（应用数学专业论文）基于gep的参数识别问题的研究.pdf

摘要 偏微分方程反问题的研究领域非常广阔。它来源于各种实际背景，属于多 学科的应用理论范畴，在理论研究和实际应用方面都有重要意义。在实际情况 中，偏微分方程中的算子、右端项、边界条件、初始条件从过去的已知变成未 知，而原方程的解仍然未知时，就构成了偏微分方程的反问题。这些反问题在 h a d a m a r d 意义下都是不适定的，主要表现在解不连续依赖于数据，也就是当方 程右端项有微小变化时，所求得的近似解与真实值之间相差非常大，即不稳定 性。由于反问题的非适定性与非线性性，使得它的理论与求解都比正问题困难 得多，而且涉及面广，所以如何解决这些问题，成为广大数学工作者、自然科 学工作者及工程技术人员努力开拓的一个崭新的学科领域。 参数识别反问题是偏微分方程反问题的一类，也是在自然科学与工程技术 的各领域比较常见的问题。这里，所识别的参数又可以分为连续型的和间断型 的两类。连续型的参数识别已经有了很多这方面的研究，我们可以采用一般的 遗传算法或遗传程序设计对该类问题进行识别。但是，由于间断参数的特殊性， 如果还是采用上述算法，就会给识别带来本质上的困难。函数的间断性将函数 划分成若干个区域，在各个区域上有着各自的子函数。要识别整个函数，就必 须同时识别若干个区域和其上的子函数。这种复杂性使得间断参函数识别问题 成为一种具有挑战性的难以求解的问题。同时，常规的数值方法解决偏微分方 程反问题容易陷入局部最优，并带来复杂数值计算。因此，本文用演化算法中 的一种新算法基因表达式编程算法对偏微分方程的参数进行识别。一方面 可以避免反问题所带来的不适定性，另一方面可以避免数值方法陷入局部最优。 根据间断函数的特点，我们采用分域表达式挖掘方法来进行函数挖掘。该方法 是对基因表达式算法的改进，能够挖掘间断函数，具有对数数量级的复杂度。 实验结果显示：基于基因表达式编程算法的参数识别过程是很成功的。对于不 同类型的参数，函数挖掘的成功率较以往算法都有了很大的提高。 关键词：反问题，不适定，基因表达式编程，参数识别 a b s t r a c t t h e r ea r em a n y p r o b l e m sc a n b ed e s c r i b e db yt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t h en a t u r a ls c i e n c ea n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g yf i e l d ，s t u d y i n gt h en u m e r i cs o l u t i o no f t h e s ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sas t r o n gt o o lf o rs o l v i n gt h e s ep r o b l e m s g e n e r a l l ys p e a k i n g , i ft h eo p e r a t o r , t h er i g h tt e r m ，t h eb o u n d a r yc o n d i t i o no rt h e i n i t i a lc o n d i t i o ni sn o tk n o w na n dt h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o ni s n tk n o w ne i t h e r , t h e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb e c o m e sa ni n v e r s ep r o b l e m t h e s ei n v e r s ep r o b l e m sa r e i l l p o s e di nt h es e n s eo fh a d a m a r d ，a n dt h e yr e p r e s e n tp r i m a r i l yt h a tt h es o l u t i o nd o e s n o td e p e n dc o n t i n u o u s l yo nt h ed a t a ，i e t h ee l r o rb e t w e e nt h es o l v e da p p r o x i m a t i o n a n dt h et r u ev a l u ei sv e r yb i gw h e nt h e r ei sas m a l lc h a n g ei nt h ef i g h ts o u r c et e r m ， w h i c hi su n s t a b l e t h et h e o r ya n dt h es o l v i n gs o l u t i o no ft h ei n v e r s ep r o b l e ma r e m o r ed i f f i c u l tt h a nt h o s eo ft h ed i r e c tp r o b l e m sa n dr e l a t e dw i t hm a n ya s p e c t s b e c a u s et h ei n v e r s ep r o b l e mi sn o n l i n e a ra n di l l - p o s e d ，a n dh o wt os o l v et h e s e p r o b l e m sb e c o m ean e wf i e l dt h a tm a t h e m a t i c sl e a r n e r s ，n a t u r a ls c i e n c er e s e a r c h e r s a n d e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g yl e a r n e r st r yt os t u d y p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e m sb e l o n gt ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n v e r s ep r o b l e m s t h e ya l ea l s oc o m m o ni nt h ef i e l do fn a t u r a ls c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g h e r e ，t h ep a r a m e t e r sw h i c hw ei d e n t i f yc a nb ed i v i d e d i n t ot h e c o n t i n u o u sa n dt h ed i s c o n t i n u o u s t h e r ea r em a n yp e o p l et h a td ot h er e s e a r c ho nt h e c o n t i n u o u sp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n w ea l w a y sd e a lw i t ht h e s ep r o b l e m sb yg e n e t i c a l g o r i t h m o r g e n e t i cp r o g r a m m i n ga l g o r i t h m b e c a u s e o fc h a r a c t e ro ft h e d i s c o n t i n u o u sp a r a m e t e r , i ti sq u i t ed i f f i c u l tf o ru st os o l v et h ep r o b l e m sb yt h ea b o v e a l g o r i t h m s t h ed i s c o n t i n u i t yo ff u n c t i o nd i v i d e sf u n c t i o ni n t os e v e r a la r e a s i no r d e r t oi d e n t i f yt h ew h o l ef u n c t i o n ，w em u s tf i n do u tt h es u b f u n c t i o no ne a c ha r e aa tt h e s a m et i m e t h ec o m p l e x i t yo fd i s c o n t i n u o u sp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o ni sac h a l l e n g i n g p r o b l e m m o r e o v e r ，m a t h e m a t i c a ln u m e r i c m e t h o d sh a v em u c hc h a n c et og e ts t u c ki n l o c a lm i n i m a ，u n l e s sa9 0 0 ds t a r t i n gp o i n ti sa v a i l a b l e a n di tw i l l 喇n gt h ec o m p l e x c o m p u t a t i o n s o ，t h i sp a p e ri s t op r o p o s ean e wa l g o r i t l l m g e n ee x p r e s s i o n p r o g r a m m i n g ( g e p ) t od ot h ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n g e pi st h es u c c e s s i o na n d u d e v e l o p m e n to fg aa n dg p i ti n t e g r a t e st h ea d v a n t a g e so ft h eg a a n dg p i ti se a s y t os o l v et h ep r o b l e m s m e a n w h i l e ，o nt h eo n eh a n dg e pa v o i d st h ei l l - p o s e do ft h e i n v e r s ep r o b l e m o nt h eo t h e rh a n d ，i ta v o i d st h el o c a lm i n i m ao ft h en u m e r i cm e t h o d a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i co fd i s c o n t i n u o u sf u n c t i o n ，w eu s e t h em u l t i e x p r e s s i o n m i n i n gm e t h o d t h i sm e t h o dh a sr e l a t i v e l y l o wc o m p l e x i t y t h er e s u l t so ft h e e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ef u n c t i o nm i n i n gm e t h o db a s e do i lg e p i sq u i t ee f f i c i e n t w h i l em i n i n g f o rt h ed i f f e r e n tt y p eo ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ，t h ep r o b a b i l i t yo f s u c c e s s f u lm i n i n gi sh i g h k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ，i l l - p o s e d ，g e n ee x p r e s s i o np r o g r a m m i n g , p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n i l l 武汉理工大学硕士学位论文 1 1课题概述 第1 章绪论 在自然与工程技术各领域中，求未知参数这样的反问题是最常遇到的一类 问题。反问题是相对于正问题而言。一般地，对于两个相关问题，如果其中一 个问题是( 或部分是) 另一个问题的结论，则称这两个问题是互逆的。通常， 将其中一个研究的较早、发展的较成熟的问题称为正问题，它是指已知给出所 有参数求偏微分方程的解，而另一个问题相应的称为反问题【1 1 。反问题现在是数 学物理研究中的一个热点问题，但是数学物理反问题的求解面临的一个本质性 的困难就是不适定性，主要是近似解的不稳定性，即方程的解( 如果存在) 不 连续依赖于右端的数据，当右端的数据有误差时，其解与真解之间会产生很大 的误差。近2 0 年来，虽然从理论到方法上对偏微分方程反问题的研究取得了重 大进展，但是这些方法要求知道原问题的数学表达式并进行解析运算，而且有 些原问题是很复杂的，以至于不可能对它进行任何解析运算。因此寻找一种新 的思想与技术来解决反问题研究中的难点问题，已经成为十分迫切的研究课题。 大自然是我们解决各种问题时获得灵感的源泉，它所提供的答案是经过漫 长的自适应过程( 即演化过程) 而获得的结果。在这一过程中，我们不必明确 地描述出问题的全部特征，只需要根据自然法则来产生更好的解。演化计算正 是基于这种思想发展起来的，采用简单的编码技术来表示各种复杂的结构，这 使得它可以同时搜索解空间内的几个区域。同时，由于高度的内在并行性，我 们可以把一个极度复杂的问题在大规模并行机或机群上实现并行化求解，这正 是近来在科学和工程技术领域中出现的大规模、非线性问题的求解所迫切需要 的。演化计算具有自组织、自适应、自学习等特征，具有优胜劣汰的自然选择 和简单的遗传操作特性。它们使演化计算具有不受搜索限制性条件约束的特点。 这些新的特点使得演化计算不仅能获得较高的效率，而且简单、易操作和通用 性强，具有普遍性和对问题复杂度不敏感性。更有意义的是，演化计算蕴涵了 极富开发价值的学术思想，拓宽了求解问题的思维方式。正是在这样的背景下， 本文借鉴和融入演化优化的思想，利用演化算法进行微分方程反问题的研究， 并取得了初步的成果。 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 相关研究现状 在求解偏微分方程反问题时，人们经常的做法是用非线性最优化方法、脉 冲谱技术( p u l s e s p e c t r u mt e c h n i q u e ，简记为p s t ) 或广义脉冲谱技术( g e n e r a l p u l s e s p e c t r u mt e c h n i q u e ，简记为g p s t ) 、最佳摄动量法、蒙特卡罗方法( m o n t e c a r l om e t h o d ) 和正则化方法。它们的基本思想是：数据信息( 输入信号，输出 信号) 是在时间域给出，而综合分析( 确定未知量) 是在复频域中进行。它先 发送与接收已知数据，并经过l a p l a c e 变换或f o u r i e r 变换，将时间域的反问题 转化为复频域的反问题，然后选择离散频域以建立一个求解离散复频域中的反 问题的迭代方法，最后求出参数。但是以上方法只能求出在初始猜测值附近的 最优值，即只能得到局部最优解。 应用演化算法求解偏微分方程反问题，不仅可以克服数值方法所带来的不 适定性，还可以避免单纯的数值方法使问题陷入局部最优。因此，近几年来有 很多学者作了这方面的研究。自1 9 9 9 年以来，武汉理工大学计算机学院的熊盛 武教授写了一系列关于用演化算法进行参数识别的文章，例如“偏微分方程的 演化建模方法”、“用演化算法求解抛物型扩散系数的识别问题”、“抛物型方程 的演化参数识别方法”等等。这些文章主要是应用演化方法求解抛物型微分方 程的参数，即偏微分方程的参数反演。2 0 0 4 年，武汉大学的吴志健写了一篇题 为演化优化及其在偏微分方程反问题中的应用的博士论文【堋。其中用演化 算法对偏微分方程参数识别。 f e r r e i r a c 关于g e p 的原创思想萌芽于1 9 9 9 年，2 0 0 0 年底在网上开始有报道， 成果正式公开发表于2 0 0 1 年底，并冠以副标题“c o m p l e t er e f e r e n c ef o rt h ef i r s t g e p p a p e r ( 1 2 5 2 0 0 1 ) ”来强调其原刨性。2 0 0 2 年f e r r e i r a c 出版了第一本关于基 因表达式编程的专著，该书全面系统地介绍了g e p 的基本算法，讨论了问题求解、 函数挖掘、符号回归、时间序列，细胞自动机、组合优化、进化动力学原理等。 f e r r e i r a c 已经开发出商品化软件，并创建了以g e p 为核心技术的公司g e p s o f l ， 获得了专利。 在国内，四川大学在2 0 0 0 年底开始了对g e p 的跟踪性研究，在公式发现、 函数挖掘、关联规则发现、因子分解、太阳黑子预测中获得好的进展。2 0 0 4 年， 汪锐等人利用g e p 方法实现了多项式函数分解，提出了基于g e p 的多项式函数 2 武汉理工大学硕十学位论文 分解方法( g e p p o l y n o m i a l f a c t o r i z a t i o n ) 1 2j 。该算法能将任意多项式函数关系， 按指定精度分解若干个低次多项式函数之积，并通过一系列的实验证明了g p f 的有效性。2 0 0 4 年，段磊等人借鉴生物具有的“趋利避害”天性，提出了g e p 的“弱适应模型”，以实现在含噪声的数据集上挖掘函数关系，提出新概念“带 内集”、“带外集”并用于划分训练数据集，同时设计了弱适应模型下基于相对 误差计算适应度的算法( r e l a t i v ee r r o rf i t n e s sa l g o r i t h m ，简称r e f a ) ，并用详 尽的实验验证了r e f a 的有效性【3 】a2 0 0 4 年，唐常杰等人综述了基于基因表达 式编程的知识发现技术的沿革、特色和成果【4 1 。2 0 0 4 年7 月，黄晓冬等人提出 了一种基于基因表达式编程的函数发现关系分域表达式挖掘方法( m u l t 卜 e x p r e s s i o nm i n i n g ，简称m e m ) 【5 】。它能处理具有一致表达式的关系和具有不 同分域表达式的复杂函数关系，在对该算法的复杂度和性能做出评价的同时， 也论证了m e m 方法具有对数数量级的复杂度。贾晓斌等人分析了传统函数挖掘 的不足，提出了频繁函数集( f r e q u e n tf u n c t i o ns e t ，简称f f s ) 的概念来描述在 指定数据集上具有一定支持度的函数关系簇，同时分析了f f _ s 的性质 “。 1 3 本文的组织结构 本文在求解偏微分方程反演问题中引进基因表达式编程，把它和数值方法 相结合，来解决反问题的不适定性( 主要是稳定性) 。在参数识别过程中，我们 分别采用有限差分法和k e l l e r 盒式法将抛物型微分方程离散化，在不给定基函 数的前提下，直接用基因表达式编程算法对其系数进行反演，并跟以往的识别 结果进行比较。从误差比较结果我们可以看到：采用基因表达式编程算法对参 数反演可以得到很好的结果。 全文共分为六章。第一章绪论，简单地介绍了与该课题相关的内容，并给 出了本篇论文的结构；第二章介绍了反问题的基本理论，其中包括偏微分方程 和反问题的有关概念、反问题的分类以及反问题的不适定性，从而对微分方程 反问题形成一个基本的认识；第三章介绍了演化计算的一种新算法基因表 达式编程算法，它是借鉴生物遗传的基因表达规律提出的知识发现新技术，解 决符号回归等问题效果很好；第四章分别用演化算法中的遗传算法和基因表达 式编程算法对微分方程的连续型参数进行反演。由于偏微分方程的反问题的不 武汉理工大学硕士学位论文 适定性，将稳定性信息融入到正则项，完成了适应值的评价过程，保证了反演 算法的近似准确性。比较反演结果，发现用基因表达式编程算法进行反演的效 果较好；第五章用基因表达式编程算法对微分方程的间断参数进行识别，将实 验结果与以往算法的识别结果比较得到：基因表达式编程算法对间断参数的识 别效果也很好，即用基因表达式算法对间断参数反演也是很成功的；第六章总 结了整篇文章，并对偏微分方程反问题和基因表达式编程算法的研究进行了展 望。 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 引言 第2 章偏微分方程反问题 我们知道，在许多科学领域( 如物理学、力学、热传导学、声学、电磁学 等) 和工程技术中，有许多问题可以用偏微分方程描述。研究偏微分方程的数 值解是解决这些问题的强有力工具，并且偏微分方程数值解的研究已成为一门 专门的学科，国内外有许多学者在这个领域进行研究，并利用各种数值方法和 最新的研究成果来解决各种工程实际问题。然而，自然界中的事物总存在着辨 证关系。当偏微分方程中的算子、边界条件和初始条件，从过去的已知变成未 知，而原方程的解仍然未知时，这就构成了偏微分方程的反问题。这些问题在 工程技术中也是普遍存在的，例如在无损探伤、地下目标重构、地质勘探、石 油开采方面的强化采油和产量预测、飞机翼型设计、结构故障诊断、物质的热 传导系数和比热系数的测定等方面，均存在偏微分方程的反问题。近年来，由 于大型结构设计中普遍采用了复合材料，复杂地质条件下的油藏模拟，数值天 气预报模式改进以及核爆炸模拟，非线性现象普遍得到关注。它们的模型都己 给出并经过实践证明，关键在于确定其中的参数，因为以上这些应用对模型( 主 要是偏微分方程) 中参数的误差极其敏感，这可能是导致结果错误的原因之一， 所以反问题的研究得到了国内外学者的广泛重视 ”。 2 2 偏微分方程反问题的基本理论 2 2 1偏微分方程的有关概念嘲 在应用科学、物理、工程领域中的许多问题可以建立偏微分方程的数学模 型，包含多个自变量的微分方程称为偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) ， 简称p d e 。一个偏微分方程的表示如下： 一m 搿+ 四中肆+ c m 拶暑f ( 工，y ，中，巾：，中y ) ( 2 - 1 ) 其中爿，口，c 是常数，称为拟线性( q u a s i l i n e a r ) 数。这里存在三种拟线性方程： 武汉理t 大学顾士学位论文 如果b 2 4 a c 0 ，称为双曲型( h y p e r b o l i c ) 方程。 偏微分方程的求解问题是一个十分复杂的问题，除了少数几种特殊情况外， 要求出它的精确解是非常困难的。随着科学技术的发展，近几十年来，其近似 解法在理论上和方法上都有很大的帮助，而且在各个领域的应用也越来越广泛。 在偏微分方程的数值解法中，最常用的方法是有限差分法和有限元法。 有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程( 线性 代数方程组) ，去近似代替连续变量的微分方程及边界条件，并把相应的差分方 程解作为微分方程的近似解。有限元法是在古典r i t z g a l e r k i n 变分方法的基础 上，利用分片插值多项式作工具，迅速发展起来的一种数值方法，它特别适用 于区域比较复杂的边值问题。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题( 双曲 型和抛物型方程) ，而有限元方法则侧重于定态问题( 椭圆型方程) 。以上准则 只是根据以往的经验总结出来的，但这些也不是那么绝对的，在处理具体问题 时，我们可以综合传统的算法，以达到更好地解决问题的目的。 2 2 ，2 反问题的概念及其分类。3 反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 是相对于正问题( d i r e c tp r o b l e m ) 而言的。按照 j b k e l l e r 的提法，若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包含了有 关另一个问题的全部的或部分的知识，我们称其中一个为正问题，另一个为反 问题。用数学的语言描述如下： 设f 和u 均为度量空间( 分别称之为解空间与数据空间) ，算子a ：f 一【厂为 从f 到u 的映射，则第一类算子方程的形式为： a z 。“，z f ，“e u ( 2 - 2 ) 其中a 可为积分算子、微分算子或矩阵( 有限秩算子) 。当a 为线性算子时，称 其为线性反问题，否则称其为非线性反问题。这样，所谓正问题就是：由已知 的a 和z 求“( 一般来说，相对容易一些) ，而反问题则是在已知h 和a 的情况 下由方程( 2 2 ) 求z ，即己知h ( 效果、表现、输出) ，反求z ( 原因、原像、 输入) 。如果我们不去考虑方程本身的实际内容，概括它们的共同本质，便可以 得到数学物理反问题的一般形式： 微分方程：l u ( t y ，t ) = ，( x ，y ，t ) ( 五) ) q ，t e ( o ，0 0 ) 武汉理工大学硕士学位沦文 初始条件：血( 工，y ，t ) 一( x ，y )( ) ，) q ，t ：0 边界条件：b u ( 茗，y ，t ) = 妒( 五y ，t )( z ，y ) e o q 附加条件：a u ( x , y ，t ) 一k ( 工，y ，t )( 与_ ) ，) a q 其中“( x ，y ，t ) 是微分方程的解，( 并，y ，t ) 为右端源项，妒( x ，y ) 、妒( 石，y ，t ) 、 k 五y ，z ) 分别为初始、边界与附加条件。、j 、b 、a 分别为微分算子、初始 算子、边界算子与附加算子。如果上述的这些已知量中有某一个变为未知了， 那么这个问题就变为微分方程反问题。 根据反问题的以上数学表述，我们可以将微分方程反问题分为以下五类： ( a ) 当算子l 为未知时，称为算子识别反问题。通常的情况是算子l 的结 构为己知，未知的是算子中的参数，所以这类反问题称为参数识别反问题。在 自然科学与工程技术的各个领域中最常见到这类反问题。 ( b ) 当右端源项，( x , y ，f ) 为未知时，称为源项反问题。 ( c ) 当初始条件庐( x ，y ) 为未知时，附加条件往往是给出系统在某一时刻的 状态，这相对于从后面的状态去确定初始状态，所以也称为逆时间过程的反问 题。众所周知，这类反问题的正问题是适定的，而逆过程及反问题是一个不适 定问题。 ( d ) 当边界条件妒( x ，y ，t ) 为未知时，工程上称这种反问题为边界控制问题 反问题。为了使微分方程的解具有某些性质，比如在某处应取得给定的值或者 是边界的某一泛函取值等，应如何设置条件或者是部分边界条件。 ( e ) 如果区域的边界a q 是未知的，常称这类反问题为几何反问题。工程 中的某些定向设计问题常归为这一类。一维几何反问题是确定端点的位置，二、 三维的反问题是确定曲线和曲面的形状。确定不同介质界面的形状也可归结为 这类问题。 2 3 反问题的不适定性及正则化方法加1 反问题通常都是不适定的。关于“适定”( w e l l p o s e d n e s s ) 与“不适定” ( i l l p o s e d n e s s ) 的概念是h a d a m a r d 为了描述数学物理问题与定解条件的合理搭 配，于2 0 世纪初引入的。偏微分方程反问题与正问题之间的一个根本性区别是 反问题在h a d m a n d 意义下是不适定的( i l l p o s e d ) 或称病态的。这使得反问题的 武汉理工大学硕士学位论文 研究不论是在理论分析，还是在数值计算上都存在很大的困难。 1 9 2 3 年，数学家h a d a m a r d 针对偏微分方程的定解问题提出了不适定性的概 念。针对于数学物理问题他提出了三个公设条件：即解的存在性、唯一性和稳 定性，同时满足这三个条件的问题称为是适定的，如果其中有一个条件不满足， 我们就称该问题是不适定的。从数学的角度来看，解的存在性可以通过扩大解 空间的范围来解决，如微分方程的广义解就是一例，而对解的唯一性，往往可 以通过附加信息而使解变得唯一。真正难以克服和解决的是解的稳定性，因此 稳定性是最重要的一个公设。任何测量数据由于客观条件的限制和计算方法上 的影响都存在着无法避免的误差，即数据来源带有一定的噪声，如果这个问题 是不稳定的，那么它的解是无法通过计算得到的，换句话说，问题的解不能连 续地依赖于数据，观测与实验得到的数据细微的误差可能引起反问题的解产生 巨大的偏差，那么它的解可能与真解相距甚远。正因为考虑到反问题依赖的数 据通常都来自于测量值，带有一定的噪声，h a d a m a r d 才提出了稳定性的公设条 件，以确保当测量数据的误差越小时，所对应的解的误差也越小。h a d a m a r d 给 出的一般形式的算子方程k x = y 的稳定性定义如下： 稳定性定义：已知两个赋范空间工和y ，k 4 ：y z 是线性或非线性的映 射，若算予方程k x - - y 满足： ( 1 ) 对v y e y ，算子方程存在唯一解x r ( y ) x ； ( 2 ) 对v r ，o ，j 6 ( s 卜0 ，当i l y l y 20 6 ( e ) 时，l l 石1 一石20 e ，其中， 而= r ( y ，) x ，x 2 = 月( y 2 ) e x 分别是算子方程右端项对应于n ，y ：y 的解。 则称算子方程k x = y 在赋范空间对( 墨y ) 上是稳定的，具有稳定性。 有了稳定性的定义，加上存在性与唯一性的概念，可以给出算子方程k 叫 的适定性概念： 适定性定义：设置，y 为两个赋范空间，k 。1 ：y x 是y 到x 的映射，称 算子方程k _ - - y 在赋范空间对( x ，y ) 上是适定的，当且仅当满足以下三个条件： ( 1 ) ( 存在性) 对v y y ，总存在对应的解x e x ； ( 2 ) ( 唯一性) 解x r ( y ) 是唯一确定的，即如果而= r ( ) ，) 和x ：一r ( y ) ， 那么必有墨= x 2 ； ( 3 ) ( 稳定性) 算予方程k x = y 在赋范空间对( z ，】，) 上是稳定的。 8 武汉理工大学硕士学位论文 若以上三个条件中至少有一个是不满足的，则称算子方程k x = y 在赋范空 间对f x ，y ) 上是不适定的。 根据以上适定性的定义，可以将不适定性分为以下三种类型： ( 1 ) 不存在性：若k 不是满射，则方程k x = y 并不是对所有的y c y 都存 在对应的解x x ； ( 2 ) 不唯一性：若k 不是单射，则方程对某些y e y ，存在多个对应的解； ( 3 ) 不稳定性：如果逆算子k 1 ：y z 存在，但不连续，即方程k x = y 的解x 不连续地依赖于数据。 一个偏微分方程定解问题只有同时满足解的存在性、解的唯一性和解连续 地依赖于数据的稳定性三个条件，才可以称其是适定的，否则称为是不适定的。 在相当长的一段时间内，人们的注意力被限定在适定类的圈子里，总认问 “从实际中归结出来的问题总是适定的”，忽视了对不适定问题的研究，认为研 究不适定性是没有实用价值的。直到2 0 世纪5 0 年代中期，在解释地球物理观 测数据的触发下，以及随后发现三大古典不适定性问题具有一定的实际意义， 才唤起了人们对它的重视，促使人们对不适定问题进行深入研究。不适定问题 研究的重点又主要放在具有不稳定性这一类不适定问题上。前苏联学者t i k h o n o v 的o t h es o l u t i o no f1 1 1 p o s e dp r o b l e m s ) ) 是这一领域的第一本专著，其引进“条 件适定”概念即对解进行适当的限制，则可使问题变为适定，成为求解不适定 问题的基础。 那么到底是什么原因造成问题不适定呢? 实质上，算子方程k x = y 解的存 在性、唯一性和稳定性并不是相互独立的。存在性和唯一性取决于空间z 、l ，和 算子k 的代数性质，即算子足是否为满射或单射；而稳定性取决于空间盖和y 的 拓扑性质，即逆算子k 4 ：y x 是否连续。因此算子方程适定与否是算子k 与 解空间j 、数据空间y 以及空间石、y 上赋予的范数麸同构成的性质。正因为 稳定性依赖于空间的拓扑，人们就设法通过改变空间z 和y 的范围以及它们的 范数来恢复算子方程的稳定性。下面我们以一个例子来说明，如何通过改变解 空间及其范数来使一个不适定的问题转化为适定的问题。 例求一给定函数工( f ) c 1 0 , 1 l 的原函数y p ) ，并使y ( o ) 一0 ，即计算变限 定积分 9 武汉理大学硕士学位论文 y ( f ) = y o z ( s ) d s ，t e o ，1 将此问题设定为正问题，那么它的反问题就是：给定一连续可微函数 y ( f ) c 1 。，1 ，并且y ( 。) - 。，要确定x ( f ) 使石( f ) ；- 咖- d ( i 川- - t 。因此该反问题是解 积分算子方程 救= y 其中算子k ：c o ，1 - c o ，1 定义为 ( 缸) ( f ) ：一上x ( s ) 出，f 0 j 1 m s ) e c o ，1 显然，只有当y ( t ) 是连续可微的并且，( o ) = 0 ，才能保证该反问题( 即解积分算 子方程) 有解并且解x y 7 。 如在c o ，1 上给x ( f ) 赋以上确界范数j | x k 2 m t o 骶j z ( f ) i ，并设方程缸= y 有 精确解x ，现在对方程右端项y 施以扰动，扰动后的右端项，就不一定可微了， 即使扰动后问题的解存在，也不一定接近于精确解。 例如对y 施以扰动6s i n ( t 6 2 ) ，其中6 是一个很小的常数。用范数”忆作 为估计偏差的量度，则数据的误差d 一0 时却有解的误差1 1 6 一m ，因此问题 ( k ，c o ，1 ，c o ，1 ) 是( 不稳定的) 不适定的。 现在，如果适当地改变解的空间和赋以其它类型的范数，我们来看看情况 如何。对方程的右端项) ，所在的空间选取为】，：_ ) ，c 1 o ，1 ，y ( o ) ；0 ) ，并在y 上 赋以更强的范数0 _ ) ，l l c l 车码m a 叫x i y ( f ) i ，若用范数1 i e ，作为估计偏差的度量，那么 问题( k ，c o ，1 ，y ) 是适定的。这个例子说明可以通过改变解的空间及其范数使 不适定的问题转化为适定的问题，即问题的适定性是与空问的拓扑性相关联的。 在实际问题中，严格来说数据都是近似的。由于反问题的不适定性，所获 得的解往往不是连续地依赖于数据，按照经典的理解，所得解可能与真解相差 甚远，在这种情况下去谈解的存在性是没有实际意义的。而从客观存在的角度 来看，反映自然现象的解肯定是存在的，而且具有某种确定的形式。因此对这 武汉理上大学硕士学位论文 种问题我们应避开解的存在性，不应去追求问题的精确解，应转而去求满足方 程但近似满足定解条件，或满足定解条件但近似满足方程，或两者都近似满足 的近似解，这种解多半是存在的，但有可能不是唯一的，可否得到稳定的近似 解呢，即得到的近似解能否连续地依赖于测量数据。通常的做法是对解附加定 量的约束( 比如将解缩小到其紧致集上) 或( 和) 定性的约束( 比如解的连续性、 光滑性等) ，以缩小允许解集，这便是人们常用的正则化方法。 对于算子方程 k x = y 通常都是在某个适当的b a n a c h 空间( 或h i l b e r t 空间或s o b o l e v 空间) h 中求其 弱解，而求弱解往往归结为求某个相应的泛函的极值，即求z 日，使得 卿f ( x ) 一f ( 2 3 ) 这样求得的f 可以看做是某个算子r 作用于已知右端y 的结果，即膏= r ( y ) 。 如果问题是不适定的，这时我们不能保证关系量一r ( y 1 是正则的，此时王不能作 为算子方程k xzy 的近似解。为克服这些缺陷，保证r 的正则性，必须附加一 定的条件，比如对相应的泛函问题加上一个正则项，即采用正则化方法。 考虑下列形式的反问题： k x = y 其中k 是从参数空间j 到观测值空间y 的有界线性算子，y 是观测值，在实际应 用中，y 常常是带有噪声的数据，记带有噪声水平为6 的观测数据为y 6 。这样一 个问题常常是不适定的，我们可以通过正则化方法将这样一个不适定的问题被 转化为下列附加 l - i k h o n o v 函数的适定的极小化问题： m i n j f ( z ) 一 峥一y 6 卜铷忙 ( 2 _ 4 ) 其中p 忙虻称为正则化项，卢，o 是正则化参数。i i i i ，和l 分别是h i l b e r t 空 间y 和x 中的某种范数。这就是通常的t i k h o n o v 正则化方法。 由于反问题的不适定性，特别是解对所需的实验与观测数据的依赖关系高度 不稳定性，即观测与实验得到的数据细微的误差可能引起反问题的解产生巨大 的偏差，使得反问题的数值求解过程极不稳定。这也是为什么反问题的求解长 期以来一直是计算科学界、工程界及工业应用界所周知的极富挑战性的研究难 题。为了保证解的可靠性和稳定性，通常采用正则化的方法，而正则化方法的 武汉理上大学硕士学位论文 效果好坏强烈依赖于正则化参数，对于正则化参数的选取研究者们构造了许多 的方法，但这些方法多数难以在实际应用中得以实现。 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章基因表达式编程 基因表达式编程( g e n ee x p r e s s i o np r o g r a m m i n g ，简记为g e p ) 是葡萄牙科 学家c d n d i d af e r r e i r a 发明的一种基于基因型( g e n o m e ) 和表现型( f h e n o m e ) 的基因算法。它是遗传计算家族革命性的新成员，是借鉴生物遗传的基因表达 规律提出的知识发现新技术。它与遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m s ，简称g a s ) 和 遗传程序设计( g e n e t i cp r o g r a m m i n g ，简称g p ) 的根本区别在于它们所采用的 个体的本性不同：在g a s 中个体是固定长度的线性串( 染色体) ：在g p 中个体 是长度和形状不同的非线性实体( 树结构) ；而在基因表达式编程中个体被编码 成固定长度的线性串( 基因组或者染色体) ，然后被表示成不同长度和形状的非 线性实体( 简单图或者表达树) 。 3 1基因表达的生物学背景1 基因表达式编程的灵感来自于生物中的基因表达过程。基因是遗传的生物 学单位，基因决定了生物的显性特征，其中非常重要的部分之一就是指导合成 包含生物酶在内的各种蛋白质。基因如何指导蛋白质的合成是我们所关心的。 简单来说，在基因表达过程中有三种重要的物质：d n a ，r n a 以及蛋白质。 基因存在于d n a 中，r n a 是中间媒介，而蛋白质是最终目的。 脱氧核糖核酸脱氧核糖核酸( d e o x y r i b o n u c l e i ca c i d ，简称d n a ) ，又称 去氧核糖核酸，是染色体的主要化学成分，同时也是组成基因的材料。有时被 称为“遗传微粒”，因为在繁殖过程中，父代把它们自己d n a 的一部分复制传 递到子代中，从而完成性状的传播。原核细胞( 无细胞核) 的d n a 存在于细胞 质中，而真核生物的d n a 存在于细胞核中，d n a 是由两条单链像葡萄藤那样 相互盘绕成双螺旋形。这种核酸高聚物是由核苷酸链接成的序列，每一个核苷 酸都由一分子脱氧核糖，一分子磷酸以及一分子碱基组成。d n a 有四种不同的 核苷酸结构，它们是腺嘌呤( a d e n i n e ，缩写为a ) 、胸腺嘧啶( t h y m i n e ，缩写 为t ) 、胞嘧啶( c y t o s i n e ，缩写为c ) 和鸟嘌呤( g u a l l i n e ，缩写为g ) 。在双螺 旋的d n a 中，分子链是由互补的核苷酸配对组成的，两条链依靠氢键结合在一 武汉理工大学硕士学位论文 起。由于氢键键数的限制，d n a 的碱基排列配对方式只能是a t 或c 邗。因 此，一条链的碱基顺序就可以决定另一条的碱基序列，因为每一条链的碱基对 和另一条链的碱基对都必须是互补的。 值得一提的是，在d n a 复制时也是采用这种互补配对的原则进行的。当 d n a 要进行复制的时候，d n a 分子的双螺旋结构被打开，形成两条单链，并且 每一条单链都作为模板，通过互补的原则补齐另外的一条链，从而形成两个d n a 分子。 d n a 是遗传信息的载体。遗传密码就由d n a 中的四种不同的核苷酸结构 表示。若干个碱基构成一个基因。基因主要包括结构基因和调节基因。其中， 结构基因能够决定某种蛋白质的氨基酸组成及排列顺序；而调节基因则对结 构基因的表达有调节控制的作用。 由于d n a 分子独特的双螺旋结构，使得d n a 分子相当稳定，这保证了生 物的稳定遗传。但是，当d n a 分子在进行复制的时候，需要解开其双螺旋的结 构，然后根据每一条链进