（应用数学专业论文）关于增生算子方程的mann迭代和带误差的ishikawa迭代及其等价性.pdf

摘要 摘要 增生映射的迭代算法主要有v n n n 迭代、i s h i k a w a 迭代，带误差的m a n n 迭 代和带误差的i s h i k a w a 迭代四种，其中最简单最适用的是m a n n 迭代法本论 文是在更为一般的b a n a c h 空间中研究强增生算子，妒一强增生算子和一致妒一增 生算子方程的四种迭代序列收敛的等价性我们的结果极大地改进和推广了近 期的许多重要结果此外，我们还讨论了增生算子扰动方程的带误差i s h i k 。a w a 迭代序列的收敛性同时，还构造了一个新的迭代程序并且讨论了这种程序的 收敛性这是近期这方面工作的最新成果 本文分四节：第一节是引言；第二节为预备知识；第三节讨论了一致妒一增 生，妒一强增生，妒一伪压缩情况下各类迭代算法的等价性；第四节讨论了强增 生扰动方程的迭代算法，紧扰动的迭代算法 关键词l 强增生算子；一致妒一增生算子；妒一强增生映射；妒一伪压缩映 射；迭代程序；等价性；扰动方程 n t 丝竺坚堕一 t h ei t e r a t i o n so fa c c r e t i v em a 咖g si n c l u d ef o u r 蜘凼w h i c ha l em a n n i t e r a t i o n , i s h i k a w ai t e r a t i o n , m a n ni t 既a t i o nw i t he r r o i sa n di s h i k a w ai t e r a t i o nw i t h c t t o 培a m o n gt h e s ei t e r a t i o n sm a n ni t c n l t ：i 蚰i st h em o s ts i m p l ea n da p p z e c i a t e i n t h i sp a p e r , w os t u d yt h ee q u i v a l e n c eo ft h ea b o 睇f o u ri t e r a t i o n sa b o u ts t r o n g l y a c c r e t i v eo p o r a t o r s , 妒一曲舶g i ya c c r e t i v eo p e r a t o r sa n du n i f o r m l y 妒一a c c r c f i v c o p e r a t o r si nt h eo o m m o ns p a c c s - b a n a c hs p a c e s o u rr e s u l t sg r e a t l yg c n c a a l i z ea n d e m e n d8 0 m cr e c e n tm a i nr e s u l t s m o z c o v c c , w oa l s od i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo ft h e p e r t u r b e de q u a t i o n a n da tt h e 锄ct i m e , w cc o n s t r u c tan o wi t e m f i v ep r o c e s sa n d d i s c u s si t sc o n v e r g e n c e t h i si st h el a t e s tr e s u l tr e c e n t l y t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rs e c t i o n s t h ef i r s t8 e 硝0 ni si n t r o d u c t i o n ；t h es e c o n d f 潮2 t i o ni sp r e l i m i n a r i e s ；t h et h i r ds e c t i o nd i s c u s s e st h ee q u i v a l e n c eo ft h ef o l l o w i n g t y p e si t e r a t i o n s ：u n i f o r m l yp - a c c r e f i v em a p p i n g s ，o - s u o n g l ya c c r e t i v em a p p i n g s a n d 妒一p s e i l d i d c m 血钺= i i m a p p i n g s t h ef o u g t hs e a o i ld i s c u s s e st h ei t e r a t i o n so f p e r t u d e de q u a t i o n so i ls t r o n g l ya c ：c x e t i v oo p e r a t o ra n dc o m p a c tp t ：r t 删e q u 砸o n s k e yw o r d s ：s t r o n g l y a c c r e t i v eo p e r a t o r , u n i f o r m l y 妒一a c 班e t i v em a p p i n g s ； o - - p s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g s ；q o - - s t r o n g l ya c c r e t i v em a p p 姆；i t e r a f i v ep r o c e s s ； t h ee q u i v a l e n c e ；p e 拍腿b e de q u a t i o n s m 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得壹垦圭鲎或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：苍小径整字日期：弦穗年f 月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 5 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ：鹰一、晚 签孝g 期：砷苫年 月f 日 弩v ，肌卢 ，矿 、勺， 亨 b 手 ， ( l|一 引干 懿 一踟 师 c ， 导 躲字签 1 引言 1 引言 增生映射及与之有关的伪压缩映射是由b r o w d e r ”和k a t o 2 在1 9 6 7 年分 别独立提出因其在工程和物理中大量存在，从而从那时起，该问题就引起 许多学者的广泛关注而关注的焦点之一是增生算子方程解和伪压缩映射不 动点的迭代逼近问题自然，最早的迭代逼近方法是研究p i c a r d 迭代的收敛 性它对严格伪压缩映射不动点求解问题是极好的方法但把它推广到更大 的范围，如伪压缩映射类，则失效 3 1 1 9 7 3 年和1 9 7 4 年，b r u c h 4 1 ( 也参见【1 1 ) 在i - f i l b e r t 空间中讨论了m a n n 迭代程序的收敛性问题1 9 7 4 年，i s h i k a w a 5 找出伪压缩映射的一种迭代程序收敛到其不动点的例子，但这种映射的m a n n 迭代程序是不收敛的于是，i s h i k a w a 提出了一个新的迭代程序这个迭代 程序我们称之为i s h i k a w a 迭代方法直到上世纪九十年代初，对增生算子穆 伪压缩映射的迭代问题得到许多收敛结果，见【6 8 】到1 9 9 5 年，l i u l 9 又提出 了带误差项的m a n n 迭代程序和带误差项的l s h i k a w a 迭代程序，并在一致光 滑b a n a c h 空间中讨论了它们的收敛性，而且得到了较好的结果这样，许多 学者对增生映射及伪压缩映射的各种情况和带误差的m a n n 及i s h i k a w a 迭代 序列的收敛性研究得比较全面( 见 1 0 - 1 3 ) 我们知道，在应用上自然最简单的迭代是最好的，比如m a n n 迭代而 i s h i k a w a 迭代在m a n n 迭代收敛失效情况下使用也是必要的不失效时作为理 论，研究它也是有意义的同样地，带误差项的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代 程序收敛性的研究在理论上也是有意义的 如果我们能从最简的m a n n 迭代序列收敛推断i s h i k a w a 迭代序列收敛， 这在应用上和理论上是极合理的这样，我们在映射的最大类和空间的最大 类上得到一个整体结论不过，这个结论很难证明于是，2 0 0 3 年，r h o a d e s 和s o l t u z 1 4 l 对某些映射，在某些条件下。讨论了m a n n 迭代程序和i s h i k a w a 迭代程序收敛的等价性此后，不断有这方面的研究，见 1 5 2 0 在这些研 究中，映射的主要对象是增生算子，伪压缩映射和逐次伪压缩映射有的要 求映射是l i p s c h i t z 连续的 1 4 - l 5 】，有的要求是七一( 妒一) 强增生( 伪压缩) 的 1 1 4 t 5 , 1 7 ，有的要求值域有界，例如【1 5 2 0 】也涉及到带误差项迭代程序( 见 【1 8 , 1 9 ，2 0 】) 但不带误差项的m a n n 迭代与带误差项的m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代的等价性还未见到 本文的目的之一是在以下条件之一下研究m a n n 迭代收敛，带误差项的 m a n n 迭代收敛，不带误差项的i s h i k a w a 迭代收敛和带误差项的i s h i k a w a 迭 1 引言 代收敛的等价性： 1 1 映射是一致连续的； 2 ) 没有l i r a 成= 0 ，没有值域有界； 3 ) t 是预一增生( 伪压缩) ； 等等这几种情况大大放宽了近期众多工作的条件四种等价性是我们第一 次讨论，特别是m a n n 迭代与带误差的i s h i k a w a 迭代等价性是第一次讨论因 此，我们的工作是近期众多工作的极大改进和推广 另外，m 增生算子的扰动方程解的存在性和迭代算法也是学者们关注的 重点之一目前对扰动方程解的存在性有较多的成果，见 2 1 2 5 但扰动方 程，即形如( y 是给定的) 孤+ q = y ( 1 1 ) 的解的迭代算法研究的不多我们所能见到的是t 是m 一增生，c 是强增生的 情况，如【2 3 2 4 】还有，比如w u 等 2 s l 讨论了如下形式的迭代逼近问题： y t x + z + q ( 1 2 ) 其中t 是集值m - 增生，t 0 是强增生的，c 满足：i c 是i s c h i t z 连续的， 仃+ 写+ c ) 田是有界的这些结果实质上是以前研究的强增生映射方程的 m a n n 和i s h i k a w a 迭代f 烈卅及其带误差项的迭代程序的收敛性结果( 参见文 【2 5 】) 近几十年里研究方程( 1 1 ) 的解中大都只要求c 是紧的或其他非增生 性条件的映射这种情况普遍存在于微分方程和积分方程中但是它们的迭 代算法见到的不多 在本文中，我们将改进和推广 2 - 5 1 中主要结果特别地，我们对方程( 1 1 ) 构造了一个新的迭代程序，在一致凸空间中使用最佳逼近论的著名结果讨论 它的收敛性其中c 不是增生映射和l i p s c h i t z 连续映射 2 2 预备知识 2 预备知识 全文设z 是实b a n a c h 空间，x 为其对偶空间 定义2 1 正规对偶映射j ：x 一矿定义如下； j ( x ) = f f 。e x + ：扛，f 卜邮= 州1 2 ， 其中( ，) 表示z 与x 的偶对且v x x ，j x 单值当且仅当石是光滑( x 是严格 凸) 当，单值时，用，表示我们知道，若x 为一致光滑b a n a c h 空间，则，单 值且在有界子集上一致连续 定义2 2 映象t ：d 仃) z z ，妒：【0 ，o 。) 一【o c o ) 是一严格增函数且 妒( 0 ) = 0 ， ( 1 ) 称r 为增生的，如果v x , y d g ) 罩0 一y ) 歹g y ) ，使得： ( a 一巧，( x 一) ，) ) 0 ( 2 ) 称r 为l 【强增生的，如果h ，y e d ( t ) ，可 一y ) e j o y ) 及实数k ( o ，1 ) ， 使得： 似一毋，0 一y ) - k l l z - y u 2 ( 3 ) 称r 为妒一强增生的，如果v x , y d 仃) ，可o - y ) e j g - y ) ，使得： ( 取一巧，j ( x y ) ) i p q k y l ) k y 4 ( 4 ) 称r 为一致妒一增生的，如果v x ，y e d ( t ) ，j 一y ) e j o - y ) ，使得： ( 觋一矽，j ( x y ) ) 妒q k 一) ，l b 称r 为i n 一增生的，若z 是增生的且对所有的p 0 , r ( t + ) = x ，其中 ，是恒等映射 与增生类映射密切相关的是伪压缩类映射 定义2 3 映象a ：d ( a ) c _ x x ，妒：【o ，o 。) 一【o ，c o ) 是一严格增函数且 i p ( o ) = 0 ， ( 1 ) 称a 为强伪压缩的，如果饥，y d 似) ，写0 - y ) e j 0 一y ) 及实数 k ( o ，1 ) ，使得： ( 缸一4 y ，( z 一) ，) ) o - k ) l l x - y l l 。 ( 2 ) 称a 为妒一强伪压缩的，如果v x , y d 一) ，影伍一y ) ，p - y ) ，使得： ( 血一匆，j ( x - y ) ) 0 + 删l 铮可e j u ，使和，) o 引理2 3 【9 】若伽。) ，概 ，乜 为非负序列且满足 巳+ 1 s ( 1 一) 口。+ 吃+ 气，v n 甩o ，栉，t l o n 其中 九 冬【0 ，1 】，九= o o a = d ( 九) ，q + o o 则熙q = o 引理2 4 【1 0 1 设以) ，饿) ， c 与 ) 为非负序列且满足以下条件： o 玩【o 驵九= ； ) o o ，厶 o o 若4 + 1 ( 1 一九a + 吒吨+ q ，v n o 贝0 岫a n = 0 引理2 5 阳设i p ：【o ，) 一【o , c o ) 是一严格增函数且们) = o ， 他 ， 吒 ， 为非负序列且满足 塑20 吒2 d 叭) ，。， 若 一 。爵一轨妒( 吃。) 十吒， 则怒以= o 4 3 各种迭代程序的等价性 3 各种迭代程序的等价性 3 1k 一强增生映射情况 定理3 1 1 设x 为b a n a c h 空间，r ：x 一+ 工是l i p s c h i t z 连续k 一强增生映射， 其中l i p 口c h i t z 系数为l 定义映射s ：x 一工为s x = ，一t x + x ，v f x 给定对 ，e x ，定义如。， k 如下： ( d “= 0 一h + & k ，n 芝0 篇蔷麓一 o n ) 。= ( 1 一k + 瓯+ ，一o 篇! 蔷麓善舵。 且他) 碱 ，住) ，饥) i 蔚足下列条件： h 凤) 扣 1 】，五：茬高，成面赢； ) = + o o ， o o ； 似) o + - ) l l , 。一毛h 8 一( 1 一七) 1 1 。- x , 。8 一o l l 死。z k + 玑一缸。0 - q 1 l y - x + l l 1 1 1 j 即 h 一“忙去卜忡击慨“一巩+ 玑一玩* i i + 去l l y 一l + 且( 3 3 ) l + k a 。 由0 ) ，一g 知狮 o 使阮一训材，v n o 又因为 i k 。一i i = l l a u 。一- s u i i = , ，1 l u 一q - - 妇n + 趵9 伍+ 2 ) 2 l f j k - 瓯1 1 = k 一+ 一窖+ 窖一瓯0 l k 一0 + m + ( l + 1 ) 0 毛一口4 ( l + 2 ) i k 一毛4 + 伍+ 2 ) m 9 y | 瓦0 = 0 成t 一尾砜一仉0 展l k 一瓯l + 仇8 以弛+ 2 ) l k 一8 + 凤口+ 2 渺+ 8 仇 l i 一s y h - - l l z 一- i - u , , 一s q + s q 一5 醵0 i k 一8 + 肘。+ ( l + 1 ) i i y 。一日0 i 卜一8 + ( + 2 ) ，+ ( 工+ 1 ) 0 咒- x 1 l + ( l + t ) l l u 一x 1 l 6 3 各种迭代程序的等价性 【凤( + 1 ) 仁+ 2 ) + 工+ 2 】舡。一0 + 成( 工+ 1 ) ( l + 2 川 + + 2 ) m + ( l + 1 ) 8 仇l i k h y 1 l - - n o 工, 一毛+ 砜一色瓯一仉一1 0 怠j k 一& 咚8 + o _ k 一$ 二j f + j j 0 + l 毛i l 【尾 + 2 ) + q 色仁+ 2 ) + 1 ) + + 2 ) 】i k 一毛0 + 成( l + 2 ) 肼 + q 成仁+ 2 ) ( l + 班+ q + 2 ) m + + 1 ) + 1 】i h 0 + 怜 从而( 3 3 ) 式可写为 i i 帆一。o ! 旦至垡蔓坠垡_ 兰塑气薯写! 譬_ 墨嚣生三! 旦；! ! 垡丝陋。一毛o l 但+ 2 渺q - o z , , 屈, , l ( l - t - 2 ) m - i a 溉l ( l + 1 x l + 2 ) m l + 七吼 。笠墨鱼鲨生盆垡型 l+ka + f 笠墨坠垄墨堡型l 堡8 ! 墨墨竺l 乜虬( 3 4 ) l + 七 由于 1 + 见( l + 1 ) 伍+ 2 ) + a ：f 1 l ( l + 1 ) 伍+ 2 ) + l ( 工+ 2 ) 、 1 + 七 ：1 一纽= 皿鱼她釜二盥垡釜二刍鱼鲣垒 - l + 七 令 ，：墨墨二塑墨垡邋釜二垒堡垄二堡堡垡业型 “ 1 十七口。 因为 孤，绣砸丽k i 面酉， 所以 三阵一成伍+ 1 ) 口+ 2 ) 一啦仁+ 2 ) 一成 + 1 ) + 2 ) 】 7 3 各种迭代程序的等价性 三雎一等一审+ 2 ) 一等】 三o q 一鲁一了k a 一7 k 0 2 n = 争 令 c - ：丝坐堕盟型丝生坐生丝趔生业 5 1 + 足q 啦( l + 2 ) 肼+ o 成+ 2 ) m + o l + 1 ) ( o 乒+ 1 ) 吼0 + ( 工+ 1 ) 9 毛0 1 + 七q l 弛+ 2 渺+ 串( l + 2 ) m + 啦+ 1 ) + 2 渺+ 三仁+ 2 ) m l + 2 渺 + 凸l 伍+ 1 ) ( 吒三+ 1 ) 0 仇0 + ( 工+ 1 ) l l 毛 令九2 吉七，吒= o ，气2 帆+ t 一+ ，0 从而由引理2 - 4 知 必要求成一0 0 o o ) 3 2 一致连续妒一强增生映射情况 定理3 2 1 设石为b a n a c h 空间，t ：工一z 是一致连续的矿一强增生映射， i p 同定义2 2 ， ) ， 统) ，氍 ，慨， 乞 cx 满足下列条件： o ) ( ， 成 【o ，1 1 ，曼恐= 墨恶成= o ，= + o 。， ) 熙f = o , h = 口心) ，= d 瓴) 则对任意x o ，“。，w o ，白x ，有下列定义的序列： ( d 。= ( 1 一吼) + q ( ，+ 一玑) ，捍0 0 i ) u + ，= ( 1 一o k 如。+ o o ( 厂+ 一孤) + ，n 0 8 3 各种迭代程序的等价性 甓鬈麓+ 附a i f + + 瓦v 嘲- t v 疋。 ( i v ) 卜繁麓乞? y 帆：= 翼) + 仉，捍 o 、7 【儿= ( 1 一成) + 成( 厂+ 一玩) + 乞7 一 定义映射5 ：z z 为s x = ，一及+ 而v e x 给定。若岱k ，慨 有界，则有下 列命题等价： ( a ) 不带误差项的m a n n 迭代程序( i ) 强收敛于t x = f 的唯一解 ( b ) 带误差项的m a n n 迭代程序( ) 强收敛- 于t x = ，的唯一解 ( c ) 不带误差项的i s h k a w a 迭代程序( ) 强收敛于戥= ，的唯一解 ( d ) 帮误差项的i s h i k a w a 迭代程序( ) 强收敛于t x = f 的唯一解 证明：由【2 s 知，v e x ，方程t x = ，有唯一解，记为q 由s 的定义，易 知s 为一致连续的i p 一伪压缩映射，q 为s 的唯一不动点由迭代法定义( i ) ， ( ) 知，( i ) 是( ) 的特例，从而，( 6 ) 兮q ) 同理。( c 兮 ) ，g 辛( c ) ， ) 号( ”所以要证明上述命题等价，只要我们能证明( 口) = 争( d ) 即可以完成本 定理的证明 首先，我们证明怯器有界，由条件，阮8 = d 瓴) ，我们可以令 慨i i = i h i | ，i | n i i o 伽一o o ) 从而妇n ，孤 o 使i b i i 坂又 观) 有界 令r = m 舔批- q l l ，2 m ，其栅= s u p 硼s y - q l l ，m 1 可用归纳法证明u x 一训，锄显然，n = o 时成立若甩= 膏时成立， 即i i 一口0 r 当弹= 七+ 1 时，有 i i 磁们一g i s i | ( 1 一o ) ( 黾一q ) + 0 4 ( 5 魄一g ) + 仇0 ( 1 一o t ) i k 一目9 + 吼i l 默一日8 + o 9 n 0 o - a d r + 2 m 即q k ，l 噻。有界 因为s 为i p 一伪压缩映射，所以有 ( s 诺- s y ，j ( x y ) ) 陋一y i f i p 0 悻一) ，d 慷一y 0 s b - y u 2 一而啬南h 8 2 9 3 各种迭代程序的等价性 记爿。，_ y ) = i 孑蒜，显然a 仁，_ ) ，) 【o ，l 】从而由引理2 2 ，上式可 等价为 j i z - y l f s 忙一y + 口“，一爿o ，y ) - s ) x 一( ，一a ( x ，y ) 一s y j i i ，v a o ( 3 5 ) 由( i ) ，( i v ) ，我们有 心一毛= + 1 + 一肌0 一+ l 一+ $ 。+ 仉 = ( 1 + ) w + 1 + q ( ，一爿( + 1 ，+ 1 ) s ) w o + l 一2 q 嵋“+ 屹+ 1 + 4 ( k + 1 ，+ 1 ) k “十q h 一“： 一( 1 + o ) 矗“+ u a ( w o + l ，+ 1 ) 一占) + 1 十2 + l 一& 0 + 1 一o 。倒屹+ 1 ，h ) + 1 一n 。+ o 。印。+ 吼 = ( 1 + ) h i h + ( ，一一( + 。，毛+ 1 ) 一s ) + l 一( 2 4 ( 嵋+ 1 ，矗+ 1 ) ) 【( 1 一o ) + s 】+ ( s 。一s ) + 一( 1 + ) k + ，一q ( ，一爿( h + 1 ，+ 1 ) 一s ) 嵋+ + ( 2 一一( + l ，+ 1 ) ) 【( 1 一) + q 印。+ 仉卜q ( 瓯+ 1 一毋) 一十仇 = ( 1 + ) + 1 + q c ，一月( + 1 ，“) 一s ) 嵋+ 1 0 一彳( + l ，矗+ 1 ) ) 嵋 + ( 2 4 ( + l ，+ 1 ) ) ( _ 一i 9 ) + ( s k + 1 一s 吃) ( 1 + ) + 1 一( ，一一( 十l ，+ 。) 一s ) 州+ ( 1 一爿( ，“) ) 一( 2 爿( w ，。) 心k s y ) 一o ( 瓯。一s t ) - t - ( 2 4 ( “，+ 1 ) ) 仉+ 叼矗 = ( 1 + o o ”：+ l 一+ i ) + q ( j 一( k + 。，+ 。) 一s x ”o 十i 一+ 1 ) 一( 1 一a ( 二+ j ，十1 ) ) ( l 一) + ( 2 一一( ”_ 十1 ，+ 1 ) ) c ( h s w 一+ 弧) + + l 一譬屹一s x + l j y _ ) “2 一一( + 】，+ l 姚仉+ 从而 圳兰o + 吒) 卜。+ 击u 一爿以+ 1 ) - s 。一i - ( 1 一爿( h + l ，毛+ 。) ) q m 一0 + ( 2 一a ( + 1 ，+ ，跏# 0 ”一s 饥一+ 遏i 一i | 咋。一5 毗一5 k 。一观0 一( 2 一爿( 嵋。，。) ) i j 仇i i i i 仇 由上式结合( 3 5 ) ，我们可得 训业号等逃卜8 + 堕玛嵋一s w 可观l ： ! ! 鱼翌垄垡矍要塑量笪! 堡 + 者l l 机。一s w 一瓯+ i - j - 矾o + 堕譬i t c h 【1 + ( 1 一彳( + l ，) ) q 1 ( 1 一+ ) 0 一工1 l + - 1 l s - + , - s 也0 + 叫瓯h 一观0 + 猫m 一跳一毛+ 观m 弛+ 圳仉 ( 3 6 ) 由条件 i i h w , i l = l l 口, w 一跳0 0 一跳 j k 射一只l = 归 一磊+ 观一反瓯+ 一乞 k 一遏4 + 成i k 一瓯0 + 0 8 + | k8 因为s 一致连续， 矗 有界，由 2 9 】中定理2 1 2 知 瓯有界又因为 ) ， 孤0 ， 遵) 有界，所以j 如 o ，使得 m 2 = m a x 日l _ 8 + i i s k + i k + 8 0 + l $ _ 籽，v n o 令吒= i i 西屹。一& 屹b 巳= j j 瓯相一观i l ，贝9 吒一o ，一o 又因为 【1 + ( 1 _ o m 。矗+ 1 ) ) 】( 1 一o i + ) = 1 4 眈+ 1 ，毛+ ，) o + a 眈+ 1 ，焉+ 。) + ( 1 4 帆+ l ，。) ) 0 从而孤n ，当再2 l 时 靠少。于是妒猁姒“= 而器而器面又因 为吃= 。( ) ，一。所以巩n ，打2 ，吃三2 1 + 9 ：, 卫( m 箜2 堕) + 一m 2 取甄= 嗽懈，托，当矗织时，( 3 8 ) 式可写为： 吒+ t 口一l + 9 j ( m 丛2 翌) + 一m 2 卧三2 l + 9 1 ( m 篁2 堕) + m 一2 。吒一丢五盘q 。吒一i 五孑鑫瓶q 即三靠毒2 喜瓴嘞慨 o , j o n 当，矗时，0 气 0 ，+ i ! s 一l 眠一一肘，；三已 由第一步的证明及( 3 8 ) ，当，矗时，有 + l 一o “+ l 口+ e 一。牲 l + c p ( 妒m g 2 ) + m 24 墨+ 五百； o ；使得慨i 坂又因为仍 有界，所以可令 ，= m 疆q k 一孽4 ，2 m ，其中膨= s u p 卸砂。一霉8 ，鸩， 可以用归纳法证明i i x - 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