中考数学 第二十五讲 图形与证明配套课件 北师大版.ppt

第二十五讲图形与证明 1 了解 定义 命题 公理 定理 证明等相关概念 了解反证法的含义 2 掌握 用综合法证明数学命题 平行线的性质定理和判别条件 三角形的内角和定理及推论 三角形全等的性质和判别条件 直角三角形全等的判定定理 角平分线性质定理及逆定理 垂直平分线性质定理及逆定理 三角形中位线定理 等腰三角形 等边三角形 直角三角形的性质和判定定理 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形的性质和判定定理 3 会 熟练运用所学定义 公理 定理证明相关的命题 一 命题1 组成与分类 2 反例 要说明一个命题是假命题通常可以举出一个例子 使之具备命题的 而不具有命题的 这种例子称为反例 3 互逆命题 在两个命题中 如果一个命题的 和 分别是另一个命题的 和 那么这两个命题称为互逆命题 4 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是 那么它也是一个定理 这两个定理称为互逆定理 条件 结论 条件 结论 结论 条件 真命题 即时应用 1 把 对顶角相等 写成 如果 那么 的形式为 2 两个整数的和仍然是整数的逆命题是 3 等腰三角形的两个底角相等的逆定理是 4 命题 周长相等的两个三角形全等 是 命题 填 真 或 假 5 试举出一个反例说明命题 互补的两个角不相等 是假命题 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 如果两个数的和是 整数 那么这两个数都是整数 有两个角相等的 三角形是等腰三角形 假 两个直角互补 但是两个直角相等 二 证明的有关概念1 定义 对名称和术语加以描述 作出明确的 2 公理 公认的 称为公理 3 证明 的过程称为证明 4 定理 经过证明的 称为定理 规定 真命题 推理 真命题 5 推论 由一个公理或定理直接 的定理叫做这个公理或定理的推论 6 等量代换 在等式或不等式中 一个量可以用它的 来代替 称为 等量代换 7 反证法 证明时 先假设命题的 不成立 然后推导出与定义 公理 已证定理或已知条件 的结果 从而证明命题的 一定成立 这种证明方法称为反证法 推出 等量 结论 相矛盾 结论 即时应用 1 若 1 2 2 3 则 1 3 其根据是 2 关于线段的公理的内容是 3 用反证法证明a b时 应首先假设 4 平行四边形的定义是 等量代换 两点之间 线段最短 a b 两组对边分别平行的四边形是平行 四边形 核心点拨 1 判断一个句子是否是命题 关键是看这个语句是否对一件事情作出了判断 2 探索两个图形之间的关系时要注意从位置关系和数量关系两个方面出发去研究 命题的识别 例1 2011 德州中考 下列命题中 其逆命题成立的是 只填写序号 同旁内角互补 两直线平行 如果两个角是直角 那么它们相等 如果两个实数相等 那么它们的平方相等 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 思路点拨 自主解答 的逆命题 两直线平行 同旁内角互补 正确 的逆命题 相等的两个角是直角 错误 的逆命题 如果两个数的平方相等 那么这两个数也相等 错误 如 22 2 2 但2 2 的逆命题 如果直角三角形的三边长是a b c c最大 则满足a2 b2 c2 正确 答案 对点训练 1 2011 百色中考 下列命题中是真命题的是 a 如果a2 b2 那么a b b 对角线互相垂直的四边形是菱形 c 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 d 对应角相等的两个三角形全等 解析 选c 对于选项a 举出反例 a 3 b 3 可知选项a错误 因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形 而选项b中没有 平分 这一条件 因此是错误的 aaa 不能判断两个三角形全等 故选项d错误 2 2012 六盘水中考 下列命题为真命题的是 a 平面内任意三点确定一个圆 b 五边形的内角和为540 c 如果a b 则ac2 bc2 d 如果两条直线被第三条直线所截 那么所截得的同位角相等 解析 选b 平面内不在同一条直线上的三个点确定一个圆 a是假命题 五边形的内角和是 5 2 180 540 b是真命题 如果a b 则ac2 bc2 c是假命题 如果两条平行线被第三条直线所截 那么所截得的同位角相等 d是假命题 3 2012 泰州中考 下列四个命题 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 其中真命题共有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 选b 命题 正确 命题 错误 命题 正确 命题 错误 4 2011 孝感中考 下列命题中 假命题是 a 三角形的任意两边之和大于第三边 b 方差是描述一组数据波动大小的量 c 两相似三角形面积的比等于周长的比的平方 d 不等式 x 1的解集是x 1 解析 选d 不等式 x 1的两边都除以 1后 不等号的方向需要改变 即x 1 5 2012 黄石中考 将下列正确的命题的序号填在横线上 若n为大于2的正整数 则n边形的所有外角之和为 n 2 180 三角形三条中线的交点就是三角形的重心 证明两三角形全等的方法有 sss sas asa ssa及hl等 解析 n边形的所有外角之和为360 所以 错误 三角形三条中线的交点就是三角形的重心 正确 证明两三角形全等的方法没有ssa 错误 答案 命题的证明 例2 2012 株洲中考 如图 在矩形abcd中 ab 6 bc 8 沿直线mn对折 使a c重合 直线mn交ac于o 1 求证 com cba 2 求线段om的长度 思路点拨 1 点a c关于mn对称 mn为ac的垂直平分线 com b 结论 2 ab bc的长 ac的长 列出比例式 结果 自主解答 1 a与c关于直线mn对称 ac mn com 90 在矩形abcd中 b 90 com b 又 mco acb com cba 2 在rt cba中 ab 6 bc 8 ac 10 oc 5 com cba 对点训练 6 2012 资阳中考 如图 abc是等腰三角形 点d是底边bc上异于bc中点的一个点 ade dac de ac 运用这个图 不添加辅助线 可以说明下列哪一个命题是假命题 a 一组对边平行 另一组对边相等的四边形是平行四边形 b 有一组对边平行的四边形是梯形 c 一组对边相等 一组对角相等的四边形是平行四边形 d 对角线相等的四边形是矩形 解析 选c abc是等腰三角形 ab ac b c de ac ad da ade dac ade dac e c b e ab de 但是四边形abde不是平行四边形 故一组对边相等 一组对角相等的四边形不是平行四边形 故c符合题意 7 2012 广东中考 已知 如图 在四边形abcd中 ab cd 对角线ac bd相交于点o bo do 求证 四边形abcd是平行四边形 证明 ab cd abo cdo bao dco bo do oab ocd ab cd 又ab cd 四边形abcd是平行四边形 8 2012 临沂中考 如图 点a f c d在同一直线上 点b和点e分别在直线ad的两侧 且ab de a d af dc 1 求证 四边形bcef是平行四边形 2 若 abc 90 ab 4 bc 3 当af为何值时 四边形bcef是菱形 解析 1 af dc af fc dc cf 即ac df 在 abc和 def中 ac df a d ab de abc def sas bc ef acb dfe bc ef 四边形bcef是平行四边形 2 连接be 交cf于点g 四边形bcef是平行四边形 当be cf时 四边形bcef是菱形 abc 90 ab 4 bc 3 bgc abc 90 acb bcg abc bgc fg cg fc 2cg af ac fc 5 当af 时 四边形bcef是菱形 9 2011 株洲中考 如图 abc中 ab ac a 36 ac的垂直平分线交ab于e d为垂足 连接ec 1 求 ecd的度数 2 若ce 5 求bc的长 解析 1 de垂直平分ac ce ae ecd a 36 2 ab ac a 36 b acb 72 ecd 36 bce acb ecd 36 bec 72 b bc ce 5 一题多解 1 de垂直平分ac ad cd ade cde 90 又 de de ade cde ecd a 36 2 ab ac a 36 b acb 72 bec a ecd 72 bec b bc ce 5 创新命题 猜想 证明型题目 例 2011 牡丹江中考 在 abc中 acb 2 b 如图 当 c 90 ad为 abc的角平分线时 在ab上截取ae ac 连接de 易证ab ac cd 1 如图 当 c 90 ad为 abc的角平分线时 线段ab ac cd又有怎样的数量关系 不需要证明 请直接写出你的猜想 2 如图 当ad为 abc的外角平分线时 线段ab ac cd又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 并对你的猜想给予证明 解题导引 根据图形变化的实际情形 再结合已给结论的形式 写出类似的结论 规范解答 1 猜想 ab ac cd 2 猜想 ab ac cd 证明 如图 在ba的延长线上截取ae ac 连接ed ad平分 fac ead cad 在 ead与 cad中 ae ac ead cad ad ad ead cad ed cd aed acd fed acb 又 acb 2 b fed b edb edb b eb ed ea ab eb ed cd ab ac cd 名师点评 通过对猜想 证明类试题的分析和总结 我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示 2012 兰州中考 如图 1 矩形纸片abcd 把它沿对角线bd向上折叠 1 在图 2 中用实线画出折叠后得到的图形 要求尺规作图 保留作图痕迹 不写作法 2 折叠后重合部分是什么图形 说明理由 解析 1 作法参考 方法一 连接bd 作 bdg bdc 在射线dg上截取de dc 连接be 方法二 连接bd 作 dbh dbc 在射线bh上截取be bc 连接de 方