高考数学 第二章 第十一节导数概念、导数的运算课件 理.ppt

第十一节导数概念 导数的运算 1 物体的瞬时速度及函数f x 在x x0处的导数 1 瞬时速度若物体的运动方程为s f t 则物体在任意时刻t的瞬时速度v t 就是平均速度v t d 在d趋于0时的极限 2 函数f x 在x x0处的导数 定义 设函数f x 在包含x0的某个区间上有定义 如果比值在d趋于0时 d 0 趋于 则称此 为函数f x 在x x0处的导数或 记作 符号表示为 f x0 d 0 确定的极限值 极限值 微商 f x0 即时应用 1 思考 f x0 与 f x0 相等吗 提示 在对导数的概念进行理解时 特别要注意f x0 与 f x0 是不一样的 f x0 代表函数f x 在x x0处的导数值 不一定为0 而 f x0 是函数值f x0 的导数 而函数值f x0 是一个常量 其导数一定为0 即 f x0 0 2 有一机器人的运动方程为s t2 t是时间 s是位移 则该机器人在时刻t 1时的瞬时速度为 解析 s t2 v s t 2t 该机器人在时刻t 1时的瞬时速度为 s 1 2 1 1 答案 1 2 函数f x 的导函数 1 若x取定义域内的任意一点 则d趋于0时 比值 的极限值叫作f x 的导函数 记作 2 符号表示为 f x d 0 f x 即时应用 1 思考 f x 与f x0 有何区别与联系 提示 f x 是x的一个函数 f x0 是常数 是f x 在点x0处的一个函数值 2 f x 是f x x3 2x 1的导函数 则f 1 的值是 解析 f x x3 2x 1 f x x2 2 f 1 1 2 2 3 答案 3 3 导数的实际意义 1 物理意义若物体的运动方程为s f t 则f t 为物体在任意时刻t的 2 几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点 处的 相应地 切线方程为 瞬 时速度v t x0 f x0 切线的斜率 y f x0 f x0 x x0 即时应用 1 思考 曲线y f x 在点p0 x0 y0 处的切线与过点p0 x0 y0 的切线 两说法有区别吗 提示 有 前者p0一定为切点 而后者p0不一定为切点 2 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是 解析 y 2x 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是2 答案 2 3 函数f x lnx的图象在点 e f e 处的切线方程是 解析 f e 所求的切线方程为y f e f e x e 即y lne x e 化简得x ey 0 答案 x ey 0 4 曲线y sinx cosx在x 处的切线方程是 解析 根据y sinx cosx求导可得y cosx sinx 所以当x 时 y 1 又因为切线过点 1 所以可得曲线在x 处的切线方程为y 1 x 即y x 1 答案 y x 1 4 一些基本的初等函数的导数公式表 公式对函数定义域内的自变量x有效 0 ex ax lna a 0 a 1 a 0 a 1 x 0 cosx sinx 即时应用 1 y x 5 则y 2 y 4x 则y 3 y log3x 则y 4 y sin 则y 答案 1 5x 6 2 4xln4 3 4 0 5 导数运算法则 1 f x f x 2 f x g x 3 f x g x 4 f x 0 5 f x 0 6 若y f u u g x 则y x f u u x f x g x f x g x f x g x 即时应用 1 y x3 sinx 则y 2 y 2x2 3 3x 2 则y 3 f x 则f x 4 f x e x ln 2x 1 则f x 解析 1 y x3 sinx 3x2 cosx 2 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 18x2 8x 9 或 y 6x3 4x2 9x 6 y 18x2 8x 9 3 f x 4 f x 答案 1 3x2 cosx 2 18x2 8x 9 3 4 热点考向1根据导数的定义求函数的导数 方法点睛 根据导数的定义求函数y f x 在点x0处导数的步骤 1 求差 即f x0 d f x0 2 求比 即 3 令d趋于0得导数 例1 用导数定义求函数f x 在x 1处的导数 解题指南 本题是利用定义求函数的导数 所以可先求出f x0 d f x0 再求当d趋于0时 趋于何值 即为所求结果 规范解答 f 1 d f 1 当d趋于0时 此式趋于 f 1 反思 感悟 根据导数定义求简单函数的导数不作重点要求 考试时不宜使用定义求导 而是应用导数公式和运算法则求解 变式训练 一质点运动的方程为s 8 3t2 1 求质点在 1 1 d 这段时间内的平均速度 2 求质点在t 1时的瞬时速度 用定义及导数公式两种方法 解析 1 s 8 3t2 s 1 d s 1 8 3 1 d 2 8 3 12 6d 3d2 6 3d 2 定义法 质点在t 1时的瞬时速度由 1 知 当d趋于0时 式趋于 6 即质点在t 1时的瞬时速度为 6 导数公式法 质点在t时刻的瞬时速度v s t 8 3t2 6t 当t 1时 v 6 1 6 热点考向2导数的运算 方法点睛 函数求导的原则对于函数求导 一般要遵循先化简 再求导的基本原则 求导时 不但要重视求导法则的应用 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 在实施化简时 首先必须注意变换的等价性 避免不必要的运算失误 提醒 化简函数时 乘积的形式常化成和 差的形式 根式化为分数指数幂的形式 较复杂的公式化为简单公式的和或差 熟记导数公式和求导法则是运算关键 例2 1 若f x x2 2x 4lnx 则f x 0的解集为 a 0 b 1 0 2 c 2 d 1 0 2 求下列函数的导数 y 2x2 1 3x 1 y y y 3xex 2x e 解题指南 1 首先求出f x 的导数 再解不等式 2 借助于导数公式及运算法则求导 规范解答 1 选c f x 2x 2 0 即 0 x 0 x 2 x 1 0 x 2 2 方法一 由题可以先展开解析式然后再求导 y 2x2 1 3x 1 6x3 2x2 3x 1 y 6x3 2x2 3x 1 6x3 2x2 3x 18x2 4x 3 方法二 由题可以利用乘积的求导法则进行求导 y 2x2 1 3x 1 2x2 1 3x 1 4x 3x 1 3 2x2 1 12x2 4x 6x2 3 18x2 4x 3 根据题意把函数的解析式整理变形可得 y y 根据题意利用除法的求导法则进行求导可得 根据求导法则进行求导可得 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 3e xln3e 2xln2 反思 感悟 准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则 根据所给函数解析式的特点 灵活选择解题方法决定了解题是否正确 顺利 一般说来 分式函数求导 要先观察函数的结构特征 可化为整式函数或较为简单的分式函数 对数函数的求导 可先化为和 差的形式 三角函数的求导 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 变式训练 2012 厦门模拟 函数y mx2m n的导数为y 4x3 则 a m 1 n 2 b m 1 n 2 c m 1 n 2 d m 1 n 2 解析 选d 由题可得y 2m n mx2m n 1 4x3 对应相等可得 解得m 1 n 2 热点考向3导数的几何意义 方法点睛 1 导数的几何意义函数在切点处的导数是该点处切线的斜率 2 导数几何意义的应用已知切点坐标可以求斜率 已知斜率也可以求切点坐标 当所给的点a x0 y0 是切点时 切线斜率k f x0 当所给的点m a b 不是切点时 可以设出切点p x0 y0 则f x0 3 求切线方程的方法步骤曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程 可按如下方式求得 第一 求出函数y f x 在x x0处的导数 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 第二 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 求得切线方程y f x0 f x0 x x0 如果曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线平行于y轴 此时导数不存在 时 由切线的定义可知 切线的方程为x x0 提醒 利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时 一定要抓住切点的多面性 在曲线上 在切线上 该点处的导数是切线斜率 例3 1 曲线y 在点m 0 处的切线的斜率为 a b c d 2 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 9 b 3 c 9 d 15 3 2012 莆田模拟 设f x xlnx 1 若f x0 2 则f x 在点 x0 y0 处的切线方程为 解题指南 利用导数的几何意义 1 先计算y 再求出x 时y 的值 即可得到切线斜率 2 先求出切线方程 再得到与y轴交点的纵坐标 3 先求导 解方程得出x0 f x0 用点斜式求得切线方程 规范解答 1 选b y 所以x 时 y 2 选c y 3x2 切线斜率为3 切线方程为y 3x 9 与y轴交点的纵坐标是9 3 f x xlnx 1 f x lnx 1 又 f x0 2 lnx0 1 2 解得x0 e f x0 e 1 故切线方程为y e 1 2 x e 即2x y e 1 0 答案 2x y e 1 0 互动探究 若把本例 2 中 在点p 1 12 处 改为 过点 1 12 则此时切线与y轴交点的纵坐标又是什么 解析 当p为切点时 由例题 2 知 切线与y轴交点的纵坐标为9 当p不是切点时 设切点坐标为 x0 y0 则 即 解得x0 切点为 切线斜率k 3 2 切线方程为y x 与y轴交点的纵坐标为 反思 感悟 1 要体会切线定义中的运动变化思想 由割线 切线 由两个不同的公共点无限接近 重合 切点 2 审题时注意所给点是否是切点 变式备选 1 2012 漳州模拟 设函数f x 是r上以5为周期的可导偶函数 则曲线y f x 在x 5处的切线的斜率为 a b 0 c d 5 解析 选b f x 是r上以5为周期的可导偶函数 y f x 在x 5处的切线的斜率与在x 0处的切线的斜率相同 又 y f x 为偶函数 y f x 在x 0两侧的单调性相反 常数函数除外 该函数在x 0处切线的斜率为0 2 2012 宁波模拟 已知函数f x 在r上满足f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 a y 2x 1 b y x c y 3x 2 d y 2x 3 解析 选a 由f x 2f 2 x x2 8x 8 得f 2 x 2f x 2 x 2 8 2 x 8 即2f x f 2 x x2 4x 4 由 得3f x 3x2 f x x2 f x 2x 切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 故选a 3 2012 莆田模拟 若曲线y 在点 a 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18 则a a 64 b 32 c 16 d 8 解析 选a 曲线y 过点 a 且y 曲线y 在点 a 处的切线斜率k 且a 0 切线方程为 y x a 该直线与两坐标轴的交点坐标分别为 3a 0 0 三角形的面积为 s 3a 依题意得 18 a 64 1 2013 南平模拟 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 x2 则f 1 a 1 b 2 c 1 d 2 解析 选b f x 2f 1 2x 令x 1 得f 1 2f 1 2 f 1 2 2 2013 福州模拟 如图 函数y f x 的图象在点p 5 f 5 处的切线方程是y x 8 则f 5 f 5 a b 1 c 2 d 0 解析 选c 点p 5 f 5 在切线y x 8上 f 5 5 8 3 由导数的几何意义知f 5 1 f 5 f 5 3 1 2 3 2012 广东高考 曲线y x3 x 3在点 1 3 处的切线方程为 解析 y 3x2 1 y x 1 3 1 2 切线方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 答案 2x y 1 0 4 2012 漳州模拟 若曲线f x ax2 lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 解析 由题意知该函数的定义域为x 0 f x 2ax 因为存在垂直于y轴的切线 故此时斜率为0 问题转化为x 0范围内导函数f x 2ax 存在零点 等价于方程2ax 0在 0 内有解 显然可得a 0 答案 0 5 2012