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逆向物流的网络决策与库存管理研究 摘要 随着能源矛盾的日益加剧，公众环保意识的提高以及废旧产品本身含有的 价值，逆向物流愈来愈引起人们的关注。逆向物流不仅可以给企业带来经济乖j 益，而且还具有很高的战略价值。网络系统与库存管理是逆向物流研究中最重 要的两个领域，网络系统的形式在某种程度上对库存管理的方式起着决定性的 作用。 本文首先介绍了逆向物流的基本理论，综述了逆向物流的研究现状。在此 基础上，通过建立评价指标体系和层次分析模型，运用层次分析法，提出了企 业在选择逆向物流网络系统形式( 共用，自建、共建和外包) 时应考虑的因素和 可以采用的方法；在以客户需求为向导的今天，退货、产品回流已经成为一种 司空见惯的现象，本文将逆向物流引入到传统的库存管理模型中，建立了一个 允许退货和缺货的逆向物流库存模型，推导了各种情况下模型的最佳订货批量 和最佳订货周期，并用数据分析的方法考察了各参数对控制策略的影响；同时 根据市场需求和产品返还具有随机性这一特点，运用随机数学中的马尔可夫理 论，得到了相应控制策略下的库存期望水平，并建立了逆向物流的随机成本模 型。这不仅丰富了库存控制理论的内容，拓展了库存模型的应用空间，同时也 为企业逆向物流战略下的网络选择和库存决策提供了科学依据。 关键词：逆向物流，网络系统，退货，库存管理，马尔可夫理论 r e s e a r c ho nd e c i s i o no fn e t w o r ks y s t e ma n do ni n v e n t o r y m a n a g e m e n t o fr e v e r s el o g i s t i c s a b s t r a c t g i v e nt h ev a l u ei n h e r e n tt ot h ew a s t ea n du s e dp r o d u c t s ，r e v e r s el o g i s t i c sh a s b e e nw i n n i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n ，a l o n gw i t ht h ed e t e r i o r a t i o no ft h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es u p p l ya n dd e m a n do fe n e r g y ，a n dt h ep u b l i c sr i s i n g a w a r e n e s s o fe n v i r o n m e n t a lp r o t e c t i o n r e v e r s el o g i s t i c sc a nb r i n ge c o n o m i c i n t e r e s t st oac o m p a n ya sw e l la sg r e a ts t r a t e g i cv a l u e s i ti sc o m p o s e do ft w o i m p o r t a n tf i e l d s - n e t w o r ks y s t e ma n di n v e n t o r ym a n a g e m e n t t oac e r t a i ne x t e n t ， t h ef o r mo ft h en e t w o r ks y s t e md e t e r m i n e st h ef o r mo fi n v e n t o r ym a n a g e m e n t t h i st h e s i s ，f i r s to fa l l 。g i v e sa ni n t r o d u c t i o nt ot h eb a s i ct h e o r i e so fr e v e r s e l o g i s t i c sa n ds u m su pt h ec u r r e n ts t a t e so fr e l e v a n ts t u d i e s t h e ni tp u t sf o r w a r dt h e f a c t o r st ot a k ei n t oc o n s i d e r a t i o na n dt h em e t h o d sa v a i l a b l ef o rac o m p a n yt o c h o o s eap r o p e rf o r m ( s h a r i n g ，s e l f - b u i l d i n g ，c o - b u i l d i n ga n ds u b c o n t r a c t i n g ) o f r e v e r s en e t w o r ks y s t e m n o w a d a y s ，t h em a r k e ti sc u s t o m e r - o r i e n t e d a c c o r d i n g l y , i th a sb e c o m ec o m m o n p l a c et or e 佃n dt h ec u s t o m e r sa n da c c e p tr e t u r np r o d u c t t h e r e f o r e ，t h i sp a p e rt a k e sr e v e r s el o g i s t i c si n t ot h em o d e lo ft r a d i t i o n a li n v e n t o r y m a n a g e m e n ta n dm o v e so nt o s e tan e wm o d e lo fr e v e r s el o g i s t i c st h a ta l l o w s r e t u r n e dp r o d u c t sa n ds t o c ko u t a tt h es a m et i m e ，i nl i g h to ft h er a n d o m i c i t yo f m a r k e td e m a n da n dr e t u r n i n gp r o d u c t s ，t h et h e s i sa p p l i e st h em a r k o vt h e o r yt os e t u pam o d e lo ft h er a n d o mc o s t so fr e v e r s el o g i s t i c s t h i sn o to n l ye m i c h e st h e i n v e n t o r yc o n t r o lt h e o r ya n de x t e n d st h ea p p l i c a t i o ns p a c eo ft h ei n v e n t o r ym o d e l ， b u ta l s op r o v i d e ss c i e n t i f i ce v i d e n c ef o rn e t w o r ka n di n v e n t o r yd e c i s i o n - m a k i n g u n d e rt h er e v e r s el o g i s t i cs t r a t e g y k e y w o r d s ：r e v e r s el o g i s t i c s ，i n v e n t o r ym a n a g e m e n t ，n e t w o r ks y s t e m ，r e t u r np r o d u c t ，m a r k o v 图1 1 图2 1 图2 2 图2 3 图2 4 图3 1 图3 2 图4 1 图4 2 图4 3 图4 4 图4 5 图4 6 图4 7 图4 8 图4 9 图5 1 图5 2 图5 3 图5 4 图5 5 图5 6 图5 7 图5 8 图5 9 插图清单 正向物流与逆向物流结构图5 共用的逆向物流网络图1 2 扩建的逆向物流网络系统图1 3 递阶层次结构图1 5 网络选择层次分析模型1 8 库存持有成本模型2 4 逆向物流的库存系统框架图2 7 t t l 十口库存模型图3 2 t o ，2 1 a y ，2 1 。我们 称彳为正互反矩阵。我们对一个矩阵的判断仅需给出其上( 或下) 三角阵的厢o i ) 2 个元素即可。 表2 1a h p 中1 - 9 比例标度的含义 标度含义 l 表示两个元素相比，具有同等重要性 3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2 ，4 ，6 。8表示上述判断的中问值 若元素f 与元素，的重要性之比为嘞，那么元素，与元素 倒数 i 的重要性之比是口。= 1 a ( 3 ) 单一准则下元素相对权重的计算 相对权重的计算方法有若干种，常见的有；和法、根法、特征根法、对数 最小二乘法、最：b - - 乘法等。为便于计算机运算，常采用前两者。 和法：对于一个一致性矩阵，它的每一列归一化后即为相应的权重向量。 和法采用胛个列向量的算术平均作为权重向量。f = 1 , 2 ，3 ，刀 ，：三争j l 铲碚式 栉百o 吩 根法：将i 的各个列向量采用几何平均， ( 兀呀) 1 抽 q = 了瓮一 ( 兀) 4 k = l j = l f = 1 , 2 ，3 ，刃 然后归一化。 i = 1 , 2 ，3 ，刃 ( 4 ) 一致性检验 为避免出现a 比b 重要，b 比c 重要，c 又比a 重要的情况发生，需要对矩阵 进行一致性检验。检验的步骤为： 1 ) 计算一致性指标( c s i s t e n c yi n d e x ，通常简写为c z ) c = ( 彳姐一以) ( 疗一1 ) 2 ) 查找相应的平均随机一致性指标( r a n d o mi n d e x ，通常简写为足工) ，具体指标 见表2 - 2 。 表2 - 2a h p 中平均随机一致性指标 3 ) 计算一致性比例( c o n s i s t e n c yr a t i o ，通常简写为c 见) c 。& = c j ， r i 当c 见 0 1 时，须对矩阵进行适当修正。 ；蔷等：丢喜挲 式中，( 4 ) ，表示向量【a 缈) 的第f 个分量。 ( 5 ) 计算各层对目标层的合成权重 假定已知第k - 1 层上- 1 个元素相对于总目标的排序权重向量 w ( t - t = 沏，国2 k - i ，k - 一i ，) r ，第k 层心个元素对第k - 1 层以第j 个元素 u ；t , 2 ，h 。) 为准则的权重向量记为矽= ( 硝，p 芸，粥) r ，其中不受，支 配的元素的权重为0 。令p = ( 硝n ，谬，蠼) 性，这是心，- l 的矩阵， 表示k 层上元素对k 一1 层上各元素的权重，那么第k 层上元素对总目标的合成排序向 量由下式得出： 的= ( 翻? ，国2 k ，) 7 = p 仕1 ”m 量。 或w ( 七) ：芝露哆柚f ：1 ，2 3 刀 j = l 且一般地有 w ( ) 2p ( t ) 矽( _ 1 ) w ( 2 ) 这里的w ( 2 ) 是第二层上元素对总目标的排序向量，实际上就是单准则下的排序向 2 3 2 评价指标体系的建立 评价指标是指为了达到可行性分析的目的，从逆向物流网络系统的众多输 出特性中选出的一套衡量指标。实际上，它是对现实复杂系统的一种简化。在 决策理论中，它可以作为目标函数；在控制理论中，可以根据评价指标建立控 制系统输出水平的标准值。 由于逆向物流及其网络形态的复杂性，因此很难用单一指标来进行评价， 必须进行多角度、多透视点的评价。建立一个综合评价指标体系。决策者在进 行网络形式决策时主要从客服、信息、技术、资金和环保等方面进行综合考虑。 ( 1 ) 信息方面，企业在经营过程中必然会根据市场需求信息和消费者的反馈 信息来调整自己的经营策略。较小的信息失真度和信息的快速性是企业追求的 目标。 ( 2 ) 资金方面，企业在实施战略过程中要考虑项目所需的投资是否满足企业 的资金预算要求。不同网络系统所需的投资是不同的，在不同网络系统中，返 1 7 回产品的运输成本和系统的运营成本( 包括员工的工资和社会福利基金、设备 维修费用、管理费用、基本折旧费和生产消耗费等) 也是不一样的。 ( 3 ) 客户服务，由于市场竞争的日趋激烈，许多企业把客户服务作为树立企 业形象，提高顾客忠诚度的重要手段。在逆向物流中，及时的处理维修退回和 投诉退货是做好客户服务的主要内容。 ( 4 ) 技术方面，现代企业的竞争是科技实力的竞争，技术创新是企业求得生 存与发展的重要手段和必经之路，技术秘密已经成为企业市场竞争的法宝。 ( 5 ) 物流量企业在规划周期内的逆向物流量与各个网络的实际物流承载量 之间存在一定的偏差。偏差过大或过小都会影响到逆向物流网络系统的功效。 2 3 3 网络评价的层次分析模型 图2 4 网络选择层次分析模型 模型可分解为：目标层指要选择的最合适的网络形式。准则层有五 个方面的评价指标：信息、客户服务、物流量偏差、资金和技术。各准则层下 分予准则，如资金准则包括运输费用、投资成本和系统运营成本三个子准则。 方案层即要选择的四种网络形式。模型如图2 - 4 所示。 2 4 决策实例 2 4 1 市场调研、评估与统计概况 某家电企业在选择逆向物流网络形式过程中，通过市场调研、投资与风险 t 3 评估，对物流量等数据的统计和预测得到下表： 表2 3 某企业的网络指标概况 物流量偏差b 3 ：企业预计物流量( 万台年) ： 5 5 2 4 2 计算过程和结果 在图2 - 4 所示的层次分析模型中，首先需要对每一层各元素相对重要性给 出判断，邀请专家依据表2 1 所述的标度和表2 3 的概况进行赋值，然后进行 一致性检验从而判断权数分配是否合理。运用层次分析法得到以下计算结果 ( 见表2 4 表2 - 1 4 ) 。 表2 - 4 判断矩阵a - b i 计算该矩阵的最大特征值以及相应的特征向量：五。= 5 1 1 5 2 ； w = 【o 3 0 2 2 0 7 5 8 0 0 1 8 7 2 0 1 1 6 5 0 5 3 4 2 7 ，对特征向量归一化处理得到各个元素的相 对权重：w j = 0 1 5 9 2 0 3 9 9 3 0 0 9 8 6 0 0 6 1 4 0 2 8 1 4 1 ，然后利用公式c ，：4 , = - n 求r 甩一i c i = 0 0 2 8 8 ，由表2 - 2 知r i = 1 1 2 ， 一致性要求。 表2 - 5 判断矩阵b 1 b “ b lb l i8 1 2b 1 3- l i b n b 1 2 b 1 3 l 1 4 1 3 3 1 2 l 钆= 3 0 1 8 3 ，c - i = 0 0 0 9 1 5 r i = o 5 8 c r = 0 0 1 6 0 t 0 6 2 5 0 0 1 3 6 5 o 2 ： 8 5 可得c r = 0 0 2 6 o 1 ，所以判断矩阵a b i 满足 表2 6b l 层次总排序 表2 - 7 判断矩阵b 2 b 2 i表2 8 8 2 层次总排序 b 21 3 2 1b 2 2耽i l1 1 2 0 3 3 3 4 b 2l0 6 6 6 6 a 。= 2 ，c i = 0 完全一致 表2 9 判断矩阵b 3 - ( 3 b ac lc 2c 3c 骶 c l c 2 a c i 1 2 l 3 2 1 5 1 3 1 l 2 1 3 1 2 2 1 0 0 8 8 2 0 1 5 7 0 0 4 8 2 8 o 2 7 2 0 缸= 4 。0 1 4 5 ，c r = 0 0 0 5 t i + 口、 t t i + 仃的建模与求解 库存模型如图4 - 1 所示：口时刻后有部分售出产品回到销售商的库存中， f l 时刻库存水平下降到零，在 t l 一口，t l 】内售出产品的退货部分经修复后可在缺 货区间【t t 。+ 口】内重新出售。在区间【f i + a ，n 内库存处于完全缺货状态，根据 以上分析，可以得到各部分成本表达式； 库存成本： 在 o ，口 区间内： 马( l q ) = c if ? ( q g t ) d t = c i ( q 口一寺r 口2 ) 在 a ，t 1 区间内：吼( r ，= c ，f ? ( g 只口一矗( r 一口) + 肚( f 一口) 】d ， 3 l ；2 r ( 1 c 1 一) 。( q r 窿) 2 在【t l ，t 】区间内：库存成本为零 q o 图4 - i 似t + 口库存模型图 ( 参维修成本： h 3 ( t , q ) = c 吵肌= 普( q 一肚口) 缺货成本： 在 t i t i + a x v f 啪：h 4 ( t ，q ) = c ，jh t 一 肌一f 1 ) 一g ( t - - t i ) 弦 = 圭q 即刊口2 在 t t + 口，t 区间内：日5 口，9 = qf 二肌一“+ 口) 弦 = 丢q 驴臀) 2 订货成本：巩( l q ) = e ，e 与订货的数量无关。 平均总费用： 日( r ，q ) = l c x ( 一j 1r 口2 ) + 丽c i ( q r 口) 2 + i c 一, 乒j ( ( 2 一肚口) + 丢q r ( 1 一) 口2 + 三q r ( r 一兰l 群) 2 + c o 式中有两个变量：订货周期t 和订货批量q ，利用多元函数求极值的方法 求得销售商的平均费用h ( t ，q ) i 箕j 最小值： 嚣= 扣口+ 志c 咖岛+ 再c gt 而q - a r a + a - t 肛。 其中t 0 , r 0 ，z 1由此可以得到。 q = 竖羔c , o 铲岫 一) + c 。 。 筹= ；峨廿旦号倦产卅t 1 - - - t c i ( q 口一，+ 意历地也，2 + c 一, a ( q 一俐+ 扣( 1 刊冉知( r 一垒专尚产) 2 + c o l = 。 ( 4 4 ) 将( 4 3 ) 式代入( 4 4 ) 式，可以得到最佳订货周期t o 和最佳订货批量q o ： 瓦= 心_ 磊, 1 1 - 2 曷2 + 吾2 a 磊3 q o = 恤一篙乎 6 ， 其中： 4 = r ( 1 - g ) c t 2 a c q + ( 1 一z ) a c ，+ p c ，】2 + r c g l u c ，一( 1 一) 口q 】2 a 2 = r 【( 1 一) 嵋+ ，l e 】( c 虻乙+ ，l g ) 【c j ( 1 一声) + c ；】 a 3 = k 2 r 0 码- 0 5 c i + o 5 q - 0 5 ，q ) + e 】0 c ，( 1 一) + q 】2 若不允许退货，即= 0 ，且不存在口( 口= o ) 可得 瓦=藤=1if2co啦(c_，+cq)：， q=1f需rcq(a1-2a2+2a3)=娜2rcq+c写o ，这就是允许缺货的e o q 库存模型。 4 2 2t t i + 口的建模与求解 库存模型如图4 2 所示：区间i t - ，f 1 】售出产品的退货部分即使修复后 也不能在周期r 内及时出售，因此只能作非正常销售处理，造成损失成本的发 生。而i t , 一口，t 一口】内售出产品的退货部分经修复后仍可在缺货区间嘶，明内及 时销售。各部分成本表达式如下： o a 一口气tt+口t 图4 - 2t t t + t z 和t t t + o r a 2 = r 【( 1 一力c ，+ ，d 0 】( c 虻_ + ， i ) 【c ，( 1 一o + c q 】 也= 【a 2 r ( 鹏一芝1c ，+ 三q 一圭孵) + c a c a t 一) + q 】2 q = 尸箍喾蔫譬肚a 尉1 郇- , u ) 刊( a c q + + q p c j 7 一，陋2 毋码+ 2 卿( 。一c ) + 2 c 口】晒+ q ) - r 南g 2 t t i + 口假设成立，在此条件下的平均费用 h ( t ，q ) = 3 1 1 7 元月 3 8 ( 2 ) 假设r ，l + 口，利用( 4 1 0 ) 式和( 4 1 1 ) 式计算得到；t 。= 1 7 8 月，q 。= 2 3 2 台，f l = 篇乩s s 通过验算可知t t t + 口假设不成立。因此该销售商平均总费用为3 1 1 7 元月。 4 3 2 不同修复延时期与不同退货率对订货策略的影响 假设各参数值为：正常销售价与成本价之差( 毛利润) 为1 0 0 元台，r = 2 0 0 台月，c o = 2 0 0 0 元次，c r = 3 0 元台，c d = 5 0 元台，c q = 6 0 元月台， c i = i o 元月台。设库存平均费用为h ，销售商的平均利润为p ，当其他参数 不变时。不同修复延迟期口和退货率p 对订货策略的影响见表4 - 2 4 8 。 表4 2 不同退货率在口- - - - 0 1 时对订货策略的影响 表乒4 不同退货率在口= o 3 时对订货策略的影响 表4 5 不同退货率在口= o 4 时对订货策略的影响 表4 6 不同退货率在口= 0 5 时对订货策略的影响 4 0 表4 7 不同退货率在o r = o 6 时对订货策略的影响 根据表4 2 4 8 ，得到了不同修复延迟期口和退货率p 对销售商的最佳订 货周期t 0 ，最佳订货批量q o ，平均费用h 以及销售商的预期收益p 的影响， 它们的变化趋势如图4 - 4 4 7 所示。 4 1 图4 - 5 不同修复延迟期和退货率对最佳订货批量的影响 图4 6 不同修复延迟期和退货率对平均费用的影响 图4 7 不同修复延迟期和退货率对预期收益的影响 从图4 4 可知：口固定，当模型为r ， + 口时，订货周期t 。随着退货率l 的增加而减小。 口固定时，订货周期t 。一般随着修复延迟期口的增加而变大。 从图4 5 可知：口固定，订货批量q 。随着退货率的增加而变小；固定 时，订货批量q 。一般随着修复延迟期口的增加而变大。 从图4 6 可知：口固定，平均费用h 随着退货率的增加而变大；当p 较 小时，平均费用h 一般随着修复延迟期口的增加而变大。 从图4 7 可知；口固定，预期收益p 随着退货率的增加而变小。所以要 尽量降低产品的退货率。 4 3 3 不同缺货成本对订货策略的影响 假设正常销售价与成本价之差等于5 0 元台，其他参数为r = 2 0 0 台月， 口= o 3 月，u = o 1 5 ，c o - - - - 2 0 0 0 元次，c r 一3 0 元台，c d 一5 0 元台，c i = 1 0 元 月台。当其他参数不变时，不同的缺货成本c q 对订货策略的影响见表4 - 9 。 c q t oq ot l 应用模型 hp 图4 - 8 不同退货成本对订货策略的影响 图4 9 不同退货成本对平均费用和预期收益的影响 由图4 8 可知，随着缺货成本的递增，订货批量增大，而订货周期变短；由图4 - 9 可知，库存的平均费用和销售商的预期收益一起随着缺货成本的递增而变大。 4 4 本章小结 允许缺货是现代库存管理的重要特点，而投诉退货是逆向物流管理中最常 见的部分。本章从社会发展趋势和现代管理理念出发，假定退回产品在经过修 复和检测后可以达到和新产品一样的性能，并将修复后的产品与新产品一起出 售。对此提出了一个允许退货和缺货的逆向物流库存模型，推导了各种情况下的 最佳订货周期和最佳订货批量，并分析了不同修复延迟期口、不同退货率“和 不同缺货成本c q 对销售商最佳订货策略、库存平均费用以及预期收益的影响， 获得了一些初步结论，对相应的库存管理具有一定的参考价值。 第五章逆向物流的库存成本模型 5 1 逆向物流的库存成本构成 般来讲，逆向物流中的库存问题具有两个特点：( 1 ) 回收物流的不可控性；( 2 ) 成品 库存可以由回收物流和订货方式同时进行补充。简单的逆向物流库存模型如图5 - 1 所示，它 是个= 级库存系统，包含两个库存：再制造库存r i ( r 溅i n v e n t o r y ) 和成品库存 f g l ( f m i s h 。d g o o d s i n v c - n t o r y ) 。 图5 1 简单的逆向物流库存系统模型 5 1 1 与库存f g i 相关的成本 成品库存的成本构成与传统制造系统中的库存成本构成类似，主要包括库 存持有成本、订货成本、购置成本及缺货成本。 ( 1 ) 库存持有成本 为保持库存而发生的成本，可分为固定成本和可变成本。固定成本包括仓 库折旧、保管员固定工资等，它与库存的数量无关；变动成本包括空间成本、 资金成本、库存服务成本和库存风险成本，它与库存数量的多少有直接关系。 ( 2 ) 固定订货成本 订货成本是指企业为了实现一次订货而进行的各种活动的费用，其中包括 运输费用。它与订货次数成正比。 ( 3 ) 单位订货和制造成本 它包括购买原材料耗费的货款和制造新产品时所发生的单位制造成本。 ( 4 ) 缺货成本 当成品库存发生缺货时，如果制造商采用延期发货的形式来补偿，这时也 会造成缺货成本的发生。 5 1 2 与库存m 相关的成本 与再制造库存相关的成本包括：再制造成本，再分配成本和库存持有成本， 其成本结构如图5 2 所示。 ( 1 ) 再制造成本 再制造成本是逆向物流库存系统中影响系统总成本的一个关键部分，它主 要包括材料处理成本和劳动力成本。材料处理成本包括在处理返回产品时所涉 及的设备损耗以及水和能源等；劳动力成本与工人的数量有直接的关系。 ( 2 ) 再分配成本 当再制造商由于各种原因而无法对回收产品进行再制造时，他们需要对再 制造库存中的产品进行再分配或者掩埋等处理。再分配成本主要包括运输成本 和机会损失成本。将回收产品运往另外的再制造商或者掩埋地点会产生相应的 运输费用；机会损失成本是指将再分配的回收产品用于再制造，通过再销售再 制造产品可以产生的那部分经济利益。 砌的库存总成本 再分配成本库存持有成本再制造成本 i 运输费用机会损失成本折旧成本机会成本材料处理费用 劳动力成本 夕怂x 等待时问折旧速率 产品类型可恢复价值处理设备 图5 - 2 库存r i 的成本构成 ( 3 ) 库存持有成本 库存r i 的持有成本可以分为折旧成本、材料处理费用和机会成本。当有 新型的产品投入市场以后，再制造库存中的旧产品由于功能过时而变得陈旧， 折旧成本与再制造产品的种类和在库存系统中的等待时间有关；材料处理费用 是在回收产品的存储和搬运过程中产生的一些相关费用；机会成本这里主要是 指资金占用成本，因为保留回收产品所占用的资金如果用于其他方面的投资也 会带来相应的经济受益。 4 7 5 2 模型描述 制造再制造库存控制系统是一个二级系统，它包括用于存放逆向产品的再 制造库存和用于满足市场需求的成品库存。成品库存有两个货物补充源：订购 新的原材料或零部件，通过制造来补充和通过再制造回收品来补充。由于一些 环保法规的限制和回收产品本身所具有的经济价值，一般优先考虑用再制造的 方式来补充成品库存。本模型的库存系统结构如图5 1 所示。 5 2 1 基本假设 ( 1 ) 产品的返还和市场需求都是随机的，它们都符合p o i s s o n 分布，强度分 别为y 和五，返还与需求相互独立； ( 2 ) 订货具有固定的提前期； ( 3 ) 返还的产品都能用于再制造，旧产品的修复没有提前期； ( 4 ) 再制造产品与通过订购原材料和零部件制造的新产品具有相同的性能； ( 5 ) 允许缺货，缺货发生时将通过延期交货的方式来处理，并且缺货只发生 在订购提前期内； ( 6 ) 在同一时刻不存在两次订购。 5 2 2 参数含义 t ( t ) ：库存位置( 净库存+ 再制造库存+ 尚未入库的订货批量) ； n ( t ) ：当前的净库存( 成品库存一延期交货量) ； r ( t ) ：再制造库存水平； o ( t ) ：正在订购的产品数量； f o ) ：成品库存水平； b ( t ) ：延期交货量； q ：订货批量，定值； s 。：库存位置的再分配水平； s 。：库存位置的订货水平； ，：产品返还的强度； 名：市场需求的强度； f ： 订购提前期； 4 霁 g ：每次订购和制造的固定成本； g ：产品订购和制造的单位成本； c ；产品的单位再制造成本； q ；产品的单位再分配成本； g ：产品的单位缺货成本； q ：单位时间内的单位持有成本( 本文假设再制造库存和成品库存的持 有成本相同) 。 根据以上的参数定义，有以下表达式： ，( f ) = ( f ) + r ( f ) + d ( ，) ( ，) = f ( ，) 一占o ) 5 2 3 模型的控制策略 如图5 - 3 所示，建立个控制策略为 ，q ，s d ) 的逆向物流随机库存模型， 当库存位置降低到s ，+ l 以下时开始订货，订购量为定值q ，订购货物在时间f 后到达；当库存位置到达& 时，将返还产品直接做再分配处理。可以知道库存 位置f ( f ) 的状态空间为；m = 玲，+ 1 ，s ，+ 2 ，s ，+ 3 ，s ，+ q ，岛一1 , s d l 。很明显， j ( f ) 是一个连续时间的m a r k o v 链。 s d s 。七q 图5 - 3 ( s p , q 。s d ) 模型的控制策略 5 3 模型的成本计算 5 3 1 库存的期望水平 逆向产品的返还过程和市场的需求分别是强度为，和五的p o i s s o n 分布，则有 以= 尸嘶+ ，) _ ( 沪| = 警 l = p ( 州) - ；砖= 学 ( 1 ) 转移速率矩阵的推导 i = j ，sp + 1 s i s s d 一1 弓( ，) = 帆小班文警可( 2 ) k e - , u 纠州v ( t + 吵2 + 竿+ 。l g 。= p ( o ) = 一( ，+ 五) p 叫，+ 毒) o ( 1 + 0 + 0 + ) + e - ( r + ) o ( o + o + ) 所以 g = ( ，+ 句o = ，s p + l s ls d - i ) i = j = f = s d 时，根据库存控制策略，将对返还产品作再分配处理，要使f - ，则有 匕( t ) = l = p o + d 一= 。) = 型等孚= e q 口= 弓( o ) = 一a 所以孽p = 一五o = j = & ) i = j 一1 ，i & 一1 渺p 慨母l _ 文学警 玎”( 声+ 华+ ) 叮掣= 局( o ) = ( ，+ 名) 口- ( ，+ 工o ( 0 + o + o + 。) + p 一，+ 。”( ，+ o + ) 所以g g = ， o = ，一1 ，is d 1 ) ( 璺) i 2 j + l ， s p + 2 i 删= p 眈吨1 = 乱警，( a t ) k + l 州e - 。) = ；8 - ，+ 2 pa t + 旯2 7 t 3 + 1 k 2 口尊= 乃( o ) f f i - ( r + x ) e 。，+ 工o ( o + o + o + ) + e 一，+ 4 o ( 旯+ o + ) 所以叮= 五( f = j + l ，& + 2 f ) i = ，一q + 1 ， i = & + 1 根据库存控制策略此过程与情况锄2 af = ，+ 1 ，& + 2 s 类似 口口= 名i = _ ，一q + i ，i = + l 所以转移速率矩阵q 为： q = 一( ，+ a ) ， a 五 一( ，+ 五) y 九 一心+ 硒y 丑 一( ，+ a ) ， 名一五 ( 2 ) 状态空间的各状态分布 定义。概率分布向量称为p o ) 的不变分布，如果对于任意t 恒有万= 舻o ) ， 对于以q 为转移速率矩阵的连续时间的m a r k o v 链，它等价于刃= 0 ，其中万 是一个行向量 石= 岛+ ：只 尸岛帕最。) 由万向量与q 矩阵第一列的乘积可得：一o + 五) 岛“+ 胛甄2 = o 即, l p s ，z = ( ，+ 五) 墨“ 令p = i y 可以得到： p 印+ 2 = ( i 十p ) 岛“( 5 1 ) 由万向量与q 矩阵第二列的乘积可得：，l 一( ，+ 岛。+ 卯0 ，= o 即岛”= ( 1 + 力2 一t ，将( 5 1 ) 式代入可得： p 鼽3 = ( 1 + p + p 2 ) l ( 5 2 ) 由石向量与q 矩阵第三列的乘积可得：，咯+ ：一 + 五) ，+ 峨+ = o 即= ( i + 力3 一嵋一将( 5 i ) 式和( 5 2 ) 式代入可得： ，缸4 = ( 1 + p + p 2 + p 3 ) 户l ( 5 3 ) 根据公式( 5 i ) 、( 5 2 ) 、( 5 3 ) 可以得到以下递推公式； 岛+ q = ( 1 + p + p 2 + p 3 + + p 口- 1 ) 岛+ l ( 5 4 ) 即= ( 争) 2 继q 由万向量与q 矩阵第q 列的乘积可得： a 只驰i 一( ，+ a ) 只o + 归廿l + 旯只口“= o f ：b + q + l = ( 1 + p ) 只口一卢p 印+ 口一l 一+ i = ( 1 + p ) ( 1 + p + p 2 + + p 纠) j k t - p ( 1 + p + p 2 + + p q 一2 ) 咯“一只计l = p ( 1 + p + p 2 + + p 争1 ) 只l( 5 5 ) 由石向量与q 矩阵第q + l 列的乘积可得： 一( ，+ 五) 岛+ 口+ i + ，略+ 口+ t 岛+ o + 2 = 0 岛垃十2 = ( 1 + p ) 岛州一略+ 口 = ( 1 + p ) p ( 1 + p + p 2 + + p 口1 ) 鼻i - p ( 1 + p + p 2 + + 户口- 1 ) 只泗“ = 户2 ( 1 + p + p 2 + + p 口- 1 ) ( 5 。6 ) 由1 向量与q 矩阵第q - i - 2 列的乘积可得： 一( ，+ 五) 24 - 皿s p + q + l + a p s e s + 3 = 0 岛+ o + 3 = ( 1 + 户) 岛+ 舢2 一卢f 0 + 口+ i = ( 1 + 力p 2 ( 1 + 户+ p 2 + + p q _ ) 置i = p 3 ( 1 + p + p 2 + + p 卜) 最叶i 一以1 + 户+ p 2 + + p o _ ) 只 根据式( 5 5 ) 、( 5 6 ) 、( 5 7 ) 可以得到以下递推公式： = p “s e - 口( 1 + p + p 2 + + p 纠) 只m 可以通过最后一列的乘积来验算递推公式的正确性： 一御+ y p “- i = 0 可得 岛= p 岛1 与递推公式一致 ( 5 7 ) ( 5 8 ) 所以鼻口卅= p ( 1 + p + p 2 + + p 口1 ) 只和“1 s j s d s p q ( 5 9 ) 各个状态分布表达式为： t = 丑州 咯。2 = 岛“( 1 + p ) 只3 = 岛“( 1 + p + p 2 ) 只帆= 岛“( 1 + p + 户2 + + p 卜1 ) 2 f s q 岛+ 口= 只卧l ( 1 + p + p 2 + + 户口。1 ) 只鲫口“= 岛+ 1 p ( 1 + p + p 2 + + 户。一1 ) 岛+ 。+ 2 = 岛“p 2 ( 1 + p + p 2 + + p 乒。1 ) 只+ 口+ l = 岛“p 。( 1 + p + p 2 + + p 纠)1 s f s d 一& 一g 岛= i p s a - 口( 1 + p + p 2 + + p 伊1 ) 对上述式子的前q 个状态求和可得： 歪0 ，= 兰( 护纠) ； ：搿蓍屯，：竺= 幽 由萎，+ 蹦- 蚤s r - - q 岛删= l 可得： ( 1 一p ) 量( 和口一) + p ( 1 一p 蹦母叼) f 兰p “1 兰_ u = 1 ( 5 1 0 ) 1 一p ” 、 2 而痧磊l - 孑p 羽 = ( 驴) 2 绑q ，岛+ 。“= 户( 1 + p + p 2 + + p 口- 1 ) f 0 “1 i s s d - - s 一q ( 2 ) 当p = 1 时 对上述式子的前q 个状态求和可得： 薹= 垒学岛+ 。 s d - s p - o 余下状态的概率和为： 善岛+ 。+ ，= ( 曲一s