中考压轴题中的二次函数二带答案和详细30道解答题.doc

中考压轴题中的二次函数(2)一解答题（共30小题）1（2015日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？2（2015济南）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，1），B（5，1），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值3（2015包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设AOC，BOC，BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MNBC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使AMN=ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由4（2015北海）如图1所示，已知抛物线y=x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90后，点C的对应点C恰好落在y轴上（1）直接写出D点和E点的坐标；（2）点F为直线CE与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线CE交于点G，设点H的横坐标为m（0m4），那么当m为何值时，SHGF：SBGF=5：6？（3）图2所示的抛物线是由y=x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由5（2015哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+1（k0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y=ax2（6a2）x+b（a0）与直线AC交于另一点B，点B坐标为（4，3）（1）求a的值；（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为点Q，在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tanNAQtanMPQ=，求线段PN的长； （3）在（2）的条件下，过点C作CDAB，使点D在直线AB下方，且CD=AC，连接PD，NC，当以PN，PD，NC的长为三边长构成的三角形面积是时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E，连接NE，PE，使得ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由6（2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动设PQ交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由7（2015黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB中，AOB=90，OA=3厘米，OB=4厘米以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒设P、Q运动的时间为t秒（0t4）（1）求OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？（2）当t为何值时，BPQ和AOB相似；（3）当t为何值时，OPQ为直角三角形；（4）试证明无论t为何值，OPQ不可能为正三角形；若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值8（2015厦门校级一模）若抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”（1）请猜猜看：抛物线y=x2+x1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；（2）若抛物线y=ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（，0），若SABC=，求直线AB解析式9（2015清流县模拟）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求b的值和顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值10（2015高邮市模拟）如图，已知关于x的二次函数y=x2+mx的图象经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x=1（1）常数m=，点A的坐标为；（2）若关于x的一元二次方程x2+mx=n（n为常数）有两个不相等的实数根，求n的取值范围；（3）若关于x的一元二次方程x2+mxk=0（k为常数）在2x3的范围内有解，求k的取值范围11（2015大庆校级模拟）近期，海峡两岸关系的气氛大为改善大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：每千克销售（元）4039383730每天销量（千克）60657075110设当单价从40元/千克下调了x元时，销售量为y千克；（1）写出y与x间的函数关系式；（2）如果凤梨的进价是20元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从40元/千克下调多少元时，当天的销售利润W最大？利润最大是多少？（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于32元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？12（2015攀枝花模拟）已知：直角梯形OABC中，BCOA，AOC=90，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形，；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax22ax3a（a0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）；求抛物线的解析式；在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PNx轴于N，使得PAN与OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由13（2015芦溪县模拟）如图，已知抛物线y=x2ax+a24a4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿CD运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AB运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒（1）求a的值；（2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值（4）当t为何值时，PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）14（2014秋漳县校级期中）已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB的面积SMCB15（2015天桥区一模）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标16（2015上海模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴正半轴上，边CO在y轴的正半轴上，且AB=2，OB=2，矩形ABOC绕点O逆时针旋转后得到矩形EFOD，且点A落在Y轴上的E点，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D（1）求F，E，D三点的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx+c经过点F，E，D，求此抛物线的解析式；（3）在X轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得QOB的面积等于矩形ABOC的面积17（2015潍坊二模）已知：m、n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和BCD的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（3）P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标18（2015江西校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MHx轴于点H，MA交y轴于点N，sinMOH=（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若=时，求点P的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使ANG与ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由19（2015武侯区模拟）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将AOC沿AC翻折得APC（1）求PCB的度数；（2）若P，A两点在抛物线y=x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标20（2015邗江区二模）如图所示，在直角梯形ABCD中，BAD=90，E是直线AB上一点，过E作直线lBC，交直线CD于点F将直线l向右平移，设平移距离BE为t（t0），直角梯形ABCD被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为S，S关于t的函数图象如图所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4信息读取（1）梯形上底的长AB=；（2）直角梯形ABCD的面积=；图象理解（3）写出图中射线NQ表示的实际意义；（4）当2t4时，求S关于t的函数关系式；问题解决（5）当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：321（2015剑川县三模）已知：如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由22（2015滨州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x轴的垂线，垂足为D；过点B作M的切线，与直线MD交于N点（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；（2）求过A、N、B、三点（对称轴与y轴平行）的抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断Q是否在（2）中的抛物线上23（2015徐州模拟）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和点B（0，4）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？是否存在点E，使OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由24（2015大庆模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SABM=3，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PDx轴于点D将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由25（2015黄冈模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0x6）是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点P，使OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由26（2015威海一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标27（2015临夏州模拟）如图（1），抛物线y=x22x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）图（2）、图（3）为解答备用图（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x22x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由28（2015湖州模拟）如图，RtABC中，B=90CAB=30，ACx轴它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿ABC的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）求BAO的度数（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图），求点P的运动速度（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由29（2015潍坊模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边OAB（1）求点B的坐标；（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由30（2015濠江区一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3（1）求抛物线的解析式；（2）作RtOBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由中考压轴题中的二次函数(2)参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有专题：压轴题分析：（）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BHx轴于H，如图1易得BCH=ACO=45，BC=，AC=3，从而得到ACB=90，然后根据三角函数的定义就可求出tanBAC的值；（）（1）过点P作PGy轴于G，则PGA=90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=x，易得APQ=ACB=90若点G在点A的下方，当PAQ=CAB时，PAQCAB此时可证得PGABCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x则有P（x，33x），然后把P（x，33x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标当PAQ=CBA时，PAQCBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作ENy轴于N，如图3易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，从而可得DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时可证到四边形OCDN是矩形，从而有ND=OC=3，ON=DC=DC然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标解答：解：（）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：抛物线的解析式为y=x2x+3联立，解得：或，点B的坐标为（4，1）过点B作BHx轴于H，如图1C（3，0），B（4，1），BH=1，OC=3，OH=4，CH=43=1，BH=CH=1BHC=90，BCH=45，BC=同理：ACO=45，AC=3，ACB=1804545=90，tanBAC=；（）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似过点P作PGy轴于G，则PGA=90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=xPQPA，ACB=90，APQ=ACB=90若点G在点A的下方，如图2，当PAQ=CAB时，则PAQCABPGA=ACB=90，PAQ=CAB，PGABCA，=AG=3PG=3x则P（x，33x）把P（x，33x）代入y=x2x+3，得x2x+3=33x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=1（舍去）如图2，当PAQ=CBA时，则PAQCBA同理可得：AG=PG=x，则P（x，3x），把P（x，3x）代入y=x2x+3，得x2x+3=3x，整理得：x2x=0解得：x1=0（舍去），x2=，P（，）；若点G在点A的上方，当PAQ=CAB时，则PAQCAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）当PAQ=CBA时，则PAQCBA同理可得：点P的坐标为P（，）综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作ENy轴于N，如图3在RtANE中，EN=AEsin45=AE，即AE=EN，点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时，DCD=DNO=NOC=90，四边形OCDN是矩形，ND=OC=3，ON=DC=DC对于y=x2x+3，当y=0时，有x2x+3=0，解得：x1=2，x2=3D（2，0），OD=2，ON=DC=OCOD=32=1，NE=AN=AOON=31=2，点E的坐标为（2，1）点评：本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（）（2）小题的关键2（2015济南）抛物线y=ax2+bx+4（a0）过点A（1，1），B（5，1），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值；（2）设点P的坐标为P（m，m26m+4），由平行四边形的面积为30可知SCBP=15，由SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBD，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；（3）首先证明EABNMB，从而可得到NB=，当MB为圆的直径时，NB有最大值解答：解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：抛物线得解析式为y=x26x+4（2）如图所示：设点P的坐标为P（m，m26m+4）平行四边形的面积为30，SCBP=15，即：SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBDm（5+m26m+4+1）55（m5）（m26m+5）=15化简得：m25m6=0，解得：m=6，或m=1点P的坐标为（6，4）或（1，11）（3）连接AB、EBAE是圆的直径，ABE=90ABE=MBN又EAB=EMB，EABNMBA（1，1），B（5，1），点O1的横坐标为3，将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，点C的坐标为（0，4）设点O1的坐标为（3，m），O1C=O1A，解得：m=2，点O1的坐标为（3，2），O1A=，在RtABE中，由勾股定理得：BE=6，点E的坐标为（5，5）AB=4，BE=6EABNMB，NB=当MB为直径时，MB最大，此时NB最大MB=AE=2，NB=3点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用两点间的距离公式求得圆的半径是解题的关键3（2015包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设AOC，BOC，BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MNBC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使AMN=ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；（2）根据点的坐标求出AOC，BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MNBC，得到比例式求出AN，根据AMNACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MNBC，设直线MN的解析式，求解即可解答：解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，解得抛物线的解析式为：y=x22x3，y=x22x3=（x1）24，点D的坐标为：（1，4）；（2）S1+S3=S2，过点D作DEx轴于点E，DFy轴于F，由题意得，CD=，BD=2，BC=3，CD2+BC2=BD2，BCD是直角三角形，S1=OAOC=，S2=OBOC=S3=CDBC=3，S1+S3=S2；（3）存在点M使AMN=ACM，设点M的坐标为（m，0），1m3，MA=m+1，AC=，MNBC，=，即=，解得，AN=（m+1），AMN=ACM，MAN=CAM，AMNACM，=，即（m+1）2=（m+1），解得，m1=，m2=1（舍去），点M的坐标为（，0），设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得，解得，则BC的解析式为y=x3，又MNBC，设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（，0）代入得，b=，直线MN的解析式为y=x点评：本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵活运用待定系数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方程的解法和勾股定理逆定理的运用4（2015北海）如图1所示，已知抛物线y=x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90后，点C的对应点C恰好落在y轴上（1）直接写出D点和E点的坐标；（2）点F为直线CE与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线CE交于点G，设点H的横坐标为m（0m4），那么当m为何值时，SHGF：SBGF=5：6？（3）图2所示的抛物线是由y=x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）首先根据抛物线y=x2+4x+5的顶点为D，求出点D的坐标是多少即可；然后设点E的坐标是（2，m），点C的坐标是（0，n），根据CEC是等腰直角三角形，求出E点的坐标是多少即可（2）令抛物线y=x2+4x+5的y=0得：x24x5=0可求得A、B的坐标，然后再根据SHGF：SBGF=5：6，得到：，然后再证明HGMABN，从而可证得，所以HG=5，设点H（m，m2+4m+5），G（m，m+1），最后根据HG=5，列出关于m的方程求解即可；（3）分别根据P、Q、T为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可解答：解：（1）抛物线y=x2+4x+5=（x2）2+9D点的坐标是（2，9）；E为对称轴上的一点，点E的横坐标是：=2，设点E的坐标是（2，m），点C的坐标是（0，n），将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90后，点C的对应点C恰好落在y轴上，CEC是等腰直角三角形，解得或（舍去），点E的坐标是（2，3），点C的坐标是（0，1）综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）（2）如图1所示：令抛物线y=x2+4x+5的y=0得：x24x5=0，解得：x1=1，x2=5，所以点A（1，0），B（5，0）设直线CE的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C（0，1），代入得，解得：，直线CE的解析式为y=x+1，将y=x+1与y=x2+4x+5，联立得：，解得：，点F得坐标为（4，5），点A（1，0）在直线CE上直线CE的解析式为y=x+1，FAB=45过点B、H分别作BNAF、HMAF，垂足分别为N、MHMN=90，ADN=90又NAD=HNM=45HGMABN，SHGF：SBGF=5：6，即，HG=5设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为m2+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1），m2+4m+5（m+1）=5解得：m1=，m2=（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=（x1）2+4（x1）+5=x2+6x将x=5代入y=x2+6x得：y=5，点T的坐标为（5，5）设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，直线OT的解析式为y=x，如图2所示：当PTx轴时，PTQ为等腰直角三角形，将y=5代入抛物线y=x2+6x得：x26x+5=0，解得：x1=1，x2=5点P的坐标为（1，5）将x=1代入y=x得：y=1，点Q的坐标为（1，1）如图3所示：由可知：点P的坐标为（1，5）PTQ为等腰直角三角形，点Q的横坐标为3，将x=3代入y=x得；y=3，点Q得坐标为（3，3）如图4所示：设直线PT解析式为y=kx+b，直线PTQT，k=1将k=1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，直线PT的解析式为y=x+10将y=x+10与y=x2+6x联立得：x1=2，x2=5点P的横坐标为2将x=2代入y=x得，y=2，点Q的坐标为（2，2）综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，明确HGF和BGF的面积比等于HG和AB的边长比是解题的关键，同时解答本题主要应用了分类讨论的思想需要同学们分别根据P、Q、T为直角进行分类计算5（2015哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+1（k0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y=ax2（6a2）x+b（a0）与直线AC交于另一点B，点B坐标为（4，3）（1）求a的值；（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为点Q，在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tanNAQtanMPQ=，求线段PN的长； （3）在（2）的条件下，过点C作CDAB，使点D在直线AB下方，且CD=AC，连接PD，NC，当以PN，PD，NC的长为三边长构成的三角形面积是时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E，连接NE，PE，使得ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）易得点C的坐标为（0，1），然后把点B、点C的坐标代入抛物线的解析式，即可解决问题；（2）把B（4，3）代入y=kx+1中，即可得到k的值，从而可求出点A的坐标，就可求出tanCAO=（即tanPAQ=），设PQ=m，则QA=2m，根据条件tanNAQtanMPQ=，即可求出PN的值；（3）由条件CDAB，CD=AC，想到构造全等三角形，过点D作DFCO于点F，易证ACOCDF，从而可以求出FD、CF、OF作PHCN，交y轴于点H，连接DH，易证四边形CHPN是平行四边形，从而可得CN=HP，CH=PN，通过计算可得DH=PN，从而可得PHD是以PN、PD、NC的长为三边长的三角形，则有SPHD=延长FD、PQ交于点G，易得G=90由点P在y=x+1上，可设P（t，t+1），根据S四边形HFGP=SHFD+SPHD+SPDG，可求出t的值，从而得到点P、N的坐标及tanDPG的值，从而可得tanDPG=tanHDF，则有DPG=HDF，进而可证到HDP=90若ENP与PDH全等，已知PN=DH，可分以下两种情况（ENP=PDH=90，EN=PD，NPE=HDP=90，BE=PD）进行讨论，即可解决问题解答：解：（1）当x=0时，由y=kx+1得y=1，则C（0，1）抛物线y=ax2（6a2）x+b（a0）经过C（0，1），B（4，3），解得：，a=；（2）把B（4，3）代入y=kx+1中，得3=4k+1，解得：k=，直线AB的解析式为y=x+1由y=0得0=x+1，解得：x=2，A（2，0），OA=2，C（0，1），OC=1，tanCAO=PQx轴，tanPAQ=，设PQ=m，则QA=2m，tanNAQtanMPQ=，=，MQ=，=，PN=；（3）在y轴左侧抛物线上存在E，使得ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等过点D作DFCO于点F，如图2，DFCF，CDAB，CDF+DCF=90，DCF+ACO=90，CDF=ACO，COx轴，DFCO，AOC=CFD=90，在ACO和CDF中，ACOCDF（AAS），CF=AO=2，DF=CO=1，OF=CFCO=1，作PHCN，交y轴于点H，连接DH，CHPN，四边形CHPN是平行四边形，CN=HP，CH=PN=，HF=CFCH=，DH=，DH=PNPHD是以PN，PD，NC的长为三边长的三角形，SPHD=延长FD、PQ交于点G，PQy轴，G=180CFD=90，S四边形HFGP=SHFD+SPHD+SPDG，（HF+PG）FG=HFFD+DGPG点P在y=x+1上，可设P（t，t+1），（+t+1+1）t=1+（t1）（t+1+1），t=4，P（4，3），N（4，），tanDPG=tanHDF=，DPG=HDFDPG+PDG=90，HDF+PDG=90，HDP=90PN=DH，若ENP与PDH全等，则有两种情况：当ENP=PDH=90，EN=PD时，PD=5，EN=5，E（1，）由（1）得：抛物线y=x2x+1当x=1时，y=，所以点E在此抛物线上当NPE=HDP=90，BE=PD时，则有E（1，3），此时点E不在抛物线上，存在点E，满足题中条件，点E的坐标为（1，）点评：本题主要考查了运用待定系数法求直线及二次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角函数的定义、抛物线上点的坐标特征、勾股定理等知识，通过平移CN，将PN、PD、NC归结到PHD中，是解决本题的关键在解决问题的过程中，用到了分类讨论、平移变换、割补法、运算推理等重要的数学思想方法，应学会使用6（2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动设PQ交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；（4）过G作GHy轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解解答：解：（1）y=x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x=2，A（2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0t2时，OP=（2t），QC=t，PQC的面积为：S=（2t）t=t2+t，当2t4时，OP=（t2），QC=t，PQC的面积为：S=（t2）t=t2t，；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，22）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，2）当AM=MC=BM时M为（0，0）一共四个点，（0，），（0，），（0，2），（0，0）；（4）当0t2时，过G作GHy轴，垂足为H由AP=t，可得AE=GHOP即=，解得GH=，所以GC=GH=于是，GE=ACAEGC=即GE的长度不变当2t4时，过G作GHy轴，垂足为H由AP=t，可得AE=由即=，GH（2+t）=t（t2）（t2）GH，GH（2+t）+（t2）GH=t（t2），2tGH=t（t2），解得GH=，所以GC=GH=于是，GE=ACAE+GC=