高中数学 3.3 第2课时 函数的极值与导数课件 新人教A版选修11.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修1 11 2 圆锥曲线与方程 第三章 3 3导数在研究函数中的应用第2课时函数的极值与导数 第三章 结合函数的图象 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 重点 利用导数的知识求函数的极值 难点 函数的极值与导数的关系 新知导学 函数的极值与导数的关系 1 如图是函数y f x 的图象 在x a邻近的左侧f x 单调递 f x 0 右侧f x 单调递 f x 0 在x a邻近的函数值都比f a 小 且f a 0 在x b邻近情形恰好相反 图形上与a类似的点还有 e f e 与b类似的点还有 我们把点a叫做函数f x 的极 值点 f a 是函数的一个极 值 把点b叫做函数f x 的极 值点 f b 是函数的一个极 值 增 减 c f c d f d 大 大 小 小 2 一般地 已知函数y f x 及其定义域内一点x0 对于包含x0在内的开区间内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f x f x0 极大值 极大值点 f x f x0 极小值 极小值点 极值 极值点 3 理解极值概念时需注意的几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左右两侧 的点而言的 2 极值点是函数 的点 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 3 若f x 在定义域 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在定义域区间上的单调函数 极值 附近 定义域内 没有 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 在某一点的极小值可能大于另一点的极 值 如图 大 牛刀小试1 函数y x3 1的极大值是 a 1b 0c 2d 不存在 答案 d 解析 y 3x2 0在r上恒成立 函数y x3 1在r上是单调增函数 函数y x3 1无极值 答案 a 3 对于函数f x x3 3x2 给出命题 f x 是增函数 无极值 f x 是减函数 无极值 f x 的单调递增区间为 0 2 单调递减区间为 0 2 f 0 0是极大值 f 2 4是极小值 其中正确的命题有 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 b 解析 f x 3x2 6x 令f x 3x2 6x 0 得x 2或x 0 令f x 3x2 6x 0 得0 x 2 函数f x 在区间 0 和 2 上单调递增 在区间 0 2 上单调递减 当x 0和x 2时 函数分别取得极大值0和极小值 4 故 错 对 4 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 a 2b 3c 6d 9 答案 d 分析 首先对函数求导 然后求方程y 0的根 再检查y 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么y在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么y在这个根处取得极小值 利用导数求函数的极值 方法规律总结 1 当函数f x 在点x0处连续时 判断f x0 是否为极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 3 如果f x 在点x0的左 右两侧符号不变 则f x0 不是函数f x 的极值 2 利用导数求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0得方程的根 4 利用方程f x 0的根将定义域分成若干个小开区间 列表 判定导函数在各个小开区间的符号 5 确定函数的极值 如果f x 的符号在x0处由正 负 变负 正 则f x 在x0处取得极大 小 值 设函数f x x3 ax2 9x的导函数为f x 且f 2 15 1 求函数f x 的图象在x 0处的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析 1 f x 3x2 2ax 9 f 2 15 12 4a 9 15 a 3 f x x3 3x2 9x f x 3x2 6x 9 f 0 0 f 0 9 函数在x 0处的切线方程为y 9x 分析 f x 在x 1处的极小值为 1包含以下的含义 一是f 1 1 二是f 1 0 已知函数极值求参数 已知函数f x ax3 bx2 当x 1时 有极大值3 1 求a b的值 2 求函数f x 的极小值 2 f x 18x2 18x 18x x 1 当f x 0时 x 0或x 1 当f x 0时 01 函数f x 6x3 9x2的极小值为f 0 0 图象信息问题 分析 给出了y f x 的图象 应观察图象找出使f x 0与f x 0的x的取值范围 并区分f x 的符号由正到负和由负到正 再做判断 答案 方法规律总结 有关给出图象研究函数性质的题目 要分清给的是f x 的图象还是f x 的图象 若给的是f x 的图象 应先找出f x 的单调区间及极 最 值点 如果给的是f x 的图象 应先找出f x 的正负区间及由正变负还是由负变正 然后结合题目特点分析求解 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有一个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 答案 c 解析 设f x 与x轴的4个交点 从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用 解题思路探究 第一步 审题 审结论明确解题方向 求函数f x 的单调区间与极值 需求f x 然后按单调性和极值与导数的关系求解 审条件 发掘解题信息 f x 是三次函数 f x 是二次函数 由二次方程的根探求极值点和单调区间 f x 解析式中含参数 应分类讨论 第二步 建联系 找解题途径 先求f x 解方程f x 0找分界点 再按a的符号讨论单调性求极值 第三步 规范解答 辨析 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 上述解法未验证x 1时函数两侧的单调性 导致错误 正解 在上述解法之后继续 当a 1 b 3时