高中数学 3.1 第1课时 椭圆及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 圆锥曲线与方程 第三章 3 1椭圆 第三章 第1课时椭圆及其标准方程 1 掌握椭圆的定义 掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 2 能根据条件确定椭圆的标准方程 掌握运用待定系数求椭圆的标准方程 3 通过对椭圆的概念的引入教学 培养学生的观察能力和探索能力 4 通过椭圆的标准方程的推导 使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法 并渗透数形结合和等价转化的思想方法 提高运用坐标法解决几何问题的能力 5 通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程 激发学生学习数学的积极性 培养学生的学习兴趣和创新意识 本节重点 椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 本节难点 椭圆标准方程的建立和推导 1 平面内与两个定点f1 f2的 的轨迹叫作椭圆 这两个定点f1 f2叫作椭圆的 两焦点的距离 f1f2 叫作椭圆的 2 在椭圆定义中 条件2a f1f2 不应忽视 若2a f1f2 则这样的点不存在 若2a f1f2 则动点的轨迹是 距离之和等于定长 大于 f1f2 的点 焦点 焦距 线段 a b a2 b2 c2 1 对于椭圆定义的理解 要抓住椭圆上的点所要满足的条件 即椭圆上点的几何性质 可以对比圆的定义来理解 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件 即对椭圆上任一点m有 mf1 mf2 2a f1f2 否则 若2a f1f2 则轨迹是线段f1f2 若2a f1f2 这一个条件 3 标准方程中涉及到三个常数a b c 它们是确定椭圆特征的重要元素 不随方程形式的改变而改变 它们之间的关系为c2 a2 b2 4 由标准方程判断焦点的位置的方法看x2 y2的分母大小 哪个分母大 焦点就在哪个坐标轴上 即椭圆的焦点在x轴上等价于标准方程中x2项的分母较大 椭圆的焦点在y轴上等价于标准方程中y2项的分母较大 4 观察椭圆的图形 发现椭圆有两条互相垂直的对称轴 以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标系 在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简 这类方程的化简方法 1 方程中只有一个根式时 需将它单独留在方程的一侧 把其他项移到另一侧 2 方程中有两个根式时 需将它们放在方程的两侧 并使其中一侧只有一个根式 椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的方程 1 焦点在x轴上 且经过点 2 0 和点 0 1 2 焦点在y轴上 与y轴的一个交点为p 0 10 点p到离它较近的一个焦点的距离等于2 分析 设出椭圆标准方程 代入已知条件 确定方程 点评 椭圆的焦点与顶点问题 1 由标准方程决定的椭圆中 与坐标轴的交点的横坐标 或纵坐标 实际即为a与b的值 2 椭圆长轴的端点距焦点最远 a c 或最近 a c 分析 根据两圆内切的特点 得出 pa pb 10 由于a点的坐标为 3 0 b点的坐标为 3 0 所以点p的轨迹方程是以a b为焦点的椭圆的标准方程 这就把求点p的轨迹方程的问题转化成了求a2 b2的问题 椭圆定义的应用 解析 设圆p的半径为r 又圆p过点b pb r 又 圆p与圆a内切 圆a的半径为10 两圆的圆心距 pa 10 r 点评 如果在条件中有两定点 涉及动点到两定点的距离 可考虑能否运用椭圆定义求解 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程 应先根据动点具有的条件 验证是否符合椭圆的定义 即动点到两定点距离之和是否是一常数 且该常数 定值 大于两点的距离 若符合 则动点的轨迹为椭圆 然后确定椭圆的方程 解析 如图所示 连结f2a并延长交椭圆于p 在椭圆上任取异于点p的一点p 连结p f1 p f2 p a 由三角形任意两边之和大于第三边得 p f1 p a af2 p f1 p f2 pf1 pf2 pf1 pa af2 p f1 p a pf1 pa 又f1 2 0 f2 2 0 写出f2a的方程 与椭圆联立求出p点坐标 则此 pf1 pa 即为所求最小值 根据椭圆的标准方程求参数的取值范围 答案 d 点评 本题考查椭圆的标准方程 要注意到a b这个条件 解得 得 31 当a 1时 不成立 当 3 a 1时 得a 2 综上可得 a的取值范围是 3 a 2 解析 设f2为椭圆的另一焦点 则由椭圆定义得 pf1 pf2 2a pf1 pf2 2c 2c pf1 pf2 2c 2a 2c 2 pf1 2a 2c 即a c pf1 a c pf1 的最大值为a c 最小值为a c 最值问题 点评 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点 应掌握这一性质 答案 b 误解 2c 6 c 3 由椭圆标准方程知a2 25 b2 m2 a2 b2 c2 25 m2 9 m2 16 m 0 m 4 点评 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小 如果x2项的分母大于y2项的分母 则椭圆的焦点在x轴上 反之 焦点在y轴上 由于本题中x2和y2项分母的大小不确定 因此需要进行分类讨论 例6 动点m到两点a 1 0 b 1 0 的距离和为2 则动点m的轨迹是 a 椭圆b 线段c 直线d 不存在 误解 选a 正解 因为距离和为2等于 ab 所以不是椭圆 而是线段ab 故选b 答案 b 点评 在应用椭圆的定义解决相关的问题时 除了看动点到两个定点的距离之和是否是常数之外 还要注意这个和与这两个定点间的距离之间的大小关系 否则容易出错 答案 10 2 2 6 点评 本题由于忽视椭圆标准方程中的条件a b 0导致错解 答案 a 解析 点p到椭圆的两个焦点的距离之和为2a 8 8 5 3 答案 b 解析 169 144 焦点在y轴上 又 c2 a2 b2 169 144 25 c 5 焦点坐标为 0 5 答案 c 答案 1 0 答案 5或3 解析 由题意得2c 2 c 1 当焦点为x轴上时 a2