（控制理论与控制工程专业论文）基于lmi的移动机器人鲁棒控制研究.pdf

一 达堕三些盔堂堡主堂垡鲨壅 a b s t r a c t s i n c er o b o t sc a r lb er e g a r d e da sa 1 1e f f e c t i v ee x t e n s i o no f m a n sm o t o ra b i l i v ，i t i ss u r et ob e i n d i s p e n s a b l e i nt h ec o u r s eo f r e c o g n i t i o na n d e x p l o r a t i o n o f t h ew o r l d d u et oi t si m p o r t a n tr o l e i nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，m o t i o nc o n 廿o lo fm o b f l er o b o t sh a v eb e e ng i v e ne n o u g ha t t e n t i o n b y r e s e a r c h e ri nt h ew o r l d i nr e c e n ty e a r s t h e r ea r et w om a i np r o b l e m sb e i n gf o c u s e d n 地o n ei sp r o b l e mo fm o t i o n c o n t r o lf o rn o n h o l o n o m i cw h e e l e dm o b i l er o b o t , t h eo t h e ri sa n t ii n t e r f e r e n c ei nm o b i l er o b o t s m o t i o n t h ef o r m e rh a sh u g ec h a l l e n g ef o rn o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t si nt h ec o u r s eo fm o t i o n ， a n dt h e d i f f i c u l t y o ft h el a t t e ri st h eu n c e r t a i n t i e s t h e s e p r o b l e m s a r ea l l d e e p l y a n d s y s t e m i c a l l ys t u d i e d t h e m a i nc o n t r i b u t i o n sa r eg i v e na sf o l l o w s ： 1 n 他m o t i o nm o d e lo f w h e e l e dm o b i l er o b o t sw i t hn o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t si sb u i l t a a d t h em o d e lh a sb e e nl i n e a r i l i z e dv i as t a t ef e e d b a c ke x a c tt i n e a r i z a t i o n n em o t i o nc o n t r o l o f w m rc a nb es t u d i e d l l s i i l gt h em o d e l 2 i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec o n t r o lp r o b l e m so f w h e e l e dm o b i l er o b o t sa r ec o m p l i c a t e dd u e t on o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t si nt h ec o u r s eo f m o t i o n ar o b u s to u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r i sd e s i g n e du s i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l 时a tt h es a l d et i m e ，t h es t a b i l i t yo f s y s t e m ，t h e e x i s t i n gc o n d i t i o no f o u t p u t f e e d b a c ka n dt h e a p p r o a c h t oc o n t r o l l e rd e s i g na r e p r e s e n t e d 3 mo r d e ro fh 。c o n t r o l l e ri su s u a l l yh i g h e r ，b u tw e h o p et h a tt h eo r d e ro f c o n l x o l l e ri s l o w e rf o r1 1 1 er e a l i z a t i o no fh a r d w a r ea n dt h e r e l i a b i l i t y o fs o r w a r ei n e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n ar e d u c e d - o r d e r h 。c o n t r o l l e ri s d e s i g n e da c c o r d i n g t ol i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t ya p p r o a c h 4 o b s e r v e r - b a s e dc o n t r o l l e ri s 谢d c l y a c c e p t e df o r i t ss i m p l es t r u c t u r ea n d e x p l i c kp h y s i c a l m e a n i n g t h el m i m e t h o dt od e s i g nh 。c o n l r o l l c ru n d e rt h ea s s u m p t i o no fo b s e r v e r - b a s e dt y p ei ss t u d i e d n 圮c o n t r o l l e r p a r a m e t e r s c a r lb ed e r i v e df r o mt h r e el m i s 5 t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so f t h e p r o p o s e dc o n t r o lm e t h o d k e yw o r d s ：w h e e l e d m o b i l e r o b o t , n o n h o l o n o m i ec o n s t r a i n t s ，l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y r o b u s t t r a c k i n gc o n t r o l , o b s e r v e r 2 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 沈阳工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解沈阳工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 签名： 筮壁 导师签名：舷 日期： 迎：! ! 沈阳工业大学硕士学位论文 r ” x r “ r 一。 爿叫 丑( 一) a ( 椰 墨( 爿) 盯( 一) 坚( a ) r a n k ( a ) r ( 爿) ( 彳) a 0 一 b 乙( s ) i i g ( s ) i i ： l g ( s ) 忆 注释说明清单 n 维实向量空间 i 1 维实向量空间的向量 向量x 的e u c l i d 范数 m x 维矩阵组成的实空间 矩阵a 的转置 矩阵a 的逆矩阵 矩阵a 的特征值 矩阵a 的最大特征值 矩阵a 的最小特征值 矩阵a 的最大奇异值 矩阵a 的最大奇异值 矩阵a 的秩 矩阵a 的值空间，即矩阵非零特征值对应的特征向量构成的空间 矩阵a 的零空间，即矩阵零特征值对应的特征向量构成的空间 正定矩阵，对于方阵a ，当且仅当对任意不为零的列向量x ，都 有j c 7 a x 0 成立时，称矩阵a 为正定矩阵 负定矩阵，对于方阵a ，当且仅当对任意不为零的列向量x ，都 有，a x 0 ( 1 5 ) 假定其最优解为2 0 p , ，对于所有的旯 k ，l m i f ( x ) 0 ，c 7 j r 0 以及c 7 x ( o 0 ( 1 5 ) 假定其最优解为2 0 p , ，对于所有的旯 k ，l m i f ( x ) 0 ，c 7 j r 0 以及c 7 x ( o 名“； ( 2 ) 名“。= c 7 x 。+ 名； ( 3 ) z = x 研) 。 1 4 课题的来源及意义 本课题研究得到了清华大学智能技术与系统国家重点实验室( 课题号：0 1 0 1 ) 及中 国科学院机器入学开放研究实验室( 课题号；r l 2 0 0 11 0 ) 的资助。本论文目的在于利 用l m i 理论，研究一种新的控制器设计方法，为移动机器人的鲁棒控制提供理论依据 和控制器设计方法。 1 5 本论文的主要工作 1 基于一类具有非完整约束的轮式移动机器人，建立了该种移动机器人的运动模 型，并通过状态反馈线性化方法对其进行了线性化处理，此模型可用于移动机器 人的跟踪控制。 2 轮式移动机器人的控制问题由于存在非完整运动约束而极富挑战性。利用鲁棒 h 。控制理论中的l m i 方法，给出系统稳定性判据和输出反馈h ”控制器存在的条 件，同时给出h 。控制器的设计方法。 1 3 沈阳工业大学硕士学位论文 3 h ”控制器的阶次通常都比较高，在工程实践中出于对硬件实现性和软件可靠性 等方面的考虑，往往希望控制器的阶次低一些。基于l m i 方法给出降阶h ”控制 器存在的条件，同时给出降阶h ”控制器的设计方法。 4 观测器型控制器由于其结构简单和物理意义明确而受到广泛重视。针对具有外 部干扰的不确定性系统，提出基于l m i 的观测器型h 。控制器设计方法。 5 将以上控制器的设计方法应用于移动机器人控制器设计中，仿真结果表明该方 法的有效性和合理性。 - 1 4 - 沈阳工业大学硕士学位论文 2 移动机器 运动控制 2 1 前言 近年来，非完整控制系统已成为机械控制系统研究的一个热点 2 8 1 2 9 1 。作为一类典 型的非完整系统，移动机器人的运动控制问题已引起人们广泛关注。移动机器人的运动 控制主要包括跟踪控制和点镇定控制。根据参考轨迹是否为时间的函数，跟踪控制可分 为路径跟踪和轨迹跟踪。文 3 0 用标准的非线性控制方法详细讨论了多种移动机器人的 跟踪控制。文 3 1 利用l y a p u n o v 直接法研究机器人的跟踪问题，可对满足条件的某些 特殊的轨迹进行局部或全局跟踪。文 3 2 采用后退( b a c k s t e p p i n g ) 方法设计了具有全 局渐进稳定的跟踪控制律，实现了移动机器人对具有已知位姿和速度的参考小车的跟 踪。对于点镇定问题，由于移动机器人不满足b r o c k e t t ”】光滑镇定的条件，因此对于 点镇定只能寻找不连续的控制律、时变控制律或混合控制律。 本文主要研究移动机器人的路径跟踪控制问题。首先建立了移动机器人的扰动模 型，接着采用动态增广方法和坐标变换将移动机器人的运动模型转换为线性模型，最后 对移动机器入的跟踪控制进行了阐述。 2 2 移动机器人运动模型 2 2 ，1 齐次坐标变换 齐次坐标变换在工业机器人运动学动力学问题表示上有很广泛的应用。它不仅能够 很好地解决机器人位姿描述问题，而且能够表达机器人控制算法，计算机视觉计算机 图形学等问题。 t 空间中任意一点p 在不同坐标系中的描述是不同的。已知一直角坐标系中的某点坐 标，那么该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。 设在船y 内，机器人的位姿p = 【口b 口r ，在x 0 y 内任意一点( x ，y ，) 可通 过平移变换t 和旋转变换r 变为肋r 内一点( x ，y ) 。t ，r 的矩阵表示为 l 0 d r s i l l 口一c o s 目o l r = l 0lbl ，r = lc o s 8 s i n 80 l ( 2 _ 1 ) 1 0 0 1 jl 0 0 1 j - 1 5 沈阳工业大学硕士学位论文 2 移动机器 运动控制 2 1 前言 近年来，非完整控制系统已成为机械控制系统研究的一个热点 2 8 1 2 9 1 。作为一类典 型的非完整系统，移动机器人的运动控制问题已引起人们广泛关注。移动机器人的运动 控制主要包括跟踪控制和点镇定控制。根据参考轨迹是否为时间的函数，跟踪控制可分 为路径跟踪和轨迹跟踪。文 3 0 用标准的非线性控制方法详细讨论了多种移动机器人的 跟踪控制。文 3 1 利用l y a p u n o v 直接法研究机器人的跟踪问题，可对满足条件的某些 特殊的轨迹进行局部或全局跟踪。文 3 2 采用后退( b a c k s t e p p i n g ) 方法设计了具有全 局渐进稳定的跟踪控制律，实现了移动机器人对具有已知位姿和速度的参考小车的跟 踪。对于点镇定问题，由于移动机器人不满足b r o c k e t t ”】光滑镇定的条件，因此对于 点镇定只能寻找不连续的控制律、时变控制律或混合控制律。 本文主要研究移动机器人的路径跟踪控制问题。首先建立了移动机器人的扰动模 型，接着采用动态增广方法和坐标变换将移动机器人的运动模型转换为线性模型，最后 对移动机器入的跟踪控制进行了阐述。 2 2 移动机器人运动模型 2 2 ，1 齐次坐标变换 齐次坐标变换在工业机器人运动学动力学问题表示上有很广泛的应用。它不仅能够 很好地解决机器人位姿描述问题，而且能够表达机器人控制算法，计算机视觉计算机 图形学等问题。 空间中任意一点p 在不同坐标系中的描述是不同的。已知一直角坐标系中的某点坐 标，那么该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。 设在船y 内，机器人的位姿p = 【口b 口r ，在x 0 y 内任意一点( x ，y ，) 可通 过平移变换t 和旋转变换r 变为肋r 内一点( x ，y ) 。t ，r 的矩阵表示为 l 0 d r s i l l 口一c o s 目o l r = l 0l bl ，r = lc o s 8s i n 8 0 l ( 2 _ 1 ) 1 0 0 1 j l 0 0 1 j - 1 5 沈阳工业大学硕士学位论文 厨一降引 图2 - l 轮式移动机器人及其俯视图 驱动轮 ( 2 2 ) 在推导机器人运动学模型之前，作如下假设吲删： ( 1 ) 移动机器人、所有车轮和机器人运行表面均为刚体； ( 2 ) 所有车轮与运行表面始终保持点接触，接触点与车轮中心的连线始终垂直于 运行表面； ( 3 ) 所有车轮在运行表面上作纯滚动运动，机器人在轮子侧向没有滑动： ( 4 3 所有车轮与运行表面有足够的摩擦力，在机器人运行过程中，使轮子与地面 不会产生相对的滑动。 考虑图2 一l 所示移动机器人，建立如图2 - 2 所示的坐标系。其中j 0 瓯匕为世界坐 标系，z q r 为同连于车体的机器入坐标系，0 ，为两驱动轮轮轴的中点，( z ，y ) 表示 机器人在世界坐标系中的位置，p 为机器人的方位角，即机器人前进方向与z 。之间的 夹角，v 为机器人的线速度，为机器人的转动角速度，且有 1 6 开d 一 随u 沈阳工业大学硕士学位论文 厨一降引 图2 - l 轮式移动机器人及其俯视图 驱动轮 ( 2 2 ) 在推导机器人运动学模型之前，作如下假设吲删： ( 1 ) 移动机器人、所有车轮和机器人运行表面均为刚体； ( 2 ) 所有车轮与运行表面始终保持点接触，接触点与车轮中心的连线始终垂直于 运行表面； ( 3 ) 所有车轮在运行表面上作纯滚动运动，机器人在轮子侧向没有滑动： ( 4 3 所有车轮与运行表面有足够的摩擦力，在机器人运行过程中，使轮子与地面 不会产生相对的滑动。 考虑图2 一l 所示移动机器人，建立如图2 - 2 所示的坐标系。其中j 0 瓯匕为世界坐 标系，z q r 为同连于车体的机器入坐标系，0 ，为两驱动轮轮轴的中点，( z ，y ) 表示 机器人在世界坐标系中的位置，p 为机器人的方位角，即机器人前进方向与z 。之间的 夹角，v 为机器人的线速度，为机器人的转动角速度，且有 1 6 开d 一 随u 沈阳工业大学硕士学位论文 v = 监堕，甜= 生 坚，叱，分别为机器人左，右轮的线速度，l 为左右轮之间的 距离。 圈2 - 2 机器人系统坐标系平面图 x 。 假设机器人在平面上作纯滚动无侧滑运动，则该机器人受如下的运动约束 用p = i xy 占r 表示机器人的位姿，q = v r 为控制输入，则移动机器人的运 一= v s i n a ( 2 4 ) 自= c o s 8 0 】 即肚以固g ，舯以p ) 2 一一舸悦阮 2 3 机器人模型线性化 上一节导出的机器人模型由于存在非线性，给控制带来极大的困难，需要进步进 ，1 7 沈阳工业大学硕士学位论文 v = 监堕，甜= 生 坚，叱，分别为机器人左，右轮的线速度，l 为左右轮之间的 距离。 圈2 - 2 机器人系统坐标系平面图 x 。 假设机器人在平面上作纯滚动无侧滑运动，则该机器人受如下的运动约束 用p = i xy 占r 表示机器人的位姿，q = v r 为控制输入，则移动机器人的运 一= v s i n a( 2 4 ) 自= j c o s 8 0 】 即肚以固g ，舯以p ) 2 一一舸悦阮 2 3 机器人模型线性化 上一节导出的机器人模型由于存在非线性，给控制带来极大的困难，需要进步进 ，1 7 沈阳工业大学硕士学位论文 2 3 1 状态反馈精确线性化设计原理 近几年的非线性控制系统理论研究成果告诉人们：采用非线性状态反馈和恰当的坐 标变换，在一定条件下，可以将一个仿射非线性系统进行精确线性化，并且这个状态反 馈可保证控制系统的稳定性，且有好的动态品质嗍口6 1 。 考虑如下控制系统 x 2 ，( x ) + g ( x ) u ( 2 5 ) y = ( 曲 其中x r ”，“r ，y = ) = ( o ) ，h 2 ( x ) ， 。( 工) ) 7 r “分别为系统的状态、输 入和输出向量；，( x ) r “，g ( x ) = ( g l ( x ) ，g ：o ) ，g 。( x ) ) r 连续可微。 通过非线性状态反馈 “= 口( 爿7 ) + 夕( r ) y( 2 - 6 ) 及坐标变换 z = m ( x ) = h ( x ) l i h ( x ) l 7 1 ( 功 原非线性系统( 2 - 5 ) 可转换为一个完全可控的线性系统，即 ( 2 - 7 ) z ( ，) = 一z ( ，) + b y( 2 - 8 ) y ( f ) = c z ( t )( 2 - 9 ) 其中，z 为1 3 维向量，a 为n x n 阶状态系数矩阵，b 为n x m 阶控制系数矩阵、，为m 维 控制向量，y ( t ) 为m 维输出向量，c 为m xr l 阶s 输出系数矩阵。 图2 - 3 为状态反馈精确线性化设计原理框图。 图2 - 3 状态反馈精确线性化设计原理图 1 8 鲨堕三些奎兰堡主兰堡鲨苎 定义2 1 【明给定z 。x ，x 为一h 维微分流形，若存在的邻域y 及整数向量 ( n ，心，) 满足 ( 1 ) l g , 骘 ，( x ) = 0 ，v x 矿，1 _ ，s 肌，1 ，肌，o 七一2 ： 上鲋巧1 啊( x ) 三。巧1 啊( x ) l l l s i l “( 功 三，毋“j 、 是非奇异的，v x v ，则称系统( 2 - 5 ) 在点具有向量相对阶( _ ，r 2 ，_ ) 。 引理2 1 1 3 71 系统( 2 5 ) 在点能够精确反馈线性化得充分必要条件是存在的 邻域y 及v 上的m 个光滑实值函数啊( x ) ，使得系统( 2 - 5 ) 在点具有向量相对阶 ( - ， ，_ ) ，且，f = n 。 不能达到输入输出反馈线性化，原因是系统不存在相对阶。于是我们采用动态增广方 法【3 8 】【3 9 ，引入辅助状态方程；= a 与( 2 - 4 ) 合并得到下面的状态方程 j ，。v s i n 8 ( 2 1 0 ) 令状态变量一= x ，x 2 = y ，b = 0 ，x 4 = v 输出变量m = x l ，y 2 = x 2 ，控制输 入“= p r ，扰动输入d = p 。d 2 r ，则式( 2 - 1 0 ) 可化为( 2 5 ) 的形式，即 x = 4 ( x ) + b ( u + d ) ( 2 1 i ) 。1 9 沈阳工业大学硕士学位论文 其中 4 ( z ) = c o s x 3 x 4s i n x 3 o o b = o o o 0 o1 1o 一墨 ；： ： 定理2 1 【3 81 系统( 2 - 1 1 ) 一( 2 - 1 2 ) 在_ o 和如下控制律下，可使系统的输出 跟踪给定的参考输出y ，( f ) ，且该控制律保证了跟踪误差指数收敛于零。 f 口f c o s x a ( y n + k l lp j + k j 2 e 1 ) + s i n x 3 ( y ，2 + k 2 lp 2 + k 2 2 9 2 ) l “= ii = i 】 。 ( 2 。1 3 ) l 国j l _ 三二 s i n x 3 ( y 一+ 七l ie l + k 1 2 e i ) + c o s x 3 ( y ，2 + k 2 】e2 + 七2 2 e 2 ) j 其中，e ，= y 一y af - 1 , 2 ；k 毛2 ，k 2 l ，七2 2 是系数。 ，证明：对( 2 一1 2 ) 式求导得 y 1 2 x l 2 x 4c o s 蚝 y l2 口c o s x 3 一缎ds i l l x 3 y 22 x 22 x 4s i n x 3 y 22a s i n x 3 + 僦4c o s x 3 由( 2 - 5 ) 和( 2 - 1 7 ) 式可知解耦矩阵为 4 ( x ) ：。? 8 工，一s l n 而 l s i n x 3x 4c o s 3j 由( 2 1 8 ) 式有 d e t a ( x ) = x 4 o ，( v = x 4 0 ) 令 三 = “= 爿。1 c x ，五 其中五= 阮如r 为新的控制输入，且丑= ；：- 。+ 七。；。+ t 。：e ，i = 1 ，2 于是有 2 0 ( 2 1 4 ) ( 厶1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 沈阳工业大学硕士学位论文 yj：，：1=允=ly多e，2i+k七211】e；=l+tk222岛e： c z - z ， 由( 2 2 1 ) 式可知只要适当选取，k 。k ：。，k ：，就可以保证跟踪误差e 指数地收敛 于零。 定理2 2 在选择输出y 。= 一，y ：= x ：，且x 。0 时，系统( 2 - 1 1 ) 能够精确反馈 线性化。 由定理1 证疆过程中的( 2 - 1 5 ) 、( 2 - 1 7 ) 式可知系统( 2 - 1 1 ) 在选择输出 y l = x 1 ，y 2 = x 2 且x 4 0 的情况下具有相对阶( n ，2 ) = ( 2 ，2 ) ，且+ 吃= 4 = h ，由 引理2 1 可知系统( 2 - 1 1 ) 可以被精确线性化。， 引入状态变换矗= y l = 而，已= l y i = x 4c o s x 3 ，与= y 2 = x 2 ，孝4 = l y 2 = x 4s i n x 3 输入变换五= a c o s x 3 一嬲4s i n x 3 ，如= a s i n x 3 一麟4c 0 $ x 3 ，则系统( 2 - 1 1 ) 可化为如 下的线性时不变系统： 孝= 上 五+ d )( 2 2 2 ) 盼睇墙 协z ， 非线性系统( 2 1 1 ) 经过状态和输入变换后，转化为线性系统( 2 2 2 ) 一( 2 2 3 ) 此模型可用于移动机器人跟踪控制。 2 4 移动机器人跟踪控制描述 在移动机器人跟踪控制中，涉及到两个位姿：一个是参考位姿p = i x ，”e y ， 即机器人要到达的目标位姿；另一个是机器人的当前位姿只= k 咒眈r 。定义它们 之间的误差位姿为e = k 虬e j ，如图2 - 4 所示。机器人的跟踪控制是寻找控制输 入v 和，使得机器人跟踪给定的参考轨迹。最理想的跟踪效果应该是 x 。= x ，一x 。；0 ，y 。= ”一y 。；0 ，以= 口，一吼s0 ，然而由于机器人模型的不确定 2 1 沈阳工业大学硕士学位论文 yj：，：1=允=ly多e，2i+k七211】e；=l+tk222岛e： c z - z ， 由( 2 2 1 ) 式可知只要适当选取，k 。k ：。，k ：，就可以保证跟踪误差e 指数地收敛 于零。 定理2 2 在选择输出y 。= 一，y ：= x ：，且x 。0 时，系统( 2 - 1 1 ) 能够精确反馈 线性化。 由定理1 证疆过程中的( 2 - 1 5 ) 、( 2 - 1 7 ) 式可知系统( 2 - 1 1 ) 在选择输出 y l = x 1 ，y 2 = x 2 且x 4 0 的情况下具有相对阶( n ，2 ) = ( 2 ，2 ) ，且+ 吃= 4 = h ，由 引理2 1 可知系统( 2 - 1 1 ) 可以被精确线性化。， 引入状态变换矗= y l = 而，已= l y i = x 4c o s x 3 ，与= y 2 = x 2 ，孝4 = l y 2 = x 4s i n x 3 输入变换五= a c o s x 3 一嬲4s i n x 3 ，如= a s i n x 3 一麟4c 0 $ x 3 ，则系统( 2 - 1 1 ) 可化为如 下的线性时不变系统： 孝= 上 五+ d )( 2 2 2 ) 盼睇墙 协z ， 非线性系统( 2 1 1 ) 经过状态和输入变换后，转化为线性系统( 2 2 2 ) 一( 2 2 3 ) 此模型可用于移动机器人跟踪控制。 2 4 移动机器人跟踪控制描述 在移动机器人跟踪控制中，涉及到两个位姿：一个是参考位姿p = i x ，”e y ， 即机器人要到达的目标位姿；另一个是机器人的当前位姿只= k 咒眈r 。定义它们 之间的误差位姿为e = k 虬e j ，如图2 - 4 所示。机器人的跟踪控制是寻找控制输 入v 和，使得机器人跟踪给定的参考轨迹。最理想的跟踪效果应该是 x 。= x ，一x 。；0 ，y 。= ”一y 。；0 ，以= 口，一吼s0 ，然而由于机器人模型的不确定 2 1 沈阳工业大学硕士学位论文 性、结构参数的变化、轮胎的摩擦及变形以及外界干扰等不确定性因素的影响，机器人 不可能完全跟踪给定的参考轨迹。我们的目的是设计一鲁棒控制器，使得机器人在存在 扰动的情况下渐近地跟踪给定的参考轨迹，即；受k ( ，) - - x c ( f ) l = 0 ， i m 。y ，( r ) 一y 。( ，) l = o ，脚防( r ) 一包( ，) i = o p q 书引。 x cx ， 图2 4 移动机器人跟踪误差 只= 耋 = l i c s o 害s o 见ecs。in；o见,；韭i；x：r：-饕xc=t c 。一只，c z z 。， x c = 0 3 c y e v c4 - v r c o s 8 e 多。= 一哝以+ v ，s i n o , 0 e = 出，一口。 根据上面的叙述，可以得到下面的控制算法。 2 2 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 沈阳工业大学硕士学位论文 。：生鱼 2 ：塑二鱼 上 芳。= x o l d + a t v c o s ( p w ) 乩。= y o h + a t v s i n ( 0 0 “) 幺。= o o “+ a t ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 图2 - 5 为移动机器人跟踪结构框图，系统的输入为参考位姿只= i x ，y ，o r 】7 和参 考速度g ，= 【v ，脚，r ，系统的输出为当前位姿只= k 。y c 见】r 。 q r ( t ) p r ( r ) 圈2 - 5 移动机器人跟踪结构框图 2 3 - ( f ) 沈阳工业大学硕士学位论文 3 基于l m i 的输出反馈h ”控制器设计 3 1 前言 d g k f 方法【2 1 】被认为是一种有效的、数值稳定的求解h ”控制器的方法。该方法仅 仅通过求解两个代数r i c c a t i 方程就能够检验满足要求的控制器的存在性。然而，d g k f 方法一些固有的局限性限制了它的应用。首先，该方法的结果仅适用于“非奇异”对 象，即该对象从控制输入到被控输出的传递函数和从扰动输入到测量输出的传递函数在 无穷远点或虚轴上没有不变零点。其次，d g k f 方法只强调所有h 9 控制器中的“中心 解”。 1 9 9 4 年，g a h i n e t 2 3 1 和1 w a s a k i ，s k e l t o n p 5 l 提出了h 。控制问题的线性矩阵不等式方 法，给出了h 4 控制器存在的充分必要条件是三个线性矩阵不等式存在正定解。此外， 用这组正定解给出了全部h 。控制器( 包括降阶控制器) 在状态空间内的参数化结果。 线性矩阵不等式方法求解h 。控制问题的另一个优点是其可解条件避开了“奇异”问 题，除了要求被控对象能控制能检测外，对被控对象再没别的限制。由于凸规划内多项 式的发展使得计算高维的u m 在计算机上得以有效的实现，许多控制问题可以转化为 l m i 的形式。因而在过去的几年里，线性矩阵不等式在控制系统分析与设计方面引起了 较为广泛的重视。文【钢针对b 。卸的情形给出了控制器设计l m i 方法的统一形式。文 4 7 ，4 8 币u 用凸优化理论采用l m i 方法分析了h 。控制器的特性。 l m i 方法与r i e e a t i 方程方法相比具有如下优点【4 刀：1 有效的求解l m i 的算法，如内 点法等，使得鲁棒控制器的设计很容易求解；2 不确定性比例参数在线性矩阵不等式中 是线性的，可以用纯代数的方法处理，不需要传统的h 4 设计中要求的假设条件：3 以 针对带有一般不确定系统设计鲁棒控制器；4 易于实现多目标混合优化设计问题：5 有 利于降阶控制器的设计和结构简化。 本文利用h 。控制理论中的l m i 方法，首先给出系统稳定性判据和输出反馈控制器 存在的条件，然后给出了一种输出反馈h 。控制器的设计方法。将该种控制器的设计方 法应用于一类轮式移动机器人的运动控制，仿真结果表明了该方法的可行性和有效性。 2 4 沈阳工业大学硕士学位论文 3 2 基于l m i 的h 。控制器设计 3 2 1 几个重要引理 下面介绍几个引理，它们在l m i 问题求解中具有重要的作用。 引理3 1 ( n g g s i n ) 吲传递函数丁( s ) 的实现为r ( s ) = d + c ( s l 一爿) b ，则下 面的陈述等价： ( 1 ) a 稳定，且l p + c ( 盯一一) 。纠l y ； ( 2 ) 存在对称正定矩阵x ，满足l m i a r x + x a x b c r l ， l ? 苫二l 枷 。1 ) 引理3 2 ( s c h u r 补引理) 】 分块矩阵 瞄期 ( 3 - 2 ) 为负定，当且仪当 fq 0 ， 1 p m q 一1 m 7 0 ( 3 3 ) f 一。2 “ 上式中p 一地“m 7 称为q 的s e h u r 补。 引理3 3 f 2 3 】给定对称矩阵、壬，r 和其列的维数为m 的矩阵p ，q ，口为具有适当 维数的矩阵。下面的不等式 甲+ p 7 8 7 q + q 7 8 p 0 ( 3 - 4 ) 成立，当且仅当 t v 吧, w e 冀0 t j - j ， 【7 其中，的列分别构成了矩阵p ，q 的零空间的正交基。 2 5 沈阳工业大学硕士学位论文 3 2 2h 。控制器的l m i 问题描述 u 图3 - ih 。控制框图 图3 - 1 是h “控制问题的最一般的框图，其中，u 是包括参考输入和外界扰动的外部 输入信号，z 表示被控输出，y 是测量输出，为传感器的测量值，u 是控制输入。k 抽) 为 要设计的控制器。p 是包括被控对象和加权函数的广义对象，它由下式来定义： ； = 吐w = 陉：急 w c 。一e ， 设对象p 的一个最小实现为 p 。，= 盖：盖： + 戛 c 盯一一，“暇岛 c 。一， 对应的状态空间描述为 x = 4 x + b l e o + b 2 u ：= c 1 x + d l l + d 1 2 甜 y = c 2 z + d 2 l 毋+ d 2 2 设对象满足如下的假设条件： ( 4 ，b 2 ) 可稳定； ( c ：，a ) 可检测； d 2 2 = o 。 假设条件和是对于输出反馈系统稳定的充分必要条件 失一般性条件下，使得计算简单。 一2 6 ( 3 - 8 a ) ( 3 8 b ) ( 3 s c ) 假设条件是在考虑不 沈阳工业大学硕士学位论文 设有一真有理控制器 其中的x k r 8 为控制器的状态燹量( 一股地q 。o ) 。 由式( 3 8 ) 和式( 3 9 ) 可求得从扰动到输出z 的闭环传递函数 t 。= 三0 + c a ( “一a c t ) 毛 ( 3 1 0 ) 等价于闭环系统 i ? = ：笔d b d , 1 j l 。脚“j c 。- - ， 其中，。= b 托r 为闭环系统状态变量： 如= 爿嚣q 雩 ； = 县谶如 c “= 【c + d 1 2 d 。c 2d 。：c 。】， d d = d i i + d 1 2 d i d 2 i 。 将有界实引理用于这个闭环系统- 可得该系统的，一次优h “控制器存在的充分必要 条件是下面的l m i 存在正定解， a ：x d + xc l a c ! x c | b dc ：l f 磁局一矽 珥 0 ( 3 1 2 ) l 巳岛 一州 注意到式( 3 1 2 ) 中闭环系统的各系数可分为只与对象p 的系数有关的项和包括有 控制器系数的项。 将控制器系数集中表示成 婚 罢：d 皿k t - 9 y旧巩 i + x l 女 x 刊q 0 | l x 甜 沈阳工业大学硕士学位论文 就可以将式( 3 1 2 ) 整理成式( 3 1 3 ) 的形式，此时式中的甲只包含对象p 的系 数。 将以和k 1 再分块如下： 叫嘉班 参? 根据引理3 3 ，整理可得该次优h 控制问题可解，即控制器口可解的充分必要条件 是存在对称矩阵x ，y ，满足下面的l m i ： 台；橙7 享珈0 。 m 弦掏q m l o 0 0 ， 心竺：篙t滞r恻1tld,：j c , x 0 ， 嚣 1 拗q + y a + r y 。+ ：q c r c j y c , + 。q d ，, l rc ；d2 d r d , d 2 1 7 。， 3 一1 9 ) l 。1 【c l y + 讲c l。，f u 定理3 1h ”问题( 3 - 1 2 ) 可解，并且 - 2 8 沈阳工业大学硕士学位论文 就可以将式( 3 1 2 ) 整理成式( 3 1 3 ) 的形式，此时式中的甲只包含对象p 的系 数。 将以和k 1 再分块如下： 叫嘉班 参? 根据引理3 3 ，整理可得该次优h 控制问题可解，即控制器口可解的充分必要条件 是存在对称矩阵x ，y ，满足下面的l m i ： 台；橙7 享珈0 。 m 弦掏q m l o 0 0 ， 心竺：篙t滞r恻1tld,：j c , x 0 ， 嚣 1 拗q + y a + r y 。+ ：q c r c j y c , + 。q d ，, l rc ；d2 d r d , d 2 1 7 。， 3 一1 9 ) l 。1 【c l y + 讲c l。，f u 定理3 1h ”问题( 3 - 1 2 ) 可解，并且 - 2 8 垫塑三些查堂堡主堂壁笙苎 d 磊2 。 z 。， 的充分必要条件是存在对称正定矩阵x ，】，甲c ，e ，f ，满足下面的l m i s ： 艄+ 涮7 + b 2 e + 驴b 2b l 硝+ e r 磷l l 鲜 一， d i l i 0 ( 3 2 1 ) ig z + d 1 2 e珥 一， l y a + a r y + f c 2 + c j f 7 c j y b , + f d 2 l 。i l c l j d j 1 0 ( 3 2 2 ) i舛y + d 丢f 7 d l l 一， l 户- 毒孑 c s z s ， - 嘉n y 僻z t ， f = n b 。+ y b 2 d 。 ( 3 2 5 ) g = c , m 7 + d 。c 2 x ( 3 2 6 ) h = n a 。m 7 + n b 。c 2 z + y b 2 c 。m 7 + 】，( 一十b 2 d 。c 2 ) x ( 3 2 7 ) 3 3 仿真实验 x a o ) = 0 。由现有工具软件可得到如下的仿真曲线【4 9 】删。图3 - 2 为移动机器人在x 轴向 2 9 。 垫塑三些查堂堡主堂壁笙苎 d 磊2 。 z 。， 的充分必要条件是存在对称正定矩阵x ，】，甲c ，e ，f ，满足下面的l m i s ： 艄+ 涮7 + b 2 e + 驴b 2b l 硝+ e r 磷l l 鲜 一， d i l i 0 ( 3 2 1 ) ig z + d 1 2 e珥 一， l y a + a r y + f c 2 + c j f 7 c j y b , + f d 2 l 。i l c l j d j 1 0 ( 3 2 2 ) i舛y + d 丢f 7 d l l 一， l 户- 毒孑 c s z s ， - 嘉n y 僻z t ， f = n b 。+ y b 2 d 。 ( 3 2 5 ) g = c , m 7 + d 。c 2 x ( 3 2 6 ) h = n a 。m 7 + n b 。c 2 z + y b 2 c 。m 7 + 】，( 一十b 2 d 。c 2 ) x ( 3 2 7 ) 3 3 仿真实验 x a o ) = 0 。由现有工具软件可得到如下的仿真曲线【4 9 】删。图3 - 2 为移动机器人在x 轴向 2 9 。 沈阳工业大学硕士学位论文 的参考位移和实际位移的偏差曲线，图3 3 为移动机器人在y 轴向的参考位移和实际位 移的偏差曲线，图3 4 为机器人参考角位移和实际角位移的偏差曲线，图3 - 5 为机器人 右轮的输出速度，图3 - 6 为机器人左轮的输出速度， 图3 - 2 沿x 轴跟踪误差 圈3 4 角位移跟踪误整 图3 - 3 沿y 轴跟踪误差 3 0 图3 - 5 机器人右轮输出速度 沈阳工业大学硕士学位论文 图3 - 5 机器人左轮输出速度 3 4 本章小结 近几年，基于线性矩阵不等式( u ) 的控制系统设计方法引起了人们极大的兴 趣。因为在控制系统的分析和设计中，许多控制问题都可以描述为包含l m i 的凸可行 解问题或最优化问题。对此，内点法可以有效地加以求解。本章利用鲁棒h “控制理论 中的l m i 方法，首先给出系统稳定性判据和输出反馈控制器存在的条件，然后给出了一 种输出反馈h 。控制器的设计方法。将该种控制器的设计方法应用于一类轮式移动机器 人的运动控制，仿真结果表明了该方法的可行性和有效性。 - 3 1 沈阳工业大学硕士学位论文 图3 - 5 机器人左轮输出速度 3 4 本章小结 近几年，基于线性矩阵不等式( u ) 的控制系统设计方法