高中数学 2.4二次函数配套课件 苏教版.ppt

第四节二次函数 三年1考高考指数 1 二次函数的定义 1 二次函数的一般式 f x 2 其他形式 f x a x h 2 k a 0 其中顶点坐标为 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 其中x1 x2为相应一元二次方程的两根 ax2 bx c a 0 顶点式 h k 即时应用 1 判断下列函数是否为二次函数 请在括号中填写 是 或 否 y x4 x2 y 1 3x x2 y 2 x 1 2 3 y 3 x 2 x 3 y 2sin2x sinx 3 y log22x 2log2x 3 2 若二次函数的图象的最高点为 1 3 且过点 0 4 则其解析式为 3 已知抛物线与x轴交于点a 1 0 b 1 0 并经过点m 0 1 则抛物线的解析式为 4 若f x 为二次函数 且f 0 3 f x 2 f x 4x 2 则f x 的解析式为 解析 1 二次函数解析式的形式为y ax2 bx c a 0 故只有 为二次函数 其余均不是 2 设y a x 1 2 3 又过点 0 4 4 a 0 1 2 3 解得a 1 y x 1 2 3 x2 2x 4 3 点a 1 0 b 1 0 是抛物线与x轴的交点 设抛物线的解析式为y a x 1 x 1 将m 0 1 代入 得1 a 即a 1 y x 1 x 1 x2 1 4 设f x ax2 bx c a 0 f x 2 a x 2 2 b x 2 c 则f x 2 f x 4ax 4a 2b 4x 2 又f 0 3 c 3 f x x2 x 3 答案 1 否 否 是 是 是 否 否 2 y x2 2x 4 3 y x2 1 4 f x x2 x 3 2 二次函数的图象与性质 r r 即时应用 1 二次函数y 2x2 4x 5的对称轴为 顶点坐标为 2 一次函数y ax b与二次函数y ax2 bx c在同一坐标系中的图象大致是 填序号 3 已知函数f x 3x2 12x 5 当x 0 3 时 f x min f x max 4 如果函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 则函数f x 的最小值为 5 已知函数y x2 bx c为偶函数 则函数y cx b 1必过定点 解析 1 二次函数的对称轴为顶点为故y 2x2 4x 5的对称轴为顶点坐标为 1 3 2 由已知a 0 图中一次函数a 0 b 0 二次函数a 0 故 不正确 同理 不正确 而 中由直线知a 0 b 0 与抛物线中a 0 相吻合 故 正确 3 f x 3 x 2 2 7 f x 在 0 2 上递减 在 2 3 上递增 f x min f 2 7 f x max f 0 5 4 函数f x x2 a 2 x b的对称轴为又 函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 a 4 b 6 f x x2 2x 6 x 4 6 因此 该函数当x 1时取最小值5 5 由已知得 b 0 函数y cx b 1 cx 1 过定点 0 1 答案 1 x 1 1 3 2 3 75 4 5 5 0 1 求二次函数的解析式 方法点睛 二次函数解析式的求法求二次函数的解析式 一般用待定系数法 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式 一般选择规律如下 提醒 若选用形式不当 引入的待定系数过多 会加大运算量 例1 设二次函数f x 满足f x 2 f x 2 且图象在y轴上的截距为1 在x轴上截得的线段长为 求f x 的解析式 解题指南 二次函数f x 满足f x t f t x 则其对称轴方程为x t 图象在x轴上截得的线段长度公式为 x1 x2 本题可设f x 的一般式 亦可设顶点式 规范解答 设f x 的两零点分别为x1 x2 方法一 设f x ax2 bx c a 0 则由题知 c 1 且对称轴为x 2 即b 4a f x ax2 4ax 1 b 4a 2 函数f x 的解析式为 方法二 f x 2 f x 2 二次函数f x 的对称轴为x 2 设f x a x 2 2 b 且f 0 1 4a b 1 f x a x 2 2 1 4a ax2 4ax 1 反思 感悟 求函数解析式常用的方法和技巧 1 若已知函数f x 的类型 常采用待定系数法 2 若已知f g x 的表达式 常采用换元法或凑项法 3 若为抽象函数 常采用代换后消参法 变式训练 如图 抛物线与直线y k x 4 都经过坐标轴的正半轴上a b两点 该抛物线的对称轴x 1与x轴相交于点c 且 abc 90 求 1 直线ab的解析式 2 抛物线的解析式 解析 1 由已知得 a 4 0 b 0 4k c 1 0 又 cba boc 90 ob2 co ao 4k 2 1 4 由图知k 0 所求直线的解析式为 2 设抛物线的解析式为y ax2 bx c a 0 则解得 所求抛物线的解析式为 变式备选 已知二次函数f x 同时满足条件 1 f 1 x f 1 x 2 f x 的最大值为15 3 f x 0的两根立方和等于17 求f x 的解析式 解析 依条件 设f x a x 1 2 15 a 0 即f x ax2 2ax a 15 令f x 0 即ax2 2ax a 15 0 设两根为x1 x2 则而x13 x23 x1 x2 3 3x1x2 x1 x2 二次函数的图象与性质的应用 方法点睛 1 求二次函数最值的类型及解法 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是考查对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解 在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值 2 二次函数的单调性问题的解法主要根据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解 提醒 配方法是解决二次函数最值问题的常用方法 但要注意自变量范围与对称轴之间的关系 例2 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当a 1时 求f x 的单调区间 解题指南 1 和 2 可根据对称轴与区间的关系 结合图象或单调性直接求解 3 应先将函数化为分段函数 再求单调区间 规范解答 1 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 2 函数f x x2 2ax 3的对称轴为 要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 3 当a 1时 f x x2 2 x 3其图象如图所示 又 x 4 6 f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减函数 在区间 1 0 和 1 6 上为增函数 互动探究 若将本例 2 中单调变为不单调 则结果如何 解析 需 4 a 6 解得 6 a 4 反思 感悟 1 影响二次函数f x 在区间 m n 上最值的要素有三个 即抛物线的开口方向 对称轴位置 闭区间 常用数形结合思想求解 但当三要素中有一要素不明确时 要分情况讨论 2 二次函数单调性的确定与应用 常与二次函数的图象数形结合求解 变式备选 已知f x x2 3x 5 x t t 1 若f x 的最小值为h t 写出h t 的解析式并求h t 的最小值 解析 f x x2 3x 5的对称轴为 当即时 h t f t 1 t 1 2 3 t 1 5 当 即时 当时 综上可知 当时 当时 当时 即对于任意的实数t恒有即h t 有最小值 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的综合问题 方法点睛 1 三个 二次 之间转化的一般规律 1 在研究一元二次方程根的分布问题时 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号 四个方面分析 2 在研究一元二次不等式的有关问题时 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 2 一元二次不等式恒成立的充要条件 1 不等式ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 2 不等式ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 例3 设函数f x ax2 2x 2 对于满足1 x 4的一切x值都有f x 0 求实数a的取值范围 解题指南 解答本题可以有两条途径 1 分a 0 a 0 a 0三种情况 求出f x 在 1 4 上的最小值f x min 再令f x min 0 从而求出a的取值范围 2 将参数a分离得然后求的最大值即可 规范解答 方法一 当a 0时 由f x 0 x 1 4 得 或或 a 1或或 即当a 0时 解得a 当a 0时 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 不合题意 综上可得 实数a的取值范围是 方法二 由f x 0 即ax2 2x 2 0 x 1 4 得在 1 4 上恒成立 令所以要使f x 0在 1 4 上恒成立 只要即可 反思 感悟 1 一元二次不等式的求解 恒成立问题及一元二次方程根的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解 但要注意讨论及考虑全面 2 关于不等式的恒成立问题 能用分离参数法 尽量用 因为该法可以避开频繁地对参数的讨论 变式训练 已知f x 3x2 a 6 a x b 1 若不等式f x 0的解集为 x 1 x 2 求a b的值 2 若方程f x 0有一根小于1 另一根大于1 当b 6且b为常数时 求实数a的取值范围 解析 1 由题意知方程 3x2 a 6 a x b 0的两根为1和2 则解得 2 3 0 由图知 只需f 1 0便可满足题意 3 a 6 a b 0 a2 6a 3 b 0 满分指导 与二次函数相关的解答题的规范解答 典例 14分 2012 临沂模拟 已知函数f x ax2 x 2a 1 a为实常数 1 若a 1 作函数f x 的图象 2 设f x 在区间 1 2 上的最小值为g a 求g a 的表达式 3 设若函数h x 在区间 1 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解题指南 1 将f x 化为分段函数 从而转化为画二次函数图象的问题 但要注意函数的定义域 2 分a 0 a 0两种情况讨论 而a 0 又需按对称轴与区间 1 2 的关系 再次分类讨论 3 可由h x 0在 1 2 上恒成立求解 规范解答 1 当a 1时 f x x2 x 1 作图 如图所示 2分 3 2 1 1 2 3 o 1 5 10 x y 2 当x 1 2 时 f x ax2 x 2a 1 若a 0 则f x x 1在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 3 若a 0 则f x 图象的对称轴是直线当a 0时 f x 在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 6a 3 4分 当时 f x 在区间 1 2 上是增函数 g a f 1 3a 2 当时 当时 f x 在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 6a 3 6分综上可得 8分 3 当x 1 2 时 又 h x 在 1 2 上为增函数 h x 0在 1 2 上恒成立 令当2a 1 0即时 x 在 1 2 上为减函数 由h x 0 得 又 10分 当2a 1 0 即时 显然在 1 2 上为增函数 当2a 1 0 即时 x 在 1 2 上为增函数 x min 1 a 1 由已知得 a 1 0 解得 a 1 又故 12分综上可知 14分 阅卷人点拨 通过对试题及阅卷分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 淮安模拟 设二次函数f x ax2 2ax c在区间 0 1 上单调递减 且f m f 0 则实数m的取值范围是 解析 f x 的对称轴为x 1 f 0 f 2 f x 在区间 0 1 上单调递减 f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 0 m 2 答案 0 m 2 2 2012 无锡模拟 若函数y x2 4x 2的定义域为 0 m 值域为 6 2 则m的取值范围是 解析 函数y x2 4