高考数学第一轮总复习 2.1 函数及其表示课件 文 新人教A版.ppt

第二章函数 导数及其应用第一节函数及其表示 知识梳理 1 函数与映射的概念 数集 集合 任意 唯一确定 唯一确定 f a b f a b y f x x a 任意 2 函数的三要素 自变量x f x x a 列表法 图象法 解析法 3 分段函数 1 若函数在其定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 2 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 其值域等于各段函数的值域的 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 对应关系 并集 并集 考点自测 1 思考 给出下列命题 函数是建立在其定义域到值域的映射 函数y f x 的图象与直线x a最多有2个交点 函数f x x2 2x与g t t2 2t是同一函数 若两个函数的定义域与值域相同 则这两个函数是相等函数 其中正确的是 a b c d 解析 选b 正确 函数是特殊的映射 错误 若函数在x a处有意义 则其图象与直线x a有1个交点 若函数在x a处无意义 则两者没有交点 所以 有可能没有交点 如果有交点 则仅有1个 不会出现2个交点 正确 f x 与g t 的定义域和对应关系相同 错误 函数y x与y 2x 1的定义域和值域都是r 但它们的对应关系不同 不是相等函数 2 2014 岳阳模拟 下列对应关系 a 1 4 9 b 3 2 1 1 2 3 f x x的平方根 a r b r f x x的倒数 a r b r f x x2 2 a 1 0 1 b 1 0 1 f a中的数平方 其中是a到b的映射的是 a b c d 解析 选c 对于 a中1 4 9在b中均有两个元素与其对应 不符合映射的定义 故错误 错误 因a中元素0 其倒数不存在 正确 符合映射的定义 3 2013 广东高考 函数f x 的定义域是 a 1 b 1 c 1 1 1 d 1 1 1 解析 选c 解不等式x 1 0 x 1 0可得x 1 x 1是定义域满足的条件 4 函数y x2 2x的定义域为 0 1 2 3 则其值域为 解析 列表如下 由表知 函数的值域为 1 0 3 答案 1 0 3 5 已知函数f x 若f x 2 则x 解析 因为f x 所以由f x 2 得当x 1时 4x 2 x 或当x 1时 x 2 得x 2 舍 综上知x 答案 6 f x 是一次函数 且2f 1 3f 2 3 2f 1 f 0 1 则f x 解析 设f x kx b k 0 由已知得所以f x 答案 考点1求函数的定义域 典例1 1 2013 山东高考 函数f x 的定义域为 a 3 0 b 3 1 c 3 3 0 d 3 3 1 2 2014 北京模拟 已知函数y f x 的定义域为 0 4 则函数y1 f 2x ln x 1 的定义域为 a 1 2 b 1 2 c 1 8 d 1 8 解题视点 1 根据解析式 构建使其有意义的不等式组求解 2 根据f 2x 中2x的含义及使ln x 1 有意义构建不等式组求解 规范解答 1 选a 由题意得解得 3 x 0 2 选b 由已知函数y f x 的定义域为 0 4 则使函数y1 f 2x ln x 1 有意义 需解得1 x 2 所以定义域为 1 2 互动探究 若本例 2 中条件变为 函数y f 2x 的定义域为 0 4 则结果如何 解析 选d 因为y f 2x 的定义域为 0 4 即0 x 4 所以1 2x 16 故f x 的定义域为 1 16 则使函数y1 f 2x ln x 1 有意义 需解得1 x 8 所以定义域为 1 8 规律方法 求函数定义域的三种常考类型及求解策略 1 已知函数的解析式 构建使解析式有意义的不等式 组 求解 2 抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 则复合函数f g x 的定义域由a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 3 实际问题 既要使构建的函数解析式有意义 又要考虑实际问题的要求 提醒 1 如果所给解析式较复杂 切记不要化简后再求定义域 2 所求定义域须用集合或区间表示 使函数解析式有意义的常见准则 1 分式的分母不为0 2 偶次根式的被开方数非负 3 对数函数的真数须大于0 4 指数 对数函数的底数大于0且不等于1 5 零次幂的底数不能为零 6 正切函数y tanx x k k z 变式训练 2013 大纲版全国卷 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 解析 选b 令u 2x 1 由f x 的定义域为 1 0 可知 1 u 0 即 1 2x 1 0 得 1 x 加固训练 1 2013 重庆高考 函数的定义域为 a 2 b 2 c 2 3 3 d 2 4 4 解析 选c 要使函数有意义 需满足解得x 2且x 3 故选c 2 已知f 2x 的定义域是 1 1 则f log2x 的定义域为 解析 由已知x 1 1 所以2x 2 故f x 的定义域为 2 所以在函数y f log2x 中 log2x 2 即log2 log2x log24 所以 x 4 故f log2x 的定义域为 4 答案 4 考点2求函数的解析式 典例2 1 已知f 1 x 2 则f x 2 已知f x 是二次函数且f 0 2 f x 1 f x x 1 则f x 解题视点 1 利用换元法求解 2 已知函数类型 用待定系数法求解 规范解答 1 由已知 x 0 令 1 t 则t 1 x t 1 2 所以f t t 1 2 2 t 1 t2 1 t 1 即f x x2 1 x 1 答案 x2 1 x 1 2 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 2得c 2 f x 1 f x a x 1 2 b x 1 ax2 bx x 1 即2ax a b x 1 所以所以f x 答案 易错警示 利用换元法时要关注新元的取值范围本例第 1 题利用换元法求解析式 要注意换元后t的取值范围 否则会造成求出的函数解析式定义域扩大而致误 规律方法 求函数解析式的四种常用方法及适用类型 1 待定系数法 已知函数的类型 可用待定系数法 2 换元法 已知复合函数f g x f x 可用换元法 3 解方程组法 已知关于f x 与 或f x 的表达式 可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f x 4 间接法 已知某区间上的解析式 求其他区间上的解析式 将待求变量调节到已知区间上 利用函数满足的等量关系间接获得其解析式 变式训练 2013 安徽高考 定义在r上的函数f x 满足f x 1 2f x 若当0 x 1时 f x x 1 x 则当 1 x 0时 f x 解析 当 1 x 0时 0 x 1 1 故f x 1 x 1 1 x 1 x x 1 又f x 1 2f x 所以f x 答案 加固训练 2f x f x lg x 1 则f x 解析 因为2f x f x lg x 1 所以2f x f x lg 1 x 解方程组得f x lg x 1 lg 1 x 1 x 1 答案 lg x 1 lg 1 x 1 x 1 考点3分段函数及其应用 考情 分段函数作为考查函数知识的最佳载体 以其考查知识容量大而成为高考命题的亮点 常以选择题 填空题的形式出现 考查求值 解方程 解不等式 图象及函数的性质等问题 高频考点通关 典例3 1 2014 南京模拟 设函数f x 则f 9 2 2014 长沙模拟 函数f x 则f x f x 1的解集为 3 2013 北京高考 函数f x 的值域为 解题视点 1 根据自变量的值选择相应的对应关系求值 2 根据自变量取值分两种情况讨论求解 3 分别求出每段的值域 再求并集 规范解答 1 f 9 f 9 3 2 f 6 3 4 f 3 3 6 f 0 6 0 2 6 8 答案 8 2 由题意得或解得 1 x 或0 x 1 所以解集为 1 0 1 答案 1 0 1 3 当x 1时 0 当x 1时 2x 2 因此 值域为 2 答案 2 通关锦囊 关注题型 特别提醒 解决分段函数问题的总策略是分段击破 即对不同的区间进行分类求解 然后整合 通关题组 1 2014 株洲模拟 设函数f x 若f a f 1 2 则a a 3b 3c 1d 1 解析 选d 当a 0时 f a 由已知得 1 2 得a 1 当a 0时 f a 由已知得 1 2 得a 1 综上a 1 2 2014 天津模拟 设函数f x 若f x0 1 则x0的取值范围是 a 1 1 b 1 c 2 0 d 1 1 解析 选d 当x 0时 若f x x2 1 则x0时 若f x 1 则x 1 综上 若f x0 1 则x0的取值范围是 1 1 3 2013 福建高考 已知函数f x 则 解析 答案 2 4 2014 三明模拟 已知函数f x 设a b 0 若f a f b 则b f a 的取值范围是 解析 在平面直角坐标系中作出函数f x 的图象如图所示 由图象知所以b f a 答案 加固训练 1 2014 石家庄模拟 若则当x 0时 f x 为 a xb x2c xd x2 解析 选b 由于f x x 则当x 0时 x x2 因为x 0 所以 x2 0 所以f x f x2 x2 2 2013 郑州模拟 已知函数f x 则函数f x 的奇偶性为 a 既是奇函数又是偶函数b 既不是奇函数又不是偶函数c 是奇函数不是偶函数d 是偶函数不是奇函数 解析 选c 若x 0 则 x0 所以f x x2 4x 4x x2 f x 综上恒有f x f x 所以函数f x 为奇函数 3 2014 天津模拟 已知函数f x 在区间 上是增函数 则常数a的取值范围是 a a 1或a 2b 1 a 2c 12 解析 选b 因为函数f x 在区间 上是增函数 又因f 0 0 由函数解析式知 在 0 上与在 0 上都是增函数 欲保证函数在r上为增函数 当且仅当a2 3a 2 0即可 从而 a 1 a 2 0 1 a 2 4 2014 杭州模拟 设函数f x 若f 2 f 0 f 1 3 则关于x的方程f x x的解的个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 由已知得解得所以f x 当x 0时 由f x x得 x2 2x 2 x 得x 2或x 1 又x 0 故x 1舍去 当x 0时 由f x x得x 2 所以方程f x x有两个解 5 2014 海口模拟 已知函数y f x 的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成 则函数的解析式为 解析 根据图象 设左侧的射线对应的解析式为y kx b x 1 因为点 1 1 0 2 在射线上 所以所以左侧射线对应函数的解析式为y x 2 x 1 同理 x 3时 函数的解析式为y x 2 x 3 再设抛物线对应的二次函数解析式为y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 因为点 1 1 在抛物线上 所以a 2 1 a 1 所以1 x 3时 函数的解析式为