（应用数学专业论文）球面上一类非线性椭圆方程正解的唯一性.pdf

摘要 本文主要以b o c h n e r l i c h n e r o w i c z - w e i t z e n b 6 c k 公式为工具，川分部积分的方法 得到了下面的结果 定理设 是下列方程 一+ 舢b = u 。o n s ” 【1 9 ) 的正解，其中g 是( s “，g ) 上的l a p l a c e - b e t r a m i 算子则当o o ，且“l 时，u 为 常数 方程( 1 9 ) 来自于调孝平均i 1 1 率流自矧似解的研究中同时，川类似f 内方法，给m 了g i d a s 和s p r u c k 1 4 以下结果的简化证明 定理( g i d a s - s p r u c k ) 设u ( x ) 是下列方程 a u4 - t ，= 0i 几瓞” 的非负g 2 解，n 2 ，且l 2 ，w i t h t h e n t 五+ t o = 0 n + 2 1 口 2 ，l n ( 札+ 2 ) ( - 一2 ) ，解的唯1 性的址明，。共有既种方法i 9 8 1 年， b g i d a s 和j s p r u c k 1 4 川积分估计的办法证明了该问题1 9 9 0 年，w e l i o n gc h e n 和c o n g m i n gl i 8 运用m o v i n gp l a n e 的方法给m 了一个新的证明特别地，解决 了u l 时解的睢性问题，而且，给出了“= ( n + 2 ) ( ”一2 ) 州。题( i 1 ) 的 解的分类1 9 9 0 年，j i a y ul i 2 1 1 试图用极大值原理的方法证明此问题，但也只能解决 1 o n ( n 一2 ) ( 礼4 ) 的情形 【1 4 】中所用到的引进向量场结合分部积分的方法，早在1 9 6 2 年，就被m o b a t a 2 3 l t 来研究有关铲上的标准度量的共形变换问题至今，这种方法仍被沿用2 0 0 2 年， s u n - y u n ga c h a n g ，m a t h e wj g u r s k e y 和p a u lc y a n g 在1 7 】中就是川1 这种方法对 + 类共形不变的完全非线性方程的整解进行了分类1 9 9 1 年，m fb i d a u t v e r o n 利 l v e r o n 6 将【1 4 】中的方法作了改进，引进变换i t = 口，其中卢不再是 1 4 】中所取的同 定值( n 一2 ) 加，而是不等于零的任意实数然后以b o c h n e r l i c h n e r o w i c z w e i t z e n b s c k 公式为工具，利用散度定理，针对f 1 4 】中紧致流形上类半线性椭圆方程的l i o u v i t l e 型 结果，给出了简化证明，进而义用此种方法去作奇性分析1 9 9 9 年，z i n d i n ed j a d l i 1 2 1 币0 j _ j f 6 1 中的方法，解决了紧致黎曼流形上一类带有临界指标的非线性椭恻方程的解的 唯性问题 在本文中，我们采婀【6 】中的方法，给出了( 1 1 ) 的解的唯7 一性问题的简化证明 与f 1 4 】相比较，本文最明显的简洁之处在于，整个证明过程不必再分为t t 4 ，1 o l ( ，l + 2 ) ( n 一2 ) ；n = 3 ，2 o 5 ；7 1 , = 3 ，1 2 三种情形来讨论，丽是统考虑 凡3 ，1 o 是一族从s 2 到舒的光滑嵌入，满足下列方程 等 ，归一( t ) ) 5 州) z 甜，e 。 ( i 3 ) 其中l ，( ，t ) ：s 2 一s 2 是曲而m t ：= f ( z ，) r 3 ；茁s 2 ) 的单位外法向量，且h 一】 是如下定义的： 码：= ( 扣1 崦1 ) ) 。1 其中 - 。和，c 2 是舰的主曲率我们称口，是舰的调和平均i f 率 如果存在i # 丽m ，和连续函数h ，使得由f ( ，t ) 诱导的曲而族 舰 c ，n 满足 = h ( t ) m + + p 其中p 是舒中的某个平行变换，则称f 是( 1 3 ) 的自栩似解设商斯映射。= ， f ( z ，) ：f ( 一1 ( z ，t ) ，t ) ，斤一1 ( 2 ，t ) ：= h l ( v 一1 ( 2 ，) ，) ，2 s 2 ，t 0 ，其1 1 1 定义为 一t ( 扩( z ，t ) ，t ) ：z ，z s 2 ，t 0 则光滑嵌入f 雨i f l l 而驰的调帚i 平均曲率h 1 满足 如下关系： 尹亿) = s 啦+ v s ，z s 2 ( 1 4 ) 雷一l = 五蠡 1 5 ) 其r f l 支拧函数s ( ：f ) h 啊一p ( 7 ，。) ，庇：= f ( ：，f ) ；：s 2 ) 设良一( 汀- ) 7 则它满足下 口m 列方程 警= “i 蚶拟) ( 1 6 ) 另方面，如果给定( 1 6 ) 的经典解k ，贝q 厅一l = 矽 ，这样我们就可以通过解( 1 5 ) 得 到族满足( 1 4 ) 的嵌入 f ( ，t ) t o ) 第一竹引言 设七是( 1 6 ) 的自棚似解，且南( z ，t ) = 九( ) “( z ) ，其中z s 2 ，t 0 则， 和“满足 一击熹( 胖勺= 互1 u 圻( 9 u + 2 u ) i n s 2x ( ( 归) 洲此，h 和“应该满足 一上e + l 旦o t 州州岫= c r ，t e ( 。，习 雨l g u - f - 。札= 罴。n s 2 f 1 7 ) 其中常数c 0 因此，关于( 1 3 ) 的自相似解的研究，就可以转化为关于非线性椭唰方程( 1 7 ) 的 正解的研究显然，如果我们设e = 一1 o ，c = 1 ，则( 1 7 ) 即为( 1 2 ) 的二维情形 本文的剩下部分作如下安排：在第二节中，我们给j _ n 两个相关引理，其叶1 引理1 的b o c h n e r l i c h n e r o w i c z w e i t z e n b s c k 公式是全文最重要的工具；在第二二一1 ，中，我们重 新证明了b g i d a s 和j s p r u c k 1 4 的结果，即下而的定理1 1 ；在第四节中，我们证明 了本文的主要结果定理1 2 定理ll ( g i d a s s p r u c k ) 设u ) 是下列方程 的非负c 2 解，弛 2 ，且 则 定理t 2 设u 是一f 列方程 札+ 1 , o = 0i n 碾“ - 口 嵩 u ( x 】i0 g u + n 乱= u 8 o ns “ 的正解则当o l 0 ，且。1 时，u 为常数 关于( t 9 ) 这种| l l 率流自相似解的非线性椭嘲方程的研究，已有查l i 下结果 ( 1 8 ) 3 ( 1 _ 9 ) 第节引肓 当q 一l 时，k o i c h ia n a d a 1 i l 正明了二维情况下，解是不唯一的 1 。1n = 1 时，p e l l g f e ig u a n ，x i n a nm a 汞lj e r e m ys c i f i f f 1 7 运崩极大值原理，证 明了i 1 维情况下解的唯一性 当q = 1 时，此问题是特征值问题，无解 本文主要证明了，! 。0 ，且乜1 时，解是唯的【1 】剃【1 7 的结论是在严格凸 解的条件下得到的，而在本文中只要求u 是正解就可以了 到目前为止，j 一l n 4 ，我们有 。( v 矿) 扩1 l v 移1 2 v v = p d 。( v 扩慨陬 j l i 胡3 。矿矿q l v 计+ 云。矿_ 4 v 妒什2 j50 v 一，i t z ( 矿) 叫v 印= z 矿。一1 ) j v 妒f 2 + p o a c p ) 矿j v 卯 甜2 z 矿钉p 2 v 计+ 嘉z 矿。4 ( 1 v 妒1 2 + l 妒j ) 钞什2 扩一s ，一班 ， + | | 一r 1 一s 矿 + 1 一r 的 筇节定理1 + 1 的证明 代入( 3 4 ) 式，我们得到 d + ( a l c d 2 一c 口j ) 矿矿2 i v 训4 + a 2 a 3 ，矿 2 + ，+ 2 口2 n 口 j 2 j o c 矿一2 ( 1 妒j + i v 妒1 2 ) 即2 + ，+ ”一1 9 j i + c 矿一4 ( “妒i 十f v 妒1 2 ) 2 + i v 妒1 4 ) v ，+ 2 j52 再次利用y o u n g 不等式，对于充分大的p ，我们给出上式右端两项的上界 其中 t矿_2(妒+v妒一u抖，伊。8舻咖蚋删删jjs2 j j2 + 品上( 脚v 妒1 2 ) 们即删邶聊 妒”一4 ( ( 1 妒l + j v 妒j 2 ) 2 + i v 妒1 4 ) 钉，+ 2 棚* 矿u 2 + ，+ 。口一2 “口 o n 。 i ，n + 矗z ( ( m i + l v m i 2 + i v 删2 卅2 胁刚啪内 。z 一等2 嬲，t 一，1 = 鼍等 1 1 + 一y + p o 一 2 口一2 0 口 啦一兰! 茅，吐= 兰子手掣 在后面我们将要给出满足口1 1 ，q 2 l 的卢，7 于是，我们有 。+ ( a ，一c 目2 一c 口) 上矿 t 。2 i v 口1 4 + ( a 2 a 3 - - c o q l - - 甜”) 上秒2 ”+ 2 肛2 叩 c ( i & o l + i v 卯) 2 卅2 9 地刚8 一u 4 + c ( ( 妒l 十i v 妒1 2 ) 2 + l v 妒1 4 ) 2 + 1 + 2 4 2 。4 7 ( 2 8 2 。4 ) j i l ( 3 5 ) 为了完成定理的证明，我们选择q = 如豫“：h 埘，且 妒( z ) 三1 ，i n i z i 去r( 3 6 a ) 筇一节定理1 1 的证明 从而，有 记 令 v 妒 万c ，t d 2 妒 壶，娩；冗蚓r ( 3 6 6 ) d + ( a l c 0 2 一c 口j ) 妒”可t 一2 v 训4 j32 + ( a 2 a a - 秽卅啦) z 矿”2 肛刎 ( 3 7 ) o 等价予 a 2 a 3 0 等价于 或 a 4 0 等价于 q l l ，q 2 1 等价于 a 1 0 ，a 2 a 3 0 ， a 4 0 ，q l 1 ， q 2 l ( 3 8 ) 可= l + 万1 ，可1 d = 一吾 2 睾y 2 _ 2 5 州n 6 o 4 n 驴 2 2 ，i_-，、l_ 第一节定理1 1 的汪明 或 2 y 2 + d n l 时，存在6 r ，y r 1 ) ，使得( 3 9 ) 一( 3 1 2 ) 成奇：方程 2 掣2 2 6 + d 2 一j ：o ( 3 1 3 ) n 的判别式为 ，_ 等( 2 ( 几_ 1 ) 一( n - - 2 聊 则 ， o o a 掣 所以可选取6 ，使得 z 。崧 a z 篙 由此，可确定出n 的上界，即。 兰方程( 3 1 3 ) 的两根y l , y 2 为 扎一z 炉矗与( 6 一行) + 总瞅帆v 一砉z 。口1 设 叫邓+ 1 ) b 。 = 一刍z 。 7 七：= 砉z 。 1 则 牡( ) z 。 = ( 卢+ 1 ) z 。 = 一( p + 1 ) u ，一2 i v w f 4 + ( p + 1 ) 1 1 js 、j s 4 = 邓+ 1 ) 上，”2 陬1 4 _ 眦1 ) ( 7 。) f s , , v r - 2 1 矾1 4 一( 肚1 ) 上1 陬i s 2 印 j s n j s ” = 刊卢+ 1 ) z ，胁1 4 卅+ 1 ) f s 1 ) 7 - 1 1 v 姚i ，u 第一节定理1 2 的证明 七：= 一去上。u 1 = 一万1z 。( 1 + p a b ) v 1 + z - o z i v ”1 2 一字厶阳慨11 2 + n z 。阳例2 磁=去，矿 工，j s ， = 扳彬i v 1 2 = 字小7 陬1 2 f s s n v 7 v 1 2 面将磁，磁中的第项丰h 加，有以下结果 一字小廿叼v 婀i 字z 。, j v l v v l 2 一邓+ 1 ) z 。扩1 i v v 吲i u l + # - a # 一叫 = ( 7 + 1 ) 。 s 。v y - t l v u l 2 ( ，”一( 口+ 1 ) 1 v v l 2 _ t _ ) ( 卢+ 1 ) z 。扩1 l v u 2 m y v - ( 1 州2 所以 b = 瞄+ + 磁 又因为 = 一( p + 1 ) ( ，+ 口 1 ) j s 矿- i v 1 4 q - o r e，u1+4一。8ivuij2 一s ，。，。u 1 i v ”1 2s ”j ” a 9 ) = ( o i l y l 一屿墩) = 9 玎( ，y ”1 1 馈j u + 7 ( ，y 一1 ) v 7 2 0 l v o j v 一7 1 1 f 各o k v ) 7 u 7 “9 ( u 一鸭巩秽) + 7 n 1 ) _ 2 9 玎侥 岛u 第一节定理1 2 的证明 所以 = v 1 a g u + 7 0 1 ) u 1 2 i v u l 2 = 7 ”，一1 ( ( + 1 ) i v 移v 1 2 一丢( 1 + 口一a 口一n ”) ) + 了( 1 一l 7 1 3 - 1 v i z = 7 f 1 + 口) v 1 - - 2 1 v t ，1 2 一丢 1 + 8 4 + 丢n 口1 工，上) c 1 = 一；z 。，( i v u l 2 ) = 一互1z 。( 7 ) i v u l 2 = 一丛学z ，”2 i v u l 4 + 茄z 0 ，肛叩l v 1 2 一易z ，1 l v 叫2 冈此，得到 其中 令 则 a l + b 1 + c 1 + d 1 - t - e 1 一a 厶扩2 i v 计 + 厶叭胁( v 岬卅a 。i v 婀i + e t a l = ；( 讹+ ，y ( 3 十2 ) 州n 。- i ( ，+ i ) 2 ) a 。= 一三( a ( 礼一1 ) + ! 生；砉旦) 乜= 一( ( t h ) + 未”2 ) ) 我们断言：可以找到实数口和7 ，使得 a l 0 ，a 2 0 ，r i c + a 3 9 0 2l + 去，l ， d = 一 ( 41 ) 一 1 z 2 o a 第j 1 ，定理j 2 的证明 a 1 o 错2 兰 土可2 2 6 + 6 2 6 o ( 4 2 ) 礼 坯。铮6 2 磊 ( 4 3 ) r i c + a 3 9 o 甘r i c ( ( n 1 ) 一6 兰姜兰) g ( 4 4 ) 下而我们分两种情况来考虑当o t 0 时，因为r i c 一( n 1 ) 9 ，所以我们可以选取 d 0 ，使得( 4 4 ) 严格成靠为了找到满足( 4 2 ) 的y ，y 1 ，我们必须使方程 2 竺墨! ，2 2 6 + d 2 6 ：o 的判别式大于等于零，即 = 等( 2 ( 札_ 1 ) 一( n - - 2 瑚。 即 6 等n z ；口 l 时，取6 一萼兰孚，( 4 3 ) 显然成立，也可找到使( 4 2 ) 成立 当o 。 0 这与前面是才盾的因此，u 如果存在，则必为常数 ；o c = 0 时，取d 一0 ，y = 0 。则( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 等号成立由( 4 1 ) 可推出e 1 = 0 ， 取正规坐标系( x l ，- ，) ，则 e l2 0 惜2 寺( u ) 如 ( 4 5 ) 由于卢= - 1 ，所以( 4 5 ) 即为 1 u 玎2 云( 乱) 6 ， ( 4 - 6 ) 2 2 第三节定理1 2 的证明 对( 4 6 ) 两边关于q 求导，得 ( ) i ：兰( ，。) 。 n 刚( a u ) i = 0 由( 1 ，9 ) 可知，尚q = 0 时， j 二楚可推比= o 所以 故，当o = 0 时，u 也为常数 到此定理证明完毕 u = 1 一t t t t v u = 0o ns “ 2 3 参考文献 【l l k o i e h ia n a d a ，c o n t r a c t i o no fs u r f a c e sb yh a r m o n i cn l t i lc u r v a t l l r e f l o w sa n dn o n u u i q n e b e s so ft h e i rs e l fs i m i l a r ，c a l c v a t 1 2 ( 2 0 0 1 ) ，1 0 9 1 1 6 f 2 】b a n d r e w s ，h a r n a c ki n e q u a l i t i e sf o re v o l v i n gh y p e r s u r f a c e s ，m a t hz 2 1 7 ( 1 9 9 4 ) 1 7 9 - 1 9 7 【3 】b a n d r e w s ，c o n t r a c t i o no fc o n v e xh y p e r s n r f a c e s i ne u c l i d e as p a c c ，c a l c v a r p d e 2 ( 1 9 9 4 ) 1 5 1 - 1 7 1 4 】h b e r e s t y c k i ，i c a p u z z od o l c e t t aa n da c u t r i ，s u p e r l i n e a ri n d e f i n i t ee l l i p t i cp r o b l e m s 砒l dn o n l i n e a rl i o u v i l l et h e o r e m s t o p o l o g i c a lm e t h o d si nn o n l i n e a ra n a l y s i s ，4 1 ( 1 9 9 5 ) ， 5 9 - 7 8 1 5 】i b i r i n d e l l i ，i c a p u z z od o l c e t t aa n da c u t r i ，l i o u v i l l et h e o r e m sf o rs e n l i n l i n e a re q u a - t i o n so i lt h eh e i s e n b e r gg r o u p ，a n n i n s t h e n r ip o i n c a r e ，1 4 ，n o ，3 ，1 9 9 7 ，2 9 5 3 0 8 6 j m f b i d a u t v e r o na n dl v e r o n ，n o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n so i lc o l n p a c tr i c m a n n i a n m a n i f o l d sa n da s y m p t o t i c so fe m d e n e q u a t i o x m ，i n v e n t m a t h 1 0 6 ( 1 9 9 1 ) ，4 8 9 5 3 9 1 7 】s 一y a c h a n g ，m j g u r s k e ya n dp c y a n g ，e n t i r es o l u t i o n so f a f u l l yn o n l i n e a re q u a t i o n jd an a l y s i sm a t h ，p r e p r i n t 8 j w ，x c h e na n dc m l i ，c l a s s i f i c a t i o no fs o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s d u k e m a t h j 6 3 ( 1 9 9 1 ) ，n o 3 ，6 1 5 - 6 2 2 9 1s y c h e n g a r i ds t y a u d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so i lr i e m a n n i a nm a n i f o l d sa n dt h e i rg e o m e t r i ca p p l i c a t i o n s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，2 8 ( 1 9 7 5 ) ，3 3 3 3 5 4 【1 0 】b e n n e t ，c h o w ，d e f o r m i n gc o l l v e xh y p e r s u r f a c e sb yt h enr o o to ft h eg a u s s i m tc u r v a t u r e j d i f f g e o m 2 2 ( 1 9 8 5 ) ，n o 1 ，1 1 7 1 3 8 1 1 】b e u n e t ，c h o w ，d e f o r m i n g c o n v e x h y p e r s t t r f a c e sb yt h es q u a r er o o to ft h es c a l a rc u r v a t u r e i n v e n t m a t h 8 7 ( 1 9 8 7 ) ，n o 1 ，6 3 - 8 2 1 2 】z i n d i n ed j a d l i ，n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n to i lc o m p a c t r i e m a n n i a i lm o a f i f o l d ，c a l c v a r 8 ( 1 9 9 9 ) ，2 9 3 3 2 6 【1 3 】b g i d a s ，s y m m e t r yp r o p e r t i e sa n di s o l a t e ds i n g u l a r i t i e so fp o s i t i v es o l i t i o n so fu o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o i l s ，i n ”l e c t u r en o t e so np u r ea p p l m a t h ”，5 4 ，d e c k e r ，n e wy o r k ，1 9 8 0 ， 2 5 5 2 7 3 【1 4 j b g i d a sa n d j s p r u c k ，g l o c a la n dl o c a lb e h a v i o ro fp o s i t i v es o l u t i o n so fi l o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s ，c o m m u n p u r ea p p l m a t h 3 4 ( 1 9 8 1 ) ，2 5 5 9 8 。 1 5 】d g i l b a r ga n dn s t r u d i n g e r ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 7 7 1 6 1d g i l b a r ga n dj s e r r i n ，o ni s o l a t e ds i n g u l a r i t i e so fs o l u t i o n so fs e c o n d o r d e re l l i p t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j a n a l y s em a t h 4 ( 1 9 5 5 5 6 ) ，3 0 9 3 4 0 ， 2 4 参考文献 2 5 【l7 jp f ，g u a n ，x n m aa n dj s c h i f f , t h er i g i d i t yo fk - c o n v e xh y p e r s u r t a c e sp l 。e p r i n t 1 1 8 c g e r h a r d t ，f l o wo f n o n e o n 、，c xh y p e r s u r f a c e si n t os p h e r e ，j d i f f 。g e o m 3 2 ( 1 9 9 0 ) ，n o 1 2 9 9 - 3 1 4 f 1 9 jg ，h u i s k e n ，a s y m p t o t i cb e h a v i o u rf o rs i n g u l a r i t i e so ft h em e a nc u l v a t u r ef l o w ，j d i f f g e o m 3 1 ( 1 9 9