高中数学 1.1全等与相似配套课件 北师大版选修4.ppt

第一节全等与相似 三年7考高考指数 1 理解相似三角形的定义与性质 了解平行截割定理 2 会证明 应用直角三角形射影定理 1 利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理进行有关的证明和计算是高考重点 2 本部分主要以填空题和解答题为主 其中以相似三角形为背景的综合题是热点题型 同时相似三角形与圆 方程 三角 函数等知识的结合多以探索性 阅读性命题类型出现 1 图形变化的不变性与平移 旋转 反射 1 图形变化的不变性 图形在变化过程中 有些性质改变了 有些性质仍然保持 常见的图形变化 如平移 相似 包括位似 不变 旋转 轴对称 2 平移 旋转 反射 平移变换 图形的 过程称为平移变换 旋转变换 图形的 过程称为旋转变换 反射变换 一个图形f绕一条直线l翻转 得到另外一个图形f 则f与f 关于l 这种图形的变化过程称为反射变换 直线l称为反射轴 平移 旋转 180 对称 平移变换 旋转变换 反射变换的性质一个图形通过平移变换 旋转变换 反射变换变为另外一个图形 其对应线段的长度 对应角的大小 因此 变换前后两个图形是 的 但图形的位置可能发生改变 不变 不变 全等 即时应用 如图 已知 abc与 def是两个全等的直角三角形 量得它们的斜边长为10cm 较小锐角为30 将这两个三角形摆成如图 所示的形状 使点b c f d在同一条直线上 且点c与点f重合 将图 中的 abc绕点c顺时针方向旋转到图 的位置 点e在ab边上 ac交de于点g 则线段fg的长为 cm 保留根号 解析 在rt abc中 ab 10cm a 30 bc ab 5cm 在图 中 bc ce b 60 bce是等边三角形 eca 30 fgd 90 在rt fgd中 d 30 fd ac cm 答案 如图 abc的内部有一点p 点d e f是点p分别以ab bc ac为对称轴的对称点 已知 bac 70 abc 60 acb 50 则 adb bec cfa的和等于 度 解析 分别连接pa pb pc 点d与点p关于ab对称 ad ap bd bp adp apd bdp bpd adb apb 同理 bec bpc cfa cpa apb bpc cpa 360 adb bec cfa 360 答案 360 2 相似与位似 1 相似变换 两个图形的形状相同 但大小不同 这两个图形是 把一个图形按一定比例 或 这种图形的变化过程称为相似变换 2 位似变换 把一个图形变为它的 图形 这种图形的变化过程称为位似变换 相似图形 放大 缩小 位似 3 相似与位似变换的性质一个图形通过相似变换 或位似变换 变为另外一个图形 其形状 对应角的大小 但图形的 发生了改变 位似变换是一种特殊的 变换 不变 不变 位置 相似 即时应用 如图 在直角坐标系中 abc三个顶点的坐标分别为a 2 2 b 4 2 c 6 4 以原点o为位似中心 将 abc缩小 使变换后得到的 def与 abc对应边的比为1 2 则线段ac的中点p变换后对应的点的坐标为 解析 def与 abc对应边的比为1 2 在第一象限内 def各个顶点的坐标分别是d 1 1 e 2 1 f 3 2 线段df中点的坐标为同理 在第三象限内 线段df的中点的坐标为 线段ac的中点p变换后对应的点的坐标为或答案 或 如图 已知点d e分别是 abc的ab ac边上的点 de bc 且ad db 2 3 若s ade 4 则s四边形bced 解析 de bc ade abc ad db 2 3 ad ab 2 5 s ade 4 s四边形bced 21 答案 21 3 平行线分线段成比例定理 1 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 截得的对应线段 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 截得的对应线段 3 三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边 成比例 成比例 对应成比例 即时应用 1 如图 在 abc中 de bc bd ad 则ae ac 2 在 abc中 ad是角平分线 ab 5 ac 4 bc 7 则bd 解析 1 de bc 又 2 设bd x 则dc 7 x ad是 abc的角平分线 即解得答案 4 直角三角形的射影定理直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的 斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的 比例中项 比例中项 即时应用 一直角三角形两条直角边之比是1 2 则它们在斜边上射影的比是 解析 如图 令ac ab 1 2 ac ab在斜边bc上的射影分别为dc db 由射影定理 得ac2 cd bc ab2 bd bc cd bd ac2 ab2 1 4 答案 1 4 在rt abc中 acb 90 cd ab于点d ac 3 bc 4 则ad 解析 先由勾股定理 得ab 5 再由射影定理 得ac2 ad ab 答案 平行线分线段成比例定理 方法点睛 1 利用平行线分线段成比例定理的注意事项利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线 找准成比例的线段 得到相应的比例式 有时需要进行适当的变形 从而得到最终的结果 2 三角形内角平分线定理的应用三角形内角平分线定理反映了三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例 凡涉及与三角形内角平分线有关的比例线段及相关计算问题 都可以考虑应用这个定理 例1 1 2012 佛山模拟 如图 在 abc中 de bc ef cd 若bc 3 de 2 df 1 则ab的长为 2 如图 在 abc中 ab ac cd是角平分线 a 36 ab 1 则cd 解题指南 1 这是一道利用平行线分线段成比例定理的计算题 由已知条件分析知 需要中间比例式进行转换 即由及等可以得出ab的长 2 注意到本题图中的 abc acd bcd都是等腰三角形 可以得到bc cd ad 然后利用三角形内角平分线定理列方程求解 规范解答 1 de bc 又 ef cd af 2fd 2 ad 3 又 de bc bd ab ad bd 答案 2 ab ac a 36 b acb 72 cd是角平分线 acd bcd 36 acd a bdc b 72 bc cd ad 设cd x 则bc ad x bd 1 x cd是 abc的角平分线 即 x2 1 x 解得 已舍去负值 答案 互动探究 本例 1 中若bc 4 de 3 df 1 其他条件不变 则ab的长为 解析 de bc 又 ef cd af 3fd 3 ad 4 又 de bc 答案 反思 感悟 本例 1 灵活运用了平行线分线段成比例定理 先利用de bc ef cd得到比例式后 再进行巧妙地转化比例式 从而解决问题 这是在比例式的证明和计算中常见的一种方法 相似三角形的判定和性质 方法点睛 1 相似三角形的判定思路 2 相似三角形性质的应用 1 运用相似三角形的性质解决问题 主要考虑相似三角形的对应边 对应角 周长 面积之间的关系 2 相似三角形的性质多用于求某条线段的长度 求证比例式的存在 求证等积式的成立等 提醒 在做题时应注意认真观察图形特点 确定好对应边 对应角等 例2 1 如图 光源p在横杆ab的正上方 ab在灯光下的影子为cd ab cd ab 2m cd 6m 点p到cd的距离是2 7m 则ab与cd间的距离是 m 2 如图 梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 若db 9 则bm 解题指南 1 先判定 pab与 pcd相似 再利用相似三角形对应高的比等于相似比 求出ab与cd间的距离 2 由已知条件可判定四边形bcde是平行四边形 所以cb de 从而证明 edm fbm 再根据对应边成比例可求出bm的值 规范解答 1 根据ab cd 知 pab pcd 设p到ab的距离为xm 根据相似三角形对应边上高的比等于相似比 得解得x 0 9 ab与cd间的距离为2 7 0 9 1 8 m 答案 1 8 2 e是ab的中点 ab 2be 又 ab 2cd cd eb 又ab cd 四边形bcde是平行四边形 cb de dem bfm edm fbm edm fbm f是bc中点 de bc 2fb dm 2bm 答案 3 互动探究 本例 2 中在所有条件不变的情况下 求s fbm s edm 解析 由 fbm edm可知fb de 1 2 s fbm s edm 1 4 答案 1 4 反思 感悟 判定三角形相似时 首先找出两个三角形中已经具备了哪些已知条件 再通过推理推出隐含的条件 选择相似三角形的判定方法作出判定即可 当三角形判定相似后 可再根据相似三角形的性质 求出线段的长 三角形的周长及面积等 变式备选 已知 如图 在 abc中 d e分别是bc ab上任意点 efm cdm ef 1 cd 3 则 efm与 cdm的周长之比为 解析 efm cdm efm与 cdm的周长之比为ef cd 1 3 答案 1 3 直角三角形的射影定理的应用 方法点睛 直角三角形的射影定理的理解及解题思路 1 直角三角形的射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系 揭示了直角三角形的内在关系 2 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影 再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 并且注意直角三角形的射影定理的其他变式 例3 1 在 abc中 acb 90 cd ab于点d ad bd 2 3 则 acd与 cbd的相似比为 2 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab于点d de ac于点e df bc于点f ce 3 cf 4 则ab 解题指南 1 可由射影定理求出cd的长 再求相似比 2 先由勾股定理求cd的长 再由射影定理求ac bc的长 最后由勾股定理求出ab的长 规范解答 1 设ad 2 则bd 3 abc中 acb 90 cd ab cd2 ad db 2 3 6 即 acd与 cbd的相似比是答案 2 由勾股定理 得在rt acd中 由射影定理 得cd2 ce ac 在rt bcd