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第十六章 分式知识点汇总1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。4、 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为 （），其中A、B、C是整式 注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；（2）找公因式的方法： 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）； （2）在式子变形中注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“” 放在分数线前； （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；7.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘； （2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变 （3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算； （4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。分式的乘除法混合运算顺序：按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。用式子表示是： （其中n是正整数） 注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号； （2）正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负； （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体； （4）同时含有分式的乘方、乘法、除法的算式，应先乘方，再乘除：应先分解因式，再约分。 分式的加减法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为： 法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。用式子表示为： 注意：（1）各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略； （2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性； （3）运算时顺序合理、步骤清晰； （4）运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混合运算:分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即；当n为正整数时， （ 注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。9. 整数指数幂：若m、n为正整数，a0，am amn 又因为am amnammnan,所以a n 一般地，当n是正整数时，a n（a0），即a n（a0）是an的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：( a0)；（5）商的乘方： ；(b0)规定：a01（a0），即任何不等于0的零次幂都等于1.10. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法： 去分母转化（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 整式方程.（2）解分式方程的一般方法和步骤：去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；解这个整式方程；检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。注意： 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 11.含有字母的分式方程的解法： 在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母， 解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。 12.列分式方程解应用题的步骤是： (1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题 基本公式：路程=速度时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法(3)工程问题 基本公式：工作量=工时工效 (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水11.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a10n的形式,其中1a10,n为原整数部分的位数减1； 表示绝对值小于1的数时,则可表示为a10n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1a10.【例1】下列代数式中：，是分式的有：.【例2】当有何值时，下列分式有意义（1）（2）（3）（4）（5）【例3】当取何值时，下列分式的值为0. （1）（2）（3）【例4】（1）当为何值时，分式为正；（2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.【例5】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）（2）（3）（4）【例6】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）（2）（3）【例7】已知：，求的值.【例8】（1）已知：，求的值.（2）如果，试化简【例9】（1）若，求的值.（2）若，求的值.【例10】将下列各式分别通分.（1）；（2）；（3）；（4）【例11】约分：（1）；（3）；（3）.【例12】计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）【例13】先化简后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，试求的值.【例14】若，试求的值.【例15】解下列分式方程（1）