束法 1 7 - 1 9 l ，l i e 对称法【2 0 ，p a i n l e v 6 分析方法【2 1 2 2 】，代数几何方法1 2 ： 2 5 】及非线性化方法【2 5 - 2 7 等这些方法涉及到经典 分析，泛函分析，l i e 群，l i e 代数，无穷维代数，微分几何，代数几何，拓扑学，动力 系统和计算数学等多个数学分支它们的发现和使用，不但使得过去难以求解的非线性偏 微分方程得以成功求解，而且不断发现许多非线性方程的有重要意义的新解特别是近年 来，随着计算机的发展和符号的运算如m a p l e 和m a t h e m a t i c s 的出现，使复杂冗长的代数 运算可以在计算机上完成，为孤立子方程的求解提供了更有力的工具 本文将分别运用d a r b o u x 变换方法和h i r o t a 双线性方法，研究两个非线性演化方程 的精确解 d a r b o u x 变换方法是构造非线性偏微分方程显式解最有效的方法之一【2 8 - 3 1 】通常 从一个平凡解出发，首次d a r b o u x 变换和连续作d a r b o u x 变换可分别得到方程的单孤子 解和多孤子解它最初来源于一个世纪以前所提供的处理二阶常微分方程( s c h r d d i n g e r 方 程) 谱问题的一个方法f 2 8 】经过一个世纪的发展，d a r b o u x 变换已形成了较为完整的理 论 它的基本思路是：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，借助于谱问题之间的 规范变换，得到d a r b o u x 变换，然后通过代数运算及微分运算来得出非线性方程的新解和 l a x 对相应的解 近年来，d a r b o u x 变换方法得到迅速发展，已成功地应用于求解一系列与特征值问题 相联系的非线性孤子方程的显式解【3 2 3 7 ，发展趋势由一维到多维，由单一的孤子演化 方程到耦合演化方程组d a r b o u x 变换的优点非常明显，只须作一次完全可积的线性方程 组的求解，然后就可只用代数运算来得到非线性孤子方程的新解，它的关键是寻找一种保 持相应的l a x 对不变的规范变换 本文第二部分考虑矩阵谱问题 3 8 】 垂。= c ，垂， u = ( 一：”a ：。) ， c ， 和相应的时间部分 圣t = y 垂，y = ( ：一v 。2 。) ， c z ， 其中 v l = 一a 2 + u 2 + 警+ 垒吐6+ 垒害臣， i ) 2 = v x + w 一警， = 问+ 扣+ 撩 这里，垂是z ，t 的2 维向量函数，“和口是两个位势，且是x ，t 的函数， 数由垂满足相容性条件西。产量缸，得零曲率方程 巩一k + f 以v 】= 0 ， 进而导出方程 fu t = ( u 。+ 警一鼍乒一羞鍪+ 静k ， 【魄= 竽+ 2 u v = 一岳一警 又由变换 给出一个新的孤子方程 牡：珏， 叫= 勘、口 a 是一个常谱参 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 在文献【3 8 】中，讨论了它所对应的有限维可积系统，本文将讨论与其相联系的d a r b o u x 变换，作为d a r b o u x 变换的应用给出方程( 1 6 ) 的精确解 在求解非线性演化方程的一孤子解的方法中，还有一种重要而直接的方法，这就是 由日本数学家h i r o t a 提出的双线性方法【s - m 这种方法目前已从求k d v 方程，m k d v 方程，s i n e - g o r d o n 方程，t o d a 晶格方程，b o u s s i n e s q 方程的一孤子解发展成为求解 非线性演化方程较为一般的方法 h i r o t a 双线性方法的基本思路是；首先通过函数变换，诸如有理变换，对数变换，双 对数变换等将方程进行双线性化，将其转化为所谓的。双线性形式”，而后借助于d 一算 子的特殊性质，通过通常的微扰方法将扰动展开式截断成有限项，从而达到求解这些双线 性形式的目的，最后导出方程的一孤子解 h i r o t a 双线性方法的优点十分明显，它不但应用范围广，可用于求解各种孤子方程， 而且不需要借助于高深的数学知识特别是近年来随着一些概念诸如。p f a f l i a n s ”恒等 式，。m a y a 图”以及“w r o n s k i a n 解”，“g r a m m i a n 解”的引入，使得双线性方法的发 展步入了新的阶段，其求解过程以及求得的一孤子解的表达形式都更加简洁 本文第三部分考虑一个( 3 + 1 ) 维的k p 方程 + 6 砭+ 6 ? z 一啦2 一u 孵一地$ = 0 ( 1 7 ) 令s = 娩，方程( 1 7 ) 等价于 t + 6 + 6 t 1 。一锄加2 一f + “柏= 0 ( 1 8 ) 在文献f 3 9 j 中，通过运用广义齐次平衡法给出方程( 1 7 ) 的解 本文将运用h i r o t a 双线性方法【4 0 - 4 8 ，重新考虑方程( 1 8 ) 首先引入了合适的对数 变换 “= 一2 ( 1 nf ) 。， ( 1 9 ) 利用d 一算子的性质，将其化为双线性形式 ( d x d t 一班一d ；+ d 2 z ) f ，= 0 ( 1 1 0 ) 而后采取微扰法，通过求解双线性形式得到方程的一孤子解最后，借助于w r o n s k i a n 行列式以及代数知识将方程的一孤子解成功地表示为十分简洁的w r o n s k i a n 形式 3 2 一个新的孤子方程的达布变换及其精确解 1 d a r b o u x 变换 考虑下列矩阵谱问题 ， 西z = u 垂， u = ( 一：“a 二：u ) ， c 。- ， 相应的时间部分是 腿 y = ( 芝羔) ， 皿。， 其中 = 一a 2 + “2 + t z + ( 1 n 口) 船+ 孙1 儿- v ，。2 ， = 口a + 一， ( 2 3 ) b = 咖a + “咖+ 撩 这里巾= ( 垂l ，垂2 ) t ，u ，”是两个位势，并且是关于z ，t 的函数，a 是常谱参数 为了使上述两个方程同时有解，垂必须满足相容性条件圣。产圣n ，进而产生零曲率 方程 阢一圪+ 阿v 】= 0 通过直接计算产生新的孤子方程 汪篡篱拳。 偿a ， 考虑变换 方程( 2 4 ) 化为 = t ，w = 厄 ( 2 5 ) 滢2 鼍每增b 4 ( 2 6 ) 下面讨论谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的d a r b o u x 变换 首先引入谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的规范变换 其中t 由下式确定 进而l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 转化为 其中 圣= t 面 已+ t u = c ，t 正+ t v = v z 吒= u 西 垂= v 垂 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 谱问题的规范变换称为d a r b o u x 变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问 假定 n l a = 2 a + a k a k = 0 ab 、l r = o ii ， c d ( 2 1 2 ) 口，a ，仇，仇，d k ( 0 s 女n 一1 ) 是z 和t 的函数 设t p ( 知) = ( 妒1 ( ) ，妒2 ( ) ) r ，砂( ) = ( 妒1 ( ) ，咖( ) ) t 是( 2 1 ) 的两个基本解通过 ( 2 7 ) 知，存在常数满足 a 机( ) + b 忱d 力一竹魄( b ) + b 忱( ) ) = 饥 ( 2 1 3 ) 【c 妒l ( ) + d 忱( ) 一( g 妒l ( ) + d 如( 如) ) = 0 进一步，( 2 1 3 ) 可以写成线性系统 la + a j b = 0 ， lg + 乃d = 0 ， 5 n d 脚 i | d 妒 瓯 眦汹 r 一 入一 = e驴 巩 脚 1 | b 即 ( 2 1 4 ) 其中 乃= 鬻毒黜，( 2 1 5 ， 当常数和( h ，佻竹，k j ) 适当选择时，( 2 1 1 ) 的系数行列式非零因此，我 们选取 b n l = 叫o n l = 面万丽，( 2 1 6 ) 剩余的血，仇，仇，d b ( 0 n 一1 ) 由线性系统( 2 1 4 ) 唯一确定，而n 在下文给定 矩阵( 2 1 2 ) 表明d e t t ( a ) 是a 的2 n 一1 次多项式，且 d e t t ( ) 。j ) = 0 2 a ( a j ) d ( a j ) 一口( ) c ( ) 】 另一方面，由( 2 1 4 ) 可知 a ( a j ) = 一o b ( ) ，g ( ) = 一a j d ( a j ) ( 2 1 7 ) 所以 2 一1 d e t t ( a j ) = 卢i i ( a a j ) ( 2 1 8 ) ，= l 这表明砖( 1 j 2 n 一1 ) 是d e t t ( ) , ) 的根( 其中p 与a 无关) 命题2 1 设a 满足一阶常微分方程 如l i l 。= 一；如l n d _ l ( 2 1 9 ) 由式子b + r c ，= 驴2 1 确定的矩阵驴与矩阵u 具有相同的形式，即驴可以表示为 驴= ( 一苌面a 0 仁。， 6 垮 哆 ， 哕奶 乎驴 鼠 怕矿 m 酽伽 下列变换 毛2 乱一；如1 n d 一1 ( 2 2 1 ) 【o = - 1 将原来的位势函数“和”映射为新位势豇和o 证明：设t _ 1 = t + d e t t ，且 c l + t u ，r = ( 2 ： 未竺 茗) ， c z 。， t + 表示t 的伴随矩阵容易验证f l l ( ) 1 ) 和，杰( a ) 是a 的2 n 次多项式由已知条件( 2 1 6 ) 可知，y 1 2 ( a ) 和丘l ( a ) 是a 的2 n 一1 次多项式当a = o = 1 ，2 ，2 n 一1 ) 时，利用 ( 2 1 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 和( 2 1 7 ) 可以得到 a j z = 咖十2 ( 一u ) 町一w 丐， a z ( ) = 一乃z b ( ) 一o s b = ( a s ) ，( 1 sj 2 n 一1 ) ( 2 2 3 ) c 0 ( ) = 一o 。d ( ) 一q 口。( 如) 利用( 2 1 6 ) 和( 2 2 3 ) 通过直接计算知，所有0 = 1 ，2 ，2 n 一1 ) 是厶( s ，z = 1 ，2 ) 的 根进而( 2 2 2 ) 可以改写成 其中p ( a ) 有以下形式 ( 已+ t u ) t = ( d e t t ) p ( ) l ) 跗，= ( 璀扩喇篡蟛) 这里蹭( ，j = 1 ，2 ，l = o ，1 ) 与a 无关所以方程( 2 2 4 ) 等价于 b + t u = p ( a ) t 比较等式( 2 2 5 ) 中a + 1 ，和a 一1 的系数，可以得到 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) p f ：= 一竣= 一1 ，p ? l c n _ 1 ) 硝? = “一 ( 1 nd 一l k ，尸篮3 k 一1 = 一a 一1 ，。一、压b 一1 ， ( 2 2 6 ) p 2 2 ( 2 0 ) 工，n 一l = ( 0 zi na ) d 一1 + d 一1 z u d 一1 一 c n 一1 一b 一l e n 一1 7 将( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 2 2 ) 代入( 2 2 6 ) ，通过计算，可以得到 p f ：= 一巧：= 霞，艘= 。，硝? = 瓶 对比( 2 8 ) 和( 2 2 5 ) ，即得疗= p ( a ) 证毕 成 注当n = 1 时，假定a l = b 一1 = c - i = d 一1 = 0 ，上述d a r b o u x 变换可以写 f 面= 一( 1 nd 0 b i 。：四 ( 2 2 8 ) 若妒( 沁) ，妒( ) 也同时满足( 2 2 ) ，采用与命题2 1 类似的方法，我们可证明在变换 ( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 共同作用下，由( 2 9 ) 式确定的矿与v 有相同的形式 命题2 2 设a 满足关于t 的一阶常微分方程 由式子或+ t v = 矿t 确定的矩阵矿与矩阵v 具有相同的形式，除了将t t ，口，u z 和 替换为相应的面，o ，口。和如，在同一d a r b o u x 变换( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 作用下，原位势函 数“和v 映射为新位势函数豇和o 证明t 设t o = t + d e t t ，且 ( 丑+ t y ) t ：f9 1 1 ( 砷9 1 2 砷1 ( 2 3 0 ) 舵1 ( a ) 船2 ( a ) 显然，g l l ( a ) ，船2 ( a ) 是关于a 的2 n + 1 次多项式。根据( 2 1 6 ) ，有9 1 2 ( a ) ，g z i ( a ) 是关 于a 的2 n 次多项式当a = 0 = 1 ，2 ，2 n 一1 ) 时，利用( 2 2 ) 和( 2 1 5 ) 可以得到方程 乃t = 2 碍一u 2 一誓一 ( 1 n ”) 一一 ( 1 n ”) 艺】乃 一扣+ 口一考) 霹+ 咖+ 式寿， ( 1 j 2 n 一1 ) ( 2 j 3 1 ) a t ( ) = 一乃t b ( ) 一q 鼠( b ) ，q ( b ) = 一a j _ d ( a i ) 一乃d t ( ) 8 四 偿 如曜 + k ；i 瓠 d 一 札似矗瑶o啪啦 陋抛 “斗 m m哪球 m 侥 通过上述关系，直接计算可以知道( 1 j 2 n 一1 ) 是吼f ( s ，l = 1 ，2 ) 的根进而( 2 3 0 ) 可以写成 + t y ) r = ( d e t t ) q ( a ) 其中q ( a ) 有以下形式 鲫，= ( 帮乏舞。2 要黼捌) 这里。q 幻( o ( 自，j = l ，2 ，z = o ，1 ，2 ) 不依赖于a 进而等式( 2 3 2 ) 可以写成 丑+ t y = q ( ) o t 比较方程( 2 3 3 ) 中入。州，九。! v + 1 ，a 和一1 的系数，我们可以得到 ( 2 。3 2 ) ( 2 3 3 ) q g = 一毋= 一1 ，q i ? = 趔= 0 ，q 5 j l c n - 1 ( 2 3 4 ) 比较( 2 3 3 ) 中a 和a - 1 的系数，可以得到 口i d _ l = 2 b n 一2 + 口a 一l + 2 u 一， g 磐= 一2 c n 一2 + 孚d 一1 q 2 ( 1 ) a 1 ， 口( 0 = o , l n n + u 2 + 警+ ( i n v ) 。+ ( 1 n 口) ；+ g 翰一l + 咖b 一l ， q i ! z ) 1 = ( 侥l n n ) 召k 一1 + 召k 一1 ，t 十钉a 一2 + 2 j b k 一3 一q 萝d _ 】v 一2 + ( 删一誓) a 一1 ( 2 3 5 ) 一( 乱2 + ! 挚+ ( 1 n ) 。+ ( 1 n 口) ：) b 一l q ：b 一l ， 拶翰一l = ( 国l n 。) 翰一1 + 翰一】，+ 2 翰一3 + q 6 1 ) a 一2 一佃一2 + 拨a m 一( “扣+ 李) d n 一1 + ( “2 + 警+ ( 1 n v ) 鄹：+ l ( 1 n v ) ：) c n 一1 另一方面，利用已严格证明的命题2 1 ，比较方程( 2 2 5 ) 中a ，a ，a n 一2 的系数，有 b n 一1 ，z = i d 一1 + 2 u b n 一1 一v a n 一1 2 b n 一2 ， 翰一l 声2 缸珊一l 一2 西一2 2 面一1 一倒一l ， f 2 3 6 1 b n 一2 声= 2 u b n 一2 + v d n 一2 2 b n 一3 一v a 一2 ， i ! k 一2 声= 2 l 。_ 一3 2 面c 知一2 + v - 6 a n 一2 一v 7 石i d r 一2 根据( 2 2 9 ) ，( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 并联立孤子方程( 2 4 ) ，通过复杂计算，可以得到 口霉= 。，攫= i 西+ 舞，、 q 袈= 一q 粤= 面2 + 警+ ( 1 n d ) 。+ ( 1 n i ) ；， ( 2 3 7 ) g 霪= 面。一等，q 5 ：= 帕 9 对比( 2 9 ) 和( 2 3 3 ) ，易得矿= q ( a ) 证毕 根据命题2 1 和命题2 2 ，d a x b o u x 变换( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 将l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 映 为相同形式的l a x 对( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，并且两个l a x 对通过相容性条件都可以导出同一个 孤子方程( 2 4 ) 我们也称变换( 圣，“， ) 一( 壬，面，口) 是孤子方程( 2 4 ) 的一个d a r b o u x 变换 综上所述，有下面定理成立 定理2 1 孤子方程( 2 4 ) 的一个解( ) 在d a r b o u _ x 变换( 2 7 ) 和( 2 2 1 ) 的作用下，映 射为另一个新解( 面，o ) ，其中c k 一1 ，d n 一1 由已知条件( 2 1 6 ) 和线性系统( 2 1 4 ) 确定 定理2 2 设 = 口咖，西= 口、写，则由d a r b o u x 变换( 2 1 2 ) 和( 2 2 1 ) ，可以从孤子方 程( 2 6 ) 的一组解( “，”) 生成方程的另一组新解 j 面i n 一 讪d _ 1 ，( 2 3 8 ) i 西【y l = e 蚤一1 = 1 一a 一1 ，。 其中c n _ l d n 一1 可由线性系统( 2 1 4 ) 唯一确定 称变换( 圣，“， ) + ( 面，f i , 面) 为方程( 2 6 ) 的一个d a r b o u x 变换 2 精确解 利用上面给定的d a r b o u x 变换我们可以得到孤子方程( 2 4 ) 一系列的精确解。以平凡 解= 0 ，口= 1 作为种子解，代入l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中，可以得到( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的基 本解选取两个基本解为 一( 鲥曲等笔汹白) 洲护( 删苏白) ，眨s 。， 其中 白= z j ( x + ) ， 岛= 譬+ 1 ， ( 1 sjs2 n 一1 ) 根据等式( 2 1 6 ) ，有 町= 岛糕+ ，( 1 sj s2 一1 ) ( 2 4 。) 联立已知条件( 2 1 6 ) 和线性系统( 2 1 4 ) ，利用克莱姆法则求解，得 鼬一l = - 1 ，a m = 半，d n 一1 = 争， ( 2 4 1 ) 其中 五d 。一。= ( 一1 ) n - 1 c t 一1 ， 所以 一1 = 1 一a n i p ， 这里 a a 一1 = = 1 a la ，1a lq a l 盯l 入：，_ 2 1k a ，- 1 ( 7 2 0 r 2 a 20 2 蟛一2 1 a 2 n 一1 a 5 芒1o 2 n 一10 2 n 一1 a 2 一l - o 2 n l a 2 n - 一2 l 1 a 1 a ，一2 盯1 a ，一1 2 a ， 口1a l a l a l a ，一2 1 a 2 a ，一2 仃2 a 一1 2 蟹0 2 盯2 a 2 盯2 a 一2 一 1 a 2 n l a 翕芒lo 2 n 一1 ) l n - 一1 1 2 a 氛一l g 2 n lo 2 n l a 2 一1 o 2 n l a 茹芒1 = 1 a 1a ，qo 1 a l a l( 7 1 a ，。 1 a 2a 一2口2 a 2 a 2( 7 2 a 一1 ； ；j 。 i i a 2 一l a i 膏! l t t 2 n 一1c r 2 n i a 2 x 一1 ，t 0 2 n 一1 a 2 n v - - 一1 1 即，五分别是线性系统( 2 1 4 ) 两组方程的系数行列式，而a 。一，是将行列式的第 列由下式替换 ( d l q 一1 2 入r ，口2 碍一1 2 a 多，砚一l a n - 一1 l 一2 a 一1 ) t 从而利用d a r b o u x 变换( 2 2 1 ) 得到方程( 2 4 ) 的非平凡解 e i n ：= 嘴, , - 二i ? 1 ( 2 4 2 ) 进而利用变换( 2 5 ) 得到方程( 2 6 ) 的非平凡解 这里我们具体给出n = 1 和n = 2 前两种简单情形 ( 1 ) 当n = 1 时，设a = a i 根据已知条件( 2 1 6 ) 和线形系统( 2 1 4 ) 。可以得到 ( 2 4 3 ) 山= 一- 一2 h d 0 = 鲁，岛= 咖= 石 ( 2 “) 进而，利用d a r b o u x 变换( 2 2 8 ) 和变换( 2 5 ) ，得到方程( 2 6 ) 的一个精确解为 2 唑群， ( 2 。) 1 西f l 】= 。1 ( g i - - 2 a 1 ) p “叫 其中 驴历怒仙山圳x + a l t ) ，伍= 而 ( 2 ) 当n = 2 时，令a = 0 = 1 ，2 ，3 ) 根据已知条件( 2 1 6 ) 和线形系统( 2 1 4 ) ，可以得 到 a - = 等，d = 一百c i a ，c t = o 1 - a i , x ， ( 2 4 6 ) 其中 = 1 a 10 1 1 a 20 2 1a s 0 3 = 1 仃l 1 0 2 1 0 3 0 1 a 1 0 2 a 2 0 3 a 3 a l2 1 0 1 a 1 2 增 1 0 2 a 2 2 碹 1 0 3 a 3 2 增 从而，根据d a r b o u x 变换( 2 2 1 ) 和变换( 2 5 ) 可以得到方程( 2 6 ) 的另一个精确解 ：三：警h 仁a 刁 山 a d n l 灿f”礤 = = 州州 ，jl 3 ( 3 + 1 ) 维k p 方程的n 孤子解和w r 。n 。k i a l l 解 1 双线性形式 考虑( 3 + 1 ) 维k p 方程 t + 6 + 6 “一一u 鲫一8 = o ( 3 1 ) 作 方程( 3 1 ) 化为 作变换 蚰+ 6 缱+ 6 u 一啪一“鲫+ 钍：。= 0 将其代入( 3 3 ) ，方程化为 t = - 2 ( 1 n ，) ， ( 1 nf ) x x 耐一1 2 ( 1 nf ) z x ( 1 nf ) z z 。k 一( 1 nf ) 。一( i n f ) 。鲫”+ ( 1 i l ，) 。：= 0 对z 积分，并取积分常数为零，( 3 5 ) 化为 ( 1 n f ) 疵一6 ( t n f ) ：。一( i n f ) 。一( i n f ) + ( i n f ) 。：0 通过直接计算，( 3 6 ) 可以写成 掣叫等) 2 + 3 ( d ：f f ，一等一等+ 等：。 其中算子眈，d t 作用在g ，上定义为 叼聊出，小m ；( 岳一昙) ”( 瓦0 一刍) 倾叫) ，( z 7 ，t ，) i 。k ， 由( 3 7 ) 和( 3 8 ) ，, - i 德4 ( 3 3 ) 的双线性形式 ( d z 功一d ：一瑶+ d 2 z ) f ，= 0 1 3 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 以下对方程( 3 3 ) 的讨论就归结为双线性形式( 3 9 ) 2 n 一孤子解 下面，我们将利用双线性形式( 3 9 ) 给出方程( 3 3 ) 的多孤子解 设( t ，z ，y ，z ) 可按参数t 展成级数 t = 1 + ，( 1 ) e + ，( 2 ) e 2 + ，( 3 ) e 3 + 将( 3 1 0 ) 代入( 3 9 ) ，并比较e 的同次幂系数，我们得到一列线性微分方程 以：一矗盐。一船+ ，! ) = 0 ， 2 ( 璧一以勉一瑞+ 以：) ( d = d t磋一瑶+ d ；) ，( 1 ) ，( 1 ) ， 鹰一熄。一瑞+ 以；) = 一( 仇d t 一磷一瑶+ 噬) ，( 1 ) ，( 2 ) ， 下面，我们利用扰动法得到( 3 3 ) 的一孤子解 ( i ) 单孤子解 由( 3 1 1 ) 知，( 1 ) 有线性指数形式的解 ，( 1 ) = e f l ， 其中 1 = t + k l x + k + z + i o 将( 3 1 4 ) 代入( 3 1 2 ) ，根据双线性指数的性质得到 鹰一程翌。一矗；+ 以爹= 0 如果取，( 2 ) = 0 ，代入( 3 1 3 ) ，我们有 蠢；一矗魏。一矗；+ 以! ) = 0 ， 1 4 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 若取，( 3 ) = 0 ，继续这种推理可知，( 4 ) = ，( 5 ) = = 0 ，当e = 1 时，我们有 = 1 + e h ( 3 1 7 ) 由( 3 4 ) 和( 3 1 7 ) ，得到方程( 3 3 ) 的单孤子解 ( i i ) 双孤子解 若取 u = 一2 陋( 1 + 乒，) x z = - 2 k 1 2s i n h 2 譬( 3 1 8 ) ，( 1 ) = e 1 + e 2 ， 白= 砖+ b 茹+ 碍可+ 磅z + m ，o = 1 ，2 ) ( 3 1 9 ) 将( 3 1 9 ) 代入( 3 1 2 ) ，得到 由( 3 2 0 ) ，我们取 其中 蠢；) 一矗翌。一搿+ 奠；) = 一3 k 1 如( 1 一) 2 小- + 6 ( 3 2 0 ) ，( 2 ) = e 6 + 如+ 1 2 ，儿：! ! ! 二塑! 。 ( 1 + 如) 2 将( 3 1 9 ) 和( 3 2 1 ) 代入( 3 1 3 ) ，得到 同样，若取 方程( 3 9 ) 的截断解为 搦一恐。一，5 ；+ 以! ) = 0 ，( 3 ) = 0 ，户) = 产) 一一0 ，e = 1 丘= 1 + 1 + e 如+ e 矗+ 如+ a 1 2 由( 3 4 ) ，得方程( 3 3 ) 的双孤子解 “= 一2 1 n ( 1 + e f l + 毒2 + e 1 十f 2 + a 1 2 ) 】z 。 1 5 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( i i i ) 一孤子解 若取 ，( 1 ) = 毒t + e 如+ + e 妇，白= k t + k j x + 22 名十g m ， o = 1 ，2 , - - - , )( 3 2 5 ) 与( i ) 和( i i ) 类似，我们取 ，( + 1 ) = f f n + 2 ) = 0 ，f = 1 ，( 3 2 6 ) 毋= 珊( k j - k t ) 2 ( 3 2 7 ) 其中t t = 0 1 是对p l 2o ) 1 ，p 22o ，1 ，p 2o 1 的所有可能组合的求和l 塞i 是在条件 1 1 ，s f j z 下，j ，l 取自 1 ，2 ， 中所有可能的求和 由( 3 4 ) 和( 3 2 7 ) 可得方程( 3 3 ) 的一孤子解 ( 3 2 8 ) 3 w r o n s k i a n 解 由上面可以看出，由双线性导数法求出的( 3 + 1 ) 维k p 方程的孤子解形式非常复杂，不 利于代入方程验证因此，下面我们讨论给出( 3 + 1 ) 维k p 方程的n 孤子解的w r o n s k i a n 形式 设函数锄= 奶( t ，z ，y ，z ) 0 = 1 ，2 ，) 在t 0 ，一 z o o ，一o 。 y ， 一o 。 z o o 具有任意阶的连续导数，且满足关系式 牵j t = 4 西i 。z z z ， 奶，一= 譬咖， ( 3 2 9 ) 奶，p ；奶砧， 奶，z = 咖，z z ， 1 6 山 蜓 针 副 间 得 = 叫 风 算杂复过 通 船 肛p 蜓 + 萎萨 眦 呱 吨 l l u 以咖与其前n 一1 阶导数为元，构造如下的w r o n s k i a a 行列式 其中 够= 雾，( m 乩2 ，- 1 ) 下面我们将要证明i n 满足双线性导数方程( 3 9 ) ，即 ( 风觑一理一或+ 噬) 加知= 0 或写为 为了简便，我们记 | n 。n n 一 n 芦| n 一| n t t 2 z | n + 4 | n 芦z z f n 芦 一3 | ，。；一f n m l n + 备+ f n ，；| n f ，z = 0 ，= i o ，l ，n 一1 l = i n 一- t 现在我们考察w r o n s k i a n 行列式，对z 的各阶导数，得到 ，。= i n 一- 2 ，i ， ，、= i n - 3 ，n 一1 ，n i + i n - 、2 ，n + 1 i ， i n , 。：i n - - c - 4 ，n 一2 ，n 一1 ，i + 2 1 n - 、3 ，n 一1 ，n + t l + i n - 2 ，+ 2 抽。= i n - - z - 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n i ， + 3 1 n - 4 ，n 一2 ，n 一1 ，n + i i + 3 1 n - 、3 ，n l ，n 十2 1 十2 1 n - 3 ，n ，n + i i + i n - 、2 ，n + 3 i 1 7 ( 3 3 1 ) ( 3 3 3 ) ) 4 1 d 删矿矿；带 九 札烈姓；砖 矸 0 1 0 2 0 划钾铝；器 m f | 利用( 3 2 s ) ，行列式，对玑厶t 的导数可以转化为对z 的导数，因此有 ，：一i n 一- 3 ，n 一1 ，n i + i n 。- 、2 ，n + 1 1 ， ，鲫= i l v - 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，u l + 2 1 n a - - 3 ，n ，n + l i i n a - - 3 ，n 一1 ，n + 2 1 一l ：4 ，n 一2 ，n 一1 ，n + 1 1 + i ：2 ，n + 3 i ， ，：= 一i 一3 ，n - - 1 ，i + i l v - 2 , j v + 1 i ， ( 3 3 5 1 n , 。= i n - 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，l v l 十2 i ：3 ，n ，n + 1 i l ：3 ，n 一1 ，n + 2 i i n a - - 4 ，n 一2 ，n l ，n + 1 1 + i ：2 ，n + 3 1 ， 扎t = 4 i n - 4 ，n 一2 ，n l ，u l 一4 i n - 3 ，n l ，n + 1 1 + 4 i 盯：2 ，n + 2 t ， ，矗= 4 i n 7 - 、5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，l v l 一4 i n - 、3 ，n ，n + 1 1 + 4 1 1 v - 2 ，n + 3 1 将( 3 3 4 ) 一( 3 3 5 ) 代入( 3 3 2 ) 的左端，得到 a i n u - l l ( i u 一- 5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，l v l i n a - - 4 ，n 一2 ，n l ，+ 1 1 2 1 1 v - 3 ，n ，n + 1 1 一i ：3 ，n 一1 ，n + 2 1 + i a r - 2 ，n + 3 1 ) ( 3 3 6 ) + 1 2 1 n - 3 ，n 一1 ，n + 1 | i ：2 ，u l 一3 ( i ：3 ，n 一1 ，n i + i n - - c - 2 ，n + 1 1 ) 2 利用行列式性质容易证明以下引理 引理1 设m 为n ( n 一2 ) 矩阵，o ，6 ，c ，d 是一维列向量，则有 l m ，玛b l m ，c 】d i i m ，n ，e l i o t ，b ，d f + i m ，o ，d l i m ，b ，c i = 0 ( 3 3 7 ) 引理2 设a j0 = 1 ，2 ，) 是n 一维列向量，巧0 = 1 ，2 ，a t ) 是n 个不为零的 实常数，则有 其中 ，a n lr a j ，a n r 吩= p l 1 j ，7 2 a ，一，r n a n j ) t 应用引理2 知下式恒成立 庐1 i ) i n 一- 2 1 ( 妻i = 1 譬i 庐1 d 2 1 8 ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) oo 芦 | | 眈 0r 汹 砰了 h 砰i 澍 3 由引理2 及( 3 , 4 0 ) ，通过复杂计算得到 3 i n ：1 l ( 1 ：5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，l i n - 、4 ，n 一2 ，n 一1 ，n + 1 l + 2 i n - 、3 ，n , n + 1 1 一i n - 3 ，n 一1 ，n + 2 1 + i n 7 - 2 ，n + 3 1 ) ( 3 4 1 ) ：3 ( i n - 3 ，n l ，l i n - 2 ，n + 1 1 ) 2 将( 3 4 1 ) 代入( 3 3 6 ) ，并利用引理1 得到 一1 2 ( 1 庐3 ，n 一2 ，圳庐3 ，一1 ，j - j 庐3 ，- 2 , n - i i i n ：- 3 , n + 1 , n i ( 3 4 2 ) + l ：3 ，n 一2 ，i v ：3 ，n + 1 ，n 一1 i ) = 0 由此可见，w r o n s k i a n 行列式血满足( 3 3 2 ) 若取 妨( t ，z ，z ) = e 孚+ ( 一1 ) + 1 e 孚，白= 碍t + 白z + 巧2 1 - 2 z + g ，o = 1 ，2 ，一，) ( 3 4 3 ) 利用( 3 4 ) ，( 3 3 0 ) 和( 3 4 3 ) ，我们就得到( 3 3 ) 的w r o i l s k i a n 解 t = - 2 ( i n ，) 一 ( 3 4 4 ) 论文主要结果 1 导出谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的d a r b o u x 变换及相关孤立子方程的d a r b o u x 变换 2 得到一个新的孤子方程的精确解 3 导出一个( 3 + 1 ) 维k p 方程的双线性形式 4 求得( 3 + 1 ) 维k p 方程的一孤子解 5 。得到( 3 + 1 ) 维k p 方程的一孤子解的w r o n s k i a n 形式。 1 9 参考文献 1 】j s r u s s e l l ，s y s t e m a t i ct e c h m c me d u c a t i o nf o rt h ee n g l i s hp e o p l e ，d a ys o n ，l o n d o n ，1 8 6 9 2 】d j k o r t e w e g ，g d ev r l e s ，o nt h ec h a n g eo f f o r mo f l o n