（应用数学专业论文）具mccullochpitts型信号函数的双阈值二元神经网络动力系统.pdf

摘要r 3 ：s c 9 t 本篇论文研究下面两类基坐g 坚坠业里巡! 型韭垡丝篮量重錾的三垂丝 网络动力系统解的渐进性态和极限环的存在唯一性问题。 f 士= 一p 霉+ ，( 掣0 一n ) ) ( i ) 【雪= 一p y g ( z ( 一7 ) ) ， f 壬= 一p z + ，( v 0 7 1 ) ) i ( i i ) 【口：一p y + 9 ( ( 一7 ) ) ， 其中。( t ) ，y ( t ) 分别表示两个神经元在t 时刻的活跃状态，p 0 为衰减系数， 7 1 0 和r 2 0 为突触滞后，和g 为信号函数，且 r 一口， “ o i ， f b ，t 工 盯2 ， 7 “2 a ，“一，；9 “2 6 ，“! ! ! ，二；，一 这里b 为非零常数，一：为阈值常数，且吼a ：。j 全文共分为两章，第一章主要讨论了具负反馈的双阈值的二元神经网络 模型( i ) 解的收敛性与极限环的存在唯一性问题。在所设定的初始函数空间 内，对于阈值a ，和a ：的不同取值范围给出了极限环存在唯一的初值函数区 域，和收敛到不同的平衡点的解所对应的初始函数区域。 第二章讨论了具正反馈的双阈值二元神经网络模型的解的收敛性。证明 了：在所设定的初值函数空间内，( i i ) 的所有解是收敛到平衡点的。并针对 阈值以和o 2 的不同取值范围，明确给出了收敛到不同的平衡点的解所对应 的初始函数区域。 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ef o l l o w i n gt w od a s ss y s t e m so fa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s o ft w ol _ l e u l o n s ：二裟二兰 ：! 竺二篡 ( i i ) w h e r ep 0i st h ed e c a yr a t e ，n 0 a n d 勺 0 a r et h es y n a p t i ct r a 丑s r a i s s i o n d e l a y s ，a n dga r et h es i g n a lf u n c t i o n sa n da s s u m e dt oh a v et h ew e l l k n o w nm c c u l l o c h p i t t sn o n l i n e a r i t y m ) ；r 吼 lo ， u 盯1 ， r 一6 ，“ 吼 g ( 札) = lb ，u 0 2 ， d 0a n d6 0a r et w og i v e nc o n s t a n t s ，盯la n d 口2a r et h r e s h o l dc o n s t a n t sa n d 7 l g 2 t h i st h e s i sc o n s i t so ft w o c h a p t e r s i nc h a p t e t r1 ，w e i n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c eo ft h es o l u t i o n sa n dt h ee x h e n c ea n d u n i q u e n e s so fl i m i tc y c l ef o rs y s t e m ( i ) i nc h a p t e r2 ，w e i n v e s t i s a t et h ec o n v e r g e n c eo f s o l u t i o n so fs y s t e m ( ) ，o u ra n a l y s i s s h o w st h a to l l c ew er e s t r i c ta l li n i t i a lv a l u e st ot h eg i v e np h a s es p a c e ，a l ls o l u t i o n so f s y s t e m ( ) a t ec o n v e r g e n tt oe q u i l i b r i u m 绪论 现代人类对外部世界的认识已经达到了令人惊叹的程度：宏观，远及宇 宙；微观，深入生命本身。所有这些辉的科学成就，无一不是人类动用智慧 和思维对客观世界中的信息加工的结果，而进行这一加工的中心就是人脑 生物神经中枢系统，人工神经网络作为人脑生物神经系统的模拟，其研究自 1 9 4 3 年，心理学家m c c u n o c h 和数学家p i t t s 在数学生物物理学会刊b u l l e t i n o fm a t h e m a t i c a lb i o p h y s i c s 上发表，总结生物神经元的一些基本生理特性，并 提出形式神经元的数学描述与结构方法( 即m p 模型) 的论文【3 5 】以来，学 术界公认，历经了兴起、萧条、兴盛三个曲折的发展阶段，标志神经网络研 究兴盛时期的到来是美国加州理工学院生物物理学家j h o p f i e l d 教授于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上的两篇文章。1 9 8 2 年他在文 3 4 中提 出了h o p i i e l d 神经网络模型，这种模型具有联想记忆的能力，他在这种神经 网络模型的研究中引入了能量函数( l y a p u n o v 函数) ，阐明了神经网络与动 力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了 神经网络的稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，这 一成果的取得使神经网络的研究取得了突破性进展。1 9 8 4 年，h o p f i e l d 在 文 1 6 中设计与研制了他所提出的神经网络模登的电路，并指出网络中的每 一神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可以用电子线路来模 拟。这一方案为神经网络工程实现指明了方向。同时他也进行了神经网络应 用研究，成功地解决了复杂度为n p 的旅行商( t s p ) 计算难题，引起了人们的 震惊。这些成果的取得激发了越来越多的人投入到神经网络研究中来，从而 带来了神经网络研究的兴盛期。随着近些年来神经网络研究的不断深入，人 们越来越认识到：由于人工神经网络独特的结构和处理信息的方法，它们在 诸如信号处理、模式识别、优化计算等许多实际领域具有广泛的应用前景， 因此，神经网络的研究现已引起了包括计算机科学、人工智能、认知科学、 信息科学、微电子学、自动控制与机器人、脑神经科学、军事科学等学科领 域内的科技工作者的巨大热情和广泛兴趣，人们普通认为它将使电子科学和 信息科学等产生革命性的变革，并将促使以神经计算机为基础的高技术群的 诞生和发展，正因为如此，多年来，美国、德国、日本、加拿大等众多国家十 分重视人工神经网络的研究，并在此研究领域投入了大量的人力和财力。我 国于9 0 年代初开始人工神经网络研究，虽已获得了一些好的结果，但目前 投入的人力和研究经费尚少，仍处于起步阶段。 人工神经网络研究是一个众多学科领域交汇的系统工程，从而需要这些 交叉学科科研工作者的共同参与。至今为止，国内外人工神经网络研究工作 者已建立了大量的网络模型，并对其进行了研究，在这些模型中，有相当大 一部分为微分方程模型，如著名的h o p f f l e d 模型，g r o s s b e r g 模型，c e l l u l a r ( 细胞) 神经网络模型等。这些模型绝大部分由工程技术学科的研究工作者 所建立，它们的研究由于缺少应用数学工作者，特别是微分方程研究者的充 分参与，使得多年来对这些模型的动力学行为的研究主要呈现在数值模拟方 面，致使众多模型的动力学行为至今仍未得到充分的揭示，特别是对具有时 滞的微分方程神经网络模型，其动力学行为的定性研究结果更少。而由于网 络中神经元之间信号传输需要一定时间的客观事实，微分方程神经网络模型 中具有时滞更加符合客观实际，因此，人工神经网络的深入研究迫切需要一 批应用数学工作者，特别是微分方程研究者的加入。事实上，国内外众多的 微分方程研究者已经注意到了这一领域的重要性，近年来纷纷将其主要精力 投入到这一领域的研究中，并已获得了许多优秀成果。 二元神经网络是结构最为简单的神经网络。然而，即使简单的二元神经 网络模型： f 嚣= 一p z + f ( y ( t n ) ) 【d 出u = 一p y + g ( = c t 一7 ) ) ， 2 也具有十分丰富的动力学行为，这里z ( t ) ，( ) 分男表示两个神经元的状态( 活 跃程度) ，p 0 为衰减率，n 0 和心 0 为突触滞后，和f 为信号函 数。 至今为止，已有许多文献对模型【e ) 的动力学行为进行过定性研究，获 得了许多优秀的结果，如文 1 ，2 ，8 ，9 ，1 7 ，2 3 ，2 4 ，2 6 ，3 0 ，3 1 ，3 8 1 等。但据我们所知， 到目前为止关于( e ) 的绝大部分结果均是针对，和g 为连续函数的情形， 如文【8 , 9 ，2 3 ，2 4 ，2 6 ，3 0 ，3 1 ，3 8 】等。但在实际中，信号，和g 往往是不连续的，如 m c c u 】o c h p i t t s 非线性函数，而对这种信号函数不连续的情形，由于动力系 统的现有结果不能直接应用于模型动力学行为的定性研究，致使其研究结果 至今所获极少。最近，黄立宏和吴建宏两位教授在文f 1 和1 2 中分别对信号 函数具如下m c c u l l o c h p i t t s 非线性： ，( ，上) = g ( p ) = i 卢，上盯 和 ，( p ) = 一g ( p = i 卢，ps 盯 的情形，研究了模型方程( e ) 的解的收敛性，周期解的存在性，极限环的存 在唯一性等问题获得一系列新结果。这里n 厣为常数，o 为阔值。 在本论文中，我们研究( e ) 中信号函数，和g 具有双阈值m c c u l l o c h p i t t s 型非线性： f a ，_ l o - 1r 一6 ，p 0 - 2 ，( p ) = ， g ( p ) = ， la p 0 1l6 ，ps o 2 和 l 一珏，p o 1l - b 、p 8 l ，( p ) = ， 一g ( p ) = ， lo ，芦0 1lb ，ps9 2 时模型方程( e ) 的解的收敛性和极限环的存在难一性等同题，获得了一系列 的新结果，这里，a 和6 为非零常数，a t 和一：为阈值。且吼o 2 。 第一章具有负反馈的双阈值二元神经网络 1 1 引言 文【1 研究了具m c c u l l o c h p i t t s 型非线性信号函数的二元神经网络模型 。：-一-pl,，2一+，y。(。y。(t-qrl，)，)，, 这里p ，n ，n 0 均为已知常数， r 一5 ， p ， ，( f ) = ( p ，占丑) t 占，f p 本文将讨论具有双闭值的二元神经网络动力系统 f = 一p z + f ( y ( t n ) ) ， 雪= 一_ 【掣一g ( 。( r 2 ) ) ， ( 1 1 其中p ，q ，n 0 均为已知常数，而信号函数，g 分别为 f 一口，f 0 1 ，f - b ，f 0 2 ， “。2 k 0 1 ；“钟。k ：0 2 ， ( 1 2 ) l 口，e ； l6 ，e ， 其中口6 ，0 1 ，口2 五且d b ，口z 0 2 。这里p 表示衰减率，n ，n 为突触滞后， 口l 和以为阈值。 为简便起见，在( 1 1 ) 中作代换 r = i | t ，r ：p 型， z ( t 。) = 知+ 罟) ，( t ) = 铷+ 拿) ， ，。( f ) = ：，( ：f ) ，g ( f ) = ；口( ：f ) ， = 以，= ：以， 然后去掉( ) 得： i 未= 一2 + ，( 掣( t r ) ( 1 3 ) l 雪= 一掣一g ( 。 一r ) ) ， 其中 瓜) ：p 昧) ：p ( 1 4 ) ，( f ) = 口( f ) = ( 1 4 ) t 1 ，f 以；l i ，e 0 2 如文 1 】所提出，由于信号函数，和g 的不连续性，现有的关于连续动力 系统的有关结果难以应用到模型方程( 1 3 ) 的定性研究中。但是，由于( 1 3 ) 和( 1 4 ) 同下列系统有着密切联系，使我们能够对这个网络模型成功地进行 一些定性分析。 ( i ) r = 一一1 ， ( 1 5 ) t i = - y 一1 ； ( i i ) r = 一z 一1 ， ( 1 5 ) l 口= - y + l ； ( i i i ) r i = 一o + 1 ， ( 1 5 ) l 口= - y + 1 ； ( i v ) f = 一+ 1 ， ( 1 5 ) l 寸= 一掣一l ； 为后面讨论的需要，我们定义x = g ( 卜r ，o 置2 ) 为相空间。它是一个具上确 界范数由【一r 0 】到置：的连续映射组成的完备空间。对v ，置，令 钟= 妒；妒： 一r ，o 】一ho o ) 为连续映射l 枷( t ) 一癌卜r ，o 】至多有有限个零点) g = 妒；妒：【一r o 】一【一* ，) 为连续映射且妒( t ) 一，在 一r ，o 】至多有有限个零点) 盖；( - 2 , l - 4 - = 圣x ；垂= ( 妒，妒) t 妒c 戋且妒e 轰 ； x ，n = x ：甚u x 蠢u x ：甚u x ；蠢 2 对v 垂= ( 妒，妒) t 矗2 。( t 定义为转置) ，解( 1 3 ) 可获得唯一映射( 一，矿) t ： 一r o o ) 一丑2 使得。4 j f - ，o l = 妒，矿州= 中，对v t o ，( ，户( ) 是连续的且 对v t o 是几乎处处可微的且满足( 1 3 ) ，即它是定义在【一r ，】上( 1 3 ) 的唯 一解。 我们主要讨论的目标是对v 圣弱：，确定( 。，矿) 的大时间状态趋势。 我们所获得的结果表明：对v 壬五，。，当t o o 时( z 。( t ) ，矿( t ) ) ? 的特性完 全由初值( 妒( o ) ，妒( o ) ) t 和以，0 2 的大小确定。 为简便起见，本文以下部分对v s 0 和定义在 一r * 】上的连续函数：( t ) 。 定义映射：毛( 口) = ：( 。+ 口) ，v 口卜r ，0 l 即毛： 一r ，0 】一r 。 1 2 几个重要引理 本节我们建立几个引理，它们在本章的主要结果的证明中将起重要作用。 令( 。( ) ，y ( t ) ) r 是( 1 3 ) 的具初值圣= ( 妒，妒) ? 墨2 1 的一个解。 引理1 1 令一1 口2 0 - 2 ，令蜢是( ( t ) 一叨) ( y ( t ) 一f - ) 在 ( t o ，) 内的第1 个零点，则对i t o , 蛄+ 丁i ，( z ( t ) ，y ( t ) ) t 满足( 1 6 ) 且( 1 7 ) 成 立。另一方面，由【- ( t ) 一一：( t ) 一以| _ 0 可得 t = t o + i n 【。( 幻) + 1 1 一l 丑( 1 + 口2 ) 或t = 如+ 1 丑 1 一y ( t o ) 卜1 , 1 ( 1 一n ) ( 这里nsy c t o 1 ) 因msy ( o ) 幻一1 ，如果存在t o 0 使得( “，) ? 霸 ，且当 以= 一1 。( 如) 心，则一定存在托t o 使褥( z t ：+ ， ) t 霸i 。 证明由( 轨。) r 及( 1 3 ) 和( 1 4 ) 得：对t 【t o , t o + 叫 。：= 一- - z - - l 1 , m 。， 从而对t t o ，t o + r 】也有 i 七o ) = 陆。) + 1 e 一：一b 一1 ( 1 1 0 ) 【y o ) = 陌( 如) + 1 e 一“t o ) 一1 由【z t 0 ，靴。) t x 笳可知( t o ) 蔓心且，( t o ) 吼。如果，( 如) = 0 1 。则令5 = t o 得 z q + ，( p ) = 【( o ) + 1 e 一7 + 。) 一1 ( a + 1 ) e 一 7 + 9 ) 一1 以， f 咕+ ，c o ) = i v ( t o ) + 1 e 一( 7 + 9 ) 一1 口l 则令t 5 是【( t ) 一心】b ( t ) 一口1 】在 ( “剐内的第一个零点，由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 知在【t o t 5 + r 】内，( 。( t ) ，( t ) ) 7 满足 ( 1 9 ) 且( 1 1 0 ) 成立。另一方面由【z ( t ) 一以( t ) 一吼1 = 0 得 t = t o + l n b ( t o ) + 1 】一l n ( 1 + 口1 ) 或 t = t o + 1 n 睁( 幻) + 1 】一i n ( 1 + ，2 ) ( 这里一1 2 ( t o ) 以) 由一1 z ( t o ) 心知t o + i n 1 + ( t 0 ) 卜l n ( 1 + o 2 ) 冬t o 。因而有 t ；= t o + h a 1 + y ( t o ) 】一h a ( 1 + 口1 ) ( 1 1 1 ) 再由( 1 1 0 ) 及( z t o , ，0 ) 7 x 3 + 得： z t ：+ ，( 一) = ； i ； 车 ( + 砚) c 一( r + 口) 一，( t + 心) e p + 9 ) 一 心 轨；+ ，( 口) = ( 1 + f 1 ) e 一( 7 + 。) 一1 叽，口( 一r ，0 1 因此( z ；+ ，；) 7 翰f ，证毕。 引理1 3 令一1so 2 o 1 1 ，如果存在t o 0 使得( 2 t o ，) t x j f f 则 一定存在t 5 t o 使得( t ；”，+ r ) t 弼- 1 2 l - 。 用下列系统和表达式分别代替( 1 6 ) 和( 1 7 ) ( 或( 1 , 9 ) 和( i 1 0 ) ) 。 口：妒1 o j 2 p 卜陋) - 1 8 叫“刚“，0 1 3 ) iy o ) = v ( t o ) + 1 】e 一 “t o ) 一1 接下来讨论同引理1 1 和1 2 即可得引理1 3 的证明。 类似地，利用 霞：瓮 m ，2 ( 2 ) = ( 。) 一1 e o b + 1 ，( 1 1 5 ) iy ( t ) = f y ( t o ) 一l i e 一( t - t o ) + 1 可证明： 引理1 4 令观 叽 1 ，如果存在t 0 0 使得( 2 虹，轨。) r 砖f 则一定存 在t ；使得( 。坫+ ，札+ ，) t 础 。 1 3 极限环的存在唯一性 在本节我们证明，对于一定范围内的阈值0 1 和即，网络模型( 1 3 ) 存在 唯一稳定的极限环，其具体结果如下： 定理1 1 若一1 口2 0 1 1 ，则j 圣o = ( 和， 1 0 ) 丁五2 1 和2 o 0 使得对 v t2t o ，具初值圣。的( 1 3 ) 解( 。( t ) ，h ( t ) ) t 是周期解，此外对( 1 3 ) 的每一 个具初值圣= ( 帆妒) t 咒2 l 的解( 。( t ) ，矿( t ) ) r 有l i m t 。( z 。( - t ) 一z i o ( 七) ) = 0 即l i i n t 。( ，。( 七) 一7 。o ( 七) ) = 0 成立。 证明由引理1 1 引理1 4 ，只须考虑圣= ( 妒，妒) r 彰对的情况。 为表达简便，我们用( z ( t ) ，( t ) ) ? 表示解( 1 3 ) 拥有初始函数圣= ( 1 p ，妒) r 的 解( 一( ) ，矿( t ) ) 。 令a = 湍， 由一1 心，九 0 f 1 3 2 1 1 0 注意到一器s a ( 1 一以) ( 1 一砖) ， 所以 。 d g ( a ) o ，v 川一糍，蚍 因此，函数g ( a ) 和a g ( ) 在【一舞，m ) 是递增的，另一方面，有 ( a g ( a ) ) i k = ! i 匕+ e 当2 1 一s e ( e 7 1 ) 【2 e 打一1 一e 7 以+ e 7 0 1 一以以1 ( 1 一n ) 2 酉鬲丽万f j 丽万= 再i 丽再t 写玎可再i 两了矿了丽= 丽 一船可得： 一( 2 e 7 一i 一盯1 + 矿2 一a r l l 7 2 ) e 7 + ，4 e 2 r ( e 2 r 一1 ) 2 + ( e 打一1 ) ( 1 一口 ) ( 1 一司) a o 2 1 再范万了耳习一。 再注意到伊( o ) = a o , n = i ，2 ，显然( 1 1 6 ) ( 1 2 6 ) 表明：对t t t ，具初 值壬= ( 妒，妒) t = = ( 伽，) t 砧产且 = $ 旨籽= a o 的解( z ( t ) v ( t ) ) r = ( 。o ( t ) ，。o ( t ) ) r 是周期解。 最小周期： = “+ 1 一t 4 n 一3 = 1 n 1 6 e 打+ 8 a o e 3 ( 1 + 0 2 ) 一4 e 2 ( 3 + 口l o 2 + o 1 0 2 ) 一4 e 7 a o ( 1 一司) + ( 1 一畦) ( 1 一蠢) l i n ( 1 一砖) 一i - ( i 一，；) = i n b e 2 7 ( e 2 7 一1 ) + ( 1 一一) ( 1 一口：) + 4 e 7 4 c 2 r ( e 打一1 ) 2 + ( e 2 r 一1 ) ( 1 一口 ) ( 1 一程) 一l n ( 1 一砰) 一1 n ( 1 一以) 】 此外，由于g ( ) 和 一g ( ) 在f _ 矗，m 】是递增的，因而，对n = l ，2 ，有 a o g n + l ( a ) 0 2 1 。则当t o o 时，( 一( t ) ，矿( t ) 产一( 1 ，- 1 ) t ； ( i i ) 如果口2 1 ，圣= ( 协妒) te 矗2 l 。我们分几种性 形，且仍用( z ( t ) ，y c t ) ) r 表示解( z 4 c t ) 。矿( t ) ) t 。 情形1 。圣= ( 妒，妒) r x 品f 由( 1 3 ) 和( 1 4 ) ，显然对t 【o ，r 】，( ( ) ，f ( t ) ) r 满足( 1 1 2 ) 且由( 1 1 3 ) 得 2 0 ) = 妒o 一l j 。一。+ 1 t 【0 ，f ( 1 3 6 te ) i u f j j 【y ( t ) = 【妒( o ) + l 】e 一一l ， 此式表明：对0 【一r ，o 】。z ，( 口) 心且( 口) 口1 ，因此( 。，蜘) t 碥f 。在 p ，2 r 1 ，【2 r 3 r 1 ，重复上面讨论，可得对v t o ，( 。t 港) re 碥一。因此对v 0 ，( z ( t ) ，f ( ) ) r 满足( 1 1 2 ) 且由( 1 3 6 ) 可知：当t o 。时( ( ) ，( t ) ) r 一( 1 ，- 1 ) t 。 其轨线图参见图1 4 。 情形2 。圣= ( 妒，妒) t x ；d t 。 由引理1 2 ，j 蛄0 ，熊得( t ；押 ) r f 。因此，由情形1 ，有当 t o o 时( 2 ( t ) ，( ) ) t 一( 1 ，一1 ) r ，其轨线匿参见图1 5 。 干 形3 。圣= ( 妒，妒) ? x 刍f 。 由( 1 3 ) 和( 1 4 ) ，对t o ，r 】，( 。( t ) ，y ( t ) ) r 满足( 1 1 4 ) ，此外，由( 1 1 5 ) 有 掣咄卜i i e - t + 1 t e 【0 叫( 1 3 7 ) 【o ) = 【咖( o ) 一l i e 一。+ 1 ， 】3 如果妒( o ) = 0 2 ，则由( 1 3 7 ) 得2 ，( 口) = ( 叻i ) e 一( 什。+ 1 0 2 且转( 口) ( o 1 1 ) e 一卜+ 。+ 1 啦，令t ；是陋( t ) 一如】【，( t ) 一0 1 】的第一个非负零点。显然，对 # e i o ，蛄+ r j ，( 2 ，f ( ) ) r 满足( 1 1 4 ) 。因此，对e f o 。蛄+ 司，l ，3 力成立。利用 ( 1 3 7 ) 及引理1 1 和1 2 证明中相似的讨论，可得t ；= l n 怕( o ) 一1 卜i n ( 叻- i ) ，使得 ( z t ；押+ ，) ? j 嗡ft 因此由情形1 ，有：当t 一时，( ( t j ，( f ) ) r 一( 1 ，- i ) 。 其轨线图参见图1 6 。 情形4 。圣= ( 妒，妒) 丁破产。 由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 知对t 【o r 】，( 2 ( t ) ，y ( t ) ) r 满足( 1 6 ) ，由( 1 7 ) 得 。o 2 垆( o + 1 1 。一：一1 1 t o ，】0 3 8 ) iy ( t ) = 【妒( o ) 一l 】e 一+ 1 ， 令t ；是 = ( o - 屯 b c o - m 】的第个非负零点，那么对t 【o ，锚+ r 】，( ( ) ，( t ) ) r 满 足( 1 6 ) 。因面对巩f o ，g + r t 。( 1 3 8 ) 成立。另一方面，由敞站一叫融( 1 ) 毋】= 0 得 t = l n ( o ) + 1 j m ( 1 + 以) 司缸= k f 锹9 j _ l j 一a ( o l 1 ) 令 = 器 暑，则有 坛；r o b ( o ) + 1 】_ 埘1 + 叫，娩蒲，( 1 3 9 ) 拈 姒0 ) - 1 卜h ”1 ) a 磊 o 3 首先考虑 糟的情形。假设a 。e t + - - 1 。e ，由( 1 3 s ) ，( 1 ) 得：对口e ( 一r o ) 。+ ，( 口) = ( 1 + 矿2 ) c 一7 + 口一1 0 1 因此( 。瞄+ ，) r 巧叠，由情形2 有：t 一。o 时( z ( t ) ，( t ) ) 丁一( 1 一1 ) r 。 如果2 e 2 。：王+ ls ：黯，那么由( 1 ，鹑) 和( 1 3 9 ) 有y ( t 5 十r ) = i ( 1 + 如) e 一+ 1 口l 。又因为，( t ；】= a ( 1 + 0 2 ) + l 0 1 ，故存在e t 5 + r l 使得 y ( 蜢) = o 1 。由( 1 3 8 ) 可得= l n 陟( o ) 一1 】- l n ( ，1 1 ) 。再利用( 1 3 8 ) 有：对 c ( t ；+ r ，t ：+ r ) ，z ( t r ) 口l ，从而由( 1 3 ) 和( i 4 ) 知：对 t ( t ；+ r ，+ r ) ，( 。( t ) ，( t ) ) t 满足( 1 9 ) 。注意到( 培+ r ) = ( 1 + 如) e 一一1 且 掣( + r ) = ( 1 + 0 2 ) e 一7 + 1 ，由( 1 3 8 ) ，( 1 3 9 ) 及( 1 1 0 ) ，对t p ：+ r ，蛙+ 叫有： 。o ) = 净0 占+ r ) + l k 一( 一书一7 ) 一1 = ( 1 + 仃2 ) e p 一喀) 一l 田 且 可( t ) = 【y ( t 矗+ r ) + 1 】e 。“一；一7 ) 一1 = 【2 e 7 + a ( 1 + 盯2 ) 扣一( t 一；) 一1 口l ， ( 翁土 磊0 2 叫、砚+ 1 一+ l 又由( 1 3 8 ) 及藉a ( 瓣，可得：对t ( t ：，蛄+ r ) 有2 ( t ) o 2 ，t ) ( o 1 因 此有( 。；+ ，孵+ ，) t 碥i 。由情形1 得：当t 一时，( z ( t ) ，( t ) ) r 一( 1 ，一1 ) t 。 接下来讨论 o * 1 = 1 因此( 。，* ) 7 站 。在【r ，2 r 】，【2 t 3 r 】 重复上面讨论，可得v t o ，( z t ，乳) t 砧 ，因此 对v t o ，( z ( t ) ，( t ) ) t 满足( 1 6 ) 且由( 1 3 s ) 可知：当t o o 时，( z ( t ) ，f ( t ) ) 7 一 ( 一1 ，1 ) t 。其轨线图参见图1 1 1 。 下面证明结论( i i ) ，我们分三种情形。 ( a ) 壬= ( 1 p ，妒) t 砧f 。由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 知，对t 【o ，7 ，】，( 。( t ) ，( t ) ) r 满 足( 1 1 4 ) 且( 1 3 7 ) 成立，从而可得对口( 一7 i o ) ，z ，( 口) 0 2 且如( 日) f f l 。因此 ( 2 ，) t 砧i 在【r ，2 丁1 ，【2 r , 3 r ，重复上面讨论可得：v t o ( z t ，靴) t 砧i 且( z ( t ) ，y ( t ) ) r 满足( 1 1 4 ) 且由( 1 3 7 ) 可知。当t o o 时，( z ( t ) ，f ( t ) ) r 一( 1 ，1 ) r 。 其轨线图参见图1 1 2 。 ( b ) 圣翰 - 且妒( o ) 一l 。 由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 知：对t 【o ，r 】( z ( t ) ，( t ) ) t 满足( 1 9 ) ，由( 1 1 0 ) 得 f ( t ) = 【妒( o ) + 1 】e 一一1 ， 【f ( t ) = 【妒( o ) + l i e 一。一1 ， 1 4 0 f 【o ， - j () 令t l 是【z ( t ) 一以m t ) 一口l 】在f 0 ，) 内的第一个零点，解方程( 。( t ) 一以) ( y ( t ) 一 以) = 0 得 t l = l n ( 妒( o ) + 1 ) 一m ( 1 + 以) 从而 z ( t l + r ) = 黼( 1 - t - 吣一一1 且 9 ( t l + r ) = ( 1 + 口1 扣一e 一7 1 又对t i t l + r ，t l + 2 r 】，2 0 r