（应用数学专业论文）一维及二维斜积映射的srb测度.pdf

一维及二维斜积映射的s r b 测度中文摘要 一维及二维斜积映射的s r b 测度 摘要 考虑g 1 斜积映射，：s 1 【o ，1 】_ s 1 【0 ，1 】，( r ，s ) = ( 3 r 仇o d1 ， ( s ) ) ，令d r ，凼分 别是s 1 ， o ，1 】上的勒贝格测度则s 1 【0 ，1 】上的勒贝格测度l e b = d r 缸记p o 是 s 1 o ) 的勒贝格测度，p 1 是s 1 t 1 ) 的勒贝格测度 伽，p 1 显然是，的不变遍历 测度 假设，满足如下条件： 令7 s 1 ，对每个s 【0 ，1 】，o id ，r ( s ) i 3 ，r ( o ) = o ，r ( 1 ) = 1 这里d ，r ( s ) 是对s 【0 ，1 】的导数 抽= b - l o gd ，r ( o ) ld r o ；a 1 = b - 1 0 9ld ，r ( 1 ) id r o 显然o ，是映射s 1 _ s 1 ，rh 3 rm d d1 的不动点，则( o ，o ) ，( o ，1 ) ，( ，o ) ，( ，1 ) 是 ，的不动点 假设，0 ，昙在( o ，1 ) 中不存在不动点，并且( ，0 一i d ) i ( o ，1 ) o ； d 而( o ) 1 ；d ， ( 1 ) 1 则脚和p 1 是，所有的s r b 测度并且满足 l e b ( b ( ) u b 似1 ) ) = 1 ， 并且 b ( 伽) = s 1 【0 ，1 】，b ( p 1 ) = s 1 【0 ，1 】 这里b ( 枷) 和b ( p 1 ) 分别是枷和p l 的吸引盆 k 壮对具体的g 2 函数，( r ，s ) = ( 3 r ，s + c o s ( 2 丌r ) ( 壶) ( 1 一s ) ) ，证明了上述结论是成立 的b o n a t t i 在晨兴数学中心的讲稿中证明了：如果上述函数是c 2 的，则结论也是成 立的我们这篇文章是对b o n a t t i 的结论的扩充 b o n a t t i 的证明关键是由伊条件保证有界形变定理的成立，从而找到一个局部稳 定流形在本文中，对c 1 函数，我们应用p h 路引理保证了局部稳定流形的存在性 从而得到了文章的结论 一维及二维斜积映射的s r b 测度中文摘要 关键词：s r b 测度；吸引子；双曲时间；李亚普诺夫指数 i i 作者：张绪玲 指导教师：张勇 s i 国m e 嬲u r 鹤o fn o n u n i f o 珊l ye ) 【p a n d i n gm a p p i n g sa n dd k e w p r o d u c tm a p p i n 留 a b s t r a c t s r bm e a s u r e so fn o n - u n i f o r m l ye x p a n d i n gm 印p i n g so n1 5 1 1a n d s k e w p r o d u c tm a p p i n g so ns 1 ， a b s t r a c t c o n s i d e r c ls k e w p r o d u c t m a p p i n g ，：s l x 【0 ，1 】_ s 1 【o ，1 】，( 7 - ，s ) = ( 3 r 仇d d l ，r ( 8 ) ) l e t u 8 d e n o t e b yd r 衄dd 8 t h e i 曲鹊g u e m e 粥1 1 r e o n s l 龃d 【o ，1 】t h e n t h e l e b e s g l l e m e 硒u r e o ns 1 【o ，1 】i sl e b = d r d s n o t i c et h a t 肛oi 8t h el e b 髑g u em e 鹄l l r eo ns 1 o 】- ，8 n d p li st h ei 七b 船g u em e 蠲1 1 r eo ns 1 1 ) n a t u r a i i y ，p oa _ n dp 1a r et h e ，一i n v a r i a n te r g o d i c m e 弱u r e s o f ， w ba 船珊舱，s a t 虹沮箦t h ef 0 1 gh y p o t h 骼： i 砒r s 1 ，f o r 哪，s 【0 ，1 】，o id ( s ) l 3 ， ( o ) = o ， ( 1 ) = 1 h e r e ，d ( s ) i s t h ed e r i v a t eo f8 觚d 占【0 ，1 】 知= 厶，l o gjd ，r ( o ) j 打 o ；a 1 = b ，l o gjd 矗( 1 ) i 打 o n o t i c et h a to 衄d 缸et h e 丘x e dp i 伽惦o fs 1 _ s 1 ，rh3 rm d d 1 工i h e n ( o ，o ) ，( o ，1 ) ， ( ，o ) ，( ，1 ) a r et h e 丘) 【e dp i o n t 80 f ， w e 锻衄e t h a t ，o 觚d ，一a v en o 缸e dp i o n t 8i n ( o ，1 ) ，趾d ( ，0 一硎( o ，1 ) o ；d ，0 ( o ) o 换句话说，口( p o ) ，b ( p 1 ) 是交织 在一起的b o n a t t i 在展兴数学中心的讲稿中证明了：如果上述函数是c 2 的，则结论 也是成立的在本文的第二部分，我们对b o n a t t i 的结论的进行了扩充证明了在c 1 的情况下，b o n a t t i 的结论也是成立的 在介绍本篇文章之前，首先介绍一下文章中用到的一个重要结论p l i s s 引理的历 史背景p l i 蹈引理及其导出概念双曲时间在本篇文章中起到了不可或缺的作用 p l i 姆在证明如下定理时引入了著名的p u 鹧引理 定理1 1 假设m 为紧致无边流形，为m 上的c 1 星号微分同胚，则，至多有有限 多个吸引或排斥的周期轨 称，d 赶( m ) 是星号微分同胚，如果存在，的d 1 邻域甜d i 行( m ) ，使得每个9 “ 都没有非双曲周期点记p 是m 上所有星号微分同胚组成的集合 定理的证明概要如下：首先星号微分同胚具有如下基本性质 定理1 2 假设，尹，则存在，的g 1 邻域“d i f f ( m ) ，m n ，o a 1 ，使得对每个 夕甜，每个9 的吸引周期点p j 如果其周期点，r 0 ) 大于m ，则 【掣卜l i id 夕仉( 矿”( p ) ) i i c a 【掣】 现在可推广上述结果于p l i 鹤引理( 微分同胚形式) 引理1 1 假设，d 近( m ) ，o 入 a 1 ，如果存在正整数= ( a ，a 1 ，) ，c = c ( 入，a 1 ，) ( o ，1 ) ，使得对每个z m ，孔，满足 n l od ，( ，( z ) ) l i ， t = 0 则存在o n 1 n 2 川n ，使得对每个歹= 1 i 一1 ，七= 唧+ 1 唧，有 七一1 0d ，( ，0 ) ) i i 入：一唧， ( 2 ) i = 7 b 并且i c n 2 一维及二维斜积映射的s r b 测度 第一章引言 有了如下准备，p l i s s 用反证法来证明定理1 1 如果有无穷多个吸引的周期点，易 见其周期无界对充分大周期的周期轨应用引理1 1 ，得到此周期轨上充分多满足( 2 ) 条件的时刻在此时刻处，稳定流形具有一致尺寸( 这是关键) 因此必定有两稳定流 形相交，这与稳定流形不应相交矛盾 利用类似的思想， k r e r k 猡0 l i v e i r a ，m a r c e l ov i a n a 【1 6 】证明了：假设紧致黎曼流形 上的c 1 局部微分同胚，满足熵可扩条件： ，四野1 0 9 吼( ，) o 的点处都有无穷多个双曲时间( 具体见后节的定义) ，这里 a 一( z ) 是z 点的李亚普诺夫指数进一步，对c 1 扣函数，双曲时间处具有有界形变性 质，这对s r b 测度的构造起到了至关重要的作用 文章的第二部分是对b o n a t t i 结论的扩充，即对c 1 函数，b o n a t t i 的结论也是对 的b o n a t t i 的证明关键是由俨条件保证动力系统具有界形变性质，从而找到个局 部稳定流形在本文中，对c 1 函数，我们应用p u 鹊引理保证了局部稳定流形的存在 性从而得到了文章的结论 3 一维及二维斜积映射的s r b 测度 第二章s 1 上s r b 制度的存在性 第二章s 1 上s r b 测度的存在性 在这篇文章的第一部分我们主要证明了以下定理： 定理2 1 令o 0 ，使得对每个z x ，a ( z ) 0 这里l e b 是铲上的勒 贝格概率测度， d ，( z ) 是一元函数导数 a - ( z ) = 啦腆三1 0 9 ld ，n ( z ) 1 n _ t l 一 则s 1 上存在s r b 测度p 这里的s r b 测度是指正的相对于l e b 绝对连续的不变遍历 测度 注2 1a ( z ) 称为z 点的李亚普诺夫指数 2 1 逆映射的正则性 令o 妒 l ，假设，：s 1 _ s 1 是c 1 + 。函数，d 是，的映射度，：r _ r 是，的提 升 丌：r 叶r z ，则显然，是一微分同胚，并且对每个z r ，扛+ 1 ) = 氕z ) + d ，记 g = i 下面证明对每个z ，3 r ，满足； d ( z ，y ) 1 ，则il o gid ，( z ) i 一1 0 9ld ，( 掣) l i ， 1 0 9d 夕( z ) i l o gld 9 ( 可) i j 具有相同的性质，即，的逆映射9 具有正则性 引理2 1 对每个z ，可r ，满足：d ( z ，y ) o ，使得 i1 0 9d ，( z ) l k ) gd ，( 毫，) i i c d ( z ，y ) 8 ， il o gid 夕( z ) i l o gid 夕( y ) | i c 以z ，) 口 证 由于，是d 1 函数，是，的提升，因此对每个z ，y r ，d ( $ ，y ) 1 ，id 穴z ) 一 d ，( 可) i d ( z ，y ) 。故由拉格朗日中值定理知： 1 0 9d ，( z ) i l o gld ，( 9 ) i l o ，使得对每个z ，y r ，d ( z ，可) 1 ，s o ，则存在6 o ，占只与9 ，盯，e 有关，使得当z r ，正整数t o ，满足 id ( 。) l 盯一，i = 1 ， 时 ik ) gd 9 ( z ) i k ) gld 9 2 ( 暑) i i 对每个! ，陋一6 ，z + 司成立 5 一维及二维斜积映射的s r b 测度第二章s 1 上s r b 测度的存在性 证 首先， = 1 时，由引理的条件以及的9 定义可知：对每个可k 一6 ，z + 司， d ( z ，掣) 6 ，则 j1 0 9d 夕( z ) j k 唱id 9 ( y ) j l c d ( z ，可) 8 c j 9 ， 故只须令c 扩 e 即可保证结论成立 假设引理结论对i 【o t 1 ) 成立，下证对i = t 时也是成立的由于l o gd 矿( z ) l 一t l o g 口，并且 l o gd 9 ( 。) i l o gfd 9 。( 可) i i e ， 贝0l o gld ( 可) l 一i l o g 盯+ e 令o l o g 盯，贝0 l o g d 夕( z ) i 一i l o g 仃+ 主l o g 盯 一i l o g 从而由中值定理可知： d ( 9 ( z ) ，矿( 可) ) 、孑一。d ( z ，可) ， 则 t 一1 i1 0 9id g t ( z ) 卜l o gld 矿( 3 ，) i i il o gid 夕( ，( z ) ) l - 1 0 9i 仍( 夕( y ) ) i i t = 0 t l c d ( 矿( z ) ，( 3 f ) ) 9 = 0 t 一1 c ( ) 一d ( 删) 。 t = 0 1 ，则矛 o ，使得j ；，c 扩矛 o ，存在6 o ，使得当t 是z 点 的盯一双曲时间，对每个f ，7 【户( z ) 一6 ，户( z ) + 司，有 il o g 妒( 叩) 一1 0 9 妒 ) i c 矛d ( ，7 ，f ) 9 c l o ，记d = 舞，假设6 1 k 是一列实数，满足：对 每个i 1 n ) ，6 i a ，并且 k c 2 n i = 1 则存在整数i 砒，存在1 n 1 n l n ，使得对i = 1 ，2 ，z ，对凫= o ，1 ，啦 m b c l ( 啦一七) j = 七+ 1 证 对每个1 后n ，定义8 ( 七) = e ( b c 1 ) ，不妨设s ( o ) = o 由于墨 + 1b c l h 一七) ，故警七+ 1 ( 一c 1 ) o 故对每个o 七啦，s h ) s ( 七) 假设1 n 1 o 由8 h ) s ( 七) 可知； 眦 知 ( b c 1 ) ( b c 1 ) ， j = 1j = 1 即c 1 一七) t = 七+ 1 下面证明： l d n 由8 ( 七) 的定义可知：对每个1 i 2 ，s ( 眦一1 ) s ( 啦一1 ) ，即： s ( 啦) 一( b c 1 ) s ( 啦一1 ) ，从而 8 ( 啦) s ( 啦一1 ) + 一c 1 o ，入 o ，使得对每个z ， 有：a 一( z ) a 7 一维及二维斜积映射的s r b 测度第二章s 1 上s r b 测度的存在性 考虑yc ，l e b ( y ) = 卢 o ，并且存在n ，使得对每个”y ，n ，有： 击l o gd ，“( y ) i a 固定仃 1 ，使得o o ， 击l 。g d ，”( z ) i a ， 则 1 ，2 ，n ) 中至少有n a 个z 点的盯一双曲时间 证 令a = s u s ，1 0 90d ，( z ) 0 ，c 1 = l o g 盯，c 2 = a 则显然a c 2 c l o 令 叼= l o gld ，( 户- 1 ( z ) ) l ，则由丢l o gd r ( z ) i a 可知： nn 町= 1 0 9 ld ，( ，j 1 ( z ) ) i j = 1歹= 1 = 1 0 9d ，t i ( z ) i n 入= n c 2 ， 满足引理2 3 的条件，故由引理结论可知：存在整数z n ，1 n 1 o ，对每个z ，掣陋瓦( j + 1 ) 卅，e o ， il o g 妒i ( z ) 一1 0 9 a ( 暑，) i e ， 1 0 9 蛾( z ) 一1 0 9 慨( y ) l o ，l o g 西是( c ，口) 一h 6 l d 钉连续函数，并且 l o g 蟊( z ) 一1 0 9 诹( g ) i 令尼z ，并且满足【j j ，( 七+ 1 ) 司c8 u p p ( 仇) ，则 r 一1 ( 【七6 ，( 七+ 1 ) 司) ns u p p ( 而) = u 陬j j ，( k j + 1 ) 司， 从而 咖i 限j ，( 七+ 1 ) 司= 蟊i 【b 6 ，( 码+ 1 ) 司 因此对刍蕈个z ，y 【忌石，( 七+ 1 ) 司， 也( 引一西( 巧) 西( 吻) 一= - - - - - - - = 一、- - - 一 a ( 可) 仇( 珊) 2 西( 始) 其中巧【b 瓦( 吻+ 1 ) 司，并且丌( 巧) = z ，丌( 蚴) = z 则 fk 悟如( z ) 一i o g t ( 耖) l s u pi1 0 9 如( z ) 一l o g a ( y ) i c d ( z ，! ，) 8 o 一维及二维斜积映射的s r b 测度第二章s 1 上s r b 测度的存在性 证由j ； 的定义可知： 1 d 厩l e b ( z y ：i 是z 处的口一双曲时间】i ) 并且- 厂1 螈= ，1 咖因此 - = 去萎咖 y ：i 是z 处的盯一双曲时间) ) 考虑集合【( z ，i ) y o n 一1 ) ) 以及测度m n ：l e b 鲁莹氏，其中魂是 母上 t = 0 的狄拉克测度由f 1 u b i n i 定理可得： 1 “( 【( z ，i ) ：z ei 是z 处的盯一双曲时间) ) = 上去吣【。n 一1 ) ：i 是z 处的盯一双曲时间) 由y 的定义以及推论2 2 知：对每个z y ，存在，使得n 时， o n 一1 ) 中至少有n 口个z 点的仃一双曲时间从而- 厂1 杀n 口- 卢= 卵 口 由于s 1 紧，故存在序列【k ) ，使得，在弱拓扑下收敛，即_ ，y ，_ ， 并且是不变测度，7 是正测度并且由上述引理可知：厂1 卸口p 引理2 67 的支撑集是u 【七6 ，( 七+ 1 ) 司，后z ，并且，y 相对于l e b 是绝对连续的即存 在正函数妒，使得1 = 矽l e b 给定e o ，对每个【j j ，( 七+ 1 ) 卅cs u p pn 夕，z ，可【七正( 七十1 ) 司，l o g 妒i 【七6 ，( 七+ 1 ) 司 是( c ，口) 一h i j l d e r 连续函数，并且 l1 0 9 砂( z ) 一l o g 妒( 可) i o ，存在n ，使得当n 时， l1 0 9 诹( z ) 一l o g 妒( z ) i o ，则对每个z ，可【她( 七+ 1 ) 司， l o g 妒( z ) 一l o g 妒( 掣) l ll o g 妒( 。) 一l o g 他( z ) i + ll o g 妒( 可) 一l o g 讥( 3 ，) i + il o g 砒( z ) 一l o g 也( 可) i 2 s o + c d ( z ，y ) 9 a ，因此 当n o o ，产【z 一正z + 卅的长度： 粤( ，n 陆一6 ，z + 司) 呻 故对足够大的n ， 7 r ( ，h 陋一正z + 司) = s 1 ， 即l e b ( u 鲁o ，n ( y ) ) = 1 推论2 3l e b ( z s 1 ：a 一( z ) 0 ) = 0 口 推论2 4 对每个蜀，恐cs 1 ，满足：l e b ( x 1 ) o ，l e b ( 托) o ，则存在n n ，使得 l e b ( ，n ( 噩) n 恐) 0 证由上面的推论可知：对勒贝格几乎处处的。x 1 ，a 一( z ) o 则用x l 代替x ，则 由上述引理可得：l e b ( u 甚o ，n ( 孔) ) = 1 从而存在n n ，使得l e b ( ，n ( x 1 ) n 咒) o 口 定理2 3 的证明：只需要证明对每个咒，恐cs 1 ，满足( 溉) o ，n ( 恐) o ，存在 n n ，使得 观( ，n ( x 1 ) n 拖) o 反证假设对所有的n o ，n ( p ( 墨) n 拖) = o 令危= 托，”( x 1 ) ，则n ( 盅) = n ( 恐) o ，并且，”( 墨) n 盅= d 但是由于n 是绝对连续测度，因此l e b ( 墨) o ， l e b ( 危) o ，故由推论2 4 可知t 存在n n ，使得l e b ( ，“( 孔) n 盅) o ，与，”( 墨) n 宠 = 0 矛盾，因此n 是遍历测度 唯一性的证明：只需要证明s u p p ( n ) = s 1 由7 和p 的定义以及引理2 6 可知： m = 妒l e b ，其中妒是正函数则对每个非空开集ucm ， m ( u ) = ( 妒l e b ) ( u ) = 上妒拥 。 即s u p p ( n ) = s 1 注2 5 以也称为s 1 上的，的唯一的s r b 测度 1 2 口 口 一维及二维斜积映射的s r b 测度 第二章s 1 上s r b 测度的存在性 2 6进一步的结果 本节的证明技巧有进一步的推广，我们列出其中两个： 定理2 4 假设，：s 1 _ s 1 是c 1 + 8 函数， xcs 1 是，的双曲集，并且l e b 伍) o ， 则：x = s 1 ，并且，是一致可扩函数 注2 6 这个结果对任何维数都是成立的 定理2 5 令q o ，假设m 是紧致流形，d 证1 + a ( m ) ，k 是，的闭的双曲集，满足 l e b ( k ) 0 ，则： ，是a n d s d t j 映射，并且k = m 一维及二维斜积映射的s r b 测度第三章s f u 3 测度：k a n 的构造 第三章s r b 测度：k a n 的构造 考虑c 1 斜积映射，：s 1 【0 ，l 】_ s 1 0 ，1 】，( r ，s ) = ( 3 rm d d1 ，r ( s ) ) ，令d r ，d s 分别是 s 1 ， o ，1 】上的勒贝格测度则s 1 【0 ，1 】上的勒贝格测度l e b = d r d s 假设，满足下列条件： 令r s 1 ，对每个s o ，1 】，o fd ，r ( s ) i 3 ， ( o ) = o ， ( 1 ) = 1 这里d ( s ) 是对 s 【0 ，1 】的导数玉( ，r ( s ) ) 知= b ，1 0 9d ，r ( o ) i 打 o ；a 1 = b - 1 0 9d ( 1 ) l 打 o 显然o ，是映射s 1 _ s 1 ，7 h3 rm d d1 的不动点，则( o ，o ) ，( o ，1 ) ，( ；，o ) ，( ，1 ) 是 ，的不动点 假设如，昙在( o ，1 ) 中不存在不动点，并且( ，0 一i d ) i ( o ，1 ) o ； d ，0 ( o ) o b ( 细) nb ( p 1 ) = d 回忆不变测度p 的吸引盆的定义：b ( p ) = _ 【u s 1x o ，1 】l ：寄吩t ( u ) _ p ) 注3 1 由于l e b ( j e i ( 伽) ub ( p 1 ) ) = 1 ，这表明加和p 1 是，所有的s r b 测度，并且 b ( 加) ，b ( p 1 ) 是交织在一起的 首先证明。加，p l 是s r b 测度由于是p o ，p l 是不变测度，因此只需要证明： l e b ( b ( 伽) ) 0 ；l e b ( b ( p 1 ) ) 0 3 1李亚普诺夫指数和稳定流形 首先介绍一些定义和记号 1 4 一维及二维斜积映射的s r b 测度第三章s r b 测度：k a n 的构造 定义3 1 对每个z = ( r ，s ) s 1 【0 ，1 】j 令 i 矿8 ( z ) = 【u s 1 【0 ，1 】：d ( ，n ( u ) ，n ( z ) ) ，o ，n ，o o 】， 称w 5 ( z ) 为，在z 点的稳定流形 注3 2 w ( z ) = u r ) 【0 ，1 】，u w 5 ( z ) ) 是 r ) 【0 ，1 】的一个子区间 由于，i s l o ) 一致扩张，邶是其唯一的船b 测度，因此几乎所有的z s 1 【o ) 是的正则点，即击寄吩t ( 霉) 弱收敛于加 记d c ，n 是，n 在垂直方向的导数，即d 。尸( r ，s ) = 裘，“( r ，s ) 注3 3 ，n ( r ，s ) = ( 3 n 7 ，知一，o o ，3 坤o o o ，r ( s ) ) ，则 t i 一1 d 。广( z ) = d ( 知一- ，。 ( s ) ) = d ，3 r ( 黾) ， t = 0 其中巩= ，3 ，( 巩一1 ) 定义3 2 对每个z s 1 【0 ，1 】，令 揖( z ) = u m s u p 考1 0 9d 。，n ( z ) n + ， 称揖( z ) 为z 点的中，d 李亚普诺夫指数 下面给出斜积空间上的盯一双曲时间的定义 定义3 3 给定盯 1 ，假设，：s 1 【0 ，1 】_ s 1 【o ，1 】，z s 1 【0 ，1 】，称，在z 处具有 c 一方向的盯一双曲时间，如果对每个n = o ，1 ，2 ， 成立 d 。，“( z ) i 盯一n 引理3 1 令盯 1 ，假设z s 1 【0 ，1 】，满足肆( z ) 一l o g 盯 0 ，有 id 。，n ( 广( z ) ) i 盯一n ， 即，( 。) 处具有c 一方向的口一双曲时间 1 5 一维及二维斜积映射的s r b 测度 第三章s r b 测度：k a n 的构造 证 由于洱( z ) 一1 0 9 盯 o ，故存在盯1 ，使得 a 晕( z ) 一l o g 盯1 一l o g 仃 由揖( z ) 的定义可知：存在n ，使得对每个n ， 1 0 9d 。，“( z ) i o 令叼= 一l o gid 。，( 户一1 ) ) i ，并且 n t l 叼= 一1 0 9d 。，( 户_ 1 0 ) ) i j = 1j = 1 = 一1 0 9ld 。，“( z ) l n l o g 仃1 = n c 2 ， 满足p l i 踣引理的条件，故由引理结论可知：存在正整数1 i n ，使得对每个 1 七i ， 叼=l o gd 。，( 户_ 1 ( z ) ) i ，= 知+ 1歹= 七+ 1 = 一k i gd 。，一七( ，七( z ) ) i 2 “一七) l o g 口 即ld c ，一( ，七( z ) ) i 盯一a 一舢，因此对每个j = o ，1 ，n t ， d 。尸( ，。( z ) ) i 盯1 ， 并且存在m ，使得id 。，( z ) i 一1 m 另一方面，对每个j n i ， id 。，( ，0 ) ) i = id 。，0 ) i _ 1 id 。户“扛) l 盯一“卅) m 仃j ( 仃+ j 盯一a + j ) j 订) = 口叫( ( 罟) 州m ) 由于 + j n 故n 足够大时， ( 譬) 一( 钾) m 1 因此id 。( ，( z ) ) i 仃o 从而对每 个几 o ，id c ，n ( ，( z ) ) i 1 ，假设z = ( r ，s ) s 1 o ，1 】，n 是，在z 点的盯一双曲时间， 则存在6 o ，使得p ) o ，司c 聊( z ) 1 6 一维及二维斜积映射的s r b 测度第三章s r b 测度：k a n 的构造 证 由于，是g 1 函数，并且s 1 【0 ，1 】是紧空间，故d 。，是一致连续的，因此存在 6 o ，使得对每个3 ，z s 1 【o ，1 】，d ( y ，z ) 6 ，有 尚烈鲥id 。，( 名) i 。 另一方面，由于竹是，在z 的口一双曲时间，则对每个n = o ，1 ，2 ， d 。，n ( z ) i s 盯一n 贝0 对每个y b ( z ，石) ， id c ，( s ) l ld c ，( z ) i 盯5 盯一 则 烈，( z ) ，( 暑，) ) 盯一；d ( z ，可) = 盯一正 即，( 3 ，) b ( ，( z ) ，盯一6 ) cb ( ，( z ) ，6 ) 贝9 对刍事个暑f b ( z ，j ) ， 1 d c ，2 ( 可) l - ld c ，( ， ) ) | | d c ，( 暑，) iid c ，( ，( z ) ) | | d c ，( z ) 1 ( 仃) 2 = id 。，2 ( z ) i 盯1 s盯一2 叮1 = 仃一1 易知，2 ( s ) j e i ( ，2 ( z ) ，仃一1 dcb ( ，2 ( z ) ，6 ) ，则 id 。，3 ( ! ，) i = id 。，( ，2 ( 可) ) i | d 。，( ，( 耖) ) i id 。，( 可) i id 6 ，( ，2 ( z ) ) i id 。，( ，( z ) ) i id 。，( z ) i ( 盯) 3 ：ld c ，3 ( z ) i ( 盯) 3 ：盯一3 盯； 一3 = ，r2 归纳可证得：尸把b ( z ，6 ) 压缩到b ( ，n ( z ) ，盯乎6 ) ，并且 n 一1 id 。广( 耖) | - nd 。，( ，( 可) ) i 仃乎 t = 0 则由积分中值定理知：对每个n = o ，1 ，2 ， d ( ，n ( z ) ，n ( 可) ) 盯一号d ( z ，暑，) 从而n o o 时，d ( ，n ( z ) ，广( y ) ) 收敛于o ，即存在6 o ，使得p ) 【0 ，司c1 吩( z ) 口 1 7 一维及二维斜积映射的s r b 测度 第三章s r b 测度：k a n 的构造 命题3 1 存在6 o ，托c s l o ) ，加( ) o ，使得对每个z ，w 子( z ) 的长度大于 占即z = 争( t 矿子( z ) ) 6 证 由揖( z ) 的定义以及伯克霍夫遍历定理可得：对伽几乎处处的z s 1 o ) ， ， a ；( z ) = l o gid ，r ( o ) lc f r = a o n 则 伽( u 厂( ) ) = 1 从而枷( ) 0 ，命题得证 推论3 5l e b ( b ( 枷) ) 6 枷( 繇) 0 口 证令酶c cz s 1 【o ) 是托中所有伽的正则点组成的集合，则加( ) = 枷( 玢) 下面证明断言：对每个y 玢，w 留( 掣) cb ( 枷) 由于! ，是的正则点，则 熹吩( 们_ 瑚， 一i = 0 因为瑚是不变遍历测度，则y b ( 肋) 另一方面，对每个z w 留( 夕) ，由稳定流形的定 义知；对每个任意小的e o ， 广( z ) 曰| ( ，( 可) ) 因此0 t 扣) = 母t ( 咖，即w ( 3 ，) cb ( 加) 由上述断言可知： u 蚱k 留( r ) cb ( 细) 从而由命题3 1 可知： k 【0 ，司cu 掣k w 7 子( 7 ) cb ( p o ) 则l e b ( b ( 瑚) ) 6 瑚( ) 综上所述，由s r b 测度的定义可知： 度 口 p o 是s r b 测度，同理可证p 1 也是s r b 测 1 8 一维及二维斜积映射的s r b 测度 第三章s r b 测度；k a n 的构造 3 2 吸引盆的稠密性 首先证明每个吸引盆在s 1 【o 1 1 】中稠即对每个非空开集ucs 1 【o ，1 】，l e b ( un b ( 肋) ) o ；l e b ( unb ( p 1 ) ) o 特别地，我们证明如下更强的结论 命题3 2 对任意给定的 o ，( r ，s ) s 1 ( o ，1 ) ，有 l e b ( 【r e ，r + e 】 s ) nb ( p t ) ) o ，i = o ，1 首先看下面的引理： 引理3 3 给定e o ，对每个o 6 l ，s 1 ，存在n o ，使得 厂i ( 【r 一，r + 】 s ) ) n 【t ) 【0 ，司0 ； ，”( 【r 一，+ e 】 s ) ) n 好【1 一正川d 证 取足够大的使得铲e 1 ，则，”( 【r 一，r + e 1 s ) ) 在s 1 上的投影长度是 2 3 n e ，大于2 则 ，l ( 【r e ，r + 司【s ) ) n o ) 【0 ，1 】0 ； 1 尸( 【r e ，+ 】【3 ) ) n 去) 【o ，1 】o 由于( ，o i d ) i ( o ，1 ) o ；d 如( o ) ，“( 【r 一，r + e 】 s ) ) 包含一个圆盘，c 1 接近于s 1 o ) 故对每个0 占1 ，t s 1 ， 得 ，t 1 ( p 一5 ，r + e 】_ 【s 】) n - 【t ) 【o ，司0 用( ，1 ) 代替( o ，o ) 同理可证得 ，”( 【r 一，r + e 】 5 ) ) n 【】【1 一瓦司口 口 命题3 2 的证明：由引理3 3 知：给定 o ，对每个o 6 1 ，t s 1 ，存在n o ，使 尸( 【r e ，+ j 【s ) ) n 】【o ，司o ； ，t l ( r e ，r + 】 s ) ) n t ) 【1 6 ，司o 1 9 一维及二维斜积映射的s r b 测度 第三章s r b 测度：k a n 的构造 即 ，n ( r 一，r + d s ) ) nb ( 肛t ) d i = o ，1 另一方面， 厂n ( b 池) ) = j 5 f ( 地) ，因此 【r 一，r + e 】 s 】nb ( 胁) 0 i = o ，1 即 l e b ( 【r e ，r + 】【占) nb ( 雎) ) o ，t = o ，1 从而证明了吸引盆在s 1 【o ，1 】中稠 口 下面证明：对l e b 几乎处处的z s 1 【0 ，1 】，有：z b ( 肋) ub ( p 1 ) 即l e b ( s 1 o ，1 】( b ( 枷) ub ( p 1 ) ) ) = o 下面的引理表明斜积空间的一条水平线做迭代后也是几乎水平的 引理3 4 假设对每个( r s ) s 1 【o ，1 】，u 丑叩) ( s 1 【0 ，1 】) ，满足 u 甜导未， 并且存在口 0 ，使得i 。j 口i 扩1 令 伽甜导“妄 是u 的像d ，( u ) ，则i 。i 口l 驴1 证记卢( z ) = 暑( ，r ( s ) ) ，由于，是g 1 函数，故存在印，使得 d ，( z ) ( 未) = 3 未+ 未( ，r ( s ) ) 杀， 其中ip ( z ) i c d 另一方面由于id 。，( z ) l = id ，r ( s ) i 3 ，故存在q 3 ，使得对每个 z s 1 【0 ，1 】，o id 。，( z ) l o 令r s 1 ，使得( r ，s ) 是s 1 s ) ny 的密度点，即 虹坐监羔嬖坐盟q 翌：1 c + z 记= 卜一刍，r + 击】【s ) ，h = 等l e b 是上的概率测度，考虑r n = p ( ) ， 则r n 在上s 1 的投影长度是2 击3 n ，等于2 记= 只( 脚) 是r n 上的的概率测度， 则在s 1 和【0 ，1 】上的投影都是勒贝格测度 显然是一p 一李普希茨函数的图像，则由推论3 6 可知：r n 是一口一李普希茨 函数的图像故由a s c o l i a r z e l a 定理可知，存在啦，使得r m 一致收敛于r ，r 是一日一 李普希茨函数的图像，并且r 在s 1 上的投影长度等于2 下面对r 分情况讨论： ( 1 ) 如果rcs 1 o ) 或rcs 1 _ 1 ) ，则由极限的定义，对每个o 6 l ，存在足 够大的n ，使得hcs 1 【0 ，川或者r ncs 1 【1 一正川另一方面，由引理3 3 知： 对每个r s 1 ，r nn 【r ) 【0 ，司0 或者r nn r ) 【1 一正司d 则由推论3 5 知： ( r 。nb ( 肋) ) 伽( 恐) 由于广“( b ( 伽) ) = b ( 加) ，则( 伽nb ( 枷) ) 瑚( ) 即 詈( l e b ( 【r 一刍，r + 刍】【s ) nb ( 枷) ) ) 2 瑚( ) 另一方面，由于( r ，s ) 是s 1 s ) ny 的密度点，故 (