度高中数学 2.1.6点到直线的距离同步辅导与检测课件 苏教版必修2.ppt

2 1直线与方程2 1 6点到直线的距离 平面解析几何初步 有三个新兴城镇 分别位于a b c三点处 且ab ac a bc 2a 今计划合建一个中心医院 为同时方便三个城镇 准备建在bc的垂直平分线上的p点处 若希望点p到三个城镇距离平方和为最小 点p应位于何处 1 点p x0 y0 到直线ax by c 0的距离为 特别地 点p x0 y0 到x轴的距离 点p x0 y0 到y轴的距离 点p x0 y0 到直线y a的距离 点p x0 y0 到直线x b的距离 2 我们定义 夹在两条平行线间的公垂线段的长度称为两条平行线间的距离 若两条平行线分别为l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0 则它们之间的距离为 特别地 若两直线中x y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式 如l1 x y 1 0 l2 3x 3y 9 0 须把l2 3x 3y 9 0化为l2 然后再用公式求距离 点到直线的距离公式 点p x0 y0 到直线ax by c 0的距离为点到直线的距离公式是解析几何中的又一基本公式 它解决了平面直角坐标系内任意一点到一已知直线的距离问题 此方法也可以用来判断点与直线的位置关系 点在直线外或是点在直线上 在学习中应当特别注意以下两点 若给出的直线方程不是一般式 则应先把方程化为一般式 然后再利用公式求距离 灵活应用点p x0 y0 到几种特殊直线的距离公式 即 点p x0 y0 到x轴的距离d y0 点p x0 y0 到y轴的距离d x0 点p x0 y0 到直线y a的距离d y0 a 点p x0 y0 到直线x b的距离d x0 b 同学们要谨记 若点p x0 y0 在直线上 点p x0 y0 到直线的距离为零 距离公式仍然适用 平行线间的距离 若两条平行线分别为l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0 则它们之间的距离为两条平行线间的距离公式的结构特征是 两平行线方程皆为一般式时 分子是两式中常数项的差的绝对值 分母为两系数平方和的算术平方根 这一结构特征更有助于同学理解和记忆公式 但是同学们在使用公式时谨记 若两直线的方程不是一般式 要先把直线方程化为一般式 然后再利用公式求距离 若两直线中x y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式 如l1 x y 1 0 l2 3x 3y 9 0 须把l2 3x 3y 9 0化为l2 x y 3 0 然后再用公式求距离 点到直线的距离问题 求过点m 2 1 且与a 1 2 b 3 0 两点距离相等的直线方程 分析 先利用点m确定直线 含参数 再利用点到直线的距离公式求解 解析 解法一 当斜率存在时 设直线方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 规律总结 1 待定系数法是本题用到的主要方法 但不管设直线方程的何种形式 最后都要化成一般式方程后才可用公式 2 待定系数法设方程时 要考虑到直线的适用范围 关键是考虑斜率是否存在 3 综合运用直线的相关知识 充分发挥几何图形的直观性 用运动观点看待点 直线 有时会起到事半功倍的作用 变式训练 1 1 已知点a a 2 到直线3x 4y 2 0的距离等于4 求a的值 2 在x轴上求与直线3x 4y 5 0的距离等于5的点的坐标 解析 两条平行线间的距离问题 求与直线2x y 1 0平行 且和2x y 1 0的距离为2的直线方程 分析 1 根据直线平行的性质特点设出所求直线方程 进而利用公式求解 2 设出所求直线上任意一点p x y 利用条件和距离公式即可求解 解法 解法一 由已知可设要求的直线方程为2x y c 0 则两条平行直线间的距离为 规律总结 平行直线间的距离问题可用公式直接求解 也可转化为点到直线的距离问题 综合应用问题 如图 已知p是等腰 abc的底边bc上一点 pm ab于m pn ac于n 用解析法证明pm pn为定值 分析 建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出pm和pn的长度 证明 过点a作ao bc 垂足为o 以o为原点 建立如图所示的直角坐标系 设b a 0 c a 0 a 0 a 0 b p x1 0 a b为定值 x1为参数 a x1 a ab的方程是bx ay ab 0 ac的方程是bx ay ab 0 规律总结 解析法 坐标法 即通过建立平面直角坐标系 把几何问题转化成代数问题 用处理代数问题的方法解决 这种方法是联系平面解析几何的纽带 求定值问题 应先表示出要证明为定值的式子 最后求出定值 变式训练 2 直线l1过点a 0 1 l2过点b 5 0 如果l1 l2 且l1与l2的距离为5 求l1 l2的方程 设直线的斜率为k 由斜截式得l1的方程y kx 1 即kx y 1 0 由点斜式可得l2的方程y k x 5 即kx y 5k 0 在直线l1上取点a 0 1 若l1 l2的斜率不存在 则l1的方程为x 0 l2的方程为x 5 它们之间的距离为5 同样满足条件 则满足条件的直线方程有以下两组 基础巩固 点到直线的距离公式的正用