（基础数学专业论文）量子群uqfkh的中心及其表示.pdf

董文娟：量子群u 。( 厂( k ，) ) 的中心及其表示 中文摘要 量子群理论是代数学领域中重要的研究内容，它是上世纪八十年代中期发展起来的代 数分支近二十年来，其理论被人们广泛的讨论本硕士论文主要研究当q 是单位根时，对 量子群u = ( ( k ，日) ) 的中心及其单表示进行明确刻画 具体的，在第一部分，我们介绍了量子群u 。( g ) 的研究背景，重点阐述了当口是单位 根时，量子群( s l ( 2 ) ) 的中心及其表示理论，并进一步引出了本论文的研究对象：量子群 u = u 。( f ( k ，h ) ) 第二部分，我们罗列了量子群( ( k ，h ) ) 的一些已有的主要结果：u q ( ( k ，日) ) 是 由生成子k ，h ，k 一，h 一，e ，f 及关系式k h = h k ，k k = k k = 1 ，h h 一= h h = 1 ， k e k = 9 2 e ，k f k = g f ，h e h = g e ，h f h = q 2 f ，【e ，f 】- f ( k ，) 确定的七一代数： 它具有唯一的h o p f 代数结构( 命题2 2 ) ；利用数学归纳法可得到( s ( x ，何) ) 的生成子 所满足的一般关系式( 引理2 3 ，引理2 4 ) ；以及u 。( 厂( k ，h ) ) 是n o e t h e r i a n 整环且具有 基 e k hl n ，f ，腕 第三部分，我们主要讨论了量子群u = ( f ( k ，s - s ) ) 的中心，主要结论有： 引理3 1 e 。，f 。，k e , k - 8 ，日8 ，h - e , 属于量子群( s ( k ，何) ) 的中心，其中q = c q ( f ( k ，日) ) 是( 厂( k ，日) ) 的量子c a s i m i r 元素 设瞄是( f ( k ，日) ) 中所有与k 可交换元素的集合则有下面几个引理： 引理3 2 蜡= e 4 f ，l i ，n ，i 一_ = p f ，z ) ，其中p 。k k ，h ，k - l , 日一1 引理3 3 记叼= e 。f k 5 h ) 洲 地则0 = ( q k 5 何i j ，z ，f n ) 嗡 引理3 4 z ( u ) 是由e 。，f 2 及z ( u ) n 嵋生成的的子代数 最后我们得出本文第一个主要的结论： 定理3 5 z ( u ) 是由e e , f 。，k 8 ，k ，日，日一，k 5 h 5 ，q 生成的子代数，其中se n 第四部分，我们引入u 上模的权向量的概念，并根据维数对单u 一模进行了分类 扬州大学硕士学位论文 2 首先我们讨论维数小于p 的( f ( k ，日) ) 一模并证明了以下几个结论： 命题4 2 设y 是( 厂( k ，日) ) 模，d i mv = d + l p 则 ( 1 ) v 中一定存在最高权向量 ( 2 ) e ，f 作用在v 上是幂零的 引理4 3 设v 是v 的一个最高权向量且最高权为( 口，6 ) ，记= v ，1 ，= f p v ，v p 0 则 勋，= g 之a v ，h v ，= g “b y p ，凡p = + 1 ，西，= 厶，) a ，6 ) v 川 定理4 4 设y 是有限维u q ( s ( k ，日) ) 模，d i mv = d + l p ，且y 是由最高权向量v 生 成，权为( 口，6 ) 则 ( 1 ) 权( 口，6 ) 满足关系式，( 州) ( 口，b ) = o ( 2 ) y 中任一最高权向量相差纯量倍 ( 3 ) y 是单模 通过上面几个定理的证明，我们容易得出这部分的第一个主要结论： 定理4 5 设y 是维数为d + l e 的单模不存在 最后我们得出维数等于e 的单u 一模的结构： 定理4 7 设v 是维数等于p 的向量空问，基为 v o ，h ，屹一。) 则v 具有以下三种类型 的单u 一模结构： ( i ) 取定a ，b 0 ，力k ， 她= a q 也v ，h v ，= 6 9 2 。_ ， ，1 0 ， i 一0 - - v ) 卧( 啪) v j - 。，o f 组1 凡j = 嚣，o ： e i 一 ，e 一1 ， ( 1 i ) 取定a ，b o ，允k ， 董文娟：量子群己，。( 厂( k ，厅) ) 的中心及其表示 3 如= a q 2 v j ，协。= 幻也。v j ， 。( 0 ， i = 0 ， 即h 心帆，0 i e - 1 0 i p 一1 ， i = p 1 ( m ) 取定n ，b o ，a ，允7 k ， k v j = a q 一2 v l ，协；= 幻2 v ， p ， i ：0 ， 见2 沁( 啪) ) v l i ，0 i 妒1 凡，：卅- 1 ， l 哆+ j 0 i ( p - 1 定理4 8 设矿是维数e 等于的单模则v 同构与上述单模之一 由此定理，我们就能清楚的刻画出维数等于g 的单一模的结构 关键词量子群：中心：单模 小 咋五 ，、【 l i 踟 扬州i 大学硕士学位论文 a b s t r a c t 4 q u a n t u mg r o u pd e v e l o p i n gi nt h em i do ft h ee i g h t i e si n t h el a s tc e n t u r yi so n eo ft h e i m p o r t a n tb r a n c h e so fa l g e b r a a n dt h et h e o r yo fq u a n t u mg r o u p sh a sb e e nw i d e l ys t u d i e do v e r t h ep a s tt w od e c a d e s t h ea i mo ft h et h e s i si st os t u d yt h ec e n t e ra n dt h es i m p l er e p r e s e n t a t i o n s o fq u a n t u ma l g e b r a u q ( s ( k ，i - s ) ) w h e nq i sap r i m i t i v ee - t hr o o to fu n i t yw i t heb e i n g o d d p r e c i s e l y ，i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h eq u a n t u ma l g e b r au 。悖) ，a n d r e c a l lt h ec e n t e ra n dt h er e p r e s e n t a t i o n so fq u a n t u mg r o u p 虬g ，( 2 ) ) w h e nt h e qi sar o o to f u n i t y m o r e o v e r , w el e a dt ot h eo b j e c to f t h et h e s i s ：q u a n t u ma l g e b r au = ( 厂( k ，日) ) i nt h es e c o n dp a r t ，w el i s ts o m ew e l l k n o w nr e s u l t so n o u rq u a n t u mg r o u p ：u = ( s ( k ，日) ) i sa n a l g e b r ao v e rkg e n e r a t e db ys i xg e n e r a t o r sk ，k - l , h ，h - i , e ，fw i t h t h er e l a t i o n sk h = h k ，k k 一1 = k 一1 k ，h h 一1 = h 一1 h ，k e k 一1 = q 2 e ，k f k 一1 = q - 2 f ， h f h = 9 2 f ，h e h 一= g e ，【e ，f l = f ( k ，h ) ；u q ( 厂( k ，h ) ) a d m i t s ah o p fa l g e b r a s t r u c t u r e ( p r o p o s i t i o n2 2 ) ；w eh a v es o m ee q u a l i t i e so fo u rg e n e r a t o r sb yt h ei n d u c t i o n ( l e m m a 2 3 ，l e i n l n a2 4 ) ；u q ( f ( k ，h ) ) i san o e t h e r i a nd 。m a i nw i t hab a s i s e k 7 日l 叭，e z i nt h et h i r dp a r t ，w em a i n l yd i s c u s st h ec e n t e ro fq u a n t u mg r o u p ( t ( k ，日) ) ，t h em a i n c o n c l u s i o n sa r e ： l e m m a3 1 e 。，f e , k 。，k ，h e , n - - e $ c ；b e l o n g st ot h ec e n t e ro fu q ( f ( k ，日) ) ，w h e r e d e n o t e st h eq u a n t u mc a s i m i re l e m e n t l e t 嘭b et h es u b a l g e r b ao fu e ( f ( k ，h ) ) o fa l le l e m e n t sc o m m u t i n gw i t h k t h e n w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： l e m m a 3 2 瞄= p e , f ，l i ，n ，f 一= e ，z ) ，其q up , k k ，h ，- 1 何叫 l e m m a3 3 w ed e n o t e u 0 = e 。f k 日k 蹦e z t h e n u 。0 = ( q k 5 日 j ，z ，i n ) w l e m m a3 4 t h ec e n t e r z ( u ) o fui sas u b a l g e b r ao fu 9 ( 厂( k ，s - s ) ) g e n e r a t e db yt h e e l e m e n t se ，f e ，a n d z ( u ) c t u q o f i n a l l y , w ea r r i v e da tt h i sa r t i c l et h e f i r s tm a j o rc o n c l u s i o n ： t h e o r e m3 5 t h ec e n t e rz ( v 1i sas u b a l g e b r ag e n e r a t e db ye e , f e , k e , k ，h 8 ，h ， 董文娟：量子群( ( k ，h ) ) 的中心及其表示 k h 5 c q f o rs n i nt h ef o u r t h ，w eb e g i nw i t ht h ec o n c e p to fw e i g h tv e c t o r , a n dt h e ng i v et h ec l a s s i f i c a t i o no f s i m p l em o d u l e s f i r s to fa l l ，w ed i s c u s st h e ( ( k ，) ) 一m o d u l e sw h o s ed i m e n s i o ni sl e s st h a n e ，a n d p r o v et h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： p r o p o s i t i o n4 2 l e tvb eau ( s ( k ，日) ) 一m o d u l ew i t hd i m e n s i o nd + l p t h e n ( 1 ) vc o n t a i n sah i g h e s tw e i g h tv e c t o r ( 2 ) t h ea c t i o n si n d u c e db yea n dfo nva r en i l p o t e n t l e m m a4 3 l e t ，b eah i g h e s tw e i g h tv e c t o rw i t hw e i g h t g ，b ) s e tv o = va n d 1 ，卢= f p ，f o rp o t h e nk v p = 9 。2 a v ，嘶= 9 2 b v p ，f v p = v d + 1 ，e v d = 厶：( a ，6 ) 1 ，川 l e m m a4 4 l e tvb eaf i n i t e d i m e n s i o n a lu ( 厂( k ，日) ) 一m o d u l eg e n e r a t e db yah i g h e s t w e i g h tv e c t o r ，w i t hw e i g h t ( 口，6 ) ，d i m v = d + l e t h e n ( 1 ) t h ew e i g h t ( 口，b ) s a t i s f i e st h ee q u a t i o n 厂( 州) a 6 ) = o ( 2 ) a n yo t h e rh i g h e s tw e i g h tv e c t o ri n vi sas c a l a rm u l t i p l eo fv ( 3 ) vi ss i m p l eg q ( f ( k ，日) ) 一m o d u l e n o ww ec a ne a s i l yc o m et ot h ef i r s tm a i nc o n c l u s i o ni nt h i sp a r t ： t h e o r e m4 5 l e tvb eaf i n i t e d i m e n s i o n a lu q ( 厂( k ，) ) 一m o d u l ew i t hd i m e n s i o n d + l p t h e nt h e r ee x i s t s 口，6 ks u c ht h a tvi si s o m o r p h i s mt o 圪a d ，w h e r e 圪6 ，d i s s i m p l e 虬( s ( k ，日) ) - m o d u l ew i t hd i m e n s i o n d + 1 n e x t ，w ec o n s i d e rt h es i m p l em o d u l ew i t hd i m e n s i o nl a r g e rt h a ne ，w ep r o o ft h es i m p l e m o d u l ew i t hd i m e n s i o nl a r g e rt h a ned o e sn o te x i s t ，t h a ti s ： t h e o r e m4 6 t h e r ei sn os i m p l eu 9 ( ( k ，日) ) - m o d u l ew i t hd i m e n s i o nm o r et h a n e f i n a l l yw eh a v et h ec l a s s i f i c a t i o no fs i m p l e - m o d u l e sw i t hd i m e n s i o n e ： t h e o r e m4 7 l e tvb eav e c t o rs p a c ew i t hd i m v = e ，a n dw i t hb a s i s v 0v l ，v 纠 t h e nvh a ss i m p l eu m o d u l es t r u c t u r e sw i t ht h r e et y p e sd e t e r m i n e db yt h ef o l l o w s ： ( i ) f i x i n gs c a l a r s 口，b 0 ，兄k ， 地= 钾叫v ， e v 协。= 6 曰2 - 。， f0 ，i = 0 ， 2 k ) ( 口，6 ) v h ，o f 纠 nh 。， 2 t 饥 扬州大学硕士学位论文 0 i e 一1 ， f = e 1 ( i i ) f i x i n gs c a l a r s 口，b 0 ，旯k k v i = 凹2 。e ，地= b q 吒i v ， 乳i o ， i ：0 ， 5 h 小帆，o i s e u = 甍： 0 i e 一1 ， f = e 一1 ( i i i ) f i x i n gs c a l a r so r b o ，兄，彳7 尼， k v , = a q 一2 v ，吨= 幻2 v ， f 见7 匕_ l ， 耻渺( 圳， 凡：j ， 【v ，+ 1 ， f = p 一1 ， o f e 一1 f = 0 ， 0 f e 1 6 t h e o r e m4 8 l e tvb eas i m p l eu - m o d u l ew i t hd i mv = e t h e nvi si s o m o r p h i ct o o n eo ft h es i m p l em o d u l e sl i s t e da b o v e k e yw o r d s ：q u a n t u mg r o u p ；c e n t e r ；s i m p l er e p r e s e n t a t i o n 董文娟：量子群( j ( k ，) ) 的中心及其表示 2 9 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：互久娟 签字日期： 叩年岁月多pe l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，1 1 1 1 学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：翌夫均 签字日期： d 7 年厂月加日 导师签名： 孝参三代 签字日期： 7 年易月彩日 f 本页为学位论文末页。如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明。) 董文娟：量子群( f ( k ，日) ) 的中心及其表示 7 一引言 量子群是近代代数学研究的一个重要分支，其理论吸引了许多数学家和物理学家的注 意( 参见文献 1 、 2 、 3 ) 而有限维单李代数5 ，( 2 ) 的量子化包络代数是研究一般量子化 包络代数的基本内容，它的代数结构最早是由k u l i s h 和r e s s h e t i k h i n 4 在1 9 8 3 年引进的， 其h o p f 代数结构由s k l y a n i n 5 z e1 9 8 5 年给出c k a s s e li s m 绍tu 。g z ( 2 ) ) 的相关结果 ( 具体参见文献 6 ) 其后d r i n f e l d 7 和j i m b o 8 分别独立推广了此种结构到任意有限维 单李代数g 的量子化包络代数u q ( g ) 随后，j o s e p h ( 参见文献 9 、 1 0 ) 等从环论的角度研 究了u 。 ) 的结构，l u s z t i g 1 1 ，r o s s o 1 2 a n d e r s o n 1 3 等研究了u q ( g ) 的表示理论 最近，s m i t h 143 等学者引进了s l ( 2 ) 的新的量子变形u = u q 杪伍) ) ( 其中厂伍) = 口k m k - m ) ，口0 ，脚n ) 并研究了其相关理论2 0 0 0 年王顶国等教授 1 5 研究了量子 群讥u 伍) ) 的h o p f 代数结构及其有限维表示，随后在此基础上得到了量子群 u q ( ( k ，日) ) ( 其中厂( k ，日) ：笙k 何，k ，日，k - t , h i ) 的财代数结构及其中心 和有限维表示 1 6 由定义我们知道u q ( 厂( k ，日) ) 是由生成子k ，h ，k ，日，e ，f 及关系式 k h = h k ，k k = k k = 1 ，册= h 1 h = 1 ，k e k = 9 2 e ，k f k = g f ，h e h = q - 2 e ， 且附= 9 2 ，【e ，f 】= 厂( k ，日) 确定的七一代数事实上，这个代数是b a v u l a 和j o r d a n 意义 下的w e y l 代数( 参见文献 1 7 ) 此外，量子群( f ( k ，) ) 可以自然的看做是d r i n f e l d d o u b l eu q ( s t ( 2 ) ) 的一个推广 k a s s e l 在文献 6 中详细介绍了当g 是p 次本原单位根时，量子包络代数u g ，( 2 ”的中 心及表示本文正是在此基础上，充分利用单李代数j ，( 2 ) 的新的量子变形( f ( k ，日) ) 表 示理论的基本结论以及u ，g z ( 2 ) ) 与u 。( 厂( k ，日) ) 之间的相似之处得到了当q 是e 次本原单 位根时，量子群u ，( 厂( k ，日) ) 的中心及单模的分类 本文恒设k 是特征为零的代数闭域，文中引用的一些结论和记号均参见文献 6 ，在此 不再赘言 扬州大学硕士学位论文8 二预备知识 在本文中我们恒设q 是e 次本原单位根，e 是奇数，k 是特征为零的代数闭域 下面简单给出量子群( 厂( k ，日) ) 的定义及其喇代数结构，具体内容可见参考文 献 1 6 定义2 1 对于任意l a u r e n t 多项式s ( k ，h ) ，量子群u = ( 厂( k ，h ) ) 是由 k ，h ，k 一，h ，e ，f 生成的k 代数且满足下列关系式： k h = h k ，k k 一1 = k 一1 k = 1 ，h h 一1 = h 一1 h = 1 ， k e k = q 2 e ，k f k = g 一2 f ， h e h 一= q - 2 e ，h f h = 9 2 尸， 【e ，f 】：f ( k ，日) ，j g ：d p i ( k ，日) ：羔气k 日，七 k ，h ，k ，h 一， 命题2 2 设i ( k ，h ) k ，h ，k - i , h 一1 是一个非零的l a u r e n f 多项式则量子群 u = u q ( f ( k ，日) ) 具有唯一的h o p f 代数结构，且h o p f 代数结构由如下形式确定： k ，h ，k - i , h 一是群样元，e ，f 是s k e w 本原元当且仅当s k ，h ) = a ( k ”h ”一k “”) ， 其e e a 尼，m ，刀，m ，n z 具体地，此时h o p f 代数结构满足下列关系式： ( k ) = k 圆k ，( k - 1 ) = k 。1 固k 一， ( 日) = 何o h ，( 何一1 ) = 日_ ， a ( e 、= k s h t 圆e + e 圆k p h q ， ( ，) = k 叫h 一一 f + ，圆k h 一， 占( k ) = 占( k 。1 ) = 1 ，占( ) = 占( 何。) = l ， 占( e ) = 占( ，) = 0 ， s ( k ) = k ，s ( x 。1 ) = k ， s ( h ) = ，s ( 日一) = 日， 董文娟：量子群( ( k ，何) ) 的中心及其表示 9 s ( e ) = 一k 。h 叫e k 叩h ， s ( f 1 = - k 卢h 9 。f k ，日。， 其中p ，g ，s ，f ，p ，q ，57 ，t z ，m = m 一胛= m 一玎7 = p + f - q j ， s - t = s 1 - t 1 p q = p 1 一q i 利用数学归纳法，我们容易证明下述等式 引理2 3 对任意的m 0 ，以z ，我们有 e ”k ”= q - 2 m n k ”e 4 ，f ”k ”= q 2 m n k ”f ”， e ”h ”= q 2 r ”, h ”e 聊，f ”h ”= q - 2 ”n 日”f ” 下面我们介绍一些记号对任意的l a u r e n t 多项式g ( k ，h ) = 如下记号，其中j ，m n g 小( k ，日) ：笙g z 叫k 一日， l ，j = 一n t j = n ) ( k ，日) = ( 聊) 一- j ) a u k i 日7 ， f ，= 一n a , j k ，我们规定 g - ( ( k ，日) = q - 2 , g - j ) k h n ， f ，2 1 j = 一n t , j = n g 巾) ( k ，h ) = ( m ) 。- 2 ( 叫) a , j k h ， 1 ，= 一n 州聊b 卜沪蒂m 珊圹万1 - q - 2 , ( , - j ) 特别地，当m = e 时，因为g 。= 1 ，我们有 “础) = 。i ，善, j = n ( 叫，l 幻, , 艺酬n1 - 叫q 2 e ( , - 万j ) a , j k h 舢蜘， 工( 。) ( k ，h ) = ( e ) 。：( 叫) 7 = 一。、万k 。日。= o ， 酬驯= 黔l , j = n 舯冯舢= t , 萋j = n q -i , jn 鬻班w = 。 厂( 。( k ，) = ( e 舯) k h = 等j 可万k h 7 = o f - 一 = 一 1 呵 引理2 4 对任意的m20 ，我们有 e ，f ” = f ”- l f _ ( 。) ( k ，) = f ( 。) ( 尺，h ) f ”1 ， e r a , f 3 = e m - 1 工( 。) ( k ，h ) = f - ( 。) ( k ，h ) e ”1 笙刚 扬州大学硕士学位论文 1 0 注意到u ( ( k ，日) ) 是可由k ，h ，k - l , 日一1 经过两次0 r e 扩张得到的，因此我们有 如下关于u 。( 厂( k ，h ) ) 的环论性质( 参见文献 1 6 ) ： 命题2 5 量子群u ，( 厂( k ，h ) ) c 兰n o e t h p ，i a n 整环且具有基 e 。f k 。h l 。m 脚 董文娟：量子群( f ( k ，h ) ) 的中心及其表示 三量子群u q ( f ( k ，日) ) 的中心 本文中，我们规定【，。( ( k ，h ) ) 的定义中的l a u r e n t 多项j i c f ( k ，日) = a , j k 吲h k ，h ，k - , h 。1 ，n ， 满足以下条件：当 i - j l = e l ，z 时，k h 的系数为零 这一部分我们主要讨论量子群( s ( k ，日) ) 的中心首先给出一些记号对上述的 l a u r e n t 多项式，我们定义： 觯垆警赤玑郫妒警南旷 记c q ( s ( k ，) ) = e f + q ( k ，h ) = f e + f q - ( k ，h ) 是量子群( 厂( k ，) ) c a s i m i ， 元素下面把q ( f ( k ，日) ) 简单记作q ，u = ( s ( k ，日) ) 的中心记作z ( u ) 则我们有如 下引理： 引理3 1 e 8 ，f 8 ，k e , k ，日8 ，- - ec q 属于u q ( f ( k ，日) ) 的中心 证明要证e 。属于z ( u ) ，只需证旷与u q ( f ( k ，) ) 的生成元可交换， - k e 8 = 9 2 2 e 8 k = e 。k ，k 一e = q - 2 e 8 k = e k 一，h e 2 = g 一2 2 e 。h = e 。日， h - i e 。= 9 2 。e 8 h 一= e e h ，髓。= e 8 f e ”1 ( 。) ( k ，h ) = e 8 f ， ，e 8 属于z ( 【，) 同理可证得f 2 ，k 。，k 一，h 8 ，h 1 属于z ( u ) 因为k c 。= k e f + k f q ( k ，h ) = e f k + f 7 ( k ，h ) k = c q k ， h c q = h e f + h f q + ( k ，h ) = 剧珥+ 片( k ，h ) h = q ，以及 e c q 。e f e + 善j 高q 脒 ， 1 呵 = ( 肼+ 荨i q - 2 0 而- d 班 卜 = ( 盯+ 石( k ，) ) e = c q e ， 所以g 属于z ( u ) f c q f e f + 荨南q 瞅w = f e + 荨q 2 ( , - 巧j ) 啦w 卜 = ( 甩+ 石( k ，h ) ) e = c q f ， 扬少i , i 大学硕士学位论文 设嘭是( ( k ，日) ) 中所有与k 可交换的元素的集合 引理3 2 嘭= p e , f l i ，n ，i 一= p ，z ，其中只k k ，h ，k - i , h 1j 证明我们知道 占k 。h ，强e 刚水z 是u q ( f ( k ，日) ) 的一组基， 从而x 可写成a i g 扣e k 。h 7 f 若z 嘭，贝l j k x = x k ， f ，j ，f ， 即k x = q 挣k e i k7 h f 。= a v t ，q 2 ( 叫e k7 h f 7 k = x k ， 1 j ，1 ，rl ，j 1 r 注意到q 2 卜。= 1 ，则p 整除2 ( i 一) ，所以p 整除z 一， f 一= e l ，z ，从而z = e 。p ，j | i - j = e 1 引理3 3 记叼= e f k 5 日) ，。n j 蹦。z 则叼= ( q k 5 日l s ，f z ，i n ) 嘭 1 2 证明一方面，对任意x 嵋，因为q = e f + f q ( k ，日) z p ) ，利用数学归纳法我们有 x = 小 ，e 川fk h = u e 1 ( e f ) f 一kh = u e 。1 ( c q - f ；( k ，日) ) f 卜k 7 = a 州e ”1 f 1 ( c q 一九石( k ，日) ) k 5 h = ，口e 2 f 2 ( c q 一五片( k ，日) ) ( q 一凡石( k ，h ) ) k 5 h = = u ，a u ，e f ( c q 一五一：7 ( k ，日) ) ( c g 一五万( k ，) ) k 5 h = a l “( c q - f ；( k ，) ) ( q 一- 2 厅( k ，) ) ( q 一凡片( k ，日) ) k 5 h 。 = z i ，k 5 , $ = 抽, 。i 钆a i s 。t f ( c ，qk。(qkhqk h 5 日s ，f z , i n ) ，其中以k 另一方面，v 石( q k 5 h 1 5 ，f z ，i n ) ， x = 一。q k ”日”= ，。q 。( 肝+ 片( k ，h ) ) 。k ”h ” = c ( e f ) 7 ( 石( k ，厅) ) 。k h ” = 帆。( e r ) 。k ”一h u 。o 引理3 4 z ( u ) 是由。，f 8 及z ( u ) o u ? 生成的的子代数 董文娟：量子群( ( x ，h ) ) 的中心及其表示 1 3 证明设a 是由e ，f 。及z ( u ) n 叼生成的子代数一方面，acz ( u ) 显然成立 另一方面，v x z ( u ) ，x = e p , f 7 = e j + 。t p , f 7 = j ni , j c n ，f e z e 8 z ( u ) ，e j p , f 。z ( v ) n v o ，从而x a i , j f i n e “e j p j f ， 一一 。 i , j c n 1 e z 定理3 5 z ( u ) 是由旷，f ek 。，定一，h e 日一，k 5 h 5 ，q 生成的子代数，其中s en 证明设b 是由e 。，尸。，k ek - - e ，日2 ，日一，k 5 h 5 ，q 生成的子代数，一方面bcz ( v ) 显 然成立，另一方面，要证z ( u ) cb ，即要证彳cb ，即要证z ( u ) n v ocb v x z ( v ) n 叼，x = k h q i ，由e x = x e ，得q - 2 s + 2 t k 5 h q e = k 5 何q e ， 严一5 l1 ，e 整除2 ( s f ) ，j t = e l ，lez ， z ：y k 5 h “引c ：y k 5 h 5 h 8 c 。召 _ 一4 j4 扬州i 大学硕士学位论文1 4 四量子群u q ( f ( k ，日) ) 的单表示 这一部分，我们讨论当q 是e 次本原单位根时u = ( s ( k ，s s ) ) 的单模的分类，主要是 根据维数对单u 一模进行分类首先回忆一下权和权向量的定义 定义4 1 设矿是( f ( k ，) ) 模，口，b 是纯量若v 中的非零向量v 满足下面的等式： k 1 ，= a v ，h v = b v ，则称v 是权为( 口，b ) 的权向量 若还有e v = 0 ( f v = o ) ，则称v 是权为( 口，b ) 的最高权向量( 最低权向量) 若v 是由 一个最高权向量生成的，则称矿是最高权模 命题4 2 设是( ( k ，日) ) 模，d i mv = 刀+ 1 p 则 ( 1 ) 矿中一定存在最高权向量 ( 2 ) e ，f 作用在矿上是幂零的 证明：( 1 ) 因为k 是代数闭域，f 4k ，日作用可交换，所以k ，h 的作用存在权为( 口，b ) 的 权向量v 0 ，即k v = 洲，h 1 ，= b v ，若e 1 ，= 0 ，即证 若e 1 ，0 ，考虑向量序列：v ，e v ，e 2 v ，e 州y ， 若e 7 v o ，0 isd + l ，贝0k e v = q 2 , a e ，h e 。v = q - 2 b e v ， 即e v 是权为( q 2 1 口，q 2 6 ) 的权向量 当i ，o i ，d + l p 时，若g 丑= q ，贝0 9 2 0 一) = 1 ，e 1 2 ( i 一) 因为e 为奇数，所以e ( i 一) ，注意到一p i - j e ，故有f 从而q 2 a q 2 j a ，9 2 6 9 2 。6 所以v ，e v ，e 2 1 ，ed + 1 v 是v 的权向量，从而 v ，e y ，e 2 v ，e “1 v 线性无关，则d i mv 至少为d + 2 ，矛盾 取o f d + 1 使得e 1 v o ，e 。v = o ，i ) t je 。v 是权为( 9 2 口，q 屯j 6 ) 的权向量 由d i m v = d + 1 可知i = d + 1 ，即e “1 v = 0 ，所以e d v 是矿的最高权向量 ( 2 ) 下面只证e 作用在矿上是幂零的，即要证e 的特征值全为零否则，可设旯是e 的非 零的特征值，相应的特征向量为v ，即e v = 旯v 考虑向量序列v ，k v ，k 州v ，因为e ( k 。v - - q 埘2 k ，o i d + l ，所以k v 是e 董文娟：量子群u 。( r ( k ，日1 1 的中心及其表示 1 5 _ 二一一一 的属于特征值为q - 2 | 2 的特征向量，因为1 0 ，g 是f 次本原单位根且p 是奇数，所以当f 时，g 埘1 q - 2 j 兄，o f ，j d + 1 从而1 ，勋，kd + 1 1 ，线性无关，这_ - qv 的维数小于e 矛盾， 所以e 的特征值全为零 引理4 3 设v 是y 的一个最高权向量且最高权为( 口，6 ) 记= v ，= f p v ，砌0 则 k v p 2 q - 2 a v 卢， h v p = 枣t b v p ， f v 户= + 1 ， e v 户= 厂( p i ( a ，6 ) v p 卅 证明我们只证最后一个等式事实上，由引理2 4 可知口卢= ，p e + 厂( p ) ( k ，日) ， 故有： e v p 2 e f ，v o2 f 卢e v o + f p l 厂( p ) ( k ，日) = o + 厶p ) ( 口，b ) f 川= 厂( p ) a ，b ) v p 为j 给出维数小于p 的有限维的单( f ( k ，日) ) 模，我们假设l a u r e n t 多项式( k ，h ) 满足下面的条件：对小于e 的自然数d ，若( 口，6 ) 是等式厂( d ) ( 口，6 ) = o 的根，那么对任意的 p d ，厶尸) ( 吼6 ) 0 如果令f ( k ，) = k “何”- k 1 。日- n ，其中脚，殇聊，心z ，m = 聊一，2 = m7 疗，m e 1 则 可证得f ( k ，日) 满足上述条件，证明如下： 因为一。) ( 口，6 ) = ( 嘎z 卜，a m b ”一( 嘎种，a - “ b “ = 而1 - q - 2 d ( r n - n ) 口桫一鬻口刊矿 = 莘扔”一莘口州旷 = 丽1 - - q 2 d m ( q - ： j t ( a - o a b - a - b - ) ， f - i # ) ( 日，6 ) = 0 ， 由m e l 知q - 2 m ( d 一1 ) 口”b ”一a - m b 一月= 0 ，即g 2 m ( d 一1 ) 口m + 一6 一+ 一：i 一一 扬州大学硕士学位论文1 6 一一_ 一一 假设对任意的p d ，厶，) ( 吼b ) - 0 ，即q - 2 m ( p - 1 ) 口”州b = 1 ，令d p = j ，j n ，则 q - 2 知 ( p - o a m + m b