高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4.ppt

2 2 3向量数乘运算及其几何意义 一 向量的数乘 向量 a a 相同 相反 0 线性运算 判断 正确的打 错误的打 1 实数 与向量a的积是向量 2 实数 与向量a的和 a与差 a是向量 3 对于非零向量a 向量 3a与向量3a方向相反 4 对于非零向量a 向量 6a的模是向量3a的模的2倍 提示 1 正确 根据向量数乘的定义可知此说法正确 2 错误 实数 与向量a可以作乘法 但不可以作加减法 即 a和 a是无意义的 3 正确 因为向量 3a与非零向量a方向相反 向量3a与非零向量a方向相同 所以向量 3a与向量3a方向相反 4 正确 因为 6a 6 a 3a 3 a 所以 6a 2 3a 答案 1 2 3 4 二 实数与向量的积的运算律 a a a a b a a a b 思考 1 设m为实数 若ma mb 0 则必有a b成立吗 2 设m n为实数 若ma na 0 则必有m n成立吗 提示 1 不一定 因为ma mb m a b 0 所以m 0或a b 0即a b 2 不一定 因为ma na 0 m n a 0 所以m n或a 0 三 向量共线定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 思考 根据共线向量定理 对于非零向量a b 如何确定实数 使得b a 提示 1 确定符号 a与b同向时 为正 a与b反向时 为负 2 确定 的绝对值 b a 知识点拨 1 从两个角度看数乘向量 1 代数角度 是实数 a是向量 它们的积仍是向量 另外 a 0的条件是 0或a 0 2 几何角度 对于向量的长度而言 当 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 1 或反方向 1 上伸长到 a 的 倍 当0 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 上缩短到 a 的 倍 2 解释运算律 a b a b的几何意义 1 当a b中有一个等于0 或 0或1时 等式显然成立 2 当a b都不等于0且 1 0 当 0且 1时 如图 由作法知所以所以且与方向也相同 故有 a b a b成立 当 0时 同理可证 综上 a b a b成立 3 对向量共线定理的理解 1 定理本身包含了正反两个方面 若存在一个实数 使b a a 0 则a与b共线 反之 若a与b共线 a 0 则必存在一个实数 使b a 2 定理中 之所以限定a 0是由于若a b 0 虽然 仍然存在 可是 不唯一 定理的正反两个方面不成立 3 若a b不共线 且 a b 则必有 0 类型一向量的线性运算及其几何意义 典型例题 1 若3x 2 x a 0 则x a 2ab 2ac ad a2 计算 1 8 a c 7 a c c 2 a 9b 2c b 2c 3 a 2a b a 3 已知两个不共线的向量a b如图所示 1 在图中求作向量2a b 2 在图中求作向量2b a 解题探究 1 如何解关于向量x的方程 2 向量线性运算与多项式的运算有何联系 3 作向量2a b和向量2b a的步骤分别是什么 探究提示 1 由相反向量及向量线性运算的运算律可知解关于x的方程时 移项 去括号 合并同类项 系数化为1 等方法仍然适用 2 向量线性运算与多项式的运算从形式上看是一样的 3 1 先根据数乘向量的几何意义作向量2a 再根据向量加法的三角形法则作向量2a b 2 先根据数乘向量的几何意义作向量2b 再根据向量加法的三角形法则作向量2b a 解析 1 选b 由3x 2 x a 0 得3x 2x 2a 0 3x 2x 2a 所以x 2a 2 1 原式 8a 8c 7a 7c c 8 7 a 8 7 1 c 15a 2 原式 a 9b 2c b 2c a 9 1 b 2 2 c a 10b 3 原式 a 2a b a a 2a b a 1 2 1 a b b 答案 1 15a 2 a 10b 3 b 3 图1中向量表示2a b 图2中向量表示2b a 拓展提升 向量线性运算的基本方法 1 向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算 例如实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用 但是在这里的 同类项 公因式 指向量 实数看作是向量的系数 2 向量也可以通过列方程来解 把所求向量当作未知数 利用代数方程的方法求解 同时在运算过程中要多注意观察 恰当运用运算律 简化运算 变式训练 设向量a 3i 2j b 2i j 计算 解析 原式 类型二用已知向量表示其他向量 典型例题 1 如图 abcd是一个梯形 且m n分别是dc ab的中点 已知试用e1 e2表示下列向量 1 2 2 如图所示 已知 abcd的边bc cd的中点分别为k l 且试用e1 e2表示 解题探究 1 题1中向量与有什么关系 表示时可以用向量加法的哪种运算法则 2 利用已知条件可以找到哪些关于所求向量和已知向量的等量关系 探究提示 1 表示时可以用向量加法的 多边形法则 即2 解析 1 因为所以所以答案 1 2 2 方法一 设则由得解方程得即由得 方法二 设则由得用 2乘以 2 与 1 相加 得解方程得即解得即 互动探究 题1中 若试用e1 e2表示向量 解析 因为所以又因为m n分别是dc ab的中点 所以所以所以 拓展提升 用已知向量表示其他向量的两个基本方法 1 直接法 2 方程法当直接表示比较困难时 可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系 然后解关于所求向量的方程 变式训练 如图 已知对任意点m m点关于a点的对称点为s s点关于b点的对称点为n 用a b表示向量 解题指南 根据m点关于a点的对称点为s s点关于b点的对称点为n 易得两式相减后 易得向量与向量a b的关系 解析 因为m点关于a点的对称点为s 所以a为ms的中点 又因为s点关于b点的对称点为n 所以b为sn的中点 所以两式相减得所以 类型三数乘向量几何意义的应用 典型例题 1 2013 唐山高一检测 对于 abc内部的一点o 存在实数 使得成立 则 obc与 abc的面积比是 a 1 2b 1 3c 2 3d 与 有关2 1 已知e1 e2是不共线向量 a 3e1 4e2 b 6e1 8e2 则a与b是否共线 2 已知e1 e2是共线向量 a 3e1 4e2 b 6e1 8e2 则a与b是否共线 解题探究 1 题1中 如何作出向量和根据数乘向量的几何意义由可以得到什么结论 2 向量共线定理有哪两个方面的应用 探究提示 1 可以利用平行四边形法则作出向量和根据数乘向量的几何意义由可知与共线 2 1 判断两个向量共线 若存在一个实数 使b a a 0 则a与b共线 2 表示两个共线向量之间的关系 若a与b共线 a 0 则必存在一个实数 使b a 解析 1 选a 如图所示 设d e分别是ab ac的中点 以oa ob为邻边作 oagb 以oa oc为邻边作 oafc 则因为所以所以点d o e三点共线 所以点o在直线de上 又因为d e分别是ab ac的中点 所以 obc与 abc的面积比是1 2 2 1 若a与b共线 则存在实数 r 使a b 即3e1 4e2 6e1 8e2 所以 3 6 e1 4 8 e2 0 因为e1 e2是不共线向量 所以所以 不存在 所以a与b不共线 2 因为e1 e2共线 所以存在实数 r 使e1 e2 所以a 3e1 4e2 3 4 e2 b 6e1 8e2 6 8 e2 当时 a b共线 当时 b 0 a b也共线 综上所述 e1与e2共线时 a b也共线 拓展提升 1 向量共线定理的两个应用 1 向量共线的判定对于向量a a 0 与b 如果有一个实数 使b a 那么由向量数乘的定义知 向量a与b是共线的 2 向量共线的性质向量a a 0 与b共线 若向量b的长度是a的长度的 倍 即 b a 那么 当a与b同向时 有b a 当a与b反向时 有b a 当b 0时 则 0 总之 都可以表示成b a 其中 唯一确定 2 判断两个向量是否共线的方法判断两个向量是否共线可转化为存在性问题 解决存在性问题通常是假设存在 再根据已知条件找等量关系列方程 若方程有解且与题目条件无矛盾 则存在 反之不存在 变式训练 2013 四川高考 在平行四边形abcd中 对角线ac与bd交于点o 则 解析 在平行四边形abcd中 而所以 2 答案 2 规范解答 向量共线定理的应用 典例 条件分析 规范解答 若a b d三点共线 则与共线 1分所以可设 2分又因为 4分 2e1 e2 e1 3e2 e1 4e2 6分所以2e1 ke2 e1 4e2 即 4 k e2 2 e1 8分 因为e1 e2是两个不共线的向量 若4 k 0 则于是e1与e2是共线向量 与已知条件矛盾 若 2 0 则于是e1与e2是共线向量 与已知条件矛盾 所以 10分故 2 k 8 12分 失分警示 防范措施 1 重视向量共线定理的双向应用由向量共线定理既可以判断两个向量是否共线 又可以根据向量共线表示出两个向量的关系 如本例中由与共线 可设2 重视一个重要结论的应用若向量e1 e2是两个不共线向量 且 1e1 2e2则 1 2 0 如本例中 由 4 k e2 2 e1可知 类题试解 若a b都是非零向量 在什么条件下向量a b与a b共线 解析 因为a b都是非零向量 向量a b与a b中至少有一个不为零向量 不妨设a b 0 则由a b与a b共线 知存在实数 使a b a b 所以 1 a 1 b 因为a 0且b 0 所以 1 从而从而a b 综上可知 当a b时 a b与a b共线 1 下列各式中不表示向量的是 a 0 ab a 3bc 3a d x y r 且x y 解析 选c 根据数乘向量的定义可知0 a 都是向量 由向量线性运算的定义可知a 3b是向量 3a 表示向量3a的模 是实数 2 下列各式计算正确的有 1 7 6a 42a 2 7 a b 8b 7a 15b 3 a 2b a 2b 2a 4 4 2a b 8a 4b a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选c 1 正确 7 6a 42a 2 错误 7 a b 8b 7a 7b 8b 7a b 3 正确 a 2b a 2b 2a 4 正确 4 2a b 8a 4b 3 已知向量a b 且则一定共线的三点是 a a b db a b cc b c dd a c d 解析 选a 因为所以又所以所以与共线