（应用数学专业论文）kp及其子系列的规范变换求解.pdf

摘要 本文研究从非零“种子”解出发，用规范变换求解k p 系 列，b k p 系列和c k p 系列，并由此给出了( 2 + 1 ) 维的k p 方 程，b k p 方程和c k p 方程的解。更进一步，通过研究零种子和非 零种子出发得到的解的关系，我们找到了对应于这三个方程解空间 的g a l i l e a n 型的变换，并给出了相应的单参数变换群。 关键词：k p 系列，b k p 系列，c k p 系列，规范变换，单参数变 换群，( 2 + 1 ) 维k p 方程，b k p 方程，c k p 方程 k b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，帕d i s c u s sh o wt os 0 1 v et h ek p ，b k p ，c k ph i e r a r c l l 、r v i a g a u g et r a n s f o r n l a t i o l lf r o mn o l l 一z e r os e e d s ，a n d 、代s o l v et h e ( 2 + 1 ) 一 d i l n e n s i o n a lk pe q u a t i o n ，b k pe ( 1 u a t i o na n dc k pe q u a t i 0 1 1g e n e r a 七e df r o m t h et h r e eh i e r a r c h i e sa b o v er c s p e c t i v e l y f u r t h e rm o r e ，t h eg a l i l e a nt y p e t r a l l s f b r m a t i o n sb e t 、v e e nt h es o l u t i o n s ，w h i c ha r eg e n e r a t e db yu s i n gg a u g e t r a n s f o r m a t i o n sf r o mz e r os e e da n dn o r 卜z e r os e e d s o f ( 2 + 1 ) 一d i l n e l l s i o n a lk p ， b k pa n dc k p e q u a t i o n sa r ec o n s t r u c t e d b a s e do nt h e s e sr e s u l t s ，t h eo n e p a r a m e t e rt r a n s f o r m a t i o ng r o u p so fs o l u t i o n so ft h o s ee q u a t i o n sa r eg i v e n e x p l i c i t l y k e y 、v o r d s ：k ph j e r a r c h y ，b k ph i e r a r c h y c k ph i e r a r c l 吼g a u g et r a n s f 6 r m a t i o n ， o n e p a r a m e t e rg r o u p ，( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk pe q u a t i o n ， b k p e q u a t i o n ， c k pe q u a t i o n 1 v 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本入授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 沙谚月7 日 致谢 本文的研究工作是在贺劲松副教授的悉心指导下完成的在硕 士三年的学习阶段里，贺老师给予了我热忱的指导、关怀和鼓励， 在这里我要向他表示由衷的感谢。同时还要感谢李翊神和季孝达两 位教授，他们经常给予我有益的建议和鼓励。季老师是我学习对称 理论和计算机代数系统的指导老师，在学习过程中给了我很大的帮 助。李老师渊博的知识和严谨的治学作风让我受益匪浅，这是我今 后工作学习的榜样。同时还要感谢中国科学技术大学数学系的老师 们，这么多年来，是他们传授了我数学知识，使我领略到数学的美 妙和乐趣。在此在此谨向他们致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 感谢我们研究小组的同学们：田可雷、吴志伟、张玲、虞静、季 美、刘少伟、易戈、涂俊壹等师兄弟姐妹们。三年来，我们一起研 究问题，互相帮助，使我度过了一段难忘的时光。同时还要感谢张 韵华t 黄稚新和张伟三位老师，我在数学系学习的过程中，她们给 予了我很大的帮助。 最后，我要感谢我的家人，感谢他们为了我的学业所付出的劳 累和艰辛。 第一章绪论 孤立子( s o i i t o n ) 是具有弹性散射性质的孤立波，最早由英国著名科学 家j o h ns c o t tr u 8 s e l 于1 8 3 4 年在观察水波的时候发现，并在1 8 4 4 年9 月的英 匿科学键进协会笫十四届会议上谈到了这一次不寻常的发现。枝潞s e l 认识翻 他所发现的耸起的水峰不同于通常的水波，通常的水波一部分在水面之上， 一部分在水面之下，而他所观察到的却是一个完整的全部位于水面上的滚圆 丽光滑的波形。他的观察在当时并来产争太大的影响。直到1 8 9 5 年，荷兰著 名数学家d k o r t e w e g ( 柯特维格) 利他的学牛g d ev r i e 8 ( 德佛雷斯) 在研究浅 水波的运动时，奁长波近似秘小振幅的假定下，给出了著名的浅水波运动方 程，即著名的k d v 方程 宝= 新嘉( 知善象) ， 王， 瓦。jv 了瓦亏& 7 7 至砑十虿否j ， l 。主j 通过一系列数学变换，e q 。( 1 。1 ) 可以写成k d v 方程的一般形式： “f 士6 孔“+ z z 一0 ( 1 2 ) 在此基础上，他们得到了和 囊王s s e l 掰攒述的现象相一致的孤立波解。 在此之后的研究中主要有两个问题：孤立波是否稳定和在其他领域是否 存在。这两个闯题在1 9 6 5 年由普林斯顿大学的& 1 d 。k r u s k a l 和n 。z a b u s k y 一并 解决。他们在研究等离子体中孤波碰撞的菲线性碰撞中采用数值模拟的方法 并得到了孤立波在碰撞后依然稳定的结论。正是因为孤立波具有这种性质， 所以后来人绷都将其称为孤立子( s o l i 毛。珏j 。随着研究的深入，大批具有孤立 子解的非线性方程已经出现在许多科学领域：流体力学、等离子体、超导体、 振子运动、神经信号以及豳前通讯硪究中的光孤子通讯。 目前的研究中主要有两个方面： 系统整体的性质，珏a 巍l 恚孙珏i 糍结构； 研究具体方程的求解阀题，并且已经发展出许多卓有成效的求解方法， 如反教射方法、对称求鳃、奠i r 。毛a 方法、d 8 南。毽x 变换、规范变换等。 而且研究手段也趋于多样化，几乎涉及数学研究的各个分支。我们可以从分 析和微分方程理论的是度来研究，像上蔼提及的反毅瓣方法，它可以蠲来求 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章绪论 解许多重要的非线性方程；同时我们还可以从几何出发，通过三维空间中局 部曲线和曲面的几何性质来构造孤子方程，如零曲率方程、s i n e - g o r d o n 方 程，并且通过几何变换的方法来求解可积系统，如几何b a c k l u n d 变换；从代 数的角度，我们有i m g e l f a n d 利l a d i c k e y 在上世纪7 0 年代引入的g e l f a l l d d i c k e y ( g d ) 系列，由变分来构造p o i s s o n 括号，而后m a d l e r 将其推广到n 阶变 分算子的情形，在8 0 年代，v g d r i n f e l d 和v v s o k 0 1 0 v 通过建立n 阶微分算子 和矩阵算子的对应关系，给出了上述结果的k a c m 0 0 d y 代数解释，到了9 0 年 代，r a d u l 彻底解决了基于拟微分算子描述的k p 系列关于h a m i l t i o n i a n 结构 的问题。 上世纪八十年代，著名数学家s a 亡。引入s a t o 理论f 1 ，2 1 后，对k a d o m t s e v - p e t v i a s l l v i l i ( k p ) 系列1 4 1 的研究进入了一个新的境界。从k p 系列出发，可 以导出许多重要的非线性偏微分方程，如k d v 方程、s i n e g o r d o n 方程和k p 方 程。d a t ee jk a s l l i w a r am ，j j m b om ，m i w at 在1 9 8 1 年给出了k p 系列 的丁函数的存在性定理，并且c h a ul i n g l i e 在9 0 年代初将规范变换的方法 用到k p 系列5 1 ，并显式地给出了k p 系列的两类规范变换算子殇和乃。 在随后的研究中，k p 系列的规范变换方法被不断地扩充、加深，其适用 范围也由k p 系列拓展到b k p 系列、c k p 系列、c k p 系列，c c k p 和c b k p 系 列f 7 1 4 1 ，而且其n 次连续作用的行列式表示也已经显示地给出 6 ，9 】。除规 范变换外，还有许多重要的求解方法。在f 1 5 1 中，h i r o t a 方法被用在k p 方 程上。在f 1 6 1 的第三章中，d a r b o u x 变换也被用在该方程上。在 1 7 ，1 8 1 中， 通过h i r o t a 方法求得了b k p 方程的n 一孤子解，在f 1 9 中，同样的方法求得 了b k p 方程的l u m p 解。在f 2 0 1 中，h i r o t a 方法被用在c k p 方程上，而且显 式地给出了3 一孤子解。在2 1 1 中，d a 1 1 b o u x 变换被应用在b k p 和c k p 方程 上。在2 2 1 石d r e s s i n g 方法被用在了上述方程中，而且得到了孤子解。由 于规范变换的特性，人们在实际应用规范变换求解时必须给出一个初始的 出发点，以往这个出发点一般取为l = a ，也就是从零解出发来进行规范 变换求解，并且许多其他方法求出的解已经被从零解出发求出的解包含在 内。正是基于这种情况，本文探讨的是从一般常算子出发的规范变换，并 且具体研究了( 2 + 1 ) 维的k p 、b k p 、c k p 方程的求解。由于对k d v 方程 来说，存在g a l i l e a n 变换2 3 1 使解变成解，相应的，我们也给出在( 2 + 1 ) 维 的k p 、b k p 、c k p 方程上所对应的结论，并给出了这些变换与规范变换的 关系。 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章绪论 木文的结构如下：第二：章我们研究k p 系列，并对( 2 + 1 ) 维k p 方程进行求 解，同时给出关于解的一些结论：第三和第四章分别讨论b k p 系列和c k p 系 列并求解b k p 方程和c k p 方程；第五章进行总结和对下一步研究的思考。 第二章k p 系列及其规范变换 在这一章，我们先简要介绍一下k p 系列及其上的规范变换的一些结论， 然后对( 2 + 1 ) 维k p 方程进行求解，最后给出该方程的解的g a l i l e a n 型的变 换。 k p 系列的定义是基于如下拟微分算子( p s e t l d o d i 珏e r e n f i a lo p e r a t o r ) l ： l = a + u 2 a 一1 + u 3 a 一2 + u 4 a 一3 + ，( 2 1 ) 其中 u 2 ，u 3 ： 4 ，) ，乱i = “凡1 ，t ? ，屯) 可视为微分代数4 的生成元。在算 子l 的基础上，我们定义b 。= ( ) + = ：。n i 秒，也就是的非负部分，其相 应的负项为( l “) 一= l ”一b n 。算子之间的复合运算依赖于n e w t o n l e i b l l i t z 公 式： 叫班壹巫坐善兰业冀 ( 2 。2 ) 训d z i 。 、7 其中n z 。由算子l 所诱导出的无限维偏微分方程组： 豢= 口。l ，n = 1 ，2 ，3 ， ( 2 3 ) u “ 被称为k p 系列的广义l a x 方程，带入拟微分算子l 的定义，方程( 2 3 ) 就成为 关于地的无穷个偏微分方程，其中当n = 1 的时候可以得到反，l = 巩l ，也 即u i z = u i t 1 ，i = 2 ，3 ，所以在k p 系列中，我们令t 1 = z 。可以证明，方 程( 2 3 ) 等价于z a k l l 甜o v s h a b a t ( z s ) 方程【2 4 鲁一舞邶删扎( 剐咄3 ) ( 9 4 ) 通过l a x 方程( 2 3 ) ，当n ：2 和n = 3 时，也就是取k p 系列的t 2 流和f 3 流，我们 可以得到著名的i p 方程： ( 4 t ，t 一1 2 u u z 一让。r z ) f 一3 u 夕! ，= 0 ， 其中z = 1 秒= f 2 ，t = f 3 。 ( 2 5 ) 对于k p 系列，存在唯一的丁函数使得k p 系列的l a x 算子的系数t t i 蓠足如 下关系： a 2 u 2 2 砸1 0 9 7 。， u 。：去 最一融旷u 。2 互l 瓦瓦一两j g 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 2 0 0 7 年中国科学技术犬学硕士学位论文第5 页 第二章i p 系列及其规范变换 k p 系列的l a x 算子己的特征函数西和共轭特征函数移定义如下： 婺：蹦，一= n 一； 况n 娑。一联妒。一一巧? ， 务 拜 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 给定k p 系列的l a x 算子l ( 如方程( 2 1 ) 所示) ，我们定义其共轭算子l + 为： l 4 一一a + ( 一1 ) 钆m l ( 2 1 0 ) l i n 鼢n ec h a u ，j c s h a w 和h i c y e n 在1 9 9 2 年把规范变换用到了k p 系 列，并显式地给出了两类规范变换算子殇和乃。其基本想法是由已知k p 系 列的l a x 算子为出发点，逶过某种变换使得新得到的算子仍然满足方程( 2 3 ) ， 从而使得新得到的算子仍然为k p 系列的l a x 算子，从而也就给出了k p 系列 蛉薮解。 设l ( o ) 为k p 系列的l a x 算子，其满足方程( 2 3 ) ，r 为一拟微分算子，如下 作用在算予( o ) 上： l ( 1 ) = tol ( o ) 。丁一1 ， b 9 ) 兰( l ( 1 ) 罩， ( 2 1 1 ) 熹l ( 1 ) = b ) ， ， p 。“ l “礼“j 那么则称f 为壬 0 其中，( i ) = 筹，七可以重新写为 万荔 佗一 + ( 2 5 0 ) 移一1 一i 。( 乃o ) ) 。幻+ a n + ( 秀。) “。1 。幻 j = 1 _ 1 一。( 乃o ) i ) 。6 j 作为瓦+ 凫的逆算子，七应取为如下形式 硪丸= a + 七+ 低阶项部分 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 七一 o n 芦 + o、， o a o 一 0 。芦 一 n 同d 乏警芦咙涉 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 8 页 第二章k p 系列及其规范变换 对比等式( 2 5 1 ) 和( 2 5 2 ) ，我们有 厂f 0 b 1 + 以o 6 2 + 碟o 6 3 + + 矗o ) 6 n = o 矗兰6 ，+ 以婴幻+ 以婴k + + 群墨b ，。= o ( 矗o ) n m ) 6 1 + ( 以o ) n 一) 6 2 + ( 斧) m 一1 ) 6 1 + ( 以o ) 础一1 ) 6 2 + 一+ ( 帮) ”一心) 6 扎= o 一+ ( 卵) n 一) 6 ，。= 1 ( 2 5 3 ) 从方程组( 2 4 3 ) 和( 2 5 3 ) ，我们可以解得玩( i = 1 ，2 ，n ) ， ”蹀 硝夕：0 厂以叭9 7 i 厂夕? 矗叭9 艘。，以叭9 艘。i 帮9 艘， ， ：z ： “o 以叭 i 靠o 一兰以兰 i 矗 其中j = 1 ，2 ，n ，符号i 表示包含一o 的那一列被删除。 方程( 2 4 1 ) 就可以得到f 暑的行列式表示。 注2 1 在几= 七的情况下，我们可以假设 已+ 七 班屉 一1 1 + 口p 。a 。砂2 ， 口= 一后 n 1 + 。a 1 。幻， j = 1 有了坑， ( 2 5 4 ) 将其代回 口 ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) + + 3 3 6 b ” 一 一 七 七 一 一 n 九 、l，、l， 髭露 ，l，jl fj 动 一 七 一 m 船 口p0 一七一 m 矗 砧 一k一 ，j 2 0 0 7 年中国科举技术大学硕士学位论文 第1 9 页 第二章k p 系列及其规范变换 用和定理中同样的方法，瓦+ 毛的表达式和前面一致为 瓦机 1 w 仡，竹( 移乎；，艘l ，( o ；移；o ，妒字，磐) ( 2 5 7 ) ，毋，移磐，字衫，箩，多塑+ 谚乎秽一1 。龆 。多 妒婴。厂妒笋谚罂，毋) 栏，a ，。谚控。 ，痧，妒 o ，多移p 妒，多笋 而惫的表迭式变成 惫一 一l 粤) 。移l o ) 移粤) 1 w 竹，竹( ，乎，矽2 l ，移p ；于；矽箩) ，霉) 一伊 p 。a 一1 o a 一1 艘，。a 一1 锷) oa 一1 鹋) ，嘏 ，锣移字 ，姥艘， ，钾) 钳 螋， ，掣，。9 ( o j 移2 ，毋 j r 艘，艘。 。移2 。嘏) 妒f ，。 卵笋 移p 。艘。 ，p 咖等) 推论2 5 经过钉次殇和次正规范变换后( ，7 走) ，丁函数有如下表示 丁( 时砷= 1 w 跏( 耀，螋，婵；痧( 0 ，9 罗，鳄) 丁( ， 相应的，( 2 + 1 ) 维k p 方程的解可写为 髓尹舢= 珏笋+ ( 1 。g1 w & ，。) r t ( 2 5 8 ) ( 2 r 5 9 ) 有了定理2 。4 ，也就是有了连续规范交换的曼式的行列式表示，我们可 以求解k p 系列j 此处选择k p 系列中的( 2 + 1 ) 维k p 方程作为研究对象，由于 其在实际问题中有十分重要的应用。首先从k p 系列导出( 2 + 1 ) 维k p 方程。 8 ，1 够 o 伊 a p ，j 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 0 页 第二章k p 系列及其规范变换 根据l a x 方程( 2 3 ) ，我们分别给出f 2 流和f 3 流的前几项， f 2 流： a m a f 9 d “3 龀2 a “4 a f 。 f 3 流： a ，z ) a f 3 d 乱3 况3 a 蛳 a t 3 = u 2 t z + 2 “3 z ， = “3 t 。+ 2z 4 上+ 2 u 2 札2 z ， =u 4 r z + 2 5 ，。一2 u 2 让2 ，_ r z + 4 2 ，z 3 ， = u 2 z z t + 3 u 3 z z + 3 u 4 t + 6 u 2 u 2 ，t ， =u 3 z z + 3 “4 t z + 3 u j z + 6 札2 3 ，z + 6 u 2 工“3 ， = u 4 ，z z + 3 t ，5 r t + 3 扎6 ，z 一3 “2 u 3 t z 一3 “2 ，正z ? 。3 十3 u 2u 4 。+ 9 u 2 z 札4 + 6 仳3 扎3 z ： ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) 分别从式子( 2 6 0 ) 和式子( 2 6 1 ) 解出u 3 和u 4 ，再代入式子( 2 6 3 ) ，令u 2 = “，f 2 = 夥，f 3 = f ，我们可以得到( 2 + 1 ) 维的k p 方程， 1 2 z 一 上) z 一3 ，“掣= o ( 2 6 6 ) 为了用规范变换求解k p 方程，我们必须先选定初始的k p 系列的l a x 算子。设 l ( oj = a + u a 一1 + u 箩a 一2 + u ，a 一3 + ， ( 2 6 7 ) 其中“：o 均为常数，对k p 方程来说也就是取初始解u ( o ) = “字= 常数，由 此出发作规范变换。为了进行规范变换，我们要先求出初始算子的特f i f 函数 移：o ) 和共轭特征函数 屯，：o ) 。由于k p 方程是由2 流和t 3 流所诱导出来 的，所以只要求解下列方程组， jp 5 2= b 2 ：o = ( a 2 + 2 2 z ，) 9 们， i 移雾：= b 3 9 5 = ( a 3 + 3 扎字a + 3 u 箩) 9 ：0 1 ， io j 2= 一b ；，：= 一( a 2 + 2 u 笋) “0 1 ， il ? ；2= 一b ；。，：叫= 一( 一a 3 3 “笋a + 3 t z 箩) 。，j ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) 2 0 0 7 年中国科举技术火学硕士学位论文第2 1 页 第二章k p 系列及其规范变换 引理2 6 方程组( 2 卯) 和( 2 6 1 9 ) 的解有如下形式 程。，：甄e 群啦舻秘，岛：岛( ) ，= b e 糟蚪q 计量弘，岛一岛( ) ， 卵 ( 2 7 0 ) 妻弓e 翳婀蛳，历：确 ( 2 7 1 ) 其中，岛，西，岛须满足如下关系 ( 岛一3 珏字) 2 = ( 哟+ z ) 2 ( q 一2 托字) ， ( 历+ 3 u 笋) 2 = ( 一西+ 乱笋) 2 ( 一面一2 乱笋) ( 2 7 2 ) ( 2 7 3 ) 砌西蓄先我们瑕设方程( 2 ，鼹) 的解具有万一x ( z ；y 匆) ( 丢) 的形式，于是 我们有 设 | 争一每+ 2 珏爨 i 孕一等+ 3 “罗等+ 3u 9 k 芗2 娶：p ， 上 英中和方是常数，代入方程组( 2 7 蓬) 看有 q 一2 锃箩) x 一墨。， 多一3 骐妒) x 一墨z 。+ 3 毪箩五， 化简上述方程组，我们有 在相容性条件 下，我们可以得到 ( 岛一3 珏妒) 2 = ( 哟艇) 2 ( 哟一2 珏字) x ( z )一p 筹g = e 1 a + u 2 。， ( 2 7 4 ) ( 2 7 5 ) ( 2 7 6 ) ( 2 7 7 ) ( 2 ? 8 ) ( 2 。7 9 ) ，f ，、【 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 2 页 第二章k p 系列及其规范变换 从方程( 2 7 5 ) ，我们有 1 7 ( y ) = c 2e 口，丁( f ) = c 3e 芦， 由此可以导出方程( 2 6 8 ) ：，错咖砌 f n 、ml 1 西= 七e 。+ 。， ( 2 8 0 ) 其中七= c 1c 2c 3 根据线性叠加原理，方程( 2 8 0 ) 中的石的根据不同n 和，9 的线性组合仍 然是方程( 2 6 8 ) 的解，也就是 砂 0 ) = 妻b 磊：甄e 群咖舻即 通过同样的步骤，我们可以求得方程( 2 7 1 ) ，这就证明了该引理。 ( 2 8 1 ) 口 有了牛成函数，利用定理2 4 ，我们可以从初始算子( 2 6 7 ) 出发，求得多 次变换后的规范变换算子和7 - 函数，从而达到求解( 2 + 1 ) 维k p 方程的目的。 在求解过程中我们发现，在求出来的解中可能存在奇点，为了消除奇点，我 们引入下面定理。 定理2 7 设经过n 步殇规范变换后相应的生成函数为鬻( 汀i = 1 ，2 ：，凡) 但方程f ，2 7 口，j ，我们将其重新写为9 袈= 詈七m ，ie x p n 丁+ a t 可+ ”