（基础数学专业论文）一类具强非线性源的半线性热方程解的性质.pdf

二耋墨堡韭垡些婆塑垡坚垫查堡壁塑丝堕 摘要 本文在区域q = nx ( 0 ，t ) 上研究了类具强非线性源的半线性热方程u t = a u + m i n e ，u v 的初边值问题解的性质，其中e 0 ，p 1 ，t 0 ，q 爬“ 是一有界区域初值u ( x ，0 ) = 扎ox ) c 1 ( _ ) ，且u o ( x ) 0 记匕述问题的 解为札，令截断函数2 k ( r ) = m i n k ，m a x r ，一k ) ，vk 0 ，我们证明了 r ( 矿) 在孵1 ( q ) 中关于e 是一致有界的，并且存在 u ) 的个子列，仍以e 标记，使得当e * 0 时， l t “a e 于q ，其中札是定义在q 上的个可 测函数 关键词：强非线性源；半线性热方程；截断函数；爆破 i i i 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 i v a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ei n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e mf o ra c l a s so fs e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n sw i t hs t r o n gn o n l i n e a rs o u r c e so ft h ef o r m u t = a u + m i n e1 ，舻) o nq = n ( 0 ，t ) ，w h e r ee o ，p 1 ，t 0 ，qc 碾“i s ab o u n d e dd o m a i n ，t h ei n i t i a ld a t au ( x ，0 ) = u o ( x ) c 1 ( n ) w i t hu o ( x ) 0 l e t d e n o t et h es o l u t i o no ft l f i sp r o b l e m a n dl e tt h et r u n c a t i o nf u n c t i o n t k ( r ) = m i n k ，m 2 x r ，一k ) ，vk 0 w eo b t a i nt h a tz k ( ) i su n i f o r m l y b o u n d e di n 孵1 ( q ) w i t hr e s p e c tt oe ，a n dt h a tt h e r ee ) ( i s t sas u b s e q u e n c eo f ) ，s t i l li n d e x e db ye ，s u c ht h a t _ ua e i nq a se 0 ，w h e r eui sa m e a s u r a b l ef u n c t i o nd e f i n e do nq k e yw o r d s ：s t r o n gn o n l i n e a rs o u r c e s ；s e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s ；t r u n c a t i o n f u n c t i o n ；b l o w - u p 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：孝f 曼茸 2o o 年岁月卫7 日 。 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( 场。 ( 请在以上相应括号内打“ ”) 作者签名：亏 红畔 日期：2 oo6 年岁月z 7 日 导师签名： 1 日期：年月 日 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 第一节引言 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) 是包含时间变数t 的许多重要的数学物理偏 微分方程的统称，在物理、力学或是其它自然科学中用来描述随时间而演变的状 态或过程 对线隆发展方程，例如对波动方程、热传导方程等，我们知道，只要当初值适 当光滑，其c a u c h y 问题的解也必具有适当的光滑性，而且在整个半空间t 0 上是整体存在的但对于非线性发展方程，情况就根本不同了一般说来，非线 性发展方程的c a u c h y 问题的经典解只能在时间t 的个局部范围内存在，即使 对充分小的初值也是如此；相应地解在有限时间内会产生奇性( 解本身或某些导 数趋于无穷) ，这一现象称为爆破( b l o w - u p ) 本文考虑下厦具强非线性源的半线性热方程的初边值问题解的性质： “t = a u + m i n e 一1 ，扩) ，( z ，t ) nz ( 0 ，丁) ， ( 1 ) u ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) o f fx ( 0 ，t ) ， ( 2 ) u ( 。，0 ) = u o ( x ) ， z n ，( 3 ) 其中e o ，p 1 ，qc 妒是一有界区域，札o ( z ) c 1 ( 孬) r u o ( z ) 0 本文对 问题( 1 ) 一( 3 ) 的讨论源于很多文献对下面问题的研究： i t t = u + u p ，( z ，) q ( 0 ，t ) ，( 4 ) ( 噩t ) = 0 ，( x ，t ) eo f t ( 0 ，t ) ，( 5 ) “( z ，0 ) = i t 0 ( z ) ， z q ( 6 ) 问题( 4 ) 一( 6 ) 的物理背景是被我们所熟知的，比如被用来描述在具强非线性源的 介质中的热传导现象这里的非线性源可能是由化学反应等原因引起的 很多文献已经讨论了问题( 4 ) 一( 6 ) 以及方程( 4 ) 的c a u c h y 问题、n e u m a n n 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 2 问题的解的存在性、唯性以及解的爆破( b l o w - u p ) 现象 方程( 4 ) 的解在t = t 爆破是说存在个序列 k ) c ( 0 ，t ) 和 o 。) ，使得当 n * 。时，u ( ，t n ) 一o 。这时我们称t 是u 的个爆竣时间，a = 。哦a n 是i t 的个爆破点( 在极限存在的情况下) 如果t 0 ，存在一个5 0 ，使得当0 1 1 , 0 ( z ) 1 的情况，他证明了在给初值u o 足够好的条件下，可以保证问题( 7 ) ，( 8 ) 整体解 的存在性 个众所周知的结果是，如果u o l 。( q ) ，则方程( 4 ) 的初边值问题在个 极大时间区间0 ，7 k 。) 上存在唯一的古典解( 即“关于t 在( 0 ，。) 上是c 1 的，关于z 在q 上是c 2 的) 关于方程( 4 ) 的初边值问题， u 0 x ) 彰l 。) 的情况，确切地说，初边值 属于伊的情况首先被w e i s s e r ( 6 7 ) 考虑过在q n ( p 一1 ) 2 ，q p 和 q n ( p 一1 ) 2 ，q 1 两种情况下，他证明了方程( 4 ) 的初边值问题存在个唯 一的局部解钍e ( o ，丁】；l q ( f 1 ) ) 对1 口 0 ，问题( 1 ) 一( 3 ) 的整体非负古典解总是存在的 当e + 0 时，方程( 1 ) 就逼近方程( 4 ) ，那么( 1 ) 的解会有什么样的个变化趋 势呢本文讨论了这样一个问题，并得到了一些初步的结果 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 4 第二节预备知识 本节给出本文中要用到的一些记号、函数空间、定理及命题等 令x 是个实的b a n a c h 空间，qc 黔是一个有界区域，t 0 ，q = q ( 0 ，t ) 定义2 ，1 【q 空间 三9 ( o ，丁：x ) 由满足下列条件的所有可测函数札： 0 ，t 】- - - - - 4x 组成： ( t ) j | u l j 。，她正x ，：= ( z t “( t 川曼d t ) ； 。o ， v1 p o c ； ( i i ) f l u l l 。( o 丑x ) ：= e 5 ss u pf i “( t ) l i x k l 【一e r 一k 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 定理2 1 ( p o i n c a r 6 不等式) 设1 p + o 。，qc 黔为一有界区域若 u w d 9 ( n ) ，贝4 上i “1 9 如g 上l v u l 9 如， 其中c 是仅依赖于n ，p 和q 的常数 命题2 1 【。】设函数u ：r 一噩具有紧支集，则札是l i p s c h i t z 连续的当且 仅当“w 1 , o o ( 碾) 命题22 【1 0 】设nc 础为有界区域，1 p + 。若函数族xcl p ( f 1 ) 在w 1 , p ( f 1 ) 中是有界的，则x 在胪( n ) 中是强列紧的 5 二耋墨堡! ! 些丝塑箜主壅些夔查墨竖鱼些堕 6 第三节主要结果及其证明 本文的主要结果是下面的定理 定理如果l i 0 ( z ) c 1 ( 甄) ，且“o ( z ) 0 ，则问题( 1 ) 一( 3 ) 的解“满足： 了k ( u ) 在孵1 1 ( q ) 中关于e 是一致有界的，即存在个与e 无关的常数g ( k ) ， 使得 | i 取( ) | | 哦，- ( q ) g ( k ) ( 9 ) 且存在 ) 的个子列，仍以e 标记，使得当e 一0 时 u 5 一a e 于q ， ( 1 0 ) 其中2 , 是q 上的一个可测函数 证明首先证明致u ) 在l 2 ( o ，t ；咧2 ( q ) ) 中一致有界 如所周知，问题( 1 ) 一( 3 ) 存在占典解c 2 , 1 ( 虿) 显然 z k ( ? ，) l 2 ( o ，丁；w 1 2 ( q ) ) ( 1 1 ) 令 显然， f l k ( s ) 易知0 州轳卜飞豢“ 州拈州毗且吲沪卜 州州r 协卜等，豢 o n ( s ) k + j + 1 即 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 7 用t k ( u ) 乘方程( 1 ) 的两边， ! 乱；趺( ) + ：( j q0 并积分得 ) l v u 1 2 = m i 礼- 1 扩) 口k ( “) ， 上嘶叫t ) + 厶。v u 中 = 上酩( n 0 ) + g t t 州e - 1i t p 池( 由于o k ( s ) 具有紧支集，豉( s ) 的非负性及有界性，易知存在个与e 无关的常 数g ( 耳) ，使得 f v n e f 2 g ( k ) ( 1 2 ) j k k + 1 ) 考虑l i p s c h i t z 连续函数 卜 一k s + k 2 + k ， 【。， 显然，似c s ，w 。c 哟，坛c s ，= k 厅( s ) 易知0 坛( s ) 譬+ i k o s k ， k 8 k + 1 s k + 1 0 s k k s k + 1 s k + 1 o s k j k s 2 + ( 耳2 + k ) 8 一j 舻一j 2 ，k 8 k + 1 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 8 用r t k ( u ) 乘方程( 1 ) 的两边并积分得 z “；钕( + z q 盖( 矿) l v 矿1 2 = 七m 打水，妒) 瓤( 矿) 即 h k ( ) ( t ) + l v u 1 2 j n j 0 ) k i v u 1 2 + 瓣( o ) + m i n e ，田q k ( 钍) 。， k 矿 k 十1 d nj 0 由于( s ) 具有紧支集，弧( s ) 的非负性及有界| 陛，还有不等式【1 2 ) ，易知存在 一个与e 无关的常数岛( k ) ，使得 厶秘鲫l 砜甲q ( 研 ( 1 3 ) 因为v t k ( u ) = 砭( ) v u 5 = v u x o k ) ，所以( 1 3 ) 式等价于 乞l v 玖( 矿) 熙吲吲 借助p o i n c a r 6 不等式可得 7 k ( “) 在l 2 ( 0 ，t ：w o 2 ( n ) ) 中关于e 是一致有界的( 1 4 ) 下面证明( 7 k ( 让) ) t 在l 2 ( q ) 中是一致有界的 用( 2 k ( ) ) 。g e - z 程( 1 ) 的两端，并在q 上积分得 zu ；( 取( u 铷t + zv v ( 致( 矿m = 五侧礼 e ，护 ( 致( m 由t k ( r ) 的性质，上式可化为 上 ( 致( 札铷+ ；工 ( v 取( u e ) ) 2 t = z 删n f l ，俨) ( 玖( u e ) ) t ， 即 z 陬f m n ；上( v 孙吼丁炉 加n e - - 1u p ) ( w 执+ ；上( v 孙0 ) ) 2 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 9 又由强( r ) 的性质可得，l m i n e ，u r ( 取( 矿) ) “舻i ( 强( 矿) ) t | ，并有c a u c h y 不等式得 z 陬忱 2 + jz ( v 孙丁) ) 2 ；z ( 舻) 2 + ；五 ( 玖( u 矛+ ；上( v 玖( 砌) 2 由了k ( “o ) 在w 1 2 ( q ) 的有界性知，存在个与e 无关的常数凸( k ) ，使得 即 “( 7 k ( ) ) 。】2 g ( k ) j q ( 1 5 ) ( 致( “) ) 。在三2 ( q ) 中关于e 一致有界( 1 6 ) 由( 1 5 ) 和( 1 6 ) 式可得，存在个与f 无关的常数c ( k ) ，使得 i i t k ( t ) 1 1 w ；t ，( q ) c ( k ) ， 即 7 k ( 矿) 在空间叫1 ( ( 7 ) 中关于e 是致有界的( 1 7 ) 根据命题2 2 ，由( 1 7 ) 式可得2 k ( 矿) 在三2 ( q ) 中是强列紧的，所以在 6 ) 中 可以抽出谚i j ，仍以e 标记，使得对任意固定的k ，当e - - - - 4 - 0 时，强( 矿) + i i ka e 于q ，其中皿是定义在q 上的删函数利用对角线方法可得， 存在q 上的一可测函数u ( z ，t ) ，使得当e + 0 时，一ua e 于q 定理 得证口 一类具强非线性源的半线性热方程解的性质 参考文献 1 1h f u j i t a o nt h eb l o w i n gu po ft h ec a u c h yp r o b l e mf o r ? s t = a u + u 1 + 。，j f a c s c i u n i vt o k y os e c ti1 3 ( 1 9 6 6 ) ，1 0 9 - 1 2 4 2 】h f u j i t a ，o nt h eu o n e x i 8 t e n c ea n dn o n u n i q u e n e s st h e o r e m sf o rn o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s ，p r o c s y m pp u r em a t hp a r tia m e rm a t h s o c1 8 ( 1 9 6 8 ) ，1 3 8 1 6 1 3 k h a y a k a w a ，o n n o n e x i s t e n c e o f g l o b a ls o l u t i o n so fs o m e n o n l i n e a r p a r a b o l i c e q u a t i o n s ， p r o c j a p a na c a d 4 9 ( 1 9 7 3 ) ，5 0 3 5 0 5 4 】kk o b a y a s h i ，t s i r a o ，h t a m a l a o nt h eg t o w i n gu pp r o b l e mf o rs e m i l i r l e a rh e a t e q u a t i o n s j m a t h ，s o c j a p a n2 9 ( 1 9 7 7 ) ，4 0 7 4 2 4 5 】f b w e m s l e r ，e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sf o ras e m i l i n e a rh e a t e q u a t i o n ，i s r a e lj o u r n a lo fm a t h3 8 ( 1 2 ) ( 1 9 8 1 ) ，2 9 4 0 6 jfb w e i s s l e r s e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s ，j f u n c t a n a l 3 2 ( 1 9 7 9 ) 2 7 7 2 9 6 7 f b w e i s s l e r ，l o c a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e u c ef o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n si n l ”，i n d i a n au n i vj2 9 ( 1 9 8 0 ) ，7 9 1 0 2 8 1h b r e z i