高中数学 8.8双曲线配套课件 苏教版.ppt

第八节双曲线 三年1考高考指数 1 双曲线的相关概念 1 双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 在平面内 动点到两定点的距离 为一定值 这一定值一定要 两定点的距离 2 焦点 两个 称为双曲线的焦点 3 焦距 间的距离 之差的绝对值 小于 定点 两焦点 即时应用 判断下列点的轨迹是否为双曲线 请在括号内填写 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于3的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于4的点的轨迹 4 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于4的点的轨迹 5 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于6的点的轨迹 6 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 解析 由双曲线的定义可知 1 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为2的双曲线的一支 2 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为3的双曲线 3 点的轨迹是以b为端点方向向下的一条射线 4 点的轨迹是分别以a b为端点方向向上 下的两条射线 5 距离之差大于 ab 所以点的轨迹不存在 6 距离之差的绝对值大于 ab 所以点的轨迹不存在 答案 1 否 2 是 3 否 4 否 5 否 6 否 2 双曲线的标准方程和几何性质 对称性 图形 标准方程 范围 顶点 性质 渐近线 a 0 b 0 a 0 b 0 x a或x a y a或y a 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 对称轴 坐标轴 对称中心 原点 标准方程 离心率 性质 实虚轴 a 0 b 0 a 0 b 0 线段a1a2叫做双曲线的实轴 它的长 a1a2 2a 线段b1b2叫做双曲线的虚轴 它的长 b1b2 2b a叫做双曲线的半实轴长 b叫做双曲线的半虚轴长 3 等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线 其标准方程为 0 离心率e 渐近线方程为y x 实轴和虚轴 即时应用 1 思考 双曲线离心率的大小与双曲线 张口 大小有怎样的关系 提示 因为离心率所以 离心率越大 就趋近于 即两条渐近线所形成的角 双曲线所在的区域 就越大 即双曲线的 张口 就越大 离心率越小即接近1 就趋近于0 即两条渐近线所形成的角 双曲线所在的区域 就越小 即双曲线的 张口 就越小 2 已知曲线2x2 y2 6 0上一点p到一个焦点的距离为4 则它到另一个焦点的距离为 解析 曲线2x2 y2 6 0的方程可化为 所以a2 3 又因为点p到一个焦点的距离为4 所以到另一焦点的距离为答案 3 已知双曲线 a 0 b 0 的虚轴长为2 焦距为则双曲线的渐近线方程为 解析 依题意知 2b 2 所以b 1 因此 双曲线的渐近线方程为 答案 y 4 已知双曲线为等轴双曲线 中心在原点 一个焦点到一条渐近线的距离为 则双曲线的方程为 解析 由题意 设双曲线方程为x2 y2 a2 a 0 则c a 渐近线y x 双曲线的方程为x2 y2 2 答案 x2 y2 2 双曲线的定义 标准方程 方法点睛 1 双曲线定义的应用利用双曲线的定义解题时 一方面要注意常数2a f1f2 这一条件 另一方面注意由双曲线上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 双曲线的标准方程 1 当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 mn 0 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 ab 0 这种形式在解题时更简便 2 当已知双曲线的渐近线方程bx ay 0 求双曲线方程时 可设双曲线方程为b2x2 a2y2 0 据其他条件确定 的值 3 与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为 0 据其他条件确定 的值 3 求双曲线标准方程的方法及步骤 1 定义法 根据题设条件得出或已知曲线为双曲线 可直接求出a b c 得出双曲线方程 2 待定系数法 先设出双曲线的标准方程 将题设条件代入方程确定相关系数 最后得出方程 提醒 用定义法求双曲线方程时 要注意焦点所在坐标轴的位置 例1 1 与双曲线有相同的渐近线 且过点的双曲线方程为 2 已知定点a 0 7 b 0 7 c 12 2 以c为一个焦点作过a b的椭圆 求另一个焦点f的轨迹方程 解题指南 1 先设出双曲线的方程 用待定系数法求解 2 由椭圆定义得出关于点f的等式 化简后可得出点f的轨迹 进而得出轨迹方程 规范解答 1 因为所求双曲线与有相同的渐近线 所以设所求双曲线方程为 0 又因为双曲线过点 所以解得所以所求双曲线方程为 答案 2 由椭圆的定义知 ac af bc bf 又因为a 0 7 b 0 7 c 12 2 所以 ac 13 bc 15 因此 af bf 2 所以f的轨迹是双曲线的一支 其中c 7 a 1 b2 48 因此所求轨迹方程为 y 0 互动探究 本例 1 中 有相同的渐近线 改为 有相同的焦点 结果如何 解析 双曲线中 c 5 焦点坐标为 5 0 5 0 又因为所求双曲线与双曲线有相同的焦点 所以可设双曲线方程为又因为双曲线过点 3 所以解得 舍去 或所以双曲线方程为 反思 感悟 1 第 1 小题有相同渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数 再需一个条件即可求解 2 第 2 小题是借助于椭圆的定义 得出一个等式 再由双曲线的定义得出轨迹为双曲线的一支 变式备选 过双曲线x2 y2 8的左焦点f1有一条弦pq交左支于p q两点 若 pq 7 f2是双曲线的右焦点 则 pf2q的周长为 解析 因为x2 y2 8 所以由题设及双曲线的定义得 pf2 pf1 qf2 qf1 所以 pf2 qf2 pf1 qf1 即 pf2 qf2 pq 又因为 pq 7 所以 pf2 qf2 7 因此 pf2q的周长为 pf2 qf2 pq 14 答案 14 双曲线的几何性质 方法点睛 1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 六点 两个焦点 两个顶点 两个虚轴端点 四线 两条对称轴 两条渐近线 两形 中心 焦点以及虚轴端点构成的三角形 双曲线上一点和两焦点构成的三角形 研究它们之间的相互联系 2 双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 1 已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意及判断焦点的位置 2 已知渐近线方程y mx m 0 求离心率时 若焦点不确定时 因此离心率有两种可能 提醒 双曲线中a b c之间的关系为c2 a2 b2 不要和椭圆之间的关系混淆 例2 1 2011 福建高考 设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1 f2 若曲线c上存在点p满足 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 则曲线c的离心率等于 2 已知双曲线的离心率为2 焦点与椭圆的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 解题指南 1 由于已知圆锥曲线的两个焦点 所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线 再由离心率的定义即可求解 2 由椭圆的焦点坐标得出双曲线的焦点坐标及c值 由离心率的值 可求出a 进而得出双曲线的渐近线方程 规范解答 1 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 可设 pf1 4k f1f2 3k pf2 2k k 0 其中 f1f2 2c 3k 若圆锥曲线c为椭圆 则 pf1 pf2 2a 6k a 3k 若圆锥曲线c为双曲线 则 pf1 pf2 2a 2k a k e的取值为答案 2 椭圆的焦点坐标为 4 0 4 0 故c 4 且满足 2 故a 2 b 所以双曲线的渐近线方程为答案 4 0 4 0 y x 互动探究 在本例 1 中 若圆锥曲线为双曲线且c 6 其他条件不变 求双曲线的焦点到其渐近线的距离 解析 因为圆锥曲线为双曲线且c 6 又因为 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 所以 pf1 16 pf2 8 2a 16 8 8 即a 4 所以 当双曲线的焦点在x轴上时 一个焦点为 6 0 一条渐近线方程为x 2y 0 焦点到渐近线的距离为2 当双曲线的焦点在y轴上时 一个焦点为 0 6 一条渐近线方程为2x y 0 焦点到渐近线的距离为2 反思 感悟 1 第一小题首先是讨论曲线的类型 然后再根据相应曲线的定义 求出离心率的值 2 第二小题解题的关键是求出a b c的值 然后求解 变式备选 设双曲线的一个焦点为f 虚轴的一个端点为b 如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 解析 因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样 所以不妨设双曲线方程为 a 0 b 0 则双曲线的渐近线的斜率k 一个焦点坐标为f c 0 一个虚轴的端点为b 0 b 所以kfb 又因为直线fb与双曲线的一条渐近线垂直 所以 显然不符合 即b2 ac c2 a2 ac 所以 c2 a2 ac 0 即e2 e 1 0 解得e 负值舍去 答案 与双曲线有关的综合问题 方法点睛 1 直线与双曲线的位置关系判断直线l与双曲线c的位置关系时 通常将直线l的方程ax by d 0 a b不同时为0 代入双曲线c的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的一元方程 即消去y后得ax2 bx c 0 直线与双曲线 方程特征 交点个数 位置关系 a 0 a 0 0 a 0 0 a 0 0 1 2 1 0 直线与双曲线的一条渐近线平行 相交 相切 相离 2 解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 1 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式 组 通过解不等式 组 求得参数的取值范围 2 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时 则可先建立目标函数 进而转化为求解函数的值域 提醒 解决直线与双曲线相交问题时 若涉及到弦的中点或斜率 一般用点差法求解 例3 已知双曲线的标准方程为f为其右焦点 a1 a2是实轴的左 右端点 设p为双曲线上不同于a1 a2的任意一点 直线a1p a2p与直线x a分别交于两点m n 若 0 则a的值为 解题指南 由题设条件 可先求出f a1 a2各点的坐标 再求出直线a1p a2p的方程 解方程得m n的坐标 最后由 0解得a的值 规范解答 由双曲线方程得 f 5 0 a1 3 0 a2 3 0 设p m n 则a1p的方程为a2p的方程为它们与直线x a的交点m n的坐标为 m a n a 所以 又因为所以 a 5 a 5 0 即 又因为p m n 在双曲线上 所以代入 得 25a2 90a 81 0 解得 a 答案 反思 感悟 1 本题是直线与双曲线的综合应用 由双曲线的几何性质易求焦点坐标 顶点坐标 由两点坐标得出直线的两点式方程 利用方程思想即可解答本题 2 解直线与双曲线的位置关系或点在双曲线上等问题时 一定不能忽视点在曲线上时 点的坐标适合曲线方程这一条件 变式训练 已知两定点f1 0 f2 0 满足条件pf2 pf1 2的点p的轨迹是曲线e 直线y kx 1与曲线e交于a b两点 1 求k的取值范围 2 如果ab 且曲线e上存在点c 使求m的值和 abc的面积s 解析 1 由双曲线的定义可知 曲线e是以f1 0 f2 0 为焦点的双曲线的左支 且c a 1 易知b 1 故曲线e的方程为x2 y2 1 x 1 设a x1 y1 b x2 y2 由题意建立方程组消去y 得 1 k2 x2 2kx 2 0 又因为已知直线与双曲线的左支交于a b两点 则解得 k 1 2 依题意得整理后得28k4 55k2 25 0 但 k 1 k 故直线ab的方程为设c x0 y0 由已知得 x1 y1 x2 y2 mx0 my0 x0 y0 m 0 又 c 将点c的坐标代入曲线e的方程 得解得m 4 但当m 4时 所得的点在双曲线的右支上 不合题意 m 4 点c的坐标为 2 点c到ab的距离为 abc的面积 易错误区 双曲线几何性质的解题误区 典例 2011 山东高考 已知双曲线 a 0 b 0 和椭圆有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 解题指南 先求椭圆焦点 即双曲线的焦点 再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出a b 然后写出双曲线的方程 规范解答 由题意知双曲线的焦点为 0 0 即c 又因为双曲线的离心率为 所以a 2 故b2 3 所以双曲线的方程为答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 安徽高考改编 双曲线2x2 y2 8的实轴长是 解析 将双曲线2x2 y2 8化成标准方程则a2 4 所以实轴长2a 4 答案 4 2 2011 湖南高考改编 设双曲线 a 0 的渐近线方程为3x 2y 0 则a 解析 由可得到双曲线的渐近线方程为y x 又已知双曲线的渐近线方程为3x 2y 0 根据直线重合的条件可得到a 2 答案 2 3 2011 新课标全国卷改编 设直线l过双曲线c的一个焦点 且与c的一条对称轴垂直 l与c交于a b两点 ab 为c的实轴长的2倍 则c的离心率为 解析 不妨设双曲线的焦点在x轴上 焦点在y